苏教版高一下册数学必修第二册 第13章 立体几何初步 章末综合检测(含答案)

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名称 苏教版高一下册数学必修第二册 第13章 立体几何初步 章末综合检测(含答案)
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文件大小 518.6KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-12 11:30:07

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文档简介

苏教版高一下册数学必修第二册-第13章 立体几何初步
章末综合检测
(时间:120分钟,满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.正方体的8个顶点可以确定平面的个数为(  )
A.6          B.8
C.14 D.20
2.菱形ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与对角线BD的位置关系是(  )
A.平行 B.相交但不垂直
C.相交垂直 D.异面垂直
3.在正方体ABCD A1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,则过A,Q,B1三点的截面图形是(  )
A.等边三角形 B.矩形
C.等腰梯形 D.以上都有可能
4.已知圆台的侧面积(单位: cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示),则圆台的下底面积与上底面积之差为(  )
A.1 cm2 B.π cm2
C. cm2 D. cm2
5.如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,BB1=BC,P为C1D1的中点,则异面直线PB与B1C所成角的大小为(  )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
6.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(  )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
7.如图,在三棱锥D ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论中正确的是(  )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
8.已知四棱锥S ABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于4+4,则球O的体积等于(  )
A.π B.π
C.π D.π
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中一定正确的是(  )
A.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
B.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
C.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
D.若m⊥α,m,n不平行,则n与α不垂直
10.如图,在三棱锥 P ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的有(  )
A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
11.正方体ABCD A1B1C1D1中,P,Q分别为棱BC和CC1的中点,则下列选项正确的是(  )
A.BC1∥平面AQP
B.A1D⊥平面AQP
C.异面直线A1C与PQ所成的角为90°
D.平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②).在折起的过程中,下列说法中正确的是(  )
A.AC∥平面BEF
B.B,C,E,F四点不可能共面
C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD
D.平面BCE与平面BEF可能垂直
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm.当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是________ cm.
14.如图所示,直线a∥平面α,点A在α另一侧,点B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.
15.如图,在四棱锥S ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,当SE∶SA=________时,SC∥平面EBD.
16.如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,沿AE将△DAE向上折起,使D到D′的位置,且平面AED′⊥平面ABCE,则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证:BC∥l.
18.(本小题满分12分)已知正方体ABCD A1B1C1D1中,M为DD1的中点,AC交BD于点O.
(1)求证:BD1∥平面MAC;
(2)求证:平面BDD1⊥平面MAC.
19.(本小题满分12分)在①PA⊥平面ABC,②∠ABC=60°,③点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,这三个条件中任选两个补充在下面的问题中,并解答.在三棱锥P ABC中,PA=AB=AC=6.若________,求三棱锥P ABC的体积.
20.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,B1C1⊥CC1,点E,F分别是BC,A1B1的中点,平面A1C1CA⊥平面BCC1B1.
(1)求证:B1C1⊥A1C;
(2)求证:EF∥平面A1C1CA.
21.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD 的底面
ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A BE P的大小.
22.(本小题满分12分)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ADE⊥平面ABCD, EF=1,AE=DE=.
(1)求证:CD∥平面ABFE;
(2)求证:平面ABFE⊥平面CDEF;
(3)在线段CD上是否存在点N,使得FN⊥平面ABFE 说明理由.
参考答案
(时间:120分钟,满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.解析:选D.①正方体本身有6个面;②正方体每两条平行的棱(不在正方体的同一面上)可以确定一个平面,有6个;③正方体共顶点的三条棱的另外三个顶点确定一个平面,有8个.所以正方体的8个顶点共可以确定20个平面.
2.解析:选D.因为PC⊥平面α,所以PC⊥BD.又在菱形ABCD中,AC⊥BD,PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC.又PA 平面PAC,所以BD⊥PA.显然PA与BD异面,故PA与BD异面垂直.
3.解析:选D.当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图①;
当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图②;当点Q不与点D,D1重合时,令Q,R分别为DD1,C1D1的中点,则截面图形为等腰梯形AQRB1,如图③.故选D.
4.解析:选B.设圆台上、下底面半径分别为r1,r2,因为圆台的侧面展开图是一个半圆环,
所以圆台的侧面积为π(2r2)2-π(2r1)2=2π,所以πr-πr=π,
所以圆台的下底面积与上底面积之差为πr-πr=π;故选B.
