【期末押题卷】广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷三（人教A版）（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末押题卷】广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷三（人教A版）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 420.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 23:31:33 | ||
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文档简介
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广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 新疆学业考试）数据12，13，14，15，17，18，19，20，24，26的第80百分位数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
2．（5分）（2024 东湖区校级三模）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比赛，如图，学生在环形投掷区E内进行投球．规定球重心投掷到区域A内得3分，区域B内得2分，区域C内得1分，投掷到其他区域不得分．已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2022秋 金安区校级月考）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（ ）
理科一本总体命中率、贡献率分析
总体 总分（485） 语文（93） 数学（104） 英语（109） 物理（69） 化学（62） 生物（72）
总体上线761人 单上线 499人 715人 541人 714人 597人 629人
双上线 451人 662人 502人 661人 574人 603人
A．语文学科有效分上线命中率为59.26%
B．数学学科对总分上线贡献率为86.99%
C．物理学科对总分上线贡献率最高
D．生物学科有效分上线命中率最高
4．（5分）（2024春 天津期末）设随机变量X～N（1，σ2），P（0＜X＜2）＝0.6，则P（X＞2）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
5．（5分）（2024秋 西城区校级月考）已知二项式（x）5的展开式中的系数是80，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（5分）（2023 锦州一模）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（5分）（2023春 丹阳市校级期中）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P a 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＝0.01 B．E（X）＝3 C．D（Y）＝7.4 D．E（Y）＝5
8．（5分）（2025 全国二模）已知函数则满足f（5﹣a）＜f（a+1）的实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2023春 东莞市校级期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝0处取得极小值0
B．f（e）＜f（3）
C．若函数f（x）≤m在[1，3]上恒成立，则
D．函数有三个零点
（多选）10．（6分）（2025 湛江一模）已知A（1，6），B（2，4），C（3，4），D（4，2），E（5，4），5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E（5，4）为“离群点”，故将其去掉，将数据E（5，4）去掉后，下列说法正确的有（ ）
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数R2变大
D．若经验回归直线过点（3.5，2.8），则其经验回归方程为
（多选）11．（6分）（2023 承德县校级开学）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有3个红球，4个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知甲抽屉放有某款圆珠笔，其中2支红色、2支蓝色、1支黑色，乙抽屉放有同款圆珠笔，其中x支红色（x∈N）、3支蓝色、2支黑色，现从甲抽屉里随机取出一支笔放入乙抽屉，再从乙抽屉里随机取出一支笔，若从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色的概率大于或等于，则x的最大值为 ．
13．（5分）（2024 松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法．
14．（5分）（2024 荆州模拟）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈ ．（参考公式：决定系数）
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2023秋 广东月考）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣lnx﹣1．
（1）当a＝e﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．
16．（15分）（2024春 金华期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4：4：2的比例分别被评为优秀、良好、合格．
（1）求a的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀．（结果保留两位小数）．
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生．从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率．
17．（15分）（2024春 泸县期末）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
满意 不满意 合计
男性 10 50
女性 60
合计 120
参考数据：
P（X2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将2x2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
18．（17分）（2024 河南模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2，g（x）＝ax2﹣ax+1，h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）讨论：当时，f（x）的极值点的个数；
（2）当a＞1时， x∈（1，+∞），使得h（x）＜（e﹣1）a﹣3e+3，求实数a的取值范围．
19．（17分）一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设每天启动时，每台机器出故障的概率均为0.1．设某天启动时，出故障的机器数为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求该天机器启动时，至少有3台机器出故障的概率．
广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 新疆学业考试）数据12，13，14，15，17，18，19，20，24，26的第80百分位数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由第80百分位数的求法求解即可．
【解答】解：因为按从小到大排列的数据12，13，14，15，17，18，19，20，24，26共有10个数据，
而10×80%＝8，所以这组数据的第80百分位数为第8个与第9个数据的平均数，
即为．
故选：B．
【点评】本题考查了百分位数，属于基础题．
