【期末押题卷】上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷一（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2022秋 浙江期中）直线的倾斜角为 　 　 ．
2．（4分）（2024春 闵行区校级期末）已知复数z满足（2+i）z＝5，则|z|＝　 　 ．
3．（4分）（2022秋 蕉城区校级月考）在正项等比数列{an}中，a2a4＝16，a4+a5＝24，则通项公式an＝　 　 ．
4．（4分）（2023春 宝山区期末）直线l过点（2，3），且与向量垂直，则直线l的方程为 　 　 ．
5．（4分）已知函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）和g（x）＝2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是 　 　 ．
6．（4分）（2023春 海珠区校级月考）设，向量，若，则tanθ＝　 　 ．
7．（5分）（2025 广安区校级开学）已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝2n，则a4＝ 　 　 ．
8．（5分）（2024秋 广东月考）画n条直线，最多将圆的内部分为 　 　 部分．
9．（5分）（2025春 静安区校级期中）已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 　 　 ．
10．（5分）（2022春 丰台区校级期中）设i为虚数单位，则复数对应的复平面内的点Z的坐标为 　 　 ．
11．（5分）（2025 湛江一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2n﹣1＝4n2﹣2an﹣1，a1＝1，则数列{an}的通项公式为 　 　 ．
12．（5分）（2021秋 崇明区期末）若复数z＝（m+2）+（m﹣2）i（m∈R）在复平面上对应的点在第四象限，则m的取值范围是 　 　 ．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）（2022春 浙江月考）下列说法正确的是（　　）
A．命题 x∈R，x2+2x+3＜0的否定是 x∈R，x2+2x+3＞0
B．向量的夹角为钝角的充要条件是，
C．命题，则￢p是真命题
D．设x，y∈R，则“x＞2且y＞3”是“x+y＞5且xy＞6”的充分不必要条件
14．（4分）（2022 杭州模拟）已知直线l1：x+my﹣1＝0，l2：（m﹣2）x+3y+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．若l1∥l2，则m＝﹣1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝﹣1
C．若l1⊥l2，则m
D．若l1⊥l2，则m
15．（5分）（2023秋 湖北期末）已知光线从点A（﹣2，1）射出，经直线2x﹣y+10＝0反射，且反射光线所在直线过点B（﹣8，﹣3），则反射光线所在直线的方程是（　　）
A．x﹣3y﹣1＝0 B．3x﹣y+21＝0 C．x+3y+17＝0 D．3x+y+15＝0
16．（5分）（2022春 南京期末）将等比数列{bn}按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n﹣1项的各组，再将公差为2的等差数列{an}的各项依次插入各组之间，得到新数列{cn}：b1，a1，b2，b3，a2，b4，b5，b6，b7，a3，…，新数列{cn}的前n项和为Sn．若c1＝1，c2＝2，，则S200＝（　　）
A． B．
C． D．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（15分）（2024秋 新泰市校级期中）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求直线恒过的定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程．
18．（15分）（2023春 伊犁州期中）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K，（A＞0，ω＞0，φ）．
（1）求d与t的函数解析式；
（2）此盛水筒P第一次进入水面到离开水面至少经过多长时间？
19．（15分）（2025春 重庆校级月考）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1+2an＝2n+2．
（1）证明：{an﹣2n}为等比数列；
（2）已知bn，Sn为{bn}的前n项和，求S2n．
20．（15分）（2025春 鄞州区校级期中）对于一组向量，，，…，，（n∈N且n≥3），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，n∈N且n＞0，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，n∈N且n＞0，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）若对于一组向量，，，…，，（n∈N且n≥3），记，已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：．
21．（18分）（2024秋 阜阳期末）已知函数f（x）＝x3+3x2，直线l：y＝kx+b．
（1）已知函数f（x）的图象关于点P（m，n）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+m）﹣n是奇函数，利用上述条件，求函数f（x）的对称中心；
