【期末押题卷】上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷三（含解析）

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上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
一．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
1．（4分）（2023春 海陵区校级期中）若，则a1+a2+ +a10＝　 　 ．
2．（4分）（2022秋 故城县校级月考）过点P（3，4）作⊙O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝　 　 ．
3．（4分）（2022春 西城区校级期中）曲线在x＝2处的切线方程为 　 　 ．
4．（4分）（2023 大连模拟）已知O为坐标原点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，双曲线C上一点P满足，且，则双曲线C的渐近线方程为 　 　 ．点A是双曲线C上一定点，过点B（0，1）的动直线l与双曲线C交于M，N两点，kAM+kAN为定值λ，则当时实数λ的值为 　 　 ．
5．（4分）枣庄翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨，向南至昆明、深圳，向西至兰州、银川的六条航线．甲、乙、丙、丁、戊、己6人各选择一条不同航线体验．已知每条航线有且仅有一人体验，若甲不去沈阳、哈尔滨，则不同的体验方案有 　 　 种；若甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班，则不同的体验方案有 　 　 种．
6．（4分）已知抛物线y＝x2﹣1上的两点A（2，3），B（2+Δx，3+Δy）．当Δx＝1时，割线AB的斜率是 　 　 ，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是 　 　 ．
7．（4分）某10件产品中有3件次品，从中任取一个，
（1）从中任取2个，恰有1个次品的概率 　 　 ；
（2）从中任取2个，恰有2个次品的概率 　 　 ．（填分数）
二．选择题（共2小题，满分8分，每小题4分）
8．（4分）（2023 河北区一模）为了了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]内，按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]分为4组，并整理得到如下频率分布直方图，其中支出金额在[30，50]内的学生有234人，则n的值为（　　）
A．300 B．320 C．340 D．360
9．（4分）（2025 开封开学）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（　　）
A．1 B．2 C． D．
三．解答题（共5小题，满分64分）
10．（12分）确定函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+30的单调区间，并求其在区间[﹣4，4]的极值与最值．
11．（12分）（2023 信阳校级开学）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，并从服用甲药的治愈．患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，
（1）从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；
（2）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还末痊愈，请茎叶图中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？
参考数据：48．
12．（12分）（2024 福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，|MN|＝8．
（1）求C的方程；
（2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若|QR|≤3，求△MNQ面积的取值范围．
13．（12分）（2025春 薛城区校级期中）某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
对于该次测验，60≤分数＜70时为及格，70≤分数＜90分时为良好，成绩≥90分时为优秀．
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率；
（2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生．用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望．
14．（16分）（2024秋 西城区校级期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱．它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线．在xOy平面上，我们把与定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点．数学家雅各布 伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究．已知曲线C：（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）是一条伯努利双纽线．
（1）求曲线C的焦点F1，F2的坐标；
（2）试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O．如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由．
上海市2024-2025学年高二下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
1．（4分）（2023春 海陵区校级期中）若，则a1+a2+ +a10＝　0　 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】0．
【分析】根据题意，分别令x＝0，x＝﹣1，即可得到结果．
【解答】解：令x＝0，得a0+a1+a2+a3+ +a10＝1①，
再令x＝﹣1，可得a0＝1②，
由①﹣②可得a1+a2+ +a10＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（4分）（2022秋 故城县校级月考）过点P（3，4）作⊙O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝　　 ．
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据圆的切线的性质可得OP⊥MN，四边形OMPN的面积，又S＝2S△OPM，易求三角形OPM的面积，从而解方程可得MN．
【解答】解：由题意知，OP＝5，OM＝ON＝2，且PM⊥OM，PN⊥ON，
所以，
由题意可得，OP⊥MN，所以四边形OMPN的面积，
又，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线的性质以及圆的对称性的应用，属于中档题．
3．（4分）（2022春 西城区校级期中）曲线在x＝2处的切线方程为 　e2x﹣4y＝0　 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】e2x﹣4y＝0．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数值，再求出x＝2时的函数值，利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由，得y′，
∴，
又当x＝2时，y，
∴曲线在x＝2处的切线方程为y，
即e2x﹣4y＝0．