2．（5分）（2024 东湖区校级三模）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比赛，如图，学生在环形投掷区E内进行投球．规定球重心投掷到区域A内得3分，区域B内得2分，区域C内得1分，投掷到其他区域不得分．已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】要使甲选手连续投掷3次得分大于7分，则有两种情况：3次均得3分和3次中有2次得3分，1次得2分，利用独立事件的概率乘法公式可求出b的值，进而求出甲选手投掷一次得1分的概率．
【解答】解：要使甲选手连续投掷3次得分大于7分，则有两种情况：
①3次均得3分，概率为0.1×0.1×0.1；
②3次中有2次得3分，1次得2分，概率为，
所以，
解得，
则该选手投掷一次得1分的概率为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（5分）（2022秋 金安区校级月考）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（ ）
理科一本总体命中率、贡献率分析
总体 总分（485） 语文（93） 数学（104） 英语（109） 物理（69） 化学（62） 生物（72）
总体上线761人 单上线 499人 715人 541人 714人 597人 629人
双上线 451人 662人 502人 661人 574人 603人
A．语文学科有效分上线命中率为59.26%
B．数学学科对总分上线贡献率为86.99%
C．物理学科对总分上线贡献率最高
D．生物学科有效分上线命中率最高
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据“学科有效分上线命中率”和“学科对总分上线贡献率”的公式计算、比较可得答案．
【解答】解：根据题意可得：语文学科有效分上线命中率为，故A不正确；
生物学科有效分上线命中率为，
化学学科有效分上线命中率为95.87%，故D不正确；
数学学科对总分上线贡献率为，故B正确；
物理学科对总分上线贡献率86.99%，故C不正确．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
4．（5分）（2024春 天津期末）设随机变量X～N（1，σ2），P（0＜X＜2）＝0.6，则P（X＞2）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【考点】正态分布．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量X～N（1，σ2），P（0＜X＜2）＝0.6，
则P（1＜X＜2）＝0.3，
故P（X＞2）＝P（X＞1）﹣P（1＜X＜2）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故选：B．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．（5分）（2024秋 西城区校级月考）已知二项式（x）5的展开式中的系数是80，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】二项式定理的应用．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用赋值法解方程即可．
【解答】解：由题意，二项式（x）5的展开式的通项公式为Tk+1x5﹣k（﹣a）kx5﹣2k，k＝0，1，2，3，4，5，
令5﹣2k＝﹣1，解得k＝3，
则（﹣a）3＝80，解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
6．（5分）（2023 锦州一模）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式化简函数，根据题意得函数f（x）在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值．
【解答】解：∵，
又使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，
∴函数f（x）在上存在最值，即函数f（x）在上存在对称轴，
令，得，
∵，∴，
∴，∴，
又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．
7．（5分）（2023春 丹阳市校级期中）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P a 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＝0.01 B．E（X）＝3 C．D（Y）＝7.4 D．E（Y）＝5
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D．
【解答】解：由a+0.4+0.1+0.2+0.2＝1，得a＝0.1，故A错误；
E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，故B错误；
D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，
因为Y＝2X+1，所以D（Y）＝D（2X+1）＝4D（X）＝4×1.8＝7.2，故C错误；
因为Y＝2X+1，所以E（Y）＝2E（X）+1＝2×2+1＝5，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查期望方差的概念与性质，属中档题．
8．（5分）（2025 全国二模）已知函数则满足f（5﹣a）＜f（a+1）的实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合单调性及对称性即可求解不等式．
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝xln（x2+3），
则，所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）＝（2﹣x）ln（7﹣4x+x2），
则f′（x）＝﹣ln（7﹣4x+x2）0，所以f（x）在 （﹣∞，1）上单调递减，
当x＞1时，2﹣x＜1，
则f（2﹣x）＝xln（3+x2），f（x）＝xln（3+x2），即f（2﹣x）＝f（x），
当x＜1时，2﹣x＞1，
则f（2﹣x）＝（2﹣x）ln[（2﹣x）2+3]＝（2﹣x）ln（7﹣4x+x2）＝f（x），
综上，f（2﹣x）＝f（x），即f（x）的图象关于x＝1对称，
所以f（5﹣a）＜f（a+1）等价于|5﹣a﹣1|＜|a+1﹣1|，解得a＞2．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属于中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2023春 东莞市校级期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝0处取得极小值0
B．f（e）＜f（3）
C．若函数f（x）≤m在[1，3]上恒成立，则
D．函数有三个零点
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用函数的极值与导数的关系可判断A选项；利用函数f（x）的单调性可判断B选项；求出函数f（x）在[1，3]上的最大值，即可求出m的取值范围，可判断C选项；数形结合可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，因为，该函数的定义域为R，
则，
由f′（x）＜0，得x＜0或x＞2，由f′（x）＞0，得0＜x＜2，
所以函数f（x）的减区间为（﹣∞，0）、（2，+∞），增区间为（0，2），
所以函数f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝0，故A对；
对于B选项，因为函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，且3＞e＞2，
则f（e）＞f（3），故B错；
对于C选项，因为函数f（x）在[1，2]上递增，在[2，3]上递减，
故当x∈[1，3]时，，
因为函数f（x）≤m在[1，3]上恒成立，则，故C错；
对于D选项，由A选项可知，函数f（x）的极大值为，
由，得，
故函数h（x）的零点个数等价于直线与函数f（x）图象的交点个数，如下图所示：
由图可知，直线与函数f（x）图象有三个交点，
所以函数h（x）有三个零点，故D对．
故选：AD．
【点评】本题考查导数的综合应用，属中档题．
（多选）10．（6分）（2025 湛江一模）已知A（1，6），B（2，4），C（3，4），D（4，2），E（5，4），5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E（5，4）为“离群点”，故将其去掉，将数据E（5，4）去掉后，下列说法正确的有（ ）
