专题02 方程计算和实际问题
（一次方程、二次方程、分式方程、不等式的计算和实际问题）
题型01 一次方程计算和实际问题
一次方程计算包括一元一次方程和二元一次方程的计算，一般是以实际问题的形式出现的。
1.考查重点：一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
2.高频题型：实际问题形式。
3.能力要求：掌握实际问题中方程的解法，包括一元一次方程和二元一次方程组。
一元一次方程解法 （1）去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数。 （2）去括号：利用乘法分配律，进行去括号。 （3）移项：利用等式的基本性质1，将方程中含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右侧。 （4）合并同类项：移项后分别对含有未知数的项与不含未知数的项进行合并同类项。 （5）系数化为1：利用等式的两边同时除以未知数的系数。 2.二元一次方程组解法 1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 2.用加减法解二元一次方程组的步骤 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 3.解二元一次方程组的方法选择： ①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； ②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； ③当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； ④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 3.列方程（组）解应用题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 4.常见的应用题类型 （1）和差倍分问题：基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）行程问题 ①相向问题：寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走 的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程十两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题 基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度. （3）调配问题：寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑. （4）工程问题、基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1. （5）利润问题：基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) （6）数字问题 ①寻找等量关系的方法：抓住数字间和新数、原数之间的关系，常需设间接未知数. ②基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b. （7）增长率问题：增长量=原有量×增长率原有量=现有量一增长量现有量=原有量×(1+增长率) （8）储蓄问题 ①利息=本金×利率×时间. ②本息和=本金十利息=本金十本金×利率×时间. （9）营销问题： ①利润=售价一进价. ②售价=进价×(1+利润率)100% ③打m折应为：售价×m%
【典例分析】
例1．（2022·安徽合肥·三模）解方程：．
【答案】
【分析】通过去分母、移项、合并同类项、系数化为解方程即可．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的正确步骤．
例2．（2022·安徽铜陵·模拟预测）解方程组
【答案】
【分析】运用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
得：，
∴，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为．
【点睛】题目主要考查运用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．
例3．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
【答案】有人，辆车．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有辆车，
根据题意得，，
解得，
∴人，
答：有人，辆车．
例4．（2024·安徽六安·模拟预测）某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双．
【答案】该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双
【分析】设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双．专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双．
根据题意，
得
解得
答：该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？
【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论．
【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）某景区2022年共接待游客约580万人次，2023年比2022年游客总数增加了，其中省内游客增加了，省外游客增加了，求该景区2022年省内，外游客分别为多少万人次？
【答案】该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
设该景区年接待省内游客万人次，则接待省外游客万人次, 该景区年接待省内游客万人次, 省外游客万人次, 根据年比年游客总数增加了，可列出关于的一元一次方程，解之可得出该景区年接待省内游客人次数，再将其代入中，即可求出该景区年接待省外游客人次数.
【详解】设该景区年接待省内游客万人次，则接待省外游客万人次, 该景区年接待省内游客万人次, 省外游客万人次,
根据题意得：
解得:,
∴(万人次)。
答：该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次.
