【期末押题预测】期末核心考点 事件的相互独立性（含解析）2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）

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期末核心考点 事件的相互独立性
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 西湖区校级期末）从集合{1，2，3，4，5}中依次不放回的任取两个数，记事件A＝“第一次取出的数字是1”，事件B＝“取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（　　）
A．事件A，B相互独立 B．
C．AB为不可能事 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
2．（2025春 沈阳期中）已知事件A，B相互独立，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 三明期中）数轴上一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动8次，则质点位于﹣2的位置的概率是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025春 长宁区校级期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（　　）
A．两人都中靶的概率为0.12
B．两人都不中靶的概率为0.42
C．恰有一人中靶的概率为0.46
D．至少一人中靶的概率为0.74
5．（2025春 东城区校级期中）进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，接收方收到0（正确）的概率为α，收到1（错误）的概率为1﹣α；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为β，收到0（错误）的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三重传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次．无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码．译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列结论中正确的是（　　）
A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）×β2
B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为（1﹣α）α2+α3
C．发送0，若0.5＜α＜1，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D．当α＝β时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
6．（2025春 新泰市校级期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（　　）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．11次传球后球在甲手上的概率是
D．n次传球后球在甲手上的概率是
7．（2025春 济南校级期中）甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响．则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 景德镇校级模拟）现有甲、乙、丙、丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件M＝“所选学生擅长乒乓球”，事件N＝“所选学生擅长篮球”，事件H＝“所选学生擅长足球”，则（　　）
A．M与N互斥 B．M与H互斥
C．M与N相互独立 D．M与H相互独立
（多选）9．（2025春 邢台期中）甲、乙两人竞争某公司同一个岗位，公司设计了一个面试方案：公司准备了4个问题，先从这4个问题中随机选取3个问题让甲、乙分别作答，回答正确个数多的一方获胜，若回答正确的个数相同，则甲、乙对剩下1个问题进行抢答，抢到问题并回答正确的一方获胜，否则对方获胜．已知甲在4个问题中有3个问题能回答正确，乙每个问题回答正确的概率都是，抢答环节两人抢到问题是等可能的，且两人每个问题回答正确与否互不影响，则（　　）
A．只回答完前3个问题，甲获胜的概率为
B．只回答完前3个问题，乙获胜的概率为
C．进入抢答环节且甲抢到问题并获胜的概率为
D．进入抢答环节且甲获胜的概率为
（多选）10．（2025春 沈阳期中）如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为，分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为xn，yn，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 绵阳模拟）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立．若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为　 　 ．
12．（2025春 辽宁期中）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p（0＜p＜1），且各局比赛结果相互独立．若甲以3：1获胜的概率不高于甲以3：2获胜的概率，则p的取值范围为 　 　 ．
13．（2025春 崇川区校级月考）“端午节”是我国四大传统节日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，其民间活动也是丰富多彩，有赛龙舟、凤舟、吃粽子、饮雄黄、悬艾叶、驱五毒等等．某市为迎接端午，组织各式活动，其中赛龙舟竞争最为激烈，最终两队争夺赛事第一，若夺标赛为“三局两胜制”，甲队在每局比赛中获胜的概率为，且每场比赛结果相互独立，则在甲队获得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 桐乡市模拟）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求：
（1）赛完4局且甲获胜的概率；
（2）在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．
15．（2025春 通州区期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲、乙射击中靶与否互不影响，甲、乙每次射击中靶与否也互不影响．