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数R2变大
D．若经验回归直线过点（3.5，2.8），则其经验回归方程为
【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】将数据E（5，4）去掉后，变量x与变量y的相关性变强，再结合相关系数、残差平方和、决定系数的定义可判断ABC，利用经验回归方程必过点（，）可判断D．
【解答】解：由图可知，变量x与变量y是负相关，将数据E（5，4）去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，
所以r变小，故A错误；
由于变量x与变量y的相关性变强，
所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故B正确，C正确；
设经验回归方程为x，
因为2.5，4，
所以1.2，7，
所以经验回归方程为1.2x+7，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了经验回归方程的求解，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2023 承德县校级开学）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有3个红球，4个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
【考点】概率的应用；条件概率；全概率公式；随机事件；互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，求出P（A1）、P（A2）、P（A3）和P（B|A1）、P（B|A2）、P（B|A1）的值，由全概率公式分析A，由条件概率公式分析B，由相互独立事件的定义分析C，由互斥事件的性质分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，P（A1），P（A2），P（A3），
P（B|A1），P（B|A2），P（B|A3），
依次分析选项：
对于A，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），A错误；
对于B，当事件A1发生时，乙罐中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P（B|A1），B正确；
对于C，P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）P（B）P（A1），事件B与事件A1不独立，C错误；
对于D，事件A1，A2，A3是两两互斥的事件，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查全概率公式和条件概率公式的应用，涉及相互独立事件、互斥事件的判断，属于基础题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知甲抽屉放有某款圆珠笔，其中2支红色、2支蓝色、1支黑色，乙抽屉放有同款圆珠笔，其中x支红色（x∈N）、3支蓝色、2支黑色，现从甲抽屉里随机取出一支笔放入乙抽屉，再从乙抽屉里随机取出一支笔，若从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色的概率大于或等于，则x的最大值为 6 ．
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】6．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：设“第一次从甲抽屉里取出红色、蓝色、黑色笔”的事件分别为A1，A2，A3，“从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色”的事件为B，
则P（A1），P（A2），P（A3），
故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），解得x≤6，
故x的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
13．（5分）（2024 松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 1540 种不同的选择方法．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】1540．
【分析】设挑选出的三名学生的学号分别为x，y，z，不妨设x＜y＜z，根据任意两人的学号之差绝对值大于等于5列方程，运用隔板法求解．
【解答】解：设挑选出的三名学生的学号分别为x，y，z，不妨设x＜y＜z，
则有恒等式x+（y﹣x）+（z﹣y）+（30﹣z）＝30（*），其中x≥1，y﹣x≥5，z﹣y≥5，30﹣z≥0，即x≥1，y﹣x﹣1≥4，z﹣y﹣4≥1，31﹣z≥1，
故（*）式为x+（y﹣x﹣4）+（z﹣y﹣4）+（31﹣z）＝23，
上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有1540种方法．
故答案为：1540．
【点评】本题考查隔板法的应用，属于中档题．
14．（5分）（2024 荆州模拟）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 ﹣0.3 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈ 0.98 ．（参考公式：决定系数）
【考点】决定系数与模型的拟合效果．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】﹣0.3；0.98．
【分析】把，代入经验回归方程，求出的值，即为k的值，再利用决定系数R2的计算公式求出R2的值即可．
【解答】解：∵，，经验回归方程为，
∴5＝87.4，
∴0.3，
对f＝cWk（c，k为参数）两边同时取对数得，lnf＝lnc+klnW，
∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，
∴k0.3，
由公式可知，R2≈1110.98．
故答案为：﹣0.3；0.98．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了决定系数R2的计算，属于中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2023秋 广东月考）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣lnx﹣1．
（1）当a＝e﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；由函数的零点求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）
（2）{a|a≥e﹣1}．
【分析】（1）当a＝e﹣1时，求得，利用导数与函数单调性的关系可求得函数f（x）增区间和减区间；
（2）由f（x）＝0结合参变量分离法可得，令，x＞0，可知，直线y＝a与函数g（x）的图象有公共点，利用导数分析函数g（x）的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围．
【解答】（1）解：当a＝e﹣1时，f（x）＝ex+（1﹣e）x﹣lnx﹣1，x＞0，
则，x＞0，
当x＞1时，ex﹣e＞0，，故f′（x）＞0；
当0＜x＜1时，ex﹣e＜0，，故f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）解：令f（x）＝ex﹣ax﹣lnx﹣1＝0，，
令，其中x＞0，
则
当0＜x＜1时，（x﹣1）ex＜0，lnx＜0，g′（x）＜0；
当x＞1时，（x﹣1）ex＞0，lnx＞0，g′（x）＞0，
所以，函数g（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），
所以当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝e﹣1，
由图可知，但a≥e﹣1时，直线y＝a与函数g（x）的图象有交点，
故实数a的取值范围是[e﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了零点存在定理的应用，属于中档题．
16．（15分）（2024春 金华期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4：4：2的比例分别被评为优秀、良好、合格．
（1）求a的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀．（结果保留两位小数）．