（2）判断“b＞﹣1”是否为“l与f（x）的图象有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由．
上海市2024-2025学年高一下学期数学期末测试押题预测卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2022秋 浙江期中）直线的倾斜角为 　　 ．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】将直线方程化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系即可求解．
【解答】解：直线可化为yx+3，
设直线的倾斜角为θ，
则tanθ，又θ∈[0，π），
所以θ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（4分）（2024春 闵行区校级期末）已知复数z满足（2+i）z＝5，则|z|＝　　 ．
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解．
【解答】解：，．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
3．（4分）（2022秋 蕉城区校级月考）在正项等比数列{an}中，a2a4＝16，a4+a5＝24，则通项公式an＝　2n﹣1　 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】2n﹣1．
【分析】可设等比数列{an}的公比为q（q＞0），根据a2a4＝a32＝16，an＞0可得a3＝4，从而a4+a5＝4q+4q2＝24，进一步求出q值即可利用an＝a3qn﹣3求出{an}的通项公式．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
∴a2a4＝a32＝16，又an＞0，
∴a3＝4，
∴a4+a5＝a3q+a3q2＝4q+4q2＝24，即q2+q﹣6＝0，
解得q＝2或q＝﹣3（舍去），
∴an＝a3qn﹣3＝4×2n﹣3＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与性质，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
4．（4分）（2023春 宝山区期末）直线l过点（2，3），且与向量垂直，则直线l的方程为 　x+2y﹣8＝0　 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】x+2y﹣8＝0．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：设直线l上的任意一点P（x，y），
直线l过点（2，3），且与向量垂直，
则（x﹣2，y﹣3） （1，2）＝0，即x﹣2+2（y﹣3）＝0，
故直线l的方程为x+2y﹣8＝0．
故答案为：x+2y﹣8＝0．
【点评】本题主要考查直线的垂直，属于基础题．
5．（4分）已知函数f（x）＝3sin（ωx）（ω＞0）和g（x）＝2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是 　[，]　 ．
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】[，]．
【分析】根据函数f（x）和g（x）的图象对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定ωx的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．
【解答】解：函数f（x）和g（x）的图象对称轴完全相同，
∴它们的最小正周期相同，则ω＝2；
又x∈[0，]时，2x∈[，] [，]，
所以f（x）是单调增函数，
∴f（x）的最小值为3sin（），
最大值为3sin；
∴f（x）的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
6．（4分）（2023春 海珠区校级月考）设，向量，若，则tanθ＝　　 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：向量，，
则2sin2θ﹣cos2θ＝4sinθcosθ﹣cos2θ＝0，
∵，
∴4sinθ＝cosθ，解得tan．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及二倍角公式，属于基础题．
7．（5分）（2025 广安区校级开学）已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝2n，则a4＝ 　21　 ．
【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】21．
【分析】根据数列的递推公式求数列的项即可．
【解答】解：因为a1＝9，an+1﹣an＝2n，所以a2＝a1+2＝11，a3＝a2+4＝15，a4＝a3+6＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查由数列的递推公式求解数列中的项，属于基础题．
8．（5分）（2024秋 广东月考）画n条直线，最多将圆的内部分为 　　 部分．
【考点】归纳推理．
【专题】方程思想；综合法；推理和证明；运算求解．
【答案】．
【分析】利用观察归纳法求解即得．
【解答】解：1条直线将圆的内部分成1+1部分，2条直线将圆的内部分成1+1+2部分，
3条直线将圆的内部最多分成1+1+2+3部分，
4条直线将圆的内部最多分成1+1+2+3+4部分，
由此可得n条直线将圆的内部最多分成：
