专题01 数与式的有关计算
（实数、整式、分式、二次根式及因式分解）
题型01 实数计算
实数计算是安徽中考数学的基础，分值占比约5%-10%，贯穿全卷，直接影响代数、几何等综合题的准确性。
1.考查重点：四则运算、绝对值、科学记数法、近似值及运算律应用，常以填空、选择或计算题形式出现。
2.高频题型：混合运算、实数与数轴结合题、实际应用（如估算、测量误差）。
3.能力要求：强调运算顺序、符号处理及基本性质灵活运用，是解决复杂问题的前提。
近年中考注重运算过程规范性，建议强化基础训练，避免因计算失误失分。
相反数 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. （2）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数： （3）数轴：数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数（简称大数-小数）. （4）倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．倒数是本身的只有1和-1. （5）乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幂.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数.规定：a0=1（a≠0） （6）指数化简：不会改变原数的正负性； （7）特殊的三角函数值要记牢： 三角函数30°45°60°1
【典例分析】
例1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解；
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故选：C
【变式演练】
1．（2024·安徽滁州·二模）已知正整数m、n满足：，，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．27
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，，即可得，，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：．
【答案】3
【分析】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数幂，绝对值的代数意义，原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义化简，即可得到结果．
【详解】原式
故答案为：3．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：．
【答案】4
【分析】本题主要考查立方根，绝对值的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式．
题型02 整式的运算
代数式运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于方程、函数、几何等综合题型中。
1.高频考点：
化简求值（含整式、分式）、因式分解常以填空或计算题形式出现；
乘法公式（如平方差、完全平方公式）的应用是必考重点。
2.关键作用：
直接运用分式的化简运算化简规律题型的求值问题比较常见。
幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn； ③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。 整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b ； ②完全平方公式：（a±b） =a ±2ab+b 。 整式的加减： 合并同类项：把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除： 单项式乘单项式：①将单项式系数相乘作为积的系数;②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 单项式乘多项式：①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；②再把所得的积相加. 多项式乘多项式：①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，②再把所得的积相加． 单项式除单项式：①将单项式系数相除作为商的系数；②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 多项式除单项式：①先把这个多项式的每一项除以这个单项式；②再把所得的商相加。 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
【典例分析】
例．1．（2024·安徽六安·模拟预测）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂乘法和除法、幂的乘方等知识.根据运算法则计算后即可得到答案.
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意；
故选：D
【变式演练】
1．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是整式的运算及负整数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．利用合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，负整数幂运算法则，单项式除单项式的运算法则计算，积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，故不合题意；
B、，原式计算错误，故不合题意；
C、，原式计算正确，故符合题意；
D、，原式计算错误，故不合题意；
故选：C．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律．
（1）根据提供的算式写出第4个算式即可；
（2）根据规律写出通项公式然后证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：．
第4个等式为：；
（2）第n个等式为：；
证明：等式左边等式右边，猜想成立．
3．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)图4中有______个三角形，记作______．
(2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示）
(3)求的值．（结果用含的代数式表示）
【答案】(1)13，13
(2)，
(3)
【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键．
（1）由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第4个图形中有13个三角形；
（2）根据（1）中的规律即可得出第n个图形中有个三角形；
（3）根据题意得到，然后整理求解即可．
【详解】（1）∵第一个图中1个三角形，
第二个图中5个三角形，
第三个图中9个三角形，
∴图4中有13个三角形，记作
（2）由（1）可得，
图中有个三角形，记作；
（3）
．
题型03 分式的运算
分式运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于分式化简和分式方程中，以及规律题型的化简求值等综合题型中。
1.高频考点：
分式运算常以选择或规律题型形式出现；
分式的化简法则是必考重点。
2.关键作用：
代数式变形能力直接影响方程求解、函数分析的准确性。
1.分式的加减法： （1）同分母分式：分母不变，分子相加减，即； （2）异分母分式：先通分，化为同分母的分式，再加减。即 2.分式的乘除法： （1）分式的乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 （2）分式的除法：把除式的分子分母颠倒位置，再与被除式相乘。即 （3）分式的乘方：把分式的分子和分母分别乘方，即 （4）分式的混合运算：运算顺序：先算乘方。再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式。
【典例分析】
例．1．（2024·安徽·三模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先去括号，再通分，计算分式的减法运算即可．
【详解】解：
；
故选B
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·三模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把括号内两个分式通分，进行分式的减法运算，再计算分式的除法即可．