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生．从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）a＝0.07，20.32小时；
（2）21.73小时；
（3）．
【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a，利用平均数的定义进行计算；
（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18～22之间，设出60百分位数为y，从而得到方程，求出答案；
（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率．
【解答】解：（1）由（0.02+0.06+0.075+a+0.025）×4＝1，解得a＝0.07，
∵（0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28）×4＝20.32，
∴该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时．
（2）由题意可知，即求60百分位数，
又∵（0.02+0.06）×4＝0.32，（0.02+0.06+0.075）×4＝0.62，
∴60百分位数位于18～22之间，设60百分位数为y，
则，解得
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀．
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为A，B，
良好有，人，设为C，D，
合格有人，设为E．
任选3人，总共有（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E）（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），10种情况，
其中符合的有（A，C，E），（A，D，E），（B，C，E），（B，D，E），共4种，
故概率为．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）（2024春 泸县期末）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
满意 不满意 合计
男性 10 50
女性 60
合计 120
参考数据：
P（X2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将2x2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）列联表见解析，能；
（2）分布列见解析，．
【分析】（1）先完善列联表，计算出χ2结合临界值表即可求解．
（2）先求出抽到男性家长的概率，判断出随机变量X服从二项分布，再由二项分布的概率公式列出分布列并求出期望．
【解答】解：（1）根据题意，得到2×2列联表如下：
满意 不满意 合计
男性 40 10 50
女性 60 10 70
合计 100 20 120
零假设H0：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”，
，
即没有充分证据证明零假设不成立，所以没有90%的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”．
（2）从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率为，
且各次抽取之间相互独立，所以随机变量，
所以，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望．
【点评】本题主要考查独立性检验，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）（2024 河南模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2，g（x）＝ax2﹣ax+1，h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）讨论：当时，f（x）的极值点的个数；
（2）当a＞1时， x∈（1，+∞），使得h（x）＜（e﹣1）a﹣3e+3，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）当a∈（﹣∞，0]时，f（x）的极值点个数为1，
当时，f（x）的极值点个数为0．
（2）（2，+∞）．
【分析】（1）对函数f（x）求导，分别讨论当a∈（﹣∞，0]和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数；
（2）对h（x）求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1＞0成立，进而构造函数k（a）＝ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1，求导确定其单调性，即可求解．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣2ax，x∈（0，+∞），
①当a∈（﹣∞，0]时，f′（x）为增函数，
因为x→0时，f′（x）→﹣∞；x→+∞时，f′（x）→+∞，
所以f′（x）有唯一的零点x0（x0＞0），当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）有一个极小值点，无极大值点．
②当时，令φ（x）＝f′（x）＝lnx+1﹣2ax，则，
令φ′（x）＝0，得，
当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减．
所以，即f′（x）max≤0，所以f（x）的极值点的个数为0．
综上所述，当a∈（﹣∞，0]时，f（x）的极值点个数为1，
当时，f（x）的极值点个数为0．
（2）h（x）＝xlnx﹣ax+1，
由h′（x）＝lnx+1﹣a＝0，得x＝ea﹣1，由a＞1，得ea﹣1＞1，
当x∈（1，ea﹣1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（ea﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
所以h（x）在（1，ea﹣1）上单调递减，在（ea﹣1，+∞）上单调递增，
所以，
因为当a＞1时， x∈（1，+∞），使得h（x）＜（e﹣1）a﹣3e+3，
所以只需1﹣ea﹣1＜（e﹣1）a﹣3e+3成立，即不等式ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1＞0成立．
令k（a）＝ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1，则k′（a）＝ea﹣1+e﹣1，
则k′（a）＞k′（1）＝e，
则k′（a）＝ea﹣1+e﹣1＞0在a∈（1，+∞）上恒成立，
故k（a）＝ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1在a∈（1，+∞）上单调递增，
又k（2）＝0，所以a＞2，
故实数a的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
19．（17分）一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设每天启动时，每台机器出故障的概率均为0.1．设某天启动时，出故障的机器数为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求该天机器启动时，至少有3台机器出故障的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】综合题；对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）0.00856．
【分析】（1）由题意，得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列；
（2）结合（1）中所得信息，进而即可求解．
【解答】解：（1）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
此时P（X＝0）＝0.95＝0.59049，0.94＝0.32805；
P（X＝2）0.12×0.93＝0.0729；，
0.14×0.91＝0.00045，P（X＝0）＝0.15＝0.00001，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
