【期末押题卷】上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷三（含解析）

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上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2024秋 益阳期末）函数的最小正周期是 　 　 ．
2．（4分）（2023秋 沂水县期中）已知过点A（1，a）， 的直线的倾斜角为60°，则实数a＝　 　 ．
3．（4分）（2024秋 北辰区月考）已知复数（其中i为虚数单位），则|z|＝ 　 　 ．
4．（4分）（2025春 集宁区校级月考）已知向量与的夹角为，则 　 　 ．
5．（4分）（2024 河南模拟）已知（1+i）z＝2i（i为虚数单位），z为实系数方程x2+px+q＝0的一个根，则p q＝　 　 ．
6．（4分）已知两直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与l2：x+ay+1＝0平行，则a＝　 　 ．
7．（5分）若α为锐角，且，则　 　 ．
8．（5分）（2024春 虹口区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝　 　 ．
9．（5分）（2024秋 沙坪坝区校级月考）已知点P（3，0）在直线l上，且点P恰好是直线l夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间线段的一个三等分点，则直线l的方程为 　 　 ．（写出一条即可）
10．（5分）（2022秋 船营区校级月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则　 　 ．
11．（5分）（2023春 上城区校级期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，H为△ABC的重心且，则　 　 ．
12．（5分）已知△ABC内的一点M满足MA2+BC2＝MB2+AC2，则的夹角为 　 　 ．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）函数y＝sin2xcos2x图象的一条对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
14．（4分）（2024春 城厢区校级月考）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（　　）
A．，F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．， D．E（﹣2，2），
15．（5分）（2025春 怀柔区校级月考）设a＝lne，b＝cos1，c＝sin1，则（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
16．（5分）（2024春 朝阳区校级期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）（2023春 吉林期中）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣3），（a，1），a∈R，且为纯虚数．
（1）求a的值；
（2）若z1的共轭复数是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．
18．（14分）（2018秋 峨山县校级期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A﹣cosA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若sinBsinC，b，求a的值．
19．（14分）（2025春 贵阳月考）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c＝4，．
（1）求角A；
（2）若点D在线段BC上，且，求AD的长度．
20．（18分）已知函数f（x）＝sin（2ωx）﹣4sin2ωx+2（ω＞0），其图像与x轴相邻两个交点的距离为．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）若将f（x）的图像向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图像恰好经过点（，0），求当m取得最小值时，g（x）在[，]上的单调递增区间．
21．（18分）（2024春 新会区校级月考）如图，在△ABC中，，D为BC中点，E为AD上一点，且2AE＝ED，BE的延长线与AC的交点为F．
（1）用向量与表示和
（2）用向量与表示；
（3）求出的值
上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2024秋 益阳期末）函数的最小正周期是 　π　 ．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】π．
【分析】根据给定条件，利用正弦型函数周期公式即可计算作答．
【解答】解：的最小正周期为．
故答案为：π．
【点评】本题考查了正弦型函数周期公式的应用，属于基础题．
2．（4分）（2023秋 沂水县期中）已知过点A（1，a）， 的直线的倾斜角为60°，则实数a＝　　 ．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据直线的斜率列方程求解即可．
【解答】解：直线AB的斜率为ktan60°，
解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
3．（4分）（2024秋 北辰区月考）已知复数（其中i为虚数单位），则|z|＝ 　　 ．
【考点】复数的模；复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则|z|．
故答案为：
【点评】本题主要考查复数模的运算，是基础题．
4．（4分）（2025春 集宁区校级月考）已知向量与的夹角为，则 　（，）或（，）　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（，）或（，）．
【分析】根据题意，设（x，y），由向量模的计算公式可得x2+y2＝1，又由数量积的计算公式以及坐标计算公式可得2x＝2×1×cos120°，求出x、y的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设（x，y），
由于||＝1，则x2+y2＝1，
若（2，0），且向量与的夹角为120°，
则有 2x＝2×1×cos120°，解可得x，
又由x2+y2＝1，则y＝±，
则（，）或（，）．
故答案为：（，）或（，）．
【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及向量夹角、向量模的计算，属于基础题．
5．（4分）（2024 河南模拟）已知（1+i）z＝2i（i为虚数单位），z为实系数方程x2+px+q＝0的一个根，则p q＝　﹣4　 ．
【考点】实系数多项式虚根成对定理．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】﹣4．
【分析】根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解．
【解答】解：（1+i）z＝2i，
则z，
z为实系数方程x2+px+q＝0的一个根，
则也为实系数方程x2+px+q＝0的一个根，
故，解得p＝﹣2，q＝2，
故pq＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