5.解析:选D.如图,连接B1C,BC1,AD1,
因为在长方体ABCD A1B1C1D1中,BB1=BC,所以BC1⊥B1C.因为四棱柱ABCD A1B1C1D1是长方体,
所以AB⊥平面BB1C1C,所以AB⊥B1C.
因为AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1.
因为PB 平面ABC1D1,所以B1C⊥PB,
故异面直线PB与B1C所成角的大小为90°.
故选D.
6.解析:选D.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,则l1与l4相交;若l4=BA,则l1与l4异面;若l4=C1D1,则l1与l4相交且垂直.综上,l1与l4的位置关系不确定.故选D.
7.解析:选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC,又DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.又AC 平面ABC,AC 平面ADC,所以平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE.故选C.
8.解析:选B.由题意可知四棱锥S ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r,且四棱锥的高h=r,进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形,底面为边长为r的正方形,所以该四棱锥的表面积为S=4×(r)2+(r)2=2r2+2r2=(2+2)r2=4+4,因此r2=2,r=,所以球O的体积V=πr3=π×2=,故选B.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.解析:选CD.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α,β的位置关系不确定,故A不正确;若m∥α,则α中存在直线c与m平行,m∥n,n⊥β,则c⊥β,因为c α,所以α⊥β,故B不正确,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,故C正确;若m⊥α,m,n不平行,则n与α平行或相交或n在α内,但不垂直,故D正确.故选CD.
10.解析:选ABC.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,故A正确;由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,又PA=AB,D是PB的中点,所以AD⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,所以AD⊥平面PBC,所以AD⊥PC,故B,C正确;由BC⊥平面PAB,得BC⊥PB,因此PB与CD不垂直,从而PB不与平面ADC垂直,D错误.故选ABC.
11.解析:选ACD.对于选项A,P,Q分别为棱BC和CC1的中点,所以PQ∥BC1,
利用线面平行的判定定理可得BC1∥平面AQP,所以A正确;
对于选项B,在正方体中AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,
又A1D⊥AD1,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABC1D1,
若A1D⊥平面AQP,则平面ABC1D1∥平面AQP,
这与平面ABC1D1与平面AQP相交矛盾,所以B不正确;
对于选项C,与选项B同理可证BC1⊥平面A1B1C,
又PQ∥BC1,所以PQ⊥平面A1B1C,从而得到PQ⊥A1C,
即异面直线A1C与PQ所成角为90°,所以C选项正确;
对于选项D,在正方体中,平面AA1D1D∥平面BB1C1C,
平面AQP∩平面AA1D1D=AD1,平面AQP∩平面BB1C1C=PQ,
所以AD1∥PQ,所以平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD1,
因为PQ≠AD1,AP=D1Q,即四边形APQD1为等腰梯形,所以D正确;
故选ACD.
12.解析:选ABC.在A中,连接AC,取AC的中点O,BE的中点M,连接MO,MF(图略),易证明四边形AOMF是平行四边形,即AC∥FM,AC 平面BEF,所以AC∥平面BEF,所以A正确;在B中,设B,C,E,F四点共面,因为BC∥AD,BC 平面ADEF,所以BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,所以AD∥EF,这与已知相矛盾,故B,C,E,F四点不可能共面,所以B正确;在C中,连接CF,DF,在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,所以EF⊥平面CDF.所以CD⊥EF.又CD⊥AD,EF与AD相交,所以CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,所以C正确;在D中,延长AF到G,使得AF=FG,连接BG,EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE,若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直.其垂足在BE上,前后矛盾,故D错误.故选ABC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.解析:由题意得当细沙全部在上部时,底面半径为2 cm.高为4 cm,
所以体积为×4π×4=( cm3),当细沙全部在下部时,底面半径为3 cm,高为h cm,
所以体积为×9π×h=3πh(cm3).所以=3πh,解得h=.故答案为.
答案:
14.解析:因为Aa,所以点A与直线a确定一个平面,即平面ABD.因为a∥α,且α∩平面ABD=EG,所以a∥EG,即BD∥EG,所以=.于是EG===.
答案:
15.解析:连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.因为SC∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC=EO,所以SC∥EO,所以点E是SA的中点,此时SE∶SA=1∶2.
答案:1∶2
16.解析:由题意,知△AED′为等腰直角三角形,因为平面AED′⊥平面ABCE,所以AD′在底面的射影在AE上,所以∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成的角,且∠D′AE=45°,其正弦值为,故答案为.