（2）至少有3台机器出故障的概率为 P＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝0.0081+0.00045+0.00001＝0.00856．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查了逻辑推理和运算能力．
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广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 新疆学业考试）数据12，13，14，15，17，18，19，20，24，26的第80百分位数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
2．（5分）（2024 东湖区校级三模）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比赛，如图，学生在环形投掷区E内进行投球．规定球重心投掷到区域A内得3分，区域B内得2分，区域C内得1分，投掷到其他区域不得分．已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2022秋 金安区校级月考）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（ ）
理科一本总体命中率、贡献率分析
总体 总分（485） 语文（93） 数学（104） 英语（109） 物理（69） 化学（62） 生物（72）
总体上线761人 单上线 499人 715人 541人 714人 597人 629人
双上线 451人 662人 502人 661人 574人 603人
A．语文学科有效分上线命中率为59.26%
B．数学学科对总分上线贡献率为86.99%
C．物理学科对总分上线贡献率最高
D．生物学科有效分上线命中率最高
4．（5分）（2024春 天津期末）设随机变量X～N（1，σ2），P（0＜X＜2）＝0.6，则P（X＞2）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
5．（5分）（2024秋 西城区校级月考）已知二项式（x）5的展开式中的系数是80，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（5分）（2023 锦州一模）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（5分）（2023春 丹阳市校级期中）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P a 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＝0.01 B．E（X）＝3 C．D（Y）＝7.4 D．E（Y）＝5
8．（5分）（2025 全国二模）已知函数则满足f（5﹣a）＜f（a+1）的实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2023春 东莞市校级期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝0处取得极小值0
B．f（e）＜f（3）
C．若函数f（x）≤m在[1，3]上恒成立，则
D．函数有三个零点
（多选）10．（6分）（2025 湛江一模）已知A（1，6），B（2，4），C（3，4），D（4，2），E（5，4），5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E（5，4）为“离群点”，故将其去掉，将数据E（5，4）去掉后，下列说法正确的有（ ）
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数R2变大
D．若经验回归直线过点（3.5，2.8），则其经验回归方程为
（多选）11．（6分）（2023 承德县校级开学）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有3个红球，4个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知甲抽屉放有某款圆珠笔，其中2支红色、2支蓝色、1支黑色，乙抽屉放有同款圆珠笔，其中x支红色（x∈N）、3支蓝色、2支黑色，现从甲抽屉里随机取出一支笔放入乙抽屉，再从乙抽屉里随机取出一支笔，若从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色的概率大于或等于，则x的最大值为 ．
13．（5分）（2024 松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法．
14．（5分）（2024 荆州模拟）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈ ．（参考公式：决定系数）
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2023秋 广东月考）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣lnx﹣1．
（1）当a＝e﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．
16．（15分）（2024春 金华期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4：4：2的比例分别被评为优秀、良好、合格．
（1）求a的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀．（结果保留两位小数）．
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生．从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率．
17．（15分）（2024春 泸县期末）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
满意 不满意 合计
男性 10 50
女性 60
合计 120
参考数据：
P（X2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将2x2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
18．（17分）（2024 河南模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2，g（x）＝ax2﹣ax+1，h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）讨论：当时，f（x）的极值点的个数；
（2）当a＞1时， x∈（1，+∞），使得h（x）＜（e﹣1）a﹣3e+3，求实数a的取值范围．
19．（17分）一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设每天启动时，每台机器出故障的概率均为0.1．设某天启动时，出故障的机器数为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求该天机器启动时，至少有3台机器出故障的概率．
广东省广州市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 新疆学业考试）数据12，13，14，15，17，18，19，20，24，26的第80百分位数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由第80百分位数的求法求解即可．
【解答】解：因为按从小到大排列的数据12，13，14，15，17，18，19，20，24，26共有10个数据，
而10×80%＝8，所以这组数据的第80百分位数为第8个与第9个数据的平均数，
即为．
故选：B．
【点评】本题考查了百分位数，属于基础题．
2．（5分）（2024 东湖区校级三模）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比赛，如图，学生在环形投掷区E内进行投球．规定球重心投掷到区域A内得3分，区域B内得2分，区域C内得1分，投掷到其他区域不得分．已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】要使甲选手连续投掷3次得分大于7分，则有两种情况：3次均得3分和3次中有2次得3分，1次得2分，利用独立事件的概率乘法公式可求出b的值，进而求出甲选手投掷一次得1分的概率．
【解答】解：要使甲选手连续投掷3次得分大于7分，则有两种情况：
