【期末押题预测】期末核心考点 用样本估计总体（含解析）2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）

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期末核心考点 用样本估计总体
一．选择题（共7小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）已知两组数据x1，x2，x3和y1，y2，y3，的中位数、方差均相同，则两组数据合并为一组数据后（　　）
A．中位数一定不变，方差可能变大
B．中位数一定不变，方差可能变小
C．中位数可能改变，方差可能变大
D．中位数可能改变，方差可能变小
2．（2025 郑州模拟）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（　　）
（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
A．阅读量的众数估值为8
B．阅读量的中位数估值为6.5
C．阅读量的平均数估值为6.76
D．阅读量的第70百分位数估值为8.86
3．（2025 安徽模拟）已知一组数据为﹣1，1，3，4，5，7，10，11，若n为这组数据的70%分位数，则（2x﹣y）n的展开式中x4y3的系数为（　　）
A．280 B．﹣280 C．560 D．﹣560
4．（2025 河南模拟）如表是某公司员工月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
5．（2025 绵阳模拟）某家电公司生产了A，B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（　　）
A．A型号空调月销售量的极差比B型号空调月销售量的极差大
B．A型号空调月平均销售量比B型号空调月平均销售量大
C．A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大
D．A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小
6．（2025 湘潭模拟）某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前15名的同学才能进入决赛．若某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位同学的预赛积分的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
7．（2025 晋中模拟）下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 山东模拟）给定一组不全相同的样本数据x1，x2，…，xn，则关于样本数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的说法正确的是（　　）
A．与原数据相比，极差一定变大
B．与原数据相比，众数一定变大
C．与原数据相比，平均数一定变大
D．与原数据相比，方差一定变大
（多选）9．（2025 蚌埠模拟）进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬（1日﹣10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是（　　）
A．3月上旬我市日最高气温的极差为20℃
B．3月上旬我市日最高气温的平均数为13.5℃
C．3日﹣10日我市日最高气温持续上升
D．3月上旬我市日最高气温的60%分位数为15.5℃
（多选）10．（2025 南昌模拟）已知一组数据为连续的正整数：x1，x2，…，x10（x1＜x2＜…＜x10），现去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法中正确的是（　　）
A．中位数不变
B．平均数不变
C．方差变小
D．若x1＝1，则数据x1，x2，…，x10的第80百分位数为8
三．填空题（共3小题）
11．（2025 武昌区模拟）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为 　 　 ．
12．（2025 四川模拟）在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为 　 　 ．
13．（2025 福建模拟）已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 山海关区三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间[150，300]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
（1）按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间[175，200），[200，225）的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有苹果均以4元/千克收购；
B．低于225克的苹果以0.8元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
15．（2025春 青浦区校级月考）去年上海进口博览会智能科技展区，主办方统计了20天的每日接待客户人数（单位：人次），并制作了如下茎叶图：
（1）求这组数据的第16、第70百分位数；
（2）现从这20天中随机抽取1天，求这天的接待人数在50人次至69人次之间的概率；
（3）主办方预计今年进博会期间，该展区日均接待人数将同比增长15%．假设接待人数的分布情况与去年相同，试估计今年进博会期间（同样为20天），接待人数超过70人次的天数所占比例，并说明理由．
期末核心考点 用样本估计总体
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）已知两组数据x1，x2，x3和y1，y2，y3，的中位数、方差均相同，则两组数据合并为一组数据后（　　）
