苏教版高一下册数学必修第二册 13.2.3 第2课时 直线与平面垂直 同步练习（含答案）

苏教版高一下册数学必修第二册-13.2.3 第2课时 直线与平面垂直－同步练习
[A　基础达标]
1．在空间中，下列命题正确的是(　　)
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一个平面的两条直线平行．
A．①③④　　　　　　　　 B．①④
C．① D．①②③④
2．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的(　　)
A．垂心 B．外心
C．内心 D．重心
3．在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．B1D1
C．A1D D．A1A
5．如图，下列4个正方体中，点A，B，M，N，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线AB⊥平面MNQ的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
7.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条．
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．
9．如图，在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点．
(1)求证：PM⊥平面ABC；
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．
10.如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，BC＝CD＝AD.
(1)求证：CD⊥PD；
(2)求证：BD⊥平面PAB；
(3)在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[B　能力提升]
11．(多选)已知α是一个平面，m，n是两条直线，有下列四个结论，正确的是(　　)
A．如果m∥α，m∥n，那么n∥α
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m⊥α
D．如果m⊥α，m∥n，那么n⊥α
12．(多选)如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C为圆上异于点A，B的任意一点，则下列关系中正确的是(　　)
A．PA⊥BC B．AC⊥PB
C．BC⊥平面PAC D．PC⊥PB
13．(多选)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿着SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系，其中成立的为(　　)
A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFG
C．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG
[C　拓展探究]
14．刘徽注《九章算术 商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．
在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C中点时，分别形成的四面体P ABC中，鳖臑有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
15．如图，在三棱锥P ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥PC；
(2)若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．
参考答案
[A　基础达标]
1．答案：B
2．解析：选B．因为PO⊥α，PA＝PB＝PC，可由射影定理得OA＝OB＝OC.
即点O是△ABC 的外心．
3．解析：选C．如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a．所以tan ∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.
4．解析：选B．如图，直线CE垂直于直线B1D1.
因为AC1为正方体，所以A1B1C1D1为正方形，连接B1D1，又因为E为A1C1的中点，所以E∈B1D1.所以B1D1⊥C1E，CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，又CC1∩C1E＝C1，
所以B1D1⊥平面CC1E，而CE 平面CC1E，所以直线CE垂直于直线B1D1；故选B．
5．解析：选B．对于题图1，如图，连接BC.因为BC⊥MN，AC⊥MN，BC，AC 平面ABC，BC∩AC＝C，所以MN⊥平面ABC，从而MN⊥AB.同理可得NQ⊥AB.因为MN，NQ 平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.
对于题图2，因为NQ⊥AB，MN⊥AB，MN，NQ 平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.
对于题图3，因为AB与MQ不垂直，所以AB与平面MNQ不垂直．
对于题图4，因为AB与NQ不垂直，所以AB与平面MNQ不垂直．故满足直线AB⊥平面MNQ的个数为2.故选B．
6.解析：
BC⊥平面PAC BC⊥PC，
所以直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
答案：4
7.解析：因为PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．
答案：4
8.解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，
则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.
所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.
答案：2
9．解：(1)证明：因为PA＝PC，M为AC的中点，
所以PM⊥AC，①
又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
所以AM＝MC＝MB＝AC＝5.
在△PMB中，PB＝13，MB＝5.
PM＝＝＝12.
所以PB2＝MB2＋PM2，所以PM⊥MB.②
由①②可知PM⊥平面ABC.
(2)因为PM⊥平面ABC，
所以MB为BP在平面ABC内的射影，
所以∠PBM为BP与底面ABC所成的角．
在Rt△PMB中，tan ∠PBM＝＝.
10.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥PA.
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
因为PD 平面PAD，
所以CD⊥PD.
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥PA.
在直角梯形ABCD中，BC＝CD＝AD，
由题意可得AB＝BD＝BC，
所以AD2＝AB2＋BD2，
所以BD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，
所以BD⊥平面PAB.
(3)在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点．
证明如下：取PA的中点N，连接MN，BN，
因为M是PD的中点，所以MNAD.因为BCAD，所以MNBC.
所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN.因为CM 平面PAB, BN 平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
[B　能力提升]
11．解析：选BD．对于A中，如果m∥α，m∥n，那么n∥α或n α，所以不正确；
对于B中，根据线面垂直的性质，可得若m⊥α，n∥α，那么m⊥n，所以是正确的；
对于C中，根据线面垂直的定义，直线m垂直于平面α内的任意直线，则m⊥α，而直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m与α不一定垂直，所以不正确；
对于D中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若m⊥α，m∥n，那么n⊥α，所以是正确的．故选BD．
12．解析：选AC．由题意知，PA⊥平面ABC，因为BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，故A对；而AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，故C对；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与题目矛盾，故B错；由BC⊥平面PAC可得，BC⊥PC，则△PBC为直角三角形，若PC⊥PB，则BC，PB重合，与已知矛盾，故D错；故选AC．
13.解析：选AC．对于A，SG⊥GE，SG⊥GF，GE 平面GEF，GF 平面GEF，GE∩GF＝G，SG⊥平面GEF，故A正确．
对于B，若SE⊥平面EFG，结合选项A，则SE∥SG，显然矛盾，故B错误．
对于C，FG⊥GE，SG⊥GF，GE 平面GES，GS 平面GES，GE∩GS＝G，所以FG⊥平面GES，又SE 平面GES，所以GF⊥SE, 故C正确．
对于D，若EF⊥平面SEG，因为FG⊥平面GES(C项已经证明)，则FE∥FG，显然矛盾，故D错误．故选AC．
[C　拓展探究]
14．解析：选C．设正方体的棱长为a，则由题意知， A1C1＝AC＝a，A1B＝a，A1C＝a，
当P为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°，
则PB＝＝＝a，PC＝＝＝a，又BC＝a，则BC2＋PB2＝PC2，则△PBC是直角三角形，即此时P ABC是鳖臑；
当P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，
所以△PBC，△ABC为直角三角形，因为ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，
则△PAB是直角三角形，则PA＝a，PC＝＝＝a，
又BC＝a，由勾股定理可知，△PAC是直角三角形，则此时P ABC是鳖臑；
当P为A1C的中点时，此时PA＝PC＝A1C＝，又AC＝a，由勾股定理可知，
△PAC不是直角三角形，则此时P ABC不是鳖臑；故选C．
15．解：(1)证明：因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以BC⊥PA,
又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC.
(2)如图所示，
过A作AH⊥PC于H，
因为BC⊥平面PAC，AH 平面PAC，
所以BC⊥AH，
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AH⊥平面PBC，
所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角．
因为PA⊥平面ABC，
所以∠PCA是PC与平面ABC所成的角，
因为tan ∠PCA＝＝，
又PA＝2，所以AC＝，
所以在Rt△PAC中，AH＝＝.
又AB＝2，所以在Rt△ABH中，sin ∠ABH＝＝＝.
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.