①3次均得3分，概率为0.1×0.1×0.1；
②3次中有2次得3分，1次得2分，概率为，
所以，
解得，
则该选手投掷一次得1分的概率为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（5分）（2022秋 金安区校级月考）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（ ）
理科一本总体命中率、贡献率分析
总体 总分（485） 语文（93） 数学（104） 英语（109） 物理（69） 化学（62） 生物（72）
总体上线761人 单上线 499人 715人 541人 714人 597人 629人
双上线 451人 662人 502人 661人 574人 603人
A．语文学科有效分上线命中率为59.26%
B．数学学科对总分上线贡献率为86.99%
C．物理学科对总分上线贡献率最高
D．生物学科有效分上线命中率最高
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据“学科有效分上线命中率”和“学科对总分上线贡献率”的公式计算、比较可得答案．
【解答】解：根据题意可得：语文学科有效分上线命中率为，故A不正确；
生物学科有效分上线命中率为，
化学学科有效分上线命中率为95.87%，故D不正确；
数学学科对总分上线贡献率为，故B正确；
物理学科对总分上线贡献率86.99%，故C不正确．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
4．（5分）（2024春 天津期末）设随机变量X～N（1，σ2），P（0＜X＜2）＝0.6，则P（X＞2）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【考点】正态分布．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量X～N（1，σ2），P（0＜X＜2）＝0.6，
则P（1＜X＜2）＝0.3，
故P（X＞2）＝P（X＞1）﹣P（1＜X＜2）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故选：B．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．（5分）（2024秋 西城区校级月考）已知二项式（x）5的展开式中的系数是80，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】二项式定理的应用．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用赋值法解方程即可．
【解答】解：由题意，二项式（x）5的展开式的通项公式为Tk+1x5﹣k（﹣a）kx5﹣2k，k＝0，1，2，3，4，5，
令5﹣2k＝﹣1，解得k＝3，
则（﹣a）3＝80，解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
6．（5分）（2023 锦州一模）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式化简函数，根据题意得函数f（x）在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值．
【解答】解：∵，
又使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，
∴函数f（x）在上存在最值，即函数f（x）在上存在对称轴，
令，得，
∵，∴，
∴，∴，
又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．
7．（5分）（2023春 丹阳市校级期中）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P a 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＝0.01 B．E（X）＝3 C．D（Y）＝7.4 D．E（Y）＝5
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D．
【解答】解：由a+0.4+0.1+0.2+0.2＝1，得a＝0.1，故A错误；
E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，故B错误；
D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，
因为Y＝2X+1，所以D（Y）＝D（2X+1）＝4D（X）＝4×1.8＝7.2，故C错误；
因为Y＝2X+1，所以E（Y）＝2E（X）+1＝2×2+1＝5，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查期望方差的概念与性质，属中档题．
8．（5分）（2025 全国二模）已知函数则满足f（5﹣a）＜f（a+1）的实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合单调性及对称性即可求解不等式．
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝xln（x2+3），
则，所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）＝（2﹣x）ln（7﹣4x+x2），
则f′（x）＝﹣ln（7﹣4x+x2）0，所以f（x）在 （﹣∞，1）上单调递减，
当x＞1时，2﹣x＜1，
则f（2﹣x）＝xln（3+x2），f（x）＝xln（3+x2），即f（2﹣x）＝f（x），
当x＜1时，2﹣x＞1，
则f（2﹣x）＝（2﹣x）ln[（2﹣x）2+3]＝（2﹣x）ln（7﹣4x+x2）＝f（x），
综上，f（2﹣x）＝f（x），即f（x）的图象关于x＝1对称，
所以f（5﹣a）＜f（a+1）等价于|5﹣a﹣1|＜|a+1﹣1|，解得a＞2．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属于中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2023春 东莞市校级期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝0处取得极小值0
B．f（e）＜f（3）
C．若函数f（x）≤m在[1，3]上恒成立，则
D．函数有三个零点
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用函数的极值与导数的关系可判断A选项；利用函数f（x）的单调性可判断B选项；求出函数f（x）在[1，3]上的最大值，即可求出m的取值范围，可判断C选项；数形结合可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，因为，该函数的定义域为R，
则，
由f′（x）＜0，得x＜0或x＞2，由f′（x）＞0，得0＜x＜2，
所以函数f（x）的减区间为（﹣∞，0）、（2，+∞），增区间为（0，2），
所以函数f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝0，故A对；
对于B选项，因为函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，且3＞e＞2，
则f（e）＞f（3），故B错；
对于C选项，因为函数f（x）在[1，2]上递增，在[2，3]上递减，
故当x∈[1，3]时，，
因为函数f（x）≤m在[1，3]上恒成立，则，故C错；
对于D选项，由A选项可知，函数f（x）的极大值为，
由，得，
故函数h（x）的零点个数等价于直线与函数f（x）图象的交点个数，如下图所示：
由图可知，直线与函数f（x）图象有三个交点，
所以函数h（x）有三个零点，故D对．
故选：AD．
【点评】本题考查导数的综合应用，属中档题．
（多选）10．（6分）（2025 湛江一模）已知A（1，6），B（2，4），C（3，4），D（4，2），E（5，4），5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E（5，4）为“离群点”，故将其去掉，将数据E（5，4）去掉后，下列说法正确的有（ ）
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数R2变大
D．若经验回归直线过点（3.5，2.8），则其经验回归方程为
【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】将数据E（5，4）去掉后，变量x与变量y的相关性变强，再结合相关系数、残差平方和、决定系数的定义可判断ABC，利用经验回归方程必过点（，）可判断D．
