苏教版高一下册数学必修第二册 第13章 立体几何初步 章末综合检测（含答案）

苏教版高一下册数学必修第二册-第13章 立体几何初步
章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正方体的8个顶点可以确定平面的个数为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．8
C．14 D．20
2．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．相交垂直 D．异面垂直
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是(　　)
A．等边三角形 B．矩形
C．等腰梯形 D．以上都有可能
4.已知圆台的侧面积(单位： cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示)，则圆台的下底面积与上底面积之差为(　　)
A．1 cm2 B．π cm2
C． cm2 D． cm2
5．如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则异面直线PB与B1C所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．如图，在三棱锥D ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
8．已知四棱锥S ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4，则球O的体积等于(　　)
A．π B．π
C．π D．π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中一定正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
10．如图，在三棱锥 P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　)
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
11．正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列选项正确的是(　　)
A．BC1∥平面AQP
B．A1D⊥平面AQP
C．异面直线A1C与PQ所成的角为90°
D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
12．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②).在折起的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．AC∥平面BEF
B．B，C，E，F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD
D．平面BCE与平面BEF可能垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm.当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高是________ cm.
14．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
15．如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
18．(本小题满分12分)已知正方体ABCD A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AC交BD于点O.
(1)求证：BD1∥平面MAC；
(2)求证：平面BDD1⊥平面MAC．
19．(本小题满分12分)在①PA⊥平面ABC，②∠ABC＝60°，③点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．在三棱锥P ABC中，PA＝AB＝AC＝6.若________，求三棱锥P ABC的体积．
20.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，B1C1⊥CC1，点E，F分别是BC，A1B1的中点，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1.
(1)求证：B1C1⊥A1C；
(2)求证：EF∥平面A1C1CA.
21．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 的底面
ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A BE P的大小．
22.(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD, EF＝1，AE＝DE＝.
(1)求证：CD∥平面ABFE；
(2)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
(3)在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE 说明理由．
参考答案
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．解析：选D．①正方体本身有6个面；②正方体每两条平行的棱(不在正方体的同一面上)可以确定一个平面，有6个；③正方体共顶点的三条棱的另外三个顶点确定一个平面，有8个．所以正方体的8个顶点共可以确定20个平面．
2．解析：选D．因为PC⊥平面α，所以PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC.又PA 平面PAC，所以BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．
3．解析：选D．当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图①；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图②；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图③.故选D．
4.解析：选B．设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，因为圆台的侧面展开图是一个半圆环，
所以圆台的侧面积为π(2r2)2－π(2r1)2＝2π，所以πr－πr＝π，
所以圆台的下底面积与上底面积之差为πr－πr＝π；故选B．
5．解析：选D．如图，连接B1C，BC1，AD1，
因为在长方体ABCD A1B1C1D1中，BB1＝BC，所以BC1⊥B1C.因为四棱柱ABCD A1B1C1D1是长方体，
所以AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.
因为AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.
因为PB 平面ABC1D1，所以B1C⊥PB，
故异面直线PB与B1C所成角的大小为90°.
故选D．
6．解析：选D．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若l4＝DC1，则l1与l4相交；若l4＝BA，则l1与l4异面；若l4＝C1D1，则l1与l4相交且垂直．综上，l1与l4的位置关系不确定．故选D．
7．解析：选C．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC 平面ABC，AC 平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选C．
8．解析：选B．由题意可知四棱锥S ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r，且四棱锥的高h＝r，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形，底面为边长为r的正方形，所以该四棱锥的表面积为S＝4×(r)2＋(r)2＝2r2＋2r2＝(2＋2)r2＝4＋4，因此r2＝2，r＝，所以球O的体积V＝πr3＝π×2＝，故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．解析：选CD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α，β的位置关系不确定，故A不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，因为c α，所以α⊥β，故B不正确，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故C正确；若m⊥α，m，n不平行，则n与α平行或相交或n在α内，但不垂直，故D正确．故选CD．
10．解析：选ABC．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误．故选ABC．
11．解析：选ACD．对于选项A，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，所以PQ∥BC1，
利用线面平行的判定定理可得BC1∥平面AQP，所以A正确；
对于选项B，在正方体中AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，
又A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，
若A1D⊥平面AQP，则平面ABC1D1∥平面AQP，
这与平面ABC1D1与平面AQP相交矛盾，所以B不正确；
对于选项C，与选项B同理可证BC1⊥平面A1B1C，
又PQ∥BC1，所以PQ⊥平面A1B1C，从而得到PQ⊥A1C，
即异面直线A1C与PQ所成角为90°，所以C选项正确；
对于选项D，在正方体中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
平面AQP∩平面AA1D1D＝AD1，平面AQP∩平面BB1C1C＝PQ，
所以AD1∥PQ，所以平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD1，
因为PQ≠AD1，AP＝D1Q，即四边形APQD1为等腰梯形，所以D正确；
故选ACD．
12．解析：选ABC．在A中，连接AC，取AC的中点O，BE的中点M，连接MO，MF(图略)，易证明四边形AOMF是平行四边形，即AC∥FM，AC 平面BEF，所以AC∥平面BEF，所以A正确；在B中，设B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC 平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以B正确；在C中，连接CF，DF，在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，所以EF⊥平面CDF.所以CD⊥EF.又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以C正确；在D中，延长AF到G，使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直．其垂足在BE上，前后矛盾，故D错误．故选ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.解析：由题意得当细沙全部在上部时，底面半径为2 cm.高为4 cm，
所以体积为×4π×4＝( cm3)，当细沙全部在下部时，底面半径为3 cm，高为h cm，
所以体积为×9π×h＝3πh(cm3).所以＝3πh，解得h＝.故答案为.