A．中位数一定不变，方差可能变大
B．中位数一定不变，方差可能变小
C．中位数可能改变，方差可能变大
D．中位数可能改变，方差可能变小
【考点】中位数；方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】不妨设x1≤x2≤x3，y1≤y2≤y3，分别求出两组数据合并前后中位数与方差的变化情况，逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：不妨设x1≤x2≤x3，y1≤y2≤y3，
由两组数据x1，x2，x3和y1，y2，y3，的中位数、方差均相同，
得x2＝y2，两组数据合并为一组数据后，则中位数为，
故中位数不变，则C、D错误；
这两组数据的平均数分别为，，方差均为，
，，
，可得，，
，，
则两组数据合并为一组数据后的平均数，
方程
，
当且仅当时等号成立，即方差可能变大，不会变小，故A正确，B错误．
故选：A．
【点评】本题考查中位数与方差的定义，考查运算求解能力，是中档题．
2．（2025 郑州模拟）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（　　）
（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
A．阅读量的众数估值为8
B．阅读量的中位数估值为6.5
C．阅读量的平均数估值为6.76
D．阅读量的第70百分位数估值为8.86
【考点】百分位数；平均数；中位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图性质分别计算众数、中位数、平均数、第70百分位数，即可得到答案．
【解答】解：众数估值为，A错误；
中位数x在[4，8]内，所以0.06×4+0.1×（x﹣4）＝0.5，解得x＝6.6，B错误；
由频率分布直方图的数据可知，平均数，C错误；
第70百分位数y在[8，12]内，所以0.06×4+0.1×4+0.07×（x﹣8）＝0.7，
解得，即阅读量的第70百分位数估值为8.86，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．
3．（2025 安徽模拟）已知一组数据为﹣1，1，3，4，5，7，10，11，若n为这组数据的70%分位数，则（2x﹣y）n的展开式中x4y3的系数为（　　）
A．280 B．﹣280 C．560 D．﹣560
【考点】百分位数；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用70%分位数求出幂指数n，再利用二项式定理求出指定项的系数．
【解答】解：根据题意可知，一组数据为﹣1，1，3，4，5，7，10，11，
由8×70%＝5.6，得n＝7，
则（2x﹣y）7展开式中含x4y3的项为，
所以所求的系数为﹣560．
故选：D．
【点评】本题考查了二项式定理，属于基础题．
4．（2025 河南模拟）如表是某公司员工月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
【考点】平均数；中位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．
【解答】解：公司总员工人数为1+1+1+3+6+1+11+1＝25人，
由统计表可知该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人的月收入在3300元之上，
因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元；
在25名员工中在3400元及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，
而25名员工月收入的平均数元，
受极端数据45000、18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，因此不能反映该公司全体员工的月收入水平；
而方差是反映数据波动大小的量，不能反映员工的月收入水平．
所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数．
故选：C．
【点评】本题考查了样本数据的数字特征，属于基础题．
5．（2025 绵阳模拟）某家电公司生产了A，B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（　　）
A．A型号空调月销售量的极差比B型号空调月销售量的极差大
B．A型号空调月平均销售量比B型号空调月平均销售量大
C．A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大
D．A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小
【考点】百分位数；平均数；方差；极差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】结合题中数据，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可．
【解答】解：A选项．由图可知，A型号空调月销售量的极差为50﹣25＝25，
B型号空调月销售量的极差为45﹣22＝23，故A选项正确；
B选项．A型号空调月平均销售量为，
B型号空调月平均销售量为，故B选项正确；
C选项．将A型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50，
由6×75%＝4.5，则A型号空调月销售量的上四分位数为42，
将B型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45，
由6×75%＝4.5，则A型号空调月销售量的上四分位数为40，故C选项正确；
D选项．A型号空调月销售量的方差为：
，
B型号空调月销售量的方差为：
，
故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了极差、平均数、上四分位数、方差的定义，属于基础题．
