【期末押题预测】期末核心考点 随机事件与概率（含解析）2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）

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期末核心考点 随机事件与概率
一．选择题（共7小题）
1．（2025 河北模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 商丘期中）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X＝4}表示的试验结果是（　　）
A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中
C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次
3．（2025春 温州期中）如图所示，5颗串珠用一根细线串起．现将它们依次取出（只允许从两边取出），一次取一颗，两颗合☆☆串珠被连续取出的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 惠山区校级期中）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 南岸区期中）某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　）
A．28% B．32% C．35% D．40%
6．（2025春 龙岩期中）给定事件A，B，C，且P（C）＞0，现有下列结论：
①若P（A）＞0，P（B）＞0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立；
②若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则A，B，C两两独立；
③若，则A，B相互独立；
④若P（A|C）+P（B|C）＝1，则A，B互为对立事件．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2025春 石家庄期中）今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 邢台期中）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率α＝0.005的χ2独立性检验，零假设为H0：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（　　）
等参考公式与数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
A．可以推断H0成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关
B．可以推断H0不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关
C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
D．在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为
（多选）9．（2025 重庆模拟）某班在一次模拟测试后，随机抽取9名学生的成绩作为样本，这9名学生的成绩分别为66，70，75，78，80，82，85，90，94，则下列说法正确的是（　　）
A．估计这次该班的测试成绩的平均分为80
B．样本的平均数和中位数相同
C．从样本中任取两人的成绩，这两人的成绩均大于平均分的概率为
D．当样本中加入80形成新样本时，新样本的方差比原样本的方差小
（多选）10．（2025 渭南三模）甲、乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（　　）
A．甲组数据的第80百分位数是249
B．乙组数据的中位数是251
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
三．填空题（共3小题）
11．（2025 安徽模拟）已知数集A＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}，现随机从A和B中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数X和Y，则事件“X＞Y”的概率为 　 　 ．
12．（2025春 长宁区校级期中）从1～6个6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为 　 　 ．
13．（2025 裕华区校级模拟）甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 石家庄模拟）有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算：
第Ⅰ台：输入（a，b），则输出（a+1，b+1）；
第Ⅱ台：输入（a，b），则输出，仅当a，b同为偶数时；
第Ⅲ台：输入（a，b），（b，c），则输出 （a，c）．
若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入（2，5），通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到（3，6），（4，7），（5，8）；通过第Ⅲ台自动打印机输入（2，5），（5，8）可以得到（2，8）；通过第Ⅱ台自动打印机输入（2，8）可以得到（1，4）．
运算过程简单表示为：
→（2，8）→（1，4）
通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1．
根据上述运算回答下面问题：
（1）若输入（3，17），输出（1，8），试列举一个完整运算过程；
（2）若输入（5，19），能否得到（1，100），并说明理由；
（3）若输入（a，b），其中1≤a＜b≤5n+1（n∈N*），通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对（1，1+5k）（k∈N*）的概率为Pn，证明：．
15．（2025 凉山州模拟）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质，要让孩子们动起来，互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
（1）为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查、得到2×2列联表如下：
喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计
男性 60 40 100
女性 45 55 100
合计 105 95 200
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
（2）某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为an．
（i）计算a1，a2，并求{an}的通项公式；
（ii）记第n次传球之后球在乙手上的概率为bn，求{bn}的通项公式．
附：．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
期末核心考点 随机事件与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 河北模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，应用古典概率的求法求概率．