3．（2021·安徽·二模）解方程组： ．
【答案】．
【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得解．
【详解】解：
上下两方程相加，得，解得．
把代入中，得．
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一次方程的形式．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）某网购平台决定将进价共500元的甲、乙两款老年手机同时上架销售，其中将甲款手机按的利润定价，乙款手机按的利润定价．在实际销售过程中，平台将两款手机均按九折出售，这样仍可获利157元，求甲、乙两款手机的进价各分别为多少元？
【答案】甲、乙两款手机的进价分别为300元和200元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲、乙两款手机的进价分别为x元，y元，根据进价共为500元且共获利157元列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙两款手机的进价分别为x元，y元．
根据题意，得，
解得．
答：甲、乙两款手机的进价分别为300元和200元．
题型02 分式方程的运算
分式方程运算是中考数学的基础核心内容，经常出现与解答题型中的解分式方程或实际问题形式。
1.高频考点：
解分式方程或实际问题；从历年中考来看，真题单独考察少见，常出现于方程其它计算过程中。模拟题中较多。
2.关键作用：
二次函数、几何结合进行综合考察，有时也会以规律探究的形式进行考察，考查频率较高。
1、解分式方程 2.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 3.与分式方程有关应用题的常见类型：
【典例分析】
例1．（2024·安徽芜湖·一模）求方程的解．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
例2．（2023·安徽·模拟预测）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟记方程的解法是解题关键．需注意的是，求出解后一定要代入分式方程进行检验．
将分式方程转化为整式方程，然后计算求解，注意结果要进行检验．
【详解】解：
整理，可得，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的根．
原分式方程的解是．
例3．（2024·安徽蚌埠·二模）某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独完成此项工程的天数．
【答案】乙队单独完成此项工程需要20天
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设乙队单独完成此项工程需要天，根据工作总量等于各劳动分量之和，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵甲队单独施工 10天完成 后，
∴甲队单独施工需要30天，
设乙队单独完成此项工程需要天，由题意，得：
，
解得：，
经检验是原方程的解；
答：乙队单独完成此项工程需要20天．
例4．（2024·安徽蚌埠·三模）某施工单位承接了一条双向四车道一级公路改建工程，若施工时每天的工作效率比原计划提高，这样就可提前12天完成此项工程，但实际施工时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完成此项工程？
【答案】仍可比计划提前10天完成此项工程
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划天完成该项工程，根据题意列方程并解方程即可解决．
【详解】解：设原计划天完成该项工程，根据题意得：
解得，
经检验：符合题意．
（天）
答：仍可比计划提前10天完成此项工程．
【变式演练】
1．（2023·安徽宣城·模拟预测）解方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
2．（2022·安徽合肥·三模）求x的方程的解．
【答案】
【分析】先去分母变为整式方程，然后再解整式方程，得出x的值，最后进行检验即可．
【详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把代入得：，
∴是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键，注意解分式方程要进行检验．
3．（2024·安徽马鞍山·三模）李师傅的厢式大卡车的自重为18吨，车厢的容积为，负责将两种产品从甲地运往乙地，两种产品部分规格参数如下表：
每件产品的重量（吨） 每件产品的体积
1.2
1.5
(1)若满载，单独运输产品的件数是产品的1.5倍，求的值；
(2)本月李师傅要将两种产品共20件一次性运往乙地．在以往运输过程中，发现途中经过的某座跨江大殜上有如图所示的限重标志牌，显示载重后总重量超过45吨的车辆禁止通行，通过计算，李师傅发现这趟运输正好不超载，求这次运输各装载两种产品多少件？
【答案】(1)
(2)这次运输装载产品10件，产品10件
【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用：
（1）根据“单独运输产品的件数是产品的1.5倍”列分式方程，求解并检验即可得解；
（2）设这次运输装载产品件，则这次运输装载产品件，根据载重后总重量45吨正好不超载列出一元一次方程求解即可
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
经检验，为原分式方程的解且符合题意，
；
（2）解：设这次运输装载产品件，则这次运输装载产品件，
由题意，得，
解得，
，
答：这次运输装载产品10件，产品10件．
4．（2024·安徽阜阳·三模）端午节是我国的传统节日，端午食粽是我国大部分地区的传统习俗．某社区超市预测今年端午节期间某品牌的粽子能够畅销．根据预测，每盒粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的盒数与节后用元购进的盒数相同．求节前每盒粽子的进价是多少元．
【答案】元
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、列出分式方程是解题的关键
设节前每盒粽子的进价是x元，则节后每盒粽子的进价是元，依题意得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设节前每盒粽子的进价是x元，则节后每盒粽子的进价是元．
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：节前每盒粽子的进价是元．
题型03 一元二次方程的运算和实际问题
一元二次方程计算是中考数学的基础核心内容，常见于解答题的计算问题，以及实际问题中，常与二次函数结合考察，另外在贯穿试卷的计算考察上，也会涉及到根与系数的关系一块，以及变形。
关键作用：
二次函数、几何结合进行综合考察，涉及到关于配方法的运用等。
1. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
特征 步骤
解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= -
配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x=
因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。
2.与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a 2x)(b 2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a x)(b x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a x)(b x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
∴m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·二模）解一元二次方程．
【答案】，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，采用合适的方法是解题的关键，本题采用配方法即可求出．
【详解】解：
，
例2．（2024·安徽合肥·二模）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形：