部分．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与图的位置关系、归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（5分）（2025春 静安区校级期中）已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】设，通过不等式恒成立，可确定投影向量的模的取值范围．
【解答】解：已知菱形ABCD的边长为1，所以，
且向量在方向上的投影为，
若恒成立，则恒成立，所以，
即．令，则4+4at+t2≥1，
即t2+4at+3≥0，要使t2+4at+3≥0（t∈R）恒成立，则Δ＝16a2﹣4×1×3≤0，
解得，又向量在方向上的投影向量为 ，
其模的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查向量投影向量的概念，不等式恒成立问题，属于中档题．
10．（5分）（2022春 丰台区校级期中）设i为虚数单位，则复数对应的复平面内的点Z的坐标为 　（1，1）　 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1，1）．
【分析】由复数z1+i，在复平面内的对应点位 （1，1），得到结论．
【解答】解：复数z1+i，
则在复平面内的对应点Z的坐标为 （1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属基础题．
11．（5分）（2025 湛江一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2n﹣1＝4n2﹣2an﹣1，a1＝1，则数列{an}的通项公式为 　an＝2n﹣1　 ．
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】an＝2n﹣1．
【分析】取n＝2可得关于a2的方程，求解可得a2＝3，结合a1＝1，求得公差d，再由等差数列的通项公式即可求得．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为，
所以，
所以a2＝3，
因为a1＝1，所以d＝a2﹣a1＝2，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
故答案为：an＝2n﹣1．
【点评】本题考查等差数列的通项公式求法，属于基础题．
12．（5分）（2021秋 崇明区期末）若复数z＝（m+2）+（m﹣2）i（m∈R）在复平面上对应的点在第四象限，则m的取值范围是 　（﹣2，2）　 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（﹣2，2）．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵复数z＝（m+2）+（m﹣2）i（m∈R）在复平面上对应的点在第四象限，
∴，解得﹣2＜m＜2，
故m的取值范围为（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）（2022春 浙江月考）下列说法正确的是（　　）
A．命题 x∈R，x2+2x+3＜0的否定是 x∈R，x2+2x+3＞0
B．向量的夹角为钝角的充要条件是，
C．命题，则￢p是真命题
D．设x，y∈R，则“x＞2且y＞3”是“x+y＞5且xy＞6”的充分不必要条件
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用；两角和与差的三角函数．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】D
【分析】A中，根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可；
B中，根据两向量夹角为钝角的条件，判断即可；
C中，判断命题p是真命题，从而得出￢p是假命题；
D中，判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：对于A，命题 x∈R，x2+2x+3＜0的否定是 x∈R，x2+2x+3≥0，所以选项A错误；
对于B，向量的夹角为钝角的充要条件是，，且、不共线，所以选项B错误；
对于C，因为 x∈R，sinx+cosxsin（x），所以命题p是真命题，则￢p是假命题，选项C错误；
对于D，当x＞2且y＞3时，满足x+y＞5且xy＞6，充分性成立；
当x+y＞5且xy＞6时，可以取x＝1且y＝7，必要性不成立；
所以是充分不必要条件，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
14．（4分）（2022 杭州模拟）已知直线l1：x+my﹣1＝0，l2：（m﹣2）x+3y+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．若l1∥l2，则m＝﹣1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝﹣1
C．若l1⊥l2，则m
D．若l1⊥l2，则m
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】根据两直线平行、垂直的条件，即可求解．
【解答】解：若l1∥l2，则3﹣m（m﹣2）＝0，解得m＝3或m＝﹣1，当m＝﹣1时，l1方程为x﹣y﹣1＝0，l2方程为﹣3x+3y+3＝0，即x﹣y﹣1＝0，两直线重合，不合题意，
若l1⊥l2，则m﹣2+3m＝0，，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．
15．（5分）（2023秋 湖北期末）已知光线从点A（﹣2，1）射出，经直线2x﹣y+10＝0反射，且反射光线所在直线过点B（﹣8，﹣3），则反射光线所在直线的方程是（　　）
A．x﹣3y﹣1＝0 B．3x﹣y+21＝0 C．x+3y+17＝0 D．3x+y+15＝0
