【期末押题预测】期末核心考点 平面向量及其应用（含解析）2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）

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期末核心考点 平面向量及其应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025 河南模拟）如图，在梯形ABCD中，BC＝3，AD＝2，AD∥BC，，点M满足，点N满足，且，则AB＝（　　）
A．3 B．4 C．9 D．12
2．（2025春 上饶期中）已知点A（﹣3，7），B（5，﹣2），则（　　）
A．（﹣8，9） B．（8，﹣9） C．（8，9） D．（﹣8，﹣9）
3．（2025 陕西模拟）在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD，，BC＝2，CD＝1，则其外接圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 漳州期中）在△ABC中，已知，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．2
5．（2025春 东昌府区校级期中）在△ABC中，已知A（2，3），B（6，﹣4），G（4，﹣1）是中线AD上一点，且，那么点C的坐标为（　　）
A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，2）
6．（2025春 浙江期中）已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 东昌府区校级期中）已知向量（4，1），（2，m），且，则m＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湘潭模拟）记圆O是△ABC的外接圆，且AB＝6，AC＝4，，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．圆O的周长为
（多选）9．（2025春 贵州期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若，则角A的度数是
B．若，则△ABC面积的最大值为
C．若，则△ABC为等腰三角形
D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形
（多选）10．（2025 贵阳模拟）已知向量（2，1），（m，﹣2），且在方向的投影向量为，则（　　）
A．若∥，则m＝﹣3 B．若||＝||，则m＝1
C．若2，则m＝5 D．若，则
三．填空题（共3小题）
11．（2025 宁德三模）已知向量与的夹角为，则 　 　 ．
12．（2025春 上饶期中）若向量，，且，则λ＝ 　 　 ．
13．（2025春 道外区期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则A＝ 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 宁德三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，，记．
（1）求函数f（A）的最大值；
（2）若，求△ABC的面积．
15．（2025 罗湖区校级模拟）已知锐角△ABC中，．
（1）求；
（2）设AB边上的高为2，求AB．
期末核心考点 平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 河南模拟）如图，在梯形ABCD中，BC＝3，AD＝2，AD∥BC，，点M满足，点N满足，且，则AB＝（　　）
A．3 B．4 C．9 D．12
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，设AB＝n，根据条件写出各点坐标，利用MN，可求得AB．
【解答】解：如图，
以B为原点建立平面直角坐标系，设AB＝n，
由已知得，M（1，0），A（，），D（2，），
C（3，0），N（，），
所以MN，整理得n2+3n﹣18＝0，解得n＝3（负根舍去）．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标，属于中档题．
2．（2025春 上饶期中）已知点A（﹣3，7），B（5，﹣2），则（　　）
A．（﹣8，9） B．（8，﹣9） C．（8，9） D．（﹣8，﹣9）
【考点】平面向量加减法的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量的坐标运算，即可得到结果．
【解答】解：点A（﹣3，7），B（5，﹣2），
则．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
3．（2025 陕西模拟）在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD，，BC＝2，CD＝1，则其外接圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，即AD＝BC＝2，可得△ADC的外接圆的半径即为四边形ABCD的外接圆的半径，由余弦定理及正弦定理可得半径的大小
【解答】解：由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，即AD＝BC＝2，
所求即△ADC的外接圆的半径即为四边形ABCD的外接圆的半径，
在△ACD中，，BC＝2，CD＝1，
由余弦定理可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD CD cos∠ADC＝4+1﹣2×2×1×（）＝7，
可得，
设△ACD的外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R，即2R，
解得R．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
4．（2025春 漳州期中）在△ABC中，已知，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；解三角形．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用向量点积公式求得|CA| |CB|，利用同角三角函数关系求得sinC，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：在△ABC中，已知，
又，
所以，
解得|CA| |CB|＝5，
又因为0＜C＜π，
所以．
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了同角三角函数关系及三角形面积公式，属中档题．
5．（2025春 东昌府区校级期中）在△ABC中，已知A（2，3），B（6，﹣4），G（4，﹣1）是中线AD上一点，且，那么点C的坐标为（　　）
A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，2）
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】结合重心坐标公式，即可求解．
【解答】解：G（4，﹣1）是中线AD上一点，且，
则G为三角形ABC的中心，
设C（x，y），
A（2，3），B（6，﹣4），G（4，﹣1）
则，解得．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
6．（2025春 浙江期中）已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用两向量模长之间的关系计算可得，再由夹角的计算公式代入可得结果．
【解答】解：根据题意，两个非零向量，同时满足，
同时平方可得，
变形可得，
则（）222﹣2 32，则||||，
所以，
又，所以．
即向量与的夹角的大小为．