(1)请填写下表：
图形编号 ① ② ③ …
大正方形/个 2 ________ ________ …
小正方形/个 1 ________ ________ …
(2)第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则________；
(3)是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，4，4，7
(2)399；4
(3)不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方，理由见解析
【分析】本题考查图形变化的规律，解一元二次方程，能根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图形中小正方形和大正方形的个数是解题的关键．
（1）依次求出图形中小正方形和大正方形的个数即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）假设存在，且编号为m，则可建立方程，看方程是否有解即可得到结论。
【详解】（1）解：由所给图形可知，第①个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：2；
第②个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：3；
第③个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：4；
…，
故答案为：3，4，4，7．
（2）解：由（1）发现可知，第k个图形中小正方形的个数为个，大正方形的个数为个．
∴当时，共有个正方形；
∵第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，
∴，
解得，
故答案为：399；4；
（3）解：不存在，理由如下：
假设存在，设这个图形的编号为m，
由题意得，，
整理得：，
∵，
∴此时方程无解，
∴不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方．
例3．（2024·安徽宿州·模拟预测）某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽是多少？
【答案】道路的宽是5米．
【分析】本题主要考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系、列出方程是解题的关键．
由题意可得：其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，
由题意可得：．
整理得：，
则，
∴（故舍去），
∴道路的宽5米．
答：道路的宽是5米．
例4．（2024·安徽淮北·二模）【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空）
【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值．
【答案】规律发现：38，；规律应用：14
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程．
规律发现：根据前几个图案的规律，可得规律：每个式子的第一个数为；底个个数字为，第三个式数字为2，即第个图案中有“★”的个数为个．据此即可求解．
规律应用：根据规律，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：规律发现：第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
；
第5个图案中有“★”的个数为（个）；,
第个图案中有“★”的个数为个．
规律应用：根据题意：，即，
，即，
（负值舍去）．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·二模）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍．
(1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
(3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高，每千克的利润不变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值．
【答案】(1)，
(2)元，5000元
(3)50
【分析】此题主要考查求一次函数表达式、一元二次方程及二次函数的应用，解题关键在理解题意，列出函数关系式求解，
（1）根据“以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克”列出一次函数表达式即可；
（2）根据题意列出二次函数表达式，并求出最大值即可；
（3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解决．
【详解】（1）解：由题意知：
又，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是．
（2）设日利润为w元，则根据题意可知：
∵，且，
∴当时，w有最大值为5000元．
（3）由题意可知：
解得：，（舍去）
∴m的值为50．
2．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可
【详解】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
，
整理可得：，解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
3．（2024·安徽·模拟预测）现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】(1)
(2)能，理由见详解
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段亩产量第一阶段亩产量增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量第三阶段亩产量增长率），可求出第四阶段亩产量，将其与4500公斤比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设亩产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为．
（2）解：能，理由如下：
依题意，（公斤）．
∵，
他们的目标能实现．
4．（2024·安徽阜阳·三模）某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝．2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为万人．
(1)求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率；
(2)如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？
【答案】(1)2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为
(2)6月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人
【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
（1）设新增关注人数的月平均增长率为x，根据“2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为万人”列出方程求解即可；
（2）根据（1）中求出的增长率，分别求出后面几个月的新增关注人数即可解答．
【详解】（1）解：设新增关注人数的月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率为．
（2）解：5月份新增关注人数为：（万人），
6月份新增关注人数为：（万人），
答：6月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人．
题型04 解一元一次不等式（组）
考情：近10年考察9次；
2. 考查形式：2023年和2017年考查解一元一次不等式及解集表示，其余年份都考查解一元一次不等式，其中在选择题考查2次，在填空题考查3次，在解答题考查3次；
3. 考查特点：2016－2017年所给的关系式为整式型，其余年份所给关系式都为分数型.