故答案为：e2x﹣4y＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数与导数的运算法则是关键，是基础题．
4．（4分）（2023 大连模拟）已知O为坐标原点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，双曲线C上一点P满足，且，则双曲线C的渐近线方程为 　y＝±x　 ．点A是双曲线C上一定点，过点B（0，1）的动直线l与双曲线C交于M，N两点，kAM+kAN为定值λ，则当时实数λ的值为 　±　 ．
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意得到△PF1F2为直角三角形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义和勾股定理即可求解渐近线方程；设直线l：y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），直线与双曲线联立后，利用韦达定理结合题意即可求解．
【解答】解：根据，可知|OP|＝|OF2|＝|OF1|，即△PF1F2为直角三角形，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，依题意有，解得，
根据勾股定理得m2+n2＝4c2，解得，
故双曲线为等轴双曲线，渐近线为y＝±x；
当时，双曲线C：x2﹣y2＝2，
设直线l：y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，化简得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣3＝0，
，
，
因为kAM+kAN为定值λ，
所以﹣mnk2+（﹣4﹣2n）k+（﹣2m+2mn）＝λ（﹣m2k2﹣2mk+m2﹣3），
（﹣mn+λm2）k2+（﹣4﹣2n+2mλ）k+﹣2m+2mn﹣λm2+3λ＝0，
，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
5．（4分）枣庄翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨，向南至昆明、深圳，向西至兰州、银川的六条航线．甲、乙、丙、丁、戊、己6人各选择一条不同航线体验．已知每条航线有且仅有一人体验，若甲不去沈阳、哈尔滨，则不同的体验方案有 　480　 种；若甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班，则不同的体验方案有 　96　 种．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】480；96．
【分析】利用排列组合知识，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：由题意，共6个城市，3个方向，甲不去沈阳、哈尔滨，有种方案，剩余5人有种方案，
故不同的体验方案有（种），
若甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班，此时3人有种方案，剩余3人有种方案，
故不同的体验方案有 4×2×2×1×3×2×1＝96（种）．
故答案为：480；96．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
6．（4分）已知抛物线y＝x2﹣1上的两点A（2，3），B（2+Δx，3+Δy）．当Δx＝1时，割线AB的斜率是 　5　 ，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是 　4.1　 ．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】5；4.1．
【分析】根据已知条件，求出，再将△x的值依次代入，即可求解．
【解答】解：由题意可知，割线AB的斜率是 △x+4，
当△x＝1时，割线AB的斜率为1+4＝5，
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是0.1+4＝4.1．
故答案为：5；4.1．
【点评】本题主要考查割线斜率的求解，属于基础题．
7．（4分）某10件产品中有3件次品，从中任取一个，
（1）从中任取2个，恰有1个次品的概率 　　 ；
（2）从中任取2个，恰有2个次品的概率 　　 ．（填分数）
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）基本事件总数n45，恰有1个次品包含的基本事件个数m121，由此能求出恰有1个次品的概率；
（2）从中任取2个，基本事件总数n45，恰有2个次品包含的基本事件个数m23，由此能求出恰有2个次品的概率．
【解答】解：（1）某10件产品中有3件次品，从中任取2个，
基本事件总数n45，
恰有1个次品包含的基本事件个数m121，
∴恰有1个次品的概率P1；
（2）从中任取2个，基本事件总数n45，
恰有2个次品包含的基本事件个数m23，
∴恰有2个次品的概率P．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．选择题（共2小题，满分8分，每小题4分）
8．（4分）（2023 河北区一模）为了了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]内，按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]分为4组，并整理得到如下频率分布直方图，其中支出金额在[30，50]内的学生有234人，则n的值为（　　）
A．300 B．320 C．340 D．360
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；数形结合；定义法；概率与统计；数据分析．
【答案】D
【分析】由已知结合频率分布直方图列方程，解出n值．
【解答】解：由频率分布直方图知：1﹣（0.01+0.025）×10，
即n360．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查学生计算能力，属于基础题．
9．（4分）（2025 开封开学）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】双曲线的焦点和焦距．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解．
【解答】解：双曲线的方程为，
则a2＝4，b2＝3，
故c2＝a2+b2＝4+3＝7，解得c，
故该双曲线的焦距为2c．
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
三．解答题（共5小题，满分64分）
10．（12分）确定函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+30的单调区间，并求其在区间[﹣4，4]的极值与最值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；
其在区间[﹣4，4]的极大值为35，极小值为3，最大值为28，最小值为﹣46．
【分析】求出f（x）的导函数，利用导数与单调性的关系可得单调区间，进而可求得其在区间[﹣4，4]的极值与最值．
【解答】解：f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+30，则f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞3，令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜3，
所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；
则f（x）在[﹣4，﹣1]，[3，4]上单调递增，在（﹣1，3）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值为f（﹣1）＝35，
在x＝3时取得极小值为f（3）＝3，
又f（﹣4）＝﹣46，f（4）＝10，