【解答】解：由图可知，变量x与变量y是负相关，将数据E（5，4）去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，
所以r变小，故A错误；
由于变量x与变量y的相关性变强，
所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故B正确，C正确；
设经验回归方程为x，
因为2.5，4，
所以1.2，7，
所以经验回归方程为1.2x+7，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了经验回归方程的求解，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2023 承德县校级开学）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有3个红球，4个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
【考点】概率的应用；条件概率；全概率公式；随机事件；互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，求出P（A1）、P（A2）、P（A3）和P（B|A1）、P（B|A2）、P（B|A1）的值，由全概率公式分析A，由条件概率公式分析B，由相互独立事件的定义分析C，由互斥事件的性质分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，P（A1），P（A2），P（A3），
P（B|A1），P（B|A2），P（B|A3），
依次分析选项：
对于A，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），A错误；
对于B，当事件A1发生时，乙罐中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P（B|A1），B正确；
对于C，P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）P（B）P（A1），事件B与事件A1不独立，C错误；
对于D，事件A1，A2，A3是两两互斥的事件，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查全概率公式和条件概率公式的应用，涉及相互独立事件、互斥事件的判断，属于基础题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）已知甲抽屉放有某款圆珠笔，其中2支红色、2支蓝色、1支黑色，乙抽屉放有同款圆珠笔，其中x支红色（x∈N）、3支蓝色、2支黑色，现从甲抽屉里随机取出一支笔放入乙抽屉，再从乙抽屉里随机取出一支笔，若从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色的概率大于或等于，则x的最大值为 6 ．
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】6．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：设“第一次从甲抽屉里取出红色、蓝色、黑色笔”的事件分别为A1，A2，A3，“从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色”的事件为B，
则P（A1），P（A2），P（A3），
故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），解得x≤6，
故x的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
13．（5分）（2024 松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 1540 种不同的选择方法．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】1540．
【分析】设挑选出的三名学生的学号分别为x，y，z，不妨设x＜y＜z，根据任意两人的学号之差绝对值大于等于5列方程，运用隔板法求解．
【解答】解：设挑选出的三名学生的学号分别为x，y，z，不妨设x＜y＜z，
则有恒等式x+（y﹣x）+（z﹣y）+（30﹣z）＝30（*），其中x≥1，y﹣x≥5，z﹣y≥5，30﹣z≥0，即x≥1，y﹣x﹣1≥4，z﹣y﹣4≥1，31﹣z≥1，
故（*）式为x+（y﹣x﹣4）+（z﹣y﹣4）+（31﹣z）＝23，
上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有1540种方法．
故答案为：1540．
【点评】本题考查隔板法的应用，属于中档题．
14．（5分）（2024 荆州模拟）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 ﹣0.3 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈ 0.98 ．（参考公式：决定系数）
【考点】决定系数与模型的拟合效果．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】﹣0.3；0.98．
【分析】把，代入经验回归方程，求出的值，即为k的值，再利用决定系数R2的计算公式求出R2的值即可．
【解答】解：∵，，经验回归方程为，
∴5＝87.4，
∴0.3，
对f＝cWk（c，k为参数）两边同时取对数得，lnf＝lnc+klnW，
∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，
∴k0.3，
由公式可知，R2≈1110.98．
故答案为：﹣0.3；0.98．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了决定系数R2的计算，属于中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2023秋 广东月考）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣lnx﹣1．
（1）当a＝e﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；由函数的零点求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）
（2）{a|a≥e﹣1}．
【分析】（1）当a＝e﹣1时，求得，利用导数与函数单调性的关系可求得函数f（x）增区间和减区间；
（2）由f（x）＝0结合参变量分离法可得，令，x＞0，可知，直线y＝a与函数g（x）的图象有公共点，利用导数分析函数g（x）的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围．
【解答】（1）解：当a＝e﹣1时，f（x）＝ex+（1﹣e）x﹣lnx﹣1，x＞0，
则，x＞0，
当x＞1时，ex﹣e＞0，，故f′（x）＞0；
当0＜x＜1时，ex﹣e＜0，，故f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）解：令f（x）＝ex﹣ax﹣lnx﹣1＝0，，
令，其中x＞0，
则
当0＜x＜1时，（x﹣1）ex＜0，lnx＜0，g′（x）＜0；
当x＞1时，（x﹣1）ex＞0，lnx＞0，g′（x）＞0，
所以，函数g（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），
所以当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝e﹣1，
由图可知，但a≥e﹣1时，直线y＝a与函数g（x）的图象有交点，
故实数a的取值范围是[e﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了零点存在定理的应用，属于中档题．
16．（15分）（2024春 金华期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4：4：2的比例分别被评为优秀、良好、合格．
（1）求a的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀．（结果保留两位小数）．
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生．从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）a＝0.07，20.32小时；
（2）21.73小时；
（3）．