6．（4分）已知两直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与l2：x+ay+1＝0平行，则a＝　﹣1　 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：两直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与l2：x+ay+1＝0平行，
则（a﹣1）a＝2×1，解得a＝2或a＝﹣1，
当a＝2时，两直线重合，不符合题意，舍去，
当a＝﹣1时，两直线不重合，符合题意，
综上所述，a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7．（5分）若α为锐角，且，则　　 ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合诱导公式、二倍角的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：因为，又α为锐角，所以，
所以，
故，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
8．（5分）（2024春 虹口区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则x＝　　 ．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，即可求解．
【解答】解：，
E是对角线AC上靠近点C的三等分点，
则
点F在BE上，
则，即，解得，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，属于基础题．
9．（5分）（2024秋 沙坪坝区校级月考）已知点P（3，0）在直线l上，且点P恰好是直线l夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间线段的一个三等分点，则直线l的方程为 　7x﹣2y﹣21＝0　 ．（写出一条即可）
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】7x﹣2y﹣21＝0或10x+y﹣30＝0．
【分析】设直线l夹在直线l1、l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）三等分，设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意可得或，再结合A、B分别在直线l1、l2上，求出A、B坐标，即可求出直线l的方程．
【解答】解：直线l夹在直线l1、l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）三等分，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则或，
所以或，
又A、B分别在直线l1、l2上，所以2x1﹣y1﹣2＝0，x2+y2+3＝0，
解得、或、，
所以，或，，
因为kAB，kAB10，
则直线l的方程y（x）或y10（x），
整理得7x﹣2y﹣21＝0或10x+y﹣30＝0．
故答案为：7x﹣2y﹣21＝0或10x+y﹣30＝0．
【点评】此题考查由两点的坐标写出直线的方程，灵活运用坐标公式化简求值，属于基础题．
10．（5分）（2022秋 船营区校级月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则　　 ．
【考点】任意角的三角函数的定义；诱导公式．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解．
【解答】解：由题意，角α终边经过点，则，
根据三角函数的定义，可得，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（5分）（2023春 上城区校级期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，H为△ABC的重心且，则　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示，取BC中点D，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，
则E、F是AB、AC的中点，
∵H为△ABC的重心，
∴，，
同理，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
12．（5分）已知△ABC内的一点M满足MA2+BC2＝MB2+AC2，则的夹角为 　90°　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】90°．
【分析】将问题转化为利用平面向量运算律，数量积运算计算即可．
【解答】解：如图所示：
由题意可得，，
所以，
即，
，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
所以的夹角为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积性质及其运算，考查转化能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）函数y＝sin2xcos2x图象的一条对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式将原函数化为，然后求出该函数的对称轴，从而得出正确选项．
【解答】解：，解，得该函数的对称轴为：，
∴k＝0时，．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的对称轴，考查了计算能力，属于基础题．
14．（4分）（2024春 城厢区校级月考）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（　　）
A．，F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．， D．E（﹣2，2），
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】作C关于y轴的对称点G，作C关于y＝x+4的对称点D，连接DG交y轴于F，交AB于E，有EC+FC+EF＝ED+FG+EF＝DG，即此时△CEF周长最小，求出D点坐标，可得直线DG方程，与y＝x+4联立求出E点坐标，令x＝0，可得F点坐标．
【解答】解：作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），
作C（﹣2，0）关于y＝x+4的对称点D（a，b），
连接DG交y轴于F，交AB于E，所以FG＝FC，EC＝ED，
此时△CEF周长最小，即EC+FC+EF＝ED+FG+EF＝DG，
由C（﹣2，0），直线AB方程为y＝x+4，所以，
解得，
所以D（﹣4，2），可得直线DG方程为，即，
由，解得，所以，
令x＝0，可得，所以．
故选：C．
【点评】本题考查点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
15．（5分）（2025春 怀柔区校级月考）设a＝lne，b＝cos1，c＝sin1，则（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象；对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用对数的运算和三角函数的值求出结果．
【解答】解：由于a＝lne＝1，且1≈57°18′，b＝cos1＜sin1＝c＜1，