【详解】解：
；
故选B．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了数字类变化规律，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题目中所给式子的规律写出第5个等式即可；
（2）先得出规律，再分别计算等式左右两边，看是否相等，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第5个等式为：，即；
（2）解：由（1）可得：；
证明：左边，
右边，
左边右边，即成立．
3．（2024·安徽蚌埠·三模）观察等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
根据以上等式的规律，解答下列问题：
(1)直接写出第个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
（1）根据所给的式子的形式进行解答即可；
（2）对所给的式子进行总结，从而得出第个式子，再进行验证即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
∴第4个等式：；
∴第5个等式为；
故答案为∶ ；
（2）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式为；
∴第个等式为∶
证明∶左边
右边，
故猜想成立．
题型04二次根式的计算
二次根式运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于选择填空和解题中，是计算的基础。
1.高频考点：
二次根式运算常以选择或填空题形式出现；
关键作用：二次根式在计算无理数的运算时至关重要，特别是分母有理化的问题中。
【解题策略】
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = . 2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
【典例分析】
例．1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键．
先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·一模）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵,
∴,
故答案为：．
2．（2024·安徽合肥·三模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及负指数幂、去绝对值和二次根式的除法，根据运算法则先求负指数、取绝对值和除法，再加减运算即可．
【详解】解：原式．
3．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】．解：原式
当时，
原式
题型05 因式分解
因式分解运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于选择填空和计算中，还有在解答题中的计算过程中，是计算的基础。
1.高频考点：
因式分解常以选择或填空题形式出现，和计算题型中解方程出现；
2.关键作用：因式分解在填空题中常出现在第11题，在计算题中往往会作为方法解一元二次方程。
1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法： 3.公式法： ①运用平方差公式： ②运用完全平方公式： 4.十字相乘法：（口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 【特殊】①若，则必有因式 ②若，则必有因式 5.分组分解法： 6.换元法：如果多项式中某部分代数式重复出现，则可将这部分代数式用另一个字母代替。例如：分解因式，令，则原式= 7.因式分解的步骤：一提、二套、三检查。 一提：如果多项式中有公因式，应先提取公因式； 二套：如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： ①多项式有两项时，考虑运用平方差公式； ②多项式为三项时，考虑运用完全平方公式或十字相乘法； ③多项式为四项时，应考虑运用分组分解法。
【典例分析】
例．1．（2018·广西钦州·中考真题）因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：．
【变式演练】
1．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把进行因式分解，然后，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴原式，
故答案为：．
2．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行因式分解，分母有理化等知识．熟练掌握分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化是解题的关键．
先利用完全平方公式进行因式分解，然后计算乘法，最后进行减法运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
；
将代入得，原式．
3．（2020·安徽合肥·二模）观察以下等式：
第1个等式：23-22=13＋2×1＋1；
第2个等式：33-32=23＋3×2＋22；
第3个等式：43-42=33＋4×3＋32；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：__________________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）；（2）猜想出第个等式为，证明见解析．
【分析】（1）根据前三个等式归纳总结出规律即可得；
（2）先归纳总结出一般规律，得出第n个等式，再利用因式分解的方法分别计算等式的两边即可得证．
【详解】（1）由前三个等式可得：第4个等式为
故答案为：；
（2）猜想出第个等式为，证明如下：
等式的左边
等式的右边
则等式的左边等式的右边
所以等式成立．
【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，理解题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
1．（2025·安徽·一模）的相反数是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的减法，相反数的定义，先根据有理数的减法法则进行计算，再由相反数的定义求解即可．
【详解】解：，
故的相反数是，
故选：D．
2．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质、函数自变量的取值范围，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据二次根式中被开方数不能小于零即可求解．
【详解】解：根据二次根式的性质可得：中，
解得，
函数中自变量的取值范围是．
故答案为：．
3．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ．
【答案】
【分析】此题考查了立方根及平方根的知识．解题的关键是掌握立方根及平方根的定义，属于基础题．
根据平方根及立方根的定义，进行解答即可．
【详解】解：的平方根是，
，的立方根为．
故答案为：、．
4．（2023·安徽池州·一模）因式分解：
【答案】
【分析】根据完全平方公式展开，再合并，最后再提取公因式即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了提公因式及公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（2024·安徽合肥·三模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（2024·安徽池州·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、开立方，掌握这两个知识点是关键；根据零指数幂、求立方根即可完成．
【详解】解：；
故答案为：．
7．（2022·安徽·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】先将利用完全平方公式变形为，再代入值即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，运用完全平方公式进行计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足，则
【答案】
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、分式的求值、完全平方公式、因式分解等知识点，令，可推出；根据可得出，据此即可求解；