答案：
14．解析：因为Aa，所以点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝.于是EG＝＝＝.
答案：
15．解析：连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为SC∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.
答案：1∶2
16．解析：由题意，知△AED′为等腰直角三角形，因为平面AED′⊥平面ABCE，所以AD′在底面的射影在AE上，所以∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成的角，且∠D′AE＝45°，其正弦值为，故答案为.
答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO.
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，
所以BD⊥PO.
因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD.
所以BC∥平面PAD.
又因为BC 平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.
所以BC∥l.
18．证明：(1)连接MO，因为M，O分别为DD1，BD的中点，所以BD1∥MO，
因为BD1 平面MAC，MO 平面MAC，所以BD1∥平面MAC.
(2)正方体ABCD A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.
因为正方体ABCD A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
因为BD，DD1是平面BDD1内两相交直线，所以AC⊥平面BDD1，
因为AC 平面MAC，所以平面BDD1⊥平面MAC.
19．解：若选择①和②，因为AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝×62＝9，因为PA⊥平面ABC，
所以PA即为点P到平面ABC的距离，且PA＝6，
所以VP ABC＝·S△ABC·PA＝×9×6＝18.
若选择①和③，因为PA⊥平面ABC，
所以点A为点P在平面ABC内的射影，
又因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，
所以点A即为△ABC的垂心，
所以∠BAC＝90°，
因为AB＝AC＝6，所以三角形ABC是等腰直角三角形，所以S△ABC＝×62＝18，
因为PA⊥平面ABC，
所以PA即为点P到平面ABC的距离，且PA＝6，
所以VP ABC＝·S△ABC·PA＝×18×6＝36.
若选择②和③，因为AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝×62＝9，
设△ABC的中心为点O，则点O即为等边△ABC的重心、垂心，且OA＝×＝2，
因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，即O点，
所以PO⊥平面ABC，所以PO即为点P到平面ABC的距离，且PO＝＝2，
所以VP ABC＝·S△ABC·PO＝×9×2＝18.
20.证明：(1)因为B1C1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，
平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，B1C1 平面BCC1B1，则B1C1⊥平面ACC1A1.
又因为A1C 平面A1C1CA，所以B1C1⊥A1C.
(2)取A1C1的中点G，连接FG，GC.
在△A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1的中点，
所以FG∥B1C1且FG＝B1C1.
在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，所以EC∥B1C1且EC＝B1C1，
所以EC∥FG，且EC＝FG，
所以四边形FECG是平行四边形，所以EF∥GC.
又因为EF 平面A1C1CA，GC 平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.
21．解：(1)证明：如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°，所以△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
因为AB∥CD，所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PA⊥BE.
因为PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，所以PB⊥BE.
又因为AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A BE P的平面角．
在Rt△PAB中，tan ∠PBA＝＝，所以∠PBA＝60°，故二面角A BE P的大小是60°.
22.解：(1)证明：在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，
所以AB∥CD.因为CD 平面ABFE，AB 平面ABFE，所以CD∥平面ABFE.
(2)证明：因为AE＝DE＝，AD＝2，
所以AE2＋DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE ∩平面ABCD＝AD，
AB 平面ABCD，所以AB⊥平面ADE.
因为DE 平面ADE，所以AB⊥DE.
因为AB∩AE＝A，所以DE⊥平面ABFE.
因为DE 平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF.
(3)在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE.
证明如下：取CD的中点N，连接FN.
由(1)知，CD∥平面ABFE，又CD 平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，
所以CD∥EF.因为EF＝1，ND＝CD＝1，所以EF＝DN.
所以四边形EDNF是平行四边形．所以FN∥DE.
由(2)知，DE⊥平面ABFE，所以FN⊥平面ABFE.