【解答】解：抛掷两枚质地均匀的骰子共有6×6＝36种不同的结果，
向上的点数之和为4的倍数有：（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），共9种情况，
由古典概型的概率公式可知，所求概率为P．
故选：B．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
2．（2025春 商丘期中）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X＝4}表示的试验结果是（　　）
A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中
C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次
【考点】随机事件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据变量的意义进行判断．
【解答】解：根据题意，某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，X表示篮次数，
则{X＝4}即投篮次数为4次，表示前3次投篮均未命中．
故选：C．
【点评】本题考查随机变量的定义，涉及随机事件的表示，属于基础题．
3．（2025春 温州期中）如图所示，5颗串珠用一根细线串起．现将它们依次取出（只允许从两边取出），一次取一颗，两颗合☆☆串珠被连续取出的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用两个原理及古典概率公式求解即可．
【解答】解：依题意，前4次取珠，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种情况，因此不同取法种数为24，
第1，2次取“☆☆”，再取另3颗珠有4种方法；
第2，3次取“☆☆”，则第1次取右起第一颗，共有2种方法；
第3，4次取“☆☆”，则第1，2次取右起两颗，有1种取法；
第4，5次取“☆☆”，则第1，2，3次取右起三颗，有2种取法，
因此两颗☆☆串珠被连续取出的方法种数是4+2+1+2＝9，
所以所求概率为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
4．（2025春 惠山区校级期中）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．
【解答】解：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．
故选：D．
【点评】本题考查超几何分布的概率公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2025春 南岸区期中）某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　）
A．28% B．32% C．35% D．40%
【考点】概率的应用；全概率公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，由全概率公式即可求解．
【解答】解：根据题意，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%，且等待超过15分钟的概率依次为：20%、40%、30%．
则选择A店并超时的概率为：30%×20%＝6%；
选择B店并超时的概率为：50%×40%＝20%；
选择C店并超时的概率为：20%×30%＝6%；
所以等待超过15分钟的概率为6%+20%+6%＝32%，
故选：B．
【点评】本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
6．（2025春 龙岩期中）给定事件A，B，C，且P（C）＞0，现有下列结论：
①若P（A）＞0，P（B）＞0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立；
②若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则A，B，C两两独立；
③若，则A，B相互独立；
④若P（A|C）+P（B|C）＝1，则A，B互为对立事件．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析①，由相互独立事件的性质分析②和③，举出反例可得④错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次4个结论：
对于①，若P（A）＞0，P（B）＞0，且A，B互斥，则P（AB）＝0，而P（A）P（B）＞0，则A，B不可能相互独立，①正确；
对于②，若A，B，C两两独立，由独立事件的乘法公式得，P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），
P（BC）＝P（B）P（C），无法确定P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），②错误；
对于③，若P（A）＝P（A）﹣P（A）P（B），而P（A）＝P（A）﹣P（AB），则有P（AB）＝P（A）P（B），A，B相互独立，③正确；
对于④，当A＝B且P（A|C）时，满足P（A|C）+P（B|C）＝1，但A、B不是对立事件，④错误．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及对立事件的性质，属于基础题．
7．（2025春 石家庄期中）今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解．
【解答】解：分以下两种情况讨论：
（1）观看《哪吒2》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分配给两部电影，
此时所求概率为；
（2）小明和其中一人同时看《哪吒2》，另外两人看剩余三部电影中的两部，
此时所求概率为；
综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率的求解，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 邢台期中）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率α＝0.005的χ2独立性检验，零假设为H0：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（　　）
等参考公式与数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
A．可以推断H0成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关
B．可以推断H0不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关
C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
D．在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为
【考点】概率的应用；求解条件概率；独立性检验．
【专题】应用题；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题可得如下表格根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可推断H0不成立，即A错误，B正确；根据图表计算概率即可判断CD．