1.一元一次不等式的一般形式：或. 步骤具体做法依据注意事项去分母在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数不等式性质2、31）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律 去括号法则1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号.移项把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边不等式性质11）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把不等式变为或的形式合并同类项法则1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当.系数化为1将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解不等式性质2、31)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
不等式组解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
（2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
【典例分析】
例1．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
∴，
由题意可知且，
解得且，
故答案为：且．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·三模）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解不等式，根据解不等式的步骤求解，先去分母、合并同类项和系数化为1即可．
【详解】解：，
两边乘以2得，，
两边同时减去2得，，
两边乘以得，．
故答案为：．
2．（2024·安徽六安·一模）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】此题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
不等式移项合并即可求出解．
【详解】
移项得，
合并同类项得，．
故答案为：．
3．（2024·安徽马鞍山·三模）不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为的步骤求解即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
故答案为：．
1．（2022·安徽合肥·三模）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数图象求出甲车行驶的速度，再根据题意列出一元一次不等式组并求解即可．
【详解】解：根据图象可知甲车的行驶速度是120÷3=40千米/小时．
根据题意得
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
2．（2023·安徽芜湖·一模）不等式组的解集为 ．
【答案】
【分析】求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得解．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解不等式组．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
3．（2024·安徽合肥·三模）若点在第二象限，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据点所在的象限求参数，熟练掌握各象限点的坐标符号是解题的关键．根据第二象限点的横坐标为负，纵坐标为正，可得出关于a的不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
故答案为：．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）关于的不等式的最大整数解为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的最大整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解一元一次不等式，再根据解集找出最大整数解即可．
【详解】解：
所以满足的最大整数为2；
故答案为：2．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可．
【详解】解：
，
，
故答案为：．
6．（2024·安徽芜湖·三模）某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？
【答案】甲型机器人每小时搬运180千克快递，乙型机器人每小时搬运240千克快递
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递，根据“甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同”，这一等量关系列方程，解答，检验即可．
【详解】解：设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递，
依题意，得
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（千克）．
答：甲型机器人每小时搬运180千克快递，则乙型机器人每小时搬运240千克快递．
7．（2021·安徽合肥·三模）观察下列图形中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式：______．
（2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示）．
（3）若第组图形中左右两边各有210个小黑点，求．
【答案】（1）；（2）；（3）的值为10．
【分析】（1）根据上面的等式规律继续写出第五个等式即可；
（2）根据等式规律总结出第个等式；
（3）由（2）的规律解方程即可．
【详解】解：由得出：
由得出：
由得出：
由得出：
（1）由题知第5个等式为：
即，
故答案为：；
（2）由题知第个等式为：，
故答案为：；
（3）由题知，
即；
解得或（舍去），
故此时的值为10．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出等式两边的数字变化规律是解题的关键．
8．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知关于，的方程组．
(1)当时，方程组的解为______．
(2)若与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入原方程组，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）根据相反数的性质可得，再代入，可得到关于y，m的方程组，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴原方程组为，即，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴程组的解为；
故答案为：
（2）解：∵与互为相反数，
∴，即，
∴原方程组为，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
9．（2024·安徽六安·模拟预测）某校为丰富学生的课余生活，强化学生的校园安全意识，准备举办一次趣味知识竞答活动，计划购买两种奖品奖励答题优秀同学．已知种奖品比种奖品每件贵12元，且购买种奖品15件，种奖品10件，共需资金280元．求种奖品每件需要多少元．
【答案】种奖品每件需要16元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设种奖品每件需要元，则种奖品每件需要元，列出方程求解即可．
【详解】解：设种奖品每件需要元，则种奖品每件需要元．
根据题意，得，
解得．
答：种奖品每件需要16元．
10．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…．
