专题06 最值问题
（隐形圆、线段和、勾股定理、胡不归和阿氏圆）
题型01 一般隐形圆最值
1.考查重点：直径所对的圆周角是直角；直角所对的弦是直径。
2.高频题型：利用隐形圆求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
【典例分析】
例1．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
【变式演练】
1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．5
3．（2023·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
题型02 折叠隐形圆最值
考查重点：圆外一点到圆最近的距离等于点与圆心的连线减去半径。考察折叠图形的特征；勾股定理求线段长。
2.高频题型：利用隐形圆求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，端点一动一静，且折叠出现的最值，折痕端点一动一静 做法：以折痕定点为圆心，折叠长度为半径作圆 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
【典例分析】
例1．（2018·安徽·一模）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是
A． B．3 C． D．
【变式演练】
1．（2020·安徽合肥·一模）如图所示，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，点E为边DC上不与端点重合的一个动点，连接BE，将BCE沿BE翻折得到BEF，连接AF并延长交CD于点G，则线段CG的最大值是( )
A．1 B．1.5 C．4- D．4-
2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ）
A． B． B． D．
3．（21-22九年级下·安徽·期中）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3
题型03 角度定值隐形圆最值
1.考查重点：同弧所对的圆周角相等。给定一个动角，保持角度不变的情况下，分析这个角是隐形圆的圆周角，作圆解决问题。
2.高频题型：利用隐形圆求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得恒定不变的角 做法：以恒定不变的角为圆周角，所在三角形为圆内接三角形，确定其外接圆圆心 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
【典例分析】
例1．（2021·安徽·二模）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4
题型04 勾股定理最值
1.考查重点：分析直角三角形的三边关系的正比和反比关系，根据这个关系求最值。
2.高频题型：利用勾股定理求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中 做法：根据勾股定理：a +b =c 最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边越大，另一直角边越小则斜边越小； 当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边越小，一直角边越小则另一斜边越大。
【典例分析】
例1．（2018·广西河池·中考真题）如图，等边ΔABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式演练】
1．（2021·安徽安庆·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型05 胡不归和阿氏圆最值
1.考查重点：这类问题时难点中的难点，主要考察kAC+BC类最值问题的特征。
2.高频题型：胡不归和阿氏圆。
3.能力要求：能够分析判断出动点的运动轨迹是直线还是圆，根据对应解题方法求值。
胡不归模型 特征：求kAC+BC最小值，其中C点为动点且轨迹是在直线上 做法：以A点为顶点，在线段AC异侧构造∠α，使得sin∠α=k 最值： 做点C到∠α的构造边的垂线段，即为最小值。 阿式圆 特征：求kAC+BC最小值，其中C点为动点且轨迹是在圆上 做法：截取k值边定点到圆心的线段部分，结合圆心到动点的线段构造倒A型相似 最值： 截点到非k值边定点的长度即为最值
【典例分析】
例1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【变式演练】
1．（20-21九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型06 线段和最值
1.考查重点：线段和的最值问题，将军饮马、垂线段最短等。
2.高频题型：线段和最值。
3.能力要求：判断出线段和的特征，根据特征找到对应的解题方法。
特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值
直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点
做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点
最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值
【典例分析】
例1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·二模）如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是菱形，，且，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则的最小值为 ．
1．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（ ）
B． C． D．
2．