6．（2025 湘潭模拟）某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前15名的同学才能进入决赛．若某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位同学的预赛积分的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
【考点】平均数；中位数；众数；极差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据中位数的概念进行判断即可．
【解答】解：由中位数的概念可知，29位同学的积分，中位数是第15名，
所以知道中位数即可判断是否在前15．
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数的概念，属于基础题．
7．（2025 晋中模拟）下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】频率分布直方图的应用；平均数；中位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解．
【解答】解：对A，B，由图形的对称性，易得平均数等于中位数，所以A，B选项错误；
对C，因为频率分布直方图向左拖尾，所以平均数小于中位数，所以C错误；
对于选项D，因为频率分布直方图向右拖尾，所以平均数大于中位数，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 山东模拟）给定一组不全相同的样本数据x1，x2，…，xn，则关于样本数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的说法正确的是（　　）
A．与原数据相比，极差一定变大
B．与原数据相比，众数一定变大
C．与原数据相比，平均数一定变大
D．与原数据相比，方差一定变大
【考点】方差；极差；平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据极差、众数、平均数和方差的定义求解．
【解答】解：对于A，设原来的极差为xmax﹣xmin，
则新极差为2xmax﹣1﹣（2xmin﹣1）＝2（xmax﹣xmin），
因为原数据不全相同，所以xmax﹣xmin＞0，
所以2（xmax﹣xmin）＞xmax﹣xmin，
所以极差一定变大，故A正确；
对于B，设原众数为xm，则新众数为2xm﹣1，
所以2xm﹣1﹣xm＝xm﹣1，
因为xm与1的大小关系不确定，所以众数不一定变大，故B错误；
对于C，设原平均数为，则新平均数为1，
所以11，
因为与1的大小关系不确定，所以平均数不一定变大，故C错误；
对于D，设原方差为s2，则新方差为4s2，
因为原数据不全相同，所以s2≠0，
所以4s2＞s2，即方差一定变大，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了极差、众数、平均数和方差的定义，属于基础题．
（多选）9．（2025 蚌埠模拟）进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬（1日﹣10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是（　　）
A．3月上旬我市日最高气温的极差为20℃
B．3月上旬我市日最高气温的平均数为13.5℃
C．3日﹣10日我市日最高气温持续上升
D．3月上旬我市日最高气温的60%分位数为15.5℃
【考点】方差；极差；百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】求得极差判断A；求得平均气温判断B；8日到9日气温是下降的可判断C；求得60%分位数判断D．
【解答】解：对于选项A，3月上旬我市日最高气温的极差为24﹣3＝21℃，故A错误；
对于B，3月上旬我市日最高气温的平均数为℃，故B正确；
对于C，8日到9日气温是下降的，所以3日﹣10日我市日最高气温不是持续上升，故C错误；
对于D，气温由低到高排列为3，4，7，12，12，15，16，19，23，24，
因为10×60%＝6，
所以3月上旬我市日最高气温的60%分位数为℃，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了极差、平均数和百分位数的定义，属于基础题．
（多选）10．（2025 南昌模拟）已知一组数据为连续的正整数：x1，x2，…，x10（x1＜x2＜…＜x10），现去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法中正确的是（　　）
A．中位数不变
B．平均数不变
C．方差变小
D．若x1＝1，则数据x1，x2，…，x10的第80百分位数为8
【考点】百分位数；平均数；中位数．
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】求出数据变化前后的中位数与平均数判断A与B；由方差的定义判断C；求出第80百分位数判断D．
【解答】解：数据x1，x2，…，x10（x1＜x2＜…＜x10）为连续的正整数，
现去掉x1，x10后组成一组新数据，中位数不变，为，故A正确；
由x1+x10＝x2+x9＝...＝x5+x6，可得平均数不变，为，故B正确；
原数据的方差为，
去掉x1，x10后的方差为，比原来数据的方差变小，故C正确；
若x1＝1，则数据x1，x2，…，x10为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，第80百分位数8.5，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查统计及其有关概念，是基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 武昌区模拟）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为 　88　 ．