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】求出点A关于直线2x﹣y+10＝0的对称点，再利用反射光线过点B（﹣8，﹣3），即可求解．
【解答】解：设点A（﹣2，1）关于直线2x﹣y+10＝0的对称点为A'（a，b），
则，解得，
故反射光线过点A'（﹣6，3）与点B（﹣8，﹣3），
则反射光线所在直线的方程为y﹣3（x+6），即3x﹣y+21＝0．
故选：B．
【点评】本题考查直线的对称问题，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）（2022春 南京期末）将等比数列{bn}按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n﹣1项的各组，再将公差为2的等差数列{an}的各项依次插入各组之间，得到新数列{cn}：b1，a1，b2，b3，a2，b4，b5，b6，b7，a3，…，新数列{cn}的前n项和为Sn．若c1＝1，c2＝2，，则S200＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{cn}的前200项中含有数列{an}的前7项，含有数列{bn}的前193项，运用分组求和的方法可求得答案．
【解答】解：由已知得，等比数列{bn}的公比，
令，则T6＝63，T7＝127，T8＝255，
所以数列{cn}的前200项中含有数列{an}的前7项，含有数列{bn}的前193项，
故S200＝（b1+b2+ +b193）+（a1+a2+ +a7）
．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（15分）（2024秋 新泰市校级期中）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求直线恒过的定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程．
【考点】过两条直线交点的直线系方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）；
（2）3x+4y﹣12＝0．
【分析】（1）重新整理直线方程，由此列方程组来求得定点坐标．
（2）利用截距式设出直线方程，根据三角形AOB的面积以及P点坐标求得直线的方程，再经过验证来确定正确答案．
【解答】解：（1）动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
整理得直线方程为（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0，
联立方程组，得，
即直线恒过定点，定点P的坐标为（，2）；
（2）设直线方程为，则ab＝12①，
由直线恒过定点，得，
由①②整理得：a2﹣6a+8＝0，解得a＝4，b＝3或a＝2，b＝6，
所以直线方程为：或，
即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0，
又直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0的斜率，
所以3x+y﹣6＝0不合题意，则直线方程为3x+4y﹣12＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
18．（15分）（2023春 伊犁州期中）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K，（A＞0，ω＞0，φ）．
（1）求d与t的函数解析式；
（2）此盛水筒P第一次进入水面到离开水面至少经过多长时间？
【考点】三角函数应用；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）d＝3sin（t）+1.5；（2）s．
【分析】（1）根据物理意义，确定A，K，ω，再通过计算得φ；（2）解三角不等式即可．
【解答】解：（1）由题意知：K＝1.5且A＝3，
∵每分钟转1.5圈，∴T＝40s，ω，则d＝3sin（t+φ）+1.5，
当t＝0时，刚浮出水面，即3sinφ+1.5＝0，
∵φ，∴φ，则d＝3sin（t）+1.5；
（2）令3sin（t）+1.5≤0，∴sin（t），
∴2kπt2kπ，k∈Z，
∴40k≤t≤40+40k，k∈Z，
当k＝0时，t∈[，40]，此盛水筒P第一次进入水面到离开水面至少经过40s．
【点评】本题考查三角函数在实际中的应用，属于基础题．
19．（15分）（2025春 重庆校级月考）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1+2an＝2n+2．
（1）证明：{an﹣2n}为等比数列；
（2）已知bn，Sn为{bn}的前n项和，求S2n．
【考点】数列求和的其他方法；等比数列的概念与判定．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）S2n＝4n+n2﹣1．
【分析】（1）由，得到，再利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到，从而得到bn，然后利用分组求和求解．
【解答】解：（1）证明：数列{an}的首项a1＝3，满足an+1+2an＝2n+2，
可得an+1＝2n+2﹣2an，
即有，
又，
所以是以﹣2为公比，1为首项的等比数列；
（2）由等比数列的通项公式，可得，
即，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
所以S2n＝（b1+b3+b5+ +b2n﹣1）+（b2+b4+b6+ +b2n），
＝（3+3×22+3×24+ +3×22n﹣2）+（1+3+5+ +（2n﹣1）），