（Ⅰ）甲、乙各射击1次，两人都脱靶的概率；
（Ⅱ）甲射击2次，恰有1次中靶的概率；
（Ⅲ）甲、乙各射击2次，记4次射击中至少有1次中靶”为事件M，记“4次射击中至多有1次中靶”为事件N．判断M与N是否相互独立．（结论不要求证明）
期末核心考点 事件的相互独立性
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 西湖区校级期末）从集合{1，2，3，4，5}中依次不放回的任取两个数，记事件A＝“第一次取出的数字是1”，事件B＝“取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（　　）
A．事件A，B相互独立 B．
C．AB为不可能事 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题设列举出所有情况及事件A，B的基本事件，结合独立事件判定，判定各项的正误．
【解答】解：从集合{1，2，3，4，5}中依次不放回的任取两个数，记事件A＝“第一次取出的数字是1”，事件B＝“取出的两个数之和为7”，
所有情况有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20种，
其中事件A有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），共4种，则，
事件B有（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），共4种，则，
显然AB不存在，即P（AB）＝0，故P（AB）≠P（A）P（B），A错，B、C对，
由A∪B有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），故，
所有P（A∪B）＝P（A）+P（B），D对．
故选：A．
【点评】本题考查相互独立事件以及古典概型相关知识，属于中档题．
2．（2025春 沈阳期中）已知事件A，B相互独立，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出P（），再由独立事件的概率乘法公式求解即可．
【解答】解：因为P（B），所以P（）＝1﹣P（B），
因为事件A，B相互独立，所以P（A）＝P（A）P（）．
故选：B．
【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（2025春 三明期中）数轴上一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动8次，则质点位于﹣2的位置的概率是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据n次独立重复实验相关知识可解．
【解答】解：已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，
根据题意，要使质点位于﹣2的位置，则8次移动中需要5次向左3次向右即可，
则移动8次，则质点位于﹣2的位置的概率是．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件概率相关知识，属于中档题．
4．（2025春 长宁区校级期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（　　）
A．两人都中靶的概率为0.12
B．两人都不中靶的概率为0.42
C．恰有一人中靶的概率为0.46
D．至少一人中靶的概率为0.74
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率公式计算求解．
【解答】解：设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，
则P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，
则两人都中靶的概率为P（A）×P（B）＝0.7×0.6＝0.42，故A错误；
两人都不中靶的概率为（1﹣P（A））×（1﹣P（B））＝0.3×0.4＝0.12，故B错误；
恰有一人中靶的概率为（1﹣P（A））×P（B）+P（A）（1﹣P（B））＝0.3×0.6+0.7×0.4＝0.46，故C正确；
至少一人中靶的概率为1﹣0.3×0.4＝0.88，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2025春 东城区校级期中）进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，接收方收到0（正确）的概率为α，收到1（错误）的概率为1﹣α；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为β，收到0（错误）的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三重传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次．无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码．译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列结论中正确的是（　　）
A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）×β2
B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为（1﹣α）α2+α3
C．发送0，若0.5＜α＜1，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D．当α＝β时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】应用题；整体思想；分析法；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得．
【解答】解：选项A，发送0时，收到0的概率为α；发送1时，收到1的概率为β，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为αβ2，故选项A错误；
选项B，发送0时，接收方收到0（正确）的概率为α，收到1（错误）的概率为1﹣α，
采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有0，0，1、0，1，0、1，0，0、0，0，0，
对应概率依次为α2（1﹣α）、α2（1﹣α）、α2（1﹣α）、α3，故所求概率为3（1﹣α）α2+α3，故选项B错误；
选项C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为3（1﹣α）α2+α3单次传输时，
发送数码0，译码为0的概率为α，
所以3（1﹣α）α2+α3﹣α＝3α2（1﹣α）﹣α（1+α）（1﹣α）＝α（2α﹣1）（1﹣α），