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
7．（2025春 东昌府区校级期中）已知向量（4，1），（2，m），且，则m＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
【解答】解：向量（4，1），（2，m），
则，
，
则4（1+m）＝6，解得m．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湘潭模拟）记圆O是△ABC的外接圆，且AB＝6，AC＝4，，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．圆O的周长为
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，由O是△ABC的外接圆和O符合，可知O，A在BC的中垂线上，推出矛盾即可判断；对于B，由数量积定义计算即可；对于C，对等式两边同时乘以，可求，进而得到，利用面积公式即可求；对于D，由余弦定理可得，由正弦定理可求圆O的半径即可得周长．
【解答】解：对于A，因为圆O是△ABC的外接圆，
所以O是△ABC的外心，即点O在BC的中垂线上，
若O符合，则A也应在BC的中垂线上，
故AB＝AC，由题设知AB≠AC，故A错误；
对于B，因为O是△ABC的外心，所以O在AB的中垂线上，
所以18，故B正确；
对于C，对等式两边同时乘以，
可得，
所以，
解得，故，，
所以△ABC的面积为，故C正确；
对于D，由余弦定理可得，
解得，
由正弦定理，，
所以圆O的半径为，其周长为，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
（多选）9．（2025春 贵州期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（　　）
A．若，则角A的度数是
B．若，则△ABC面积的最大值为
C．若，则△ABC为等腰三角形
D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】AC
【分析】A选项，由余弦定理得到，求出；B选项，由余弦定理和基本不等式求出bc≤16，进而求出面积的最大值；C选项，由向量数量积运算法则化简得到cosA＝cosC，故A＝C，C正确；D选项，由二倍角公式和正弦定理得到sin2A＝sin2B，故A＝B或，D错误．
【解答】解：A选项，，
由余弦定理可得，，
又A∈（0，π），故，A正确；
B选项，，由余弦定理得，
故16+bc＝b2+c2≥2bc，解得bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，
故，B错误；
C选项，若，则，
即，，
所以，
所以cosA＝cosC，即A＝C，即△ABC为等腰三角形，C正确；
D选项，若acosA＝bcosB，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，
所以A＝B或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正弦定了，余弦定理，基本不等式，二倍角公式的应用，属于中档题．
（多选）10．（2025 贵阳模拟）已知向量（2，1），（m，﹣2），且在方向的投影向量为，则（　　）
A．若∥，则m＝﹣3 B．若||＝||，则m＝1
C．若2，则m＝5 D．若，则
【考点】平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】由向量平行的坐标运算计算可判断A；由向量模的计算可得，再由数量积的坐标运算计算可判断B；由投影向量计算可得，由数量积的坐标计算即可判断C；由投影向量计算可判断D．
【解答】解：对于A，因为（2，1），（m，﹣2），且，所以m＝﹣4，故A错误；
对于B，因为||＝||，所以两边平方可得：，
因为（2，1），（m，﹣2），所以，所以m＝1，故B正确；
对于C，因为在方向的投影向量为，，所以，
因为，所以，所以2m﹣2＝10，所以m＝6，故C错误；
对于D，因为在方向的投影向量为，且，所以，
因为，所以，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算和投影向量的求解，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 宁德三模）已知向量与的夹角为，则 　1　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据向量的数量积和模长的运算即可得出结果．
【解答】解：已知向量与的夹角为，
∵，
∴
，
整理得，解得（舍）．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
12．（2025春 上饶期中）若向量，，且，则λ＝ 　5　 ．
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及垂直的坐标表示，即可求解．
【解答】解：由题意可知，，
又，
所以，解得λ＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算及垂直的坐标表示，属于基础题．
13．（2025春 道外区期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则A＝ 　　 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】利用正弦定理边化角，计算可得，可求A．
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，
又sinB＞0，可得，
又因为A∈（0，π），所以．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 宁德三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，，记．
（1）求函数f（A）的最大值；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由数量积的定义、二倍角的正弦公式化简和辅助角公式f（A），再由三角函数的性质即可得出答案；
（2）先求出A，由两角和的余弦公式求出，由正弦定理求出bc，再由三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）因为，，
所以
，
又因为，所以，
所以，
所以f（A）的最大值为；
（2）由（1）知若，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
由正弦定理知，
所以，所以bc＝1，
所以S△ABCbcsinA1．
【点评】本题考查数量积的运算性质的应用及辅助角公式的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
15．（2025 罗湖区校级模拟）已知锐角△ABC中，．
（1）求；
（2）设AB边上的高为2，求AB．
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）36．
【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简，然后结合同角基本关系即可求解；
（2）结合同角基本关系及两角和的正切公式可求tanA，tanB，然后结合锐角三角函数定义即可求解．
【解答】解：（1）∵，，
∴，sinAcosB﹣sinBcosA，
，sinAcosB，
∴tanA＝2tanB，即．
（2）∵，
则cos（A+B），tan（A+B），
即
解得tanB（舍负），tanA＝2，
AB上的高为CD＝2，则AB＝AD+DB36．
【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
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