．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20．（15分）（2025春 鄞州区校级期中）对于一组向量，，，…，，（n∈N且n≥3），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，n∈N且n＞0，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，n∈N且n＞0，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）若对于一组向量，，，…，，（n∈N且n≥3），记，已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：．
【考点】平面向量的综合题；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】应用题；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）[﹣4，0]；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，理由见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得x的范围即可；
（2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可；
（3）由平方得到（，同理得到，n个式子相加即可求证．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，，
（2，x+4）+（1，x+2）＝（3，2x+6），则，
解得：﹣4≤x≤0．所以实数x的取值范围[﹣4，0]；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，
理由如下：由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，，
所以，
故只需使
；
（3）证明：由题意，得，
即，即，
即（，
同理．．． ，…
，
n个式相加并化简得：，
即，所以．
【点评】本题考查平面向量的综合题，属于中档题．
21．（18分）（2024秋 阜阳期末）已知函数f（x）＝x3+3x2，直线l：y＝kx+b．
（1）已知函数f（x）的图象关于点P（m，n）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+m）﹣n是奇函数，利用上述条件，求函数f（x）的对称中心；
（2）判断“b＞﹣1”是否为“l与f（x）的图象有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由．
【考点】数列与函数的综合；奇偶性与单调性的综合．
【专题】整体思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】（1）（﹣1，2）．
（2）必要不充分条件，证明见解析．
【分析】（1）由y＝f（x+m）﹣n是奇函数，则f（﹣x+m）﹣n+[f（x+m）﹣n]＝0，然后求解即可；
（2）先证明必要性成立，l与f（x）的图象有3个交点，则方程kx+b＝x3+3x2有3个不相等的实数根，即g（x）＝x3+3x2﹣kx﹣b有3个不相等零点x1，x2，x3，从而得到g（x）＝x3+3x2+（2﹣b）x﹣b，然后利用导数分析单调性证明即可，再证明充分性不成立即可．
【解答】解：（1）f（x）关于（m，n）对称，
令g（x）＝f（x+m）﹣n，则g（﹣x）＝﹣g（x），
即f（﹣x+m）﹣n+[f（x+m）﹣n]＝0，
即（m+x）3+3（m+x）2+（m﹣x）3+3（m﹣x）2＝2n，
化简得（3m+3）x2+（m3+3m2﹣n）＝0，
则有，
得m＝﹣1，n＝2，得对称中心坐标为（﹣1，2）；
（2）是必要不充分条件，
先证必要性：
若l：y＝kx+b与f（x）图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则方程kx+b＝x3+3x2有3个不相等的实数根，
即g（x）＝x3+3x2﹣kx﹣b有3个不相等零点x1，x2，x3，
由于x3+3x2﹣kx﹣b＝0＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），
得x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x1x3）x﹣x1x2x3＝x3+3x﹣kx﹣b，
所以x1+x2+x3＝﹣3，
因为x1，x2，x3为公差不为0的等差数列，所以x2＝﹣1，
所以﹣k+b＝2，得k＝b﹣2，
即g（x）＝x3+3x2+（2﹣b）x﹣b，
由题意可得，g（x）有三个零点的一个必要条件是g（x）至少存在三个单调区间，
g′（x）＝3x2+6x+2﹣b，
（i）当Δ＝12（b+1）≤0，即b≤﹣1时函数g（x）在R上单调递增，
g（x）最多一个零点，不符合题意，故舍去；
（ii）当Δ＝12（b+1）＞0，即b＞﹣1时，
解3x2+6x+2﹣b＝0，得x＝﹣1±，
令g′（x）＞0，得x∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
令g′（x）＜0，得x∈（﹣1，﹣1），
得函数g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
综上可得，b＞﹣1符合题意，即b＞﹣1为g（x）在R上存在三个零点的必要条件得必要性成立；
再证充分性不成立，令b＝0，k＝0，显然f（x）＝x3+2x2与l：y＝0仅有两个交点，
所以充分性不成立．
综上，“b＞﹣1”是“l与f（x）的图像有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件．
【点评】本题考查函数与数列综合应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)