依此规律，请解答下面的问题．
(1)图5中共有黑点的个数为 ．
(2)图n中共有黑点的个数为 ．
(3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可．
（1）根据所给的图形进行类比得到答案；
（2）根据（1）中的结果类比得到公式即可；
（3）利用公式得到方程解题即可．
【详解】（1）
观察图形发现：
第一个图形有个黑点；
第二个图形有个黑点；
第三个图形有：个黑点；
第四个图形有个黑点；
第五个图形有个黑点；
故答案为：；
（2）依据上边各式得到：第个图形有个黑点，
故答案为：；
（3）解： ，
解得：，
答：n的值为．
11．（2023·安徽·模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：
刹车时车速（） 0 5 10 15 20 25
刹车距离（m） 0 6.5 17 31.5 50 72.5
(1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；
(3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．
【答案】(1)
(2)该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由见解析
(3)
【分析】（1）把，代入可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；
（2）结合（1）令得：或（舍去），根据，即可得到答案；
（3）由题意得 ，可解得答案．
【详解】（1）把，代入得：
，
解得，
∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；
（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：
在中，令得：
，
解得：或（舍去），
∵，
∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故；
（3）∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，
由题意得 ，
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．
12．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程：
（1）根据已有等式，推出结论即可；
（2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：；
故答案为：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：．
13．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率．
【答案】该酒店入住人次的日平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该酒店入住人次的日平均增长率为，则5月2日入住人次，5月3日入住人次，根据该酒店1日、2日、3日这三天累计入住608人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】设日平均增长率为．
根据题意，得：
解得：，（不合题意，舍去）
答：该酒店入住人次的日平均增长率为．
14．（2022·安徽·模拟预测）《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数．
【答案】苦果买343个，甜果买657个
【分析】设苦果买x个，甜果买y个，根据用999文钱可以买甜果和苦果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再解方程组即可．
【详解】解：设苦果买x个，甜果买y个，
根据题意，得，
解得
答：苦果买343个，甜果买657个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答）
(2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天
(2)元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，
（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．
【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，
根据题意得：，
解得：．
答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；
（2）解：根据题意得：
元．
答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．
16．（2024·安徽合肥·三模）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍少件，各种奖品的单价如表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元件）
数量（件）
(1)设一等奖奖品的数量为件，请用含的代数式填表；
(2)购买这件奖品所需的总费用为元，求二等奖奖品的数量．
【答案】(1)，；
(2)二等奖奖品的数量为件．
【分析】（）根据已知条件列出代数式即可；
（）将直接代入（）中的结论列出方程，然后解方程即可；
此题考查了列代数式与解一元一次方程，正确理解题意和熟练掌握整式的加减运算法则，及解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：二等奖奖品为件，
三等奖奖品为（件），
填写表格：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元件）
数量（件）
故答案为：，；
（2）解：根据题意得，
解得：，
∴二等奖奖品有，
答：二等奖奖品的数量为件．
17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线
(1)设P为抛物线上任意一点，，过P作直线的垂线，垂足为Q，求证：；
(2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，且的中点为，求直线l的解析式；
(3)求函数的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据两点间距离公式表示，以及，即可证明；
（2）设直线：，则联立直线和抛物线表达式得到 ，则，由的中点为得到，将点代入即可求解；
（3）取点，设，则，而，故．
【详解】（1）证明：设，
则，而，
∴；
（2）解：设直线：，
则联立直线和抛物线表达式：，
∴，
则，
∵的中点为
∴，
将点代入得：，
∴，
解得：，
∴直线：；
（3）解：取点，设，
则，
由（1）可知，
∴
由（1）可知，
∴，
当点共线时，取得最小值，如图：
∴函数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及两点间距离公式，三角形的三边关系求最值，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与抛物线的交点问题，难度较大，解题的关键在于转化．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 方程计算和实际问题
（一次方程、二次方程、分式方程、不等式的计算和实际问题）
题型01 一次方程计算和实际问题
一次方程计算包括一元一次方程和二元一次方程的计算，一般是以实际问题的形式出现的。
1.考查重点：一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
2.高频题型：实际问题形式。
3.能力要求：掌握实际问题中方程的解法，包括一元一次方程和二元一次方程组。