答案:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.证明:(1)连接AC,交BD于点O,连接PO.
因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC.
又因为PB=PD,O为BD的中点,
所以BD⊥PO.
因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)因为四边形ABCD为菱形,所以BC∥AD.
因为BC 平面PAD,AD 平面PAD.
所以BC∥平面PAD.
又因为BC 平面PBC,平面PBC与平面PAD的交线为l.
所以BC∥l.
18.证明:(1)连接MO,因为M,O分别为DD1,BD的中点,所以BD1∥MO,
因为BD1 平面MAC,MO 平面MAC,所以BD1∥平面MAC.
(2)正方体ABCD A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC.
因为正方体ABCD A1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
因为BD,DD1是平面BDD1内两相交直线,所以AC⊥平面BDD1,
因为AC 平面MAC,所以平面BDD1⊥平面MAC.
19.解:若选择①和②,因为AB=AC=6,∠ABC=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以S△ABC=×62=9,因为PA⊥平面ABC,
所以PA即为点P到平面ABC的距离,且PA=6,
所以VP ABC=·S△ABC·PA=×9×6=18.
若选择①和③,因为PA⊥平面ABC,
所以点A为点P在平面ABC内的射影,
又因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,
所以点A即为△ABC的垂心,
所以∠BAC=90°,
因为AB=AC=6,所以三角形ABC是等腰直角三角形,所以S△ABC=×62=18,
因为PA⊥平面ABC,
所以PA即为点P到平面ABC的距离,且PA=6,
所以VP ABC=·S△ABC·PA=×18×6=36.
若选择②和③,因为AB=AC=6,∠ABC=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以S△ABC=×62=9,
设△ABC的中心为点O,则点O即为等边△ABC的重心、垂心,且OA=×=2,
因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,即O点,
所以PO⊥平面ABC,所以PO即为点P到平面ABC的距离,且PO==2,
所以VP ABC=·S△ABC·PO=×9×2=18.
20.证明:(1)因为B1C1⊥C1C,平面A1C1CA⊥平面BCC1B1,
平面A1C1CA∩平面BCC1B1=C1C,B1C1 平面BCC1B1,则B1C1⊥平面ACC1A1.
又因为A1C 平面A1C1CA,所以B1C1⊥A1C.
(2)取A1C1的中点G,连接FG,GC.
在△A1B1C1中,因为F,G分别是A1B1,A1C1的中点,
所以FG∥B1C1且FG=B1C1.
在平行四边形BCC1B1中,因为E是BC的中点,所以EC∥B1C1且EC=B1C1,
所以EC∥FG,且EC=FG,
所以四边形FECG是平行四边形,所以EF∥GC.
又因为EF 平面A1C1CA,GC 平面A1C1CA,所以EF∥平面A1C1CA.
21.解:(1)证明:如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°,所以△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
因为AB∥CD,所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD,BE 平面ABCD,所以PA⊥BE.
因为PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知BE⊥平面PAB,PB 平面PAB,所以PB⊥BE.
又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A BE P的平面角.
在Rt△PAB中,tan ∠PBA==,所以∠PBA=60°,故二面角A BE P的大小是60°.
22.解:(1)证明:在五面体ABCDEF中,因为四边形ABCD是正方形,
所以AB∥CD.因为CD 平面ABFE,AB 平面ABFE,所以CD∥平面ABFE.
(2)证明:因为AE=DE=,AD=2,
所以AE2+DE2=AD2,所以∠AED=90°,即AE⊥DE.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE ∩平面ABCD=AD,
AB 平面ABCD,所以AB⊥平面ADE.
因为DE 平面ADE,所以AB⊥DE.
因为AB∩AE=A,所以DE⊥平面ABFE.
因为DE 平面CDEF,所以平面ABFE⊥平面CDEF.
(3)在线段CD上存在点N,使得FN⊥平面ABFE.
证明如下:取CD的中点N,连接FN.
由(1)知,CD∥平面ABFE,又CD 平面CDEF,平面ABFE∩平面CDEF=EF,
所以CD∥EF.因为EF=1,ND=CD=1,所以EF=DN.
所以四边形EDNF是平行四边形.所以FN∥DE.
由(2)知,DE⊥平面ABFE,所以FN⊥平面ABFE.