又0.5＜α＜1，则α（2α﹣1）（1﹣α）＞0，
即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，故选项C正确；
选项D：单次传输时，发送0，收到0的概率为α，发送1时，收到1的概率为β，
三重传输时，发送0，收到0的概率为3（1﹣α）α2+α3发送1，收到1的概率为3（1﹣β）β2+β3，
所以α＝β时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，
显然α＝β＝0.5或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
6．（2025春 新泰市校级期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（　　）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．11次传球后球在甲手上的概率是
D．n次传球后球在甲手上的概率是
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概型概率公式计算，即可判断A，B；记An表示n次传球后球在甲手中的事件，Pn＝P（An），利用相互独立事件概率及条件概率探求Pn+1与Pn的关系，再借助等比数列求解作答，从而可判断C，D．
【解答】解：第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，
2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故A错误；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：
甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，
3次传球后球在乙手中的事件有：
甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；
设n次传球后球在甲手上的事件记为An，则有，令pn＝P（An），
则，
∴，
∴，则，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即p1＝0，则有，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，即，
∴11次传球后球在甲手上的概率是，故C正确；故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2025春 济南校级期中）甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响．则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由独立事件概率乘法公式求出P（A），P（AB），再根据条件概率公式求解．
【解答】解：甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次，
甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，
甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响，
设甲、乙两人三次射击中至少命中目标两次为事件A，甲恰好命中目标两次为事件B，
则，
，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 景德镇校级模拟）现有甲、乙、丙、丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件M＝“所选学生擅长乒乓球”，事件N＝“所选学生擅长篮球”，事件H＝“所选学生擅长足球”，则（　　）
A．M与N互斥 B．M与H互斥
C．M与N相互独立 D．M与H相互独立
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据已知写出各事件对应情况并写出概率值，结合互斥事件、独立事件的定义判断各项的正误．
【解答】解：甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，
现从这四名同学中任选一位，
记事件M＝“所选学生擅长乒乓球”，事件N＝“所选学生擅长篮球”，事件H＝“所选学生擅长足球”，
由题设，M事件所选学生为甲或丙，且，
N事件所选学生为乙或丙，且，
H事件所选学生为丁，且，
显然M，N不互斥，存在都选丙的可能，且，A错、C对；
M，H互斥，即P（MH）＝0≠P（M）P（H），B对、D错．
故选：BC．
【点评】本题考查互斥事件，相互独立事件相关知识，属于中档题．
（多选）9．（2025春 邢台期中）甲、乙两人竞争某公司同一个岗位，公司设计了一个面试方案：公司准备了4个问题，先从这4个问题中随机选取3个问题让甲、乙分别作答，回答正确个数多的一方获胜，若回答正确的个数相同，则甲、乙对剩下1个问题进行抢答，抢到问题并回答正确的一方获胜，否则对方获胜．已知甲在4个问题中有3个问题能回答正确，乙每个问题回答正确的概率都是，抢答环节两人抢到问题是等可能的，且两人每个问题回答正确与否互不影响，则（　　）
A．只回答完前3个问题，甲获胜的概率为
B．只回答完前3个问题，乙获胜的概率为
C．进入抢答环节且甲抢到问题并获胜的概率为
D．进入抢答环节且甲获胜的概率为
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据古典概型和二项分布的概率公式，以及独立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：记前3个问题甲、乙回答正确的个数分别为X，Y，甲抢到问题为事件A，甲回答正确为事件B，乙抢到问题为事件C，乙回答正确为事件D，
则，P（X＝3），，P（Y＝3），P（Y＜2），
对于A，只回答完前3个问题，甲获胜的概率为P（X＝2）P（Y＜2）+P（X＝3）P（Y≤2），故A正确；
对于B，只回答完前3个问题，乙获胜的概率为P（X＝2）P（Y＝3），故B错误；
对于C，进入抢答环节且甲抢到问题并获胜的概率为P（X＝2）P（Y＝2）P（A）P（B），故C正确；
对于D，P（X＝2）P（Y＝2）P（A）P（B），
P（X＝2）P（Y＝2）P（C）P（），
P（X＝3）P（Y＝3）P（C）P（），
所以进入抢答环节且甲获胜的概率为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了古典概型和二项分布的概率公式，属于中档题．