一元一次方程解法 （1）去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数。 （2）去括号：利用乘法分配律，进行去括号。 （3）移项：利用等式的基本性质1，将方程中含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右侧。 （4）合并同类项：移项后分别对含有未知数的项与不含未知数的项进行合并同类项。 （5）系数化为1：利用等式的两边同时除以未知数的系数。 2.二元一次方程组解法 1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 2.用加减法解二元一次方程组的步骤 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 3.解二元一次方程组的方法选择： ①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； ②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； ③当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； ④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 3.列方程（组）解应用题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 4.常见的应用题类型 （1）和差倍分问题：基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）行程问题 ①相向问题：寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走 的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程十两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题 基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度. （3）调配问题：寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑. （4）工程问题、基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1. （5）利润问题：基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) （6）数字问题 ①寻找等量关系的方法：抓住数字间和新数、原数之间的关系，常需设间接未知数. ②基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b. （7）增长率问题：增长量=原有量×增长率原有量=现有量一增长量现有量=原有量×(1+增长率) （8）储蓄问题 ①利息=本金×利率×时间. ②本息和=本金十利息=本金十本金×利率×时间. （9）营销问题： ①利润=售价一进价. ②售价=进价×(1+利润率)100% ③打m折应为：售价×m%
【典例分析】
例1．（2022·安徽合肥·三模）解方程：．
例2．（2022·安徽铜陵·模拟预测）解方程组
例3．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
例4．（2024·安徽六安·模拟预测）某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双．
【变式演练】
1．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）某景区2022年共接待游客约580万人次，2023年比2022年游客总数增加了，其中省内游客增加了，省外游客增加了，求该景区2022年省内，外游客分别为多少万人次？
3．（2021·安徽·二模）解方程组： ．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）某网购平台决定将进价共500元的甲、乙两款老年手机同时上架销售，其中将甲款手机按的利润定价，乙款手机按的利润定价．在实际销售过程中，平台将两款手机均按九折出售，这样仍可获利157元，求甲、乙两款手机的进价各分别为多少元？
题型02 分式方程的运算
分式方程运算是中考数学的基础核心内容，经常出现与解答题型中的解分式方程或实际问题形式。
1.高频考点：
解分式方程或实际问题；从历年中考来看，真题单独考察少见，常出现于方程其它计算过程中。模拟题中较多。
2.关键作用：
二次函数、几何结合进行综合考察，有时也会以规律探究的形式进行考察，考查频率较高。
1、解分式方程 2.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 3.与分式方程有关应用题的常见类型：
【典例分析】
例1．（2024·安徽芜湖·一模）求方程的解．
例2．（2023·安徽·模拟预测）解方程：．
例3．（2024·安徽蚌埠·二模）某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独完成此项工程的天数．
例4．（2024·安徽蚌埠·三模）某施工单位承接了一条双向四车道一级公路改建工程，若施工时每天的工作效率比原计划提高，这样就可提前12天完成此项工程，但实际施工时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完成此项工程？
【变式演练】
1．（2023·安徽宣城·模拟预测）解方程：．
2．（2022·安徽合肥·三模）求x的方程的解．
3．（2024·安徽马鞍山·三模）李师傅的厢式大卡车的自重为18吨，车厢的容积为，负责将两种产品从甲地运往乙地，两种产品部分规格参数如下表：
每件产品的重量（吨） 每件产品的体积
1.2
1.5
(1)若满载，单独运输产品的件数是产品的1.5倍，求的值；
(2)本月李师傅要将两种产品共20件一次性运往乙地．在以往运输过程中，发现途中经过的某座跨江大殜上有如图所示的限重标志牌，显示载重后总重量超过45吨的车辆禁止通行，通过计算，李师傅发现这趟运输正好不超载，求这次运输各装载两种产品多少件？
4．（2024·安徽阜阳·三模）端午节是我国的传统节日，端午食粽是我国大部分地区的传统习俗．某社区超市预测今年端午节期间某品牌的粽子能够畅销．根据预测，每盒粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的盒数与节后用元购进的盒数相同．求节前每盒粽子的进价是多少元．
题型03 一元二次方程的运算和实际问题
一元二次方程计算是中考数学的基础核心内容，常见于解答题的计算问题，以及实际问题中，常与二次函数结合考察，另外在贯穿试卷的计算考察上，也会涉及到根与系数的关系一块，以及变形。
关键作用：
二次函数、几何结合进行综合考察，涉及到关于配方法的运用等。
1. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
特征 步骤
解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= -
配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x=
因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。
2.与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a 2x)(b 2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a x)(b x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a x)(b x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
∴m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·二模）解一元二次方程．
例2．（2024·安徽合肥·二模）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形：
(1)请填写下表：
图形编号 ① ② ③ …
大正方形/个 2 ________ ________ …
小正方形/个 1 ________ ________ …
(2)第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则________；
(3)是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由．