【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a，利用平均数的定义进行计算；
（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18～22之间，设出60百分位数为y，从而得到方程，求出答案；
（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率．
【解答】解：（1）由（0.02+0.06+0.075+a+0.025）×4＝1，解得a＝0.07，
∵（0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28）×4＝20.32，
∴该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时．
（2）由题意可知，即求60百分位数，
又∵（0.02+0.06）×4＝0.32，（0.02+0.06+0.075）×4＝0.62，
∴60百分位数位于18～22之间，设60百分位数为y，
则，解得
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀．
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为A，B，
良好有，人，设为C，D，
合格有人，设为E．
任选3人，总共有（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E）（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），10种情况，
其中符合的有（A，C，E），（A，D，E），（B，C，E），（B，D，E），共4种，
故概率为．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）（2024春 泸县期末）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
满意 不满意 合计
男性 10 50
女性 60
合计 120
参考数据：
P（X2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将2x2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）列联表见解析，能；
（2）分布列见解析，．
【分析】（1）先完善列联表，计算出χ2结合临界值表即可求解．
（2）先求出抽到男性家长的概率，判断出随机变量X服从二项分布，再由二项分布的概率公式列出分布列并求出期望．
【解答】解：（1）根据题意，得到2×2列联表如下：
满意 不满意 合计
男性 40 10 50
女性 60 10 70
合计 100 20 120
零假设H0：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”，
，
即没有充分证据证明零假设不成立，所以没有90%的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”．
（2）从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率为，
且各次抽取之间相互独立，所以随机变量，
所以，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望．
【点评】本题主要考查独立性检验，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）（2024 河南模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2，g（x）＝ax2﹣ax+1，h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）讨论：当时，f（x）的极值点的个数；
（2）当a＞1时， x∈（1，+∞），使得h（x）＜（e﹣1）a﹣3e+3，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）当a∈（﹣∞，0]时，f（x）的极值点个数为1，
当时，f（x）的极值点个数为0．
（2）（2，+∞）．
【分析】（1）对函数f（x）求导，分别讨论当a∈（﹣∞，0]和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数；
（2）对h（x）求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1＞0成立，进而构造函数k（a）＝ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1，求导确定其单调性，即可求解．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣2ax，x∈（0，+∞），
①当a∈（﹣∞，0]时，f′（x）为增函数，
因为x→0时，f′（x）→﹣∞；x→+∞时，f′（x）→+∞，
所以f′（x）有唯一的零点x0（x0＞0），当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）有一个极小值点，无极大值点．
②当时，令φ（x）＝f′（x）＝lnx+1﹣2ax，则，
令φ′（x）＝0，得，
当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减．
所以，即f′（x）max≤0，所以f（x）的极值点的个数为0．
综上所述，当a∈（﹣∞，0]时，f（x）的极值点个数为1，
当时，f（x）的极值点个数为0．
（2）h（x）＝xlnx﹣ax+1，
由h′（x）＝lnx+1﹣a＝0，得x＝ea﹣1，由a＞1，得ea﹣1＞1，
当x∈（1，ea﹣1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（ea﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
所以h（x）在（1，ea﹣1）上单调递减，在（ea﹣1，+∞）上单调递增，
所以，
因为当a＞1时， x∈（1，+∞），使得h（x）＜（e﹣1）a﹣3e+3，
所以只需1﹣ea﹣1＜（e﹣1）a﹣3e+3成立，即不等式ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1＞0成立．
令k（a）＝ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1，则k′（a）＝ea﹣1+e﹣1，
则k′（a）＞k′（1）＝e，
则k′（a）＝ea﹣1+e﹣1＞0在a∈（1，+∞）上恒成立，
故k（a）＝ea﹣1+（e﹣1）（a﹣3）﹣1在a∈（1，+∞）上单调递增，
又k（2）＝0，所以a＞2，
故实数a的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
19．（17分）一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设每天启动时，每台机器出故障的概率均为0.1．设某天启动时，出故障的机器数为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求该天机器启动时，至少有3台机器出故障的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】综合题；对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）0.00856．
【分析】（1）由题意，得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列；
（2）结合（1）中所得信息，进而即可求解．
【解答】解：（1）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
此时P（X＝0）＝0.95＝0.59049，0.94＝0.32805；
P（X＝2）0.12×0.93＝0.0729；，
0.14×0.91＝0.00045，P（X＝0）＝0.15＝0.00001，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
（2）至少有3台机器出故障的概率为 P＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝0.0081+0.00045+0.00001＝0.00856．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查了逻辑推理和运算能力．
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