（多选）10．（2025春 沈阳期中）如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为，分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为xn，yn，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】x1﹣y1＝2，即1秒后P，Q同时向左或向右一步，求出概率判断A；若x2+y2＝2，则x2＝0，y2＝2，或x2＝2，y2＝0，或x2＝4，y2＝﹣2，计算每种情况下的概率，再相加判断B；若x2＝y2，则x2＝y2＝0，或x2＝y2＝2，计算每种情况下的概率，再相加判断C；举反例令x＝1，判断D．
【解答】解：对于A，由题意x1﹣y1＝2，即1秒后P，Q同时向左或向右一步，
所以P（x1﹣y1＝2），故A正确；
对于B，若x2+y2＝2，则x2＝0，y2＝2，或x2＝2，y2＝0，或x2＝4，y2＝﹣2，
所以P（x2+y2＝2）22，故B错误；
对于C，若x2＝y2，则x2＝y2＝0，或x2＝y2＝2，
所以P（x2＝y2）22，故C正确；
对于D，P（x1＝y1），所以P（x1＝y1）＝P（x2＝y2），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 绵阳模拟）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立．若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为　0.42　 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.42．
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：已知他答对甲、乙、丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立．
由题意，至少能够连续将2道题都答对，
包含的情况有：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对，
则小张获得额外加分的概率为0.8×0.5+（1﹣0.8）×0.5×0.2＝0.42．
故答案为：0.42．
【点评】本题考查相互独立事件相关知识，属于基础题．
12．（2025春 辽宁期中）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p（0＜p＜1），且各局比赛结果相互独立．若甲以3：1获胜的概率不高于甲以3：2获胜的概率，则p的取值范围为 　（0，]　 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析．
【答案】．
【分析】分别求得甲以3：1获胜的概率p1，甲以3：2获胜的概率p2，再由p1≤p2求解．
【解答】解：题意可知，甲以3：1获胜的概率为，
甲以3：2获胜的概率为，
因为p1≤p2，
所以，
解得，
故p的取值范围为．
故答案为：
【点评】本题考查相互独立事件的乘法公式，属于基础题．
13．（2025春 崇川区校级月考）“端午节”是我国四大传统节日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，其民间活动也是丰富多彩，有赛龙舟、凤舟、吃粽子、饮雄黄、悬艾叶、驱五毒等等．某市为迎接端午，组织各式活动，其中赛龙舟竞争最为激烈，最终两队争夺赛事第一，若夺标赛为“三局两胜制”，甲队在每局比赛中获胜的概率为，且每场比赛结果相互独立，则在甲队获得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为 　　 ．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据条件概率的公式求解．
【解答】解：设甲队获得冠军的概率为事件A，
则P（A），
甲乙两队进行了3局比赛记为事件B，
则P（AB），
则在甲队获得冠军的条件下，甲、乙两队进行了3局比赛的概率为P（B|A）．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 桐乡市模拟）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求：
（1）赛完4局且甲获胜的概率；
（2）在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意只需要前三局甲任意赢两场即可，利用相互独立事件乘法公式即可；
（2）分比赛4局或比赛5局，再结合相互独立事件乘法公式即可．
【解答】解：（1）已知如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，
若赛完4局且甲获胜，则概率为；
（2）在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜，
若比赛4局，则P；
若比赛5局，则P，
则在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率为．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于中档题．
15．（2025春 通州区期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲、乙射击中靶与否互不影响，甲、乙每次射击中靶与否也互不影响．
（Ⅰ）甲、乙各射击1次，两人都脱靶的概率；
（Ⅱ）甲射击2次，恰有1次中靶的概率；
（Ⅲ）甲、乙各射击2次，记4次射击中至少有1次中靶”为事件M，记“4次射击中至多有1次中靶”为事件N．判断M与N是否相互独立．（结论不要求证明）
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）0.02；
（Ⅱ）0.32；
（Ⅲ）M与N不相互独立．
【分析】（Ⅰ）设事件A＝“甲射击中靶”，事件B＝“乙射击中靶”，求P（）P（）即可；
（Ⅱ）利用二项分布求概率公式求解即可；
（Ⅲ）分别求出P（MN），P（M），P（N），再由独立事件的概率乘法公式判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设事件A＝“甲射击中靶”，事件B＝“乙射击中靶”，
甲、乙各射击1次，两人都脱靶的概率P1＝P（）P（）＝（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.02；
（Ⅱ）甲射击2次，恰有1次中靶的概率P20.8×（1﹣0.8）＝0.32；
（Ⅲ）M与N不相互独立．
事件MN表示4次射击恰有1次中靶，则P（M）＝1﹣（0.22×0.12）＝0.9996，
P（N）＝0.22×0.120.2×0.8×0.120.1×0.9×0.22＝0.0108，
P（MN）0.2×0.8×0.120.1×0.9×0.22＝0.0104，
所以P（MN）≠P（M）P（N），事件M与N不相互独立．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式，结合二项分布求概率等相关知识，属于中档题．
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