故a＞c＞b．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：数的大小比较，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16．（5分）（2024春 朝阳区校级期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】利用数量积的定义，可得|| ||，根据得到||2﹣|| ||+||2＝1，由此将化为关于的分式，利用基本不等式加以计算，可得的最大值．
【解答】解：根据题意，得|| ||cos|| ||，
因为，所以（）2＝||2﹣2 ||2＝1，即||2﹣|| ||+||2＝1，
||2+2 ||2+|| ||，
设t（t＞0），则1，
当且仅当1+t，即t，即||＝（）||时，等号成立，
综上所述，当||＝（）||时，的最大值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）（2023春 吉林期中）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣3），（a，1），a∈R，且为纯虚数．
（1）求a的值；
（2）若z1的共轭复数是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．
【考点】复数的运算；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）3；
（2）p＝﹣2，q＝10．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：（1）复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣3），（a，1），
则z1＝1﹣3i，z2＝a+i，
故，
∵为纯虚数，
∴，解得a＝3；
（2）z1的共轭复数是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，
则，解得p＝﹣2，q＝10．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
18．（14分）（2018秋 峨山县校级期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A﹣cosA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若sinBsinC，b，求a的值．
【考点】正弦定理；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）．
（2）1．
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简已知等式可得cosA（2sinA﹣1）＝0，结合A为锐角，可求sinA，进而可求得A的值．
（2）由已知利用正弦定理可得bc，从而可求c的值，进而利用余弦定理即可求解a的值．
【解答】解：（1）因为sin2A﹣cosA＝0，可得2sinAcosA﹣cosA＝0，
所以cosA（2sinA﹣1）＝0，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以cosA≠0，
所以sinA，可得A．
（2）因为sinBsinC，
所以bc，
又b，
所以c＝1，
所以由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3+1﹣21，
所以a＝1．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．（14分）（2025春 贵阳月考）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c＝4，．
（1）求角A；
（2）若点D在线段BC上，且，求AD的长度．
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）或；
（2）．
【分析】（1）由可得答案；
（2）根据A的值和b＝c，求出，再由正弦定理可得答案．
【解答】解：（1）因为b＝c＝4，bcsinA4×4sinA，
可得sinA，
又因为0＜A＜π，
所以或；
（2）当时，因为b＝c，所以△ABC为等边三角形，
，不符合题意；
当时，因为b＝c，所以，
因为，AC＝b＝4，C，
由正弦定理得，即，
解得AD＝2．
所以AD的长度为．
【点评】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
20．（18分）已知函数f（x）＝sin（2ωx）﹣4sin2ωx+2（ω＞0），其图像与x轴相邻两个交点的距离为．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）若将f（x）的图像向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图像恰好经过点（，0），求当m取得最小值时，g（x）在[，]上的单调递增区间．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）f（x）sin（2x）．
（2）[，]，[，]．
【分析】（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）sin（2ωx），再根据正弦函数的周期性求出ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律、g（x）的图象恰好经过点（，0），求得g（x）sin（2x），令2kπ2x2kπ，k∈Z，求得x的范围可得函数的增区间，再结合合x∈[，]，进一步确定g（x）的增区间．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（2ωx）﹣4sin2ωx+2（ω＞0）
sin2ωxcos2ωx﹣4 2
sin2ωxcos2ωx
sin（2ωx），
根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2，求得ω＝1，
故函数f（x）sin（2x）．
（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）sin[2（x+m）]sin（2x+2m）的图象，
再根据g（x）的图象恰好经过点（，0），可得sin（2m）＝0，
故m，
所以g（x）sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，求得kπx≤kπ，k∈Z，
故函数g（x）的增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
再结合x∈[，]，可得增区间为[，]，[，]．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
21．（18分）（2024春 新会区校级月考）如图，在△ABC中，，D为BC中点，E为AD上一点，且2AE＝ED，BE的延长线与AC的交点为F．
（1）用向量与表示和
（2）用向量与表示；
（3）求出的值
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】数形结合；方程思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解即可；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【解答】解：（1）因为D是BC中点，
，
；
（2）2AE＝ED，则，
；
（3）设，则，，
又向量共线，不共线，
所以λ＝﹣1，解得．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算法则应用问题，是基础题．
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