【考点】百分位数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】88．
【分析】直接利用百分位数的定义求解．
【解答】解：一组数据80，87，88，89，91，92，93，95，95，96共10个数，
其下四分位数即第25分位数，由10×25%＝2.5，
则其四分位数为该组数据的第三个数，等于88．
故答案为：88．
【点评】本题考查百分位数的求法，是基础题．
12．（2025 四川模拟）在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为 　18　 ．
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】18．
【分析】根据百分位数的定义求解．
【解答】解：因为7×25%＝1.25，7×75%＝5.25，
所以这7位同学成绩的上四分位数为134，下四分位数为116，
所以这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为134﹣116＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
13．（2025 福建模拟）已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 　　 ．
【考点】方差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由原7个数的方差求出，再求出加入一个新数据2后所得8个数的平均数，再由方差公式求出新方差．
【解答】解：原7个数的方差为，即，
加入一个新数据2后所得8个数的平均数为，
所以这8个数的方差为．
故答案为：．
【点评】本题考查方差的求法，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 山海关区三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间[150，300]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
（1）按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间[175，200），[200，225）的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有苹果均以4元/千克收购；
B．低于225克的苹果以0.8元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）方案B．
【分析】（1）先根据频率比确定分层抽样在不同区间抽取的苹果个数，再利用组合数准确计算从抽取的苹果中选2个的所有情况数以及满足条件（质量均小于200克 ）的情况数，最后依据古典概型概率公式求解．
（2）一是利用频率分布直方图的性质准确计算各区间频率和苹果质量的平均数，进而得到总质量用于方案 A收益计算；二是分别算出不同质量标准下苹果的个数，用于方案 B 收益计算，最后通过比较收益大小做出合理选择．
【解答】解：（1）因为[175，200）和[200，225）的频率之比为2：3，
所以应分别在[175，200），[200，225）中抽取2个和3个，
所以所求概率为；
（2）因为频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，
若按方案A收购：
总收益为：（元）．
若按方案B收购：由题意知苹果质量低于225克的个数为（0.1+0.1+0.15）×50000＝17500，
苹果质量高于或等于225克的个数为50000﹣17500＝32500，
所以总收益为17500×0.8+32500×1＝46500（元）．
因为45750＜46500，所以方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
15．（2025春 青浦区校级月考）去年上海进口博览会智能科技展区，主办方统计了20天的每日接待客户人数（单位：人次），并制作了如下茎叶图：
（1）求这组数据的第16、第70百分位数；
（2）现从这20天中随机抽取1天，求这天的接待人数在50人次至69人次之间的概率；
（3）主办方预计今年进博会期间，该展区日均接待人数将同比增长15%．假设接待人数的分布情况与去年相同，试估计今年进博会期间（同样为20天），接待人数超过70人次的天数所占比例，并说明理由．
【考点】百分位数；古典概型及其概率计算公式；茎叶图．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）45，64.5；
（2）；
（3）40%，理由见解析．
【分析】（1）由百分位数的计算公式即可求解；
（2）由古典概型概率公式即可求解；
（3）由同比增长15%，计算出接待人数超70人次的天数，即可判断；
【解答】解：（1）由茎叶图可知，该组数据共20个数，
由0.16×20＝3.2，0.7×20＝14，
可知该组数据的第16、70百分位数分别是：
序列表中的第4个值、与第14、第15数值的平均值，
即分别为：45、64.5；
（2）现从这20天中随机抽取1天，
在50和69之间的数据有：
51，53，54，56，57，59，60，62，64，65，6811个值．
由于总共有20个数据点，因此所求概率是：；
（3）由于接待人数的分布情况与去年相同，
日均接待人数将同比增长15%，于是接待人数超70人次的天数有：
62×1.15＝71.3，64×1.15＝73.6，65×1.15＝74.75，68×1.15＝78.2，
71×1.15＝81.65，73×1.15＝83.95，75×1.15＝86.25…，82×1.15＝94.3，
合计8天．
于是接待人数超过70人次的天数所占比例为：．
综上，估计今年进博会期间，接待人数超过70人次的天数所占比例为40%．
【点评】本题考查茎叶图，考查百分位数的求法，训练了古典概型概率公式的应用，是基础题．
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