【详解】解：令，则，
∴，
则，即，
整理得：，
∴，
∴或；
当时，，解得：，
经检验，是方程的根；
当时，，此种情况不成立；
综上所述，，
故答案为：
9．（2024·安徽淮北·一模）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：．
【答案】2
【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
11．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列各式规律．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
………
(1)根据上述规律，请写出第5个等式： ；
(2)请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)．证明见解析
【分析】本题考查了分式规律的探索，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解．
（1）总结前4个分式的规律，即可得到答案；
（2）根据（1）的规律，总结得到，再利用分式的混合运算，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第五个等式为：．
故答案为：；
（2）解：由（1）猜想，第个等式为．
证明：等式左边
，
左边=右边，
等式成立．
12．（2024·安徽池州·三模）先化简：，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再根据分式有意义的条件得可选的整数为或或，选择一个代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
∵分式有意义，
∴，
∴在中可选的整数为或或，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
13．（2025·安徽亳州·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的乘绝对值等知识点，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键．
先根据殊角的三角函数值化简，然后根据二次根式和绝对值求解即可．
【详解】解：
．
14．（2024·安徽宿州·模拟预测）计算：
【答案】
【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的性质、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据乘方、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
15．（2024·安徽马鞍山·二模）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式：______．
(2)写出第个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据等式的计算规律填空即可；
（2）利用等式的计算得出规律，再证明左边等于右边即可．
本题主要考查了整式的运算---整式规律，解题的关键是：通过观察发现式子变化的特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【详解】（1）解：，
故答案为：，
（2）解：猜想第个等式为：，
证明：
，
故答案为：．
16．（2024·安徽·二模）【观察思考】
如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．
【规律发现】
第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；……
（1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示）
【规律应用】
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．
【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析
【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律：
（1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可；
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可．
【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
……
第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；
故答案为：；．
（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为．
为正整数，
，
每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多．
17．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：．
【答案】2
【分析】本题主要考查实数的混合运算，代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，立方根，绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
18．（2024·安徽·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算．化简绝对值、求出算术平方根、代入特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后计算加减即可．
【详解】解：
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 数与式的有关计算
（实数、整式、分式、二次根式及因式分解）
题型01 实数计算
实数计算是安徽中考数学的基础，分值占比约5%-10%，贯穿全卷，直接影响代数、几何等综合题的准确性。
1.考查重点：四则运算、绝对值、科学记数法、近似值及运算律应用，常以填空、选择或计算题形式出现。
2.高频题型：混合运算、实数与数轴结合题、实际应用（如估算、测量误差）。
3.能力要求：强调运算顺序、符号处理及基本性质灵活运用，是解决复杂问题的前提。
近年中考注重运算过程规范性，建议强化基础训练，避免因计算失误失分。
相反数 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. （2）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数： （3）数轴：数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数（简称大数-小数）. （4）倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．倒数是本身的只有1和-1. （5）乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幂.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数.规定：a0=1（a≠0） （6）指数化简：不会改变原数的正负性； （7）特殊的三角函数值要记牢： 三角函数30°45°60°1
【典例分析】
例1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽滁州·二模）已知正整数m、n满足：，，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．27
2．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：．
题型02 整式的运算
代数式运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于方程、函数、几何等综合题型中。
1.高频考点：
化简求值（含整式、分式）、因式分解常以填空或计算题形式出现；
乘法公式（如平方差、完全平方公式）的应用是必考重点。
2.关键作用：
直接运用分式的化简运算化简规律题型的求值问题比较常见。
幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn； ③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。 整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b ； ②完全平方公式：（a±b） =a ±2ab+b 。 整式的加减： 合并同类项：把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除： 单项式乘单项式：①将单项式系数相乘作为积的系数;②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 单项式乘多项式：①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；②再把所得的积相加. 多项式乘多项式：①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，②再把所得的积相加． 单项式除单项式：①将单项式系数相除作为商的系数；②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 多项式除单项式：①先把这个多项式的每一项除以这个单项式；②再把所得的商相加。 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
【典例分析】
例．1．（2024·安徽六安·模拟预测）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
3．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)图4中有______个三角形，记作______．
(2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示）
(3)求的值．（结果用含的代数式表示）
题型03 分式的运算
分式运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于分式化简和分式方程中，以及规律题型的化简求值等综合题型中。
1.高频考点：
分式运算常以选择或规律题型形式出现；
分式的化简法则是必考重点。
2.关键作用：
代数式变形能力直接影响方程求解、函数分析的准确性。
1.分式的加减法： （1）同分母分式：分母不变，分子相加减，即； （2）异分母分式：先通分，化为同分母的分式，再加减。即 2.分式的乘除法： （1）分式的乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 （2）分式的除法：把除式的分子分母颠倒位置，再与被除式相乘。即 （3）分式的乘方：把分式的分子和分母分别乘方，即 （4）分式的混合运算：运算顺序：先算乘方。再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式。
【典例分析】
例．1．（2024·安徽·三模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·三模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
3．（2024·安徽蚌埠·三模）观察等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
根据以上等式的规律，解答下列问题：
(1)直接写出第个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
题型04二次根式的计算
二次根式运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于选择填空和解题中，是计算的基础。
1.高频考点：
二次根式运算常以选择或填空题形式出现；
关键作用：二次根式在计算无理数的运算时至关重要，特别是分母有理化的问题中。
【解题策略】
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = . 2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
【典例分析】
例．1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·一模）已知，则 ．
2．（2024·安徽合肥·三模）计算：．
3．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中．
题型05 因式分解
因式分解运算是中考数学的基础核心内容，且贯穿于选择填空和计算中，还有在解答题中的计算过程中，是计算的基础。
1.高频考点：
因式分解常以选择或填空题形式出现，和计算题型中解方程出现；
2.关键作用：因式分解在填空题中常出现在第11题，在计算题中往往会作为方法解一元二次方程。
1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法： 3.公式法： ①运用平方差公式： ②运用完全平方公式： 4.十字相乘法：（口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 【特殊】①若，则必有因式 ②若，则必有因式 5.分组分解法： 6.换元法：如果多项式中某部分代数式重复出现，则可将这部分代数式用另一个字母代替。例如：分解因式，令，则原式= 7.因式分解的步骤：一提、二套、三检查。 一提：如果多项式中有公因式，应先提取公因式； 二套：如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： ①多项式有两项时，考虑运用平方差公式； ②多项式为三项时，考虑运用完全平方公式或十字相乘法； ③多项式为四项时，应考虑运用分组分解法。
【典例分析】
例．1．（2018·广西钦州·中考真题）因式分解 ．
【变式演练】
1．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ．
2．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中．
3．（2020·安徽合肥·二模）观察以下等式：
第1个等式：23-22=13＋2×1＋1；
第2个等式：33-32=23＋3×2＋22；
第3个等式：43-42=33＋4×3＋32；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：__________________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
1．（2025·安徽·一模）的相反数是（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ．
3．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ．
4．（2023·安徽池州·一模）因式分解：
5．（2024·安徽合肥·三模）计算： ．
6．（2024·安徽池州·模拟预测）计算： ．
7．（2022·安徽·模拟预测）若，则 ．
8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足，则
9．（2024·安徽淮北·一模）先化简，再求值：，其中
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：．
11．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列各式规律．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
………
(1)根据上述规律，请写出第5个等式： ；
(2)请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明．
12．（2024·安徽池州·三模）先化简：，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值．
13．（2025·安徽亳州·一模）计算：．
14．（2024·安徽宿州·模拟预测）计算：
15．（2024·安徽马鞍山·二模）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式：______．
(2)写出第个等式（用含n的式子表示），并证明．
16．（2024·安徽·二模）【观察思考】
如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．
【规律发现】
第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；……
（1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示）
【规律应用】
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．
17．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：．
18．（2024·安徽·模拟预测）计算：．
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