例3．（2024·安徽宿州·模拟预测）某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽是多少？
例4．（2024·安徽淮北·二模）【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空）
【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·二模）“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍．
(1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
(3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高，每千克的利润不变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值．
2．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
3．（2024·安徽·模拟预测）现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
4．（2024·安徽阜阳·三模）某健身达人今年2月份在网上开通直播分享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝．2月份新增关注人数为10万人，4月份新增关注人数为万人．
(1)求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均增长率；
(2)如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？
题型04 解一元一次不等式（组）
考情：近10年考察9次；
2. 考查形式：2023年和2017年考查解一元一次不等式及解集表示，其余年份都考查解一元一次不等式，其中在选择题考查2次，在填空题考查3次，在解答题考查3次；
3. 考查特点：2016－2017年所给的关系式为整式型，其余年份所给关系式都为分数型.
1.一元一次不等式的一般形式：或. 步骤具体做法依据注意事项去分母在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数不等式性质2、31）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律 去括号法则1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号.移项把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边不等式性质11）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把不等式变为或的形式合并同类项法则1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当.系数化为1将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解不等式性质2、31)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
不等式组解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
（2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
【典例分析】
例1．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·三模）不等式的解集为 ．
2．（2024·安徽六安·一模）不等式的解集为 ．
3．（2024·安徽马鞍山·三模）不等式的解集为 ．
1．（2022·安徽合肥·三模）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ．
2．（2023·安徽芜湖·一模）不等式组的解集为 ．
3．（2024·安徽合肥·三模）若点在第二象限，则a的取值范围是 ．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）关于的不等式的最大整数解为 ．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ．
（2024·安徽芜湖·三模）某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？
7．（2021·安徽合肥·三模）观察下列图形中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式：______．
（2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示）．
（3）若第组图形中左右两边各有210个小黑点，求．
8．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知关于，的方程组．
(1)当时，方程组的解为______．
(2)若与互为相反数，求的值．
9．（2024·安徽六安·模拟预测）某校为丰富学生的课余生活，强化学生的校园安全意识，准备举办一次趣味知识竞答活动，计划购买两种奖品奖励答题优秀同学．已知种奖品比种奖品每件贵12元，且购买种奖品15件，种奖品10件，共需资金280元．求种奖品每件需要多少元．
10．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…．
依此规律，请解答下面的问题．
(1)图5中共有黑点的个数为 ．
(2)图n中共有黑点的个数为 ．
(3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值．
11．（2023·安徽·模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：
刹车时车速（） 0 5 10 15 20 25
刹车距离（m） 0 6.5 17 31.5 50 72.5
(1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；
(3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．
12．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
；
；
；
(1)由此可推断：________；
(2)根据上述规律，解方程：．
13．（2024·安徽·模拟预测）今年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热．据统计，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累计入住608人次，求该酒店入住人次的日平均增长率．
14．（2022·安徽·模拟预测）《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数．
15．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答）
(2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
16．（2024·安徽合肥·三模）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍少件，各种奖品的单价如表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元件）
数量（件）
(1)设一等奖奖品的数量为件，请用含的代数式填表；
(2)购买这件奖品所需的总费用为元，求二等奖奖品的数量．
17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线
(1)设P为抛物线上任意一点，，过P作直线的垂线，垂足为Q，求证：；
(2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，且的中点为，求直线l的解析式；
(3)求函数的最小值．
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