所以在区间[﹣4，4]的最大值为35，最小值为﹣46．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（12分）（2023 信阳校级开学）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，并从服用甲药的治愈．患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，
（1）从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；
（2）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还末痊愈，请茎叶图中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？
参考数据：48．
【考点】茎叶图．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）甲药的疗效更好，理由详见解析；
（2）应该对该患者进行进一步检查．
【分析】（1）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；
（2）分别求出，s，然后代入公式即可求解，作出判断即可．
【解答】解：（1）甲药的疗效更好，
理由一：从茎叶图可以看出，有的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有的叶集中在茎1，2上，还有的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好；
理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好；
理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好；
（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为10，
s4.8，
则3s≈﹣4.4，24.3，
而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查．
【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，属于基础题．
12．（12分）（2024 福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，|MN|＝8．
（1）求C的方程；
（2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若|QR|≤3，求△MNQ面积的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）（2，6]．
【分析】（1）先设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与抛物线方程，结合方程的根与系数关系及抛物线定义即可求解；
（2）先求出R（2m2+1，2m），进而可求P，Q的坐标，可得直线QR∥x轴，求出|QR|的范围，再由三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）不妨设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得y2﹣2mpy﹣p2＝0，
∴y1+y2＝2mp，，
则|，
∴由题可知当m＝1时，|MN|＝8，
∴p＝2，C的方程为y2＝4x；
（2）由（1）知，
将R的纵坐标2m代入x＝my+1，得R（2m2+1，2m），
易知C的准线方程为x＝﹣1，又l与C的准线交于点P，
∴，
则直线OP的方程为，
联立OP与C的方程，得y2＝2my，即y＝2m，∴Q（m2，2m），
∴Q，R的纵坐标相等，
∴直线QR∥x轴，
∴|QR|＝|2m2+1﹣m2|＝m2+1，
∴，
∵点Q异于原点，
∴m≠0，
∵|QR|≤3，
∴1＜|QR|≤3，
∴，
即．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义及性质在抛物线方程求解中的应用，还考查了直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题．
13．（12分）（2025春 薛城区校级期中）某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
对于该次测验，60≤分数＜70时为及格，70≤分数＜90分时为良好，成绩≥90分时为优秀．
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率；
（2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生．用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）．
【分析】（1）应用古典概型求解事件的概率即可；
（2）A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，再根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望．
【解答】解：（1）由题意知，A组中良好的学生有5人，B组中良好的学生有7人，
从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为P；
因此学生成绩为良好的概率为；
（2）根据题意得，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，
所以X的可能取值为0，1，2，
则，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以；
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
14．（16分）（2024秋 西城区校级期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱．它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线．在xOy平面上，我们把与定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点．数学家雅各布 伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究．已知曲线C：（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）是一条伯努利双纽线．
（1）求曲线C的焦点F1，F2的坐标；
（2）试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O．如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】曲线与方程；类比推理．
【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（1）F1（，0），F2（，0）；
（2）不存在．
【分析】根据题意求出一般双纽线的方程，再求出a即可．
【解答】解：（1）由题意，有[（x﹣a）2+y2][（x+a）2+y2]＝a4，化简得，（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2），
令2a2＝9，得a＝±，因为a＞0，所以a，所以F1（，0），F2（，0）；
（2）曲线C的极坐标方程为ρ4＝9ρ2（cos2θ﹣sin2θ），即ρ2＝9cos2θ，
所以当x，y≥0，x＝3cosθ，y＝3sinθ，（0≤θ），
所以3（cosθsinθ）＝3，3（sinθcosθ）＝3，
所以，
所以当θ，1，即曲线C在原点的一条切线斜率为1，当0＜θ，易知1，
又双纽线关于x，y轴对称，所以曲线C图像恒在直线y＝±x之间，
所以曲线C上不存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O．
【点评】本题主要考查点的轨迹方程求法，属中档题．
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