【解答】解：由题可得如下表格：单位：人
每周锻炼时间 短跑成绩 合计
合格 不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
根据表中的数据，可得.774＞7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可推断H0不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关，即A错误，B正确；
设事件A＝“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件B1＝“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，
短跑成绩不合格”，B2＝“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，
则，，
，，
所以P（A），即C正确；
所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，
学生甲短跑成绩合格的概率为，易得在学生甲短跑成绩合格的情况下，
学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为，即D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查概率的应用，属于中档题．
（多选）9．（2025 重庆模拟）某班在一次模拟测试后，随机抽取9名学生的成绩作为样本，这9名学生的成绩分别为66，70，75，78，80，82，85，90，94，则下列说法正确的是（　　）
A．估计这次该班的测试成绩的平均分为80
B．样本的平均数和中位数相同
C．从样本中任取两人的成绩，这两人的成绩均大于平均分的概率为
D．当样本中加入80形成新样本时，新样本的方差比原样本的方差小
【考点】古典概型及其概率计算公式；平均数；中位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据平均数、中位数和方差的定义可判断ABD，根据古典概型的概率公式可判断C．
【解答】解：对于A，这9名学生的成绩的平均数为80，
用样本估计总体，估计这次该班的测试成绩的平均分为80分，故A正确；
对于B，这9名学生的成绩的中位数为80，
所以样本的平均数和中位数相同，故B正确；
对于C，9名学生中成绩均大于平均分的有4名，
所以从样本中任取两人的成绩，这两人的成绩均大于平均分的概率为P，故C错误；
对于D，设原样本的方差为s2，
样本中加入80形成新样本时，平均数不变，还是80，
则新样本的方差为，
所以新样本的方差比原样本的方差小，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了平均数、中位数和方差的定义，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
（多选）10．（2025 渭南三模）甲、乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（　　）
A．甲组数据的第80百分位数是249
B．乙组数据的中位数是251
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
【考点】古典概型及其概率计算公式；平均数；中位数；百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用百分位数计算公式即可判断选项A；根据中位数定义即可判断选项B；根据古典概型概率公式和独立事件的乘法公式即可判断选项C；求出两者平均数并比较即可判断选项D．
【解答】解：对于A，因为10×0.8＝8，
所以甲组数据的第80百分位数是，故A错误；
对于B，乙组数据共有12个数字，
所以乙组数据的中位数是，故B正确；
对于C，设“从甲组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件A，
因为甲组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，所以；
设“从乙组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件B，
因为乙组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，所以，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，则事件A，事件B相互独立，
所以“两人跳远成绩均在250厘米以上”概率为，故C正确；
对于D，甲组的跳远平均成绩为，
乙组的跳远平均成绩为，
则将乙组中跳远成绩为248厘米的成员调派到甲组后，甲，乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了百分位数、中位数和平均数的定义，考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 安徽模拟）已知数集A＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}，现随机从A和B中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数X和Y，则事件“X＞Y”的概率为 　　 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式；相互独立事件的概率乘法公式；其他组合形式及计算．
【专题】分类讨论；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】由古典概型的概率公式结合相互独立事件概率的乘法公式求解可得答案．
【解答】解：因为A＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}，
所以X＞Y可分为两类：
X中有7时X＞Y和X中无7时X＞Y，
由题意可得：P（X中有7），P（X中无7），
若X中含7，则X＞Y；
若X中无7的情况下：，
此时，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型及事件的关系问题，属于中档题．
12．（2025春 长宁区校级期中）从1～6个6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为 　　 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用古典概型的概率公式，结合组合数公式算出答案．
【解答】解：从1～6的6个数字中任取两个不同的数，有15个不同结果，
其中取出的两个数字和为奇数的基本事件有9个，
所以这两个数字和为奇数的概率为P1，可知两个数字和为偶数的概率P2＝1﹣P1．
故答案为：．
【点评】本题主要考查组合数公式、古典概型的概率公式等知识，属于基础题．
13．（2025 裕华区校级模拟）甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为 　　 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】求出五次传球总的传球结果数，然后分析如何传球才能使得满足题意，分别求出其可能的结果数，然后求和．最后利用古典概型求出概率即可．
【解答】解：甲、乙、丙3人做传球游戏，每次传球都有两种选择，所以5次传球共有25＝32种传球结果．
因为从甲开始，最后回到甲手上，所以第一次传球后不可能是甲接到球，第四次传球后不可能是甲接到球．
如果第二次传球不是甲接到球，第三次传球后也不是甲接到球，则有2×1×1×1×1＝2种传球结果；
如果第二次传球不是甲接到球，第三次传球后是甲接到球，则有2×1×1×2×1＝4种传球结果；
如果第二次传球是甲接到球，则第三次传球后不是甲接到球，所以共有2×1×2×1×1＝4种传球结果；
所以甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里共有4+2+4＝10种传球的结果，
所以甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里得概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 石家庄模拟）有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算：
第Ⅰ台：输入（a，b），则输出（a+1，b+1）；
第Ⅱ台：输入（a，b），则输出，仅当a，b同为偶数时；
第Ⅲ台：输入（a，b），（b，c），则输出 （a，c）．
若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入（2，5），通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到（3，6），（4，7），（5，8）；通过第Ⅲ台自动打印机输入（2，5），（5，8）可以得到（2，8）；通过第Ⅱ台自动打印机输入（2，8）可以得到（1，4）．
运算过程简单表示为：
→（2，8）→（1，4）
通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1．
根据上述运算回答下面问题：
（1）若输入（3，17），输出（1，8），试列举一个完整运算过程；
（2）若输入（5，19），能否得到（1，100），并说明理由；
（3）若输入（a，b），其中1≤a＜b≤5n+1（n∈N*），通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对（1，1+5k）（k∈N*）的概率为Pn，证明：．
【考点】概率的应用．
【专题】应用题；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）过程见解析；
（2）理由见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据题目说明写出计算过程即可；
（2）因为输入的（5，19）两数之差是7的倍数，第Ⅰ台自动打印机运算，两个数都加1，运算后两数之差仍是7的倍数，同理第Ⅱ台第Ⅲ台都是7的倍数，所以（a，c）也是7的倍数，而100﹣1＝99不能被7整除，所以不能得到（1，100）；
（3）因为1≤a＜b≤5n+1，所以，由（2）可知只有当b﹣a是5的倍数时符合题意，即证明1≤m＜m+5k≤5n+1，m，k∈N*输入（m，m+5k），所以，即可得证．
【解答】解：（1）若输入（3，17），则（3，17）→（4，18）→（2，9）→……→（9，16），
再输入（2，9），（9，16）得（2，16）→（1，8）；
（2）不能得到（1，100），输入的（5，19）两数之差是7的倍数，
第Ⅰ台自动打印机运算，两个数都加1，运算后两数之差仍是7的倍数；
第Ⅱ台自动打印机仅当两个数都是偶数时才能运算，所以运算后两数之差也是7的倍数，
第Ⅲ台自动打印机输入的两组数对（a，b），（b，c）的差都是7的倍数，
所以（a，c）也是7的倍数，
综上，通过三台自动打印机运算得到的两数之差都是7的倍数，
而100﹣1＝99不能被7整除，所以不能得到（1，100）；
（3）证明：设An为（a，b）的所有情况数，因为1≤a＜b≤5n+1，
所以；
由（2）可知只有当b﹣a是5的倍数时符合题意，
下面证明：假设1≤m＜m+5k≤5n+1，m，k∈N*输入（m，m+5k），
则（m，m+5k）→（m+1，m+1+5k）→（m+2，m+2+5k）→…→（m+5k，m+10k）
再输入（m，m+5k），（m+5k，m+10k）得（m，m+10k），
因为m，m+10k的奇偶性相同，所以一定可以得到或，
因为m∈N*，所以或，这样就将自然数对的第一个自然数变小了，
重复上面的运算就可以得到（1，1+5k）（k∈N”），
设通过上面运算可以得到（1，1+5k）（k∈N”）的所有情况数为Bn由上述证明可知：
若输入（a，b），其中1≤a＜b≤5n+1（n∈N”），
可以得到（1，1+5k）（k∈N”），则b﹣a是5的倍数，
所以当a＝1时，b可以取6，11，…，5n+1，共有n中取法，
当a＝2时，b可以取7，12，…，5n﹣3，共有n﹣1中取法，
当a＝3时，b可以取8，13，…，5n﹣2，共有n﹣1中取法，
当a＝4时，b可以取9，14，…，5n﹣1，共有n﹣1中取法，
当a＝5时，b可以取10，15，…，5n，共有n﹣1中取法，
当a＝6时，b可以取11，16，…，5n+1，共有n﹣1中取法，
当a＝7时，b可以取12，17，…，5n﹣3，共有n﹣2中取法，
…
当a＝5n﹣4时，b可以取5n+1，共有1中取法，
所以，
所以，所以．
【点评】本题考查概率的应用，属于难题．
15．（2025 凉山州模拟）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质，要让孩子们动起来，互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
（1）为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查、得到2×2列联表如下：
喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计
男性 60 40 100
女性 45 55 100
合计 105 95 200
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
（2）某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为an．
（i）计算a1，a2，并求{an}的通项公式；
（ii）记第n次传球之后球在乙手上的概率为bn，求{bn}的通项公式．
附：．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】概率的应用；独立性检验；数列递推式．
【专题】应用题；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）喜爱排球运动与性别无关；
（2）（i），；
（ii）．
【分析】（1）首先计算卡方统计量并与临界值比较，再判断是否拒绝原假设（性别与喜爱排球无关）；
（2）（i）通过题目信息直接计算a1，a2，再写出递推式n≥2时，，化简即可；
（ii）根据题目写出递推式化简即可求出．
【解答】解：（1）假设H0喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关，
根据列联表数据，经计算得，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成立，
可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关；
（2）（i）由题意，，，
且n≥2时，，
所以，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即；
（ⅱ）由题意，且n≥2时，
，
所以，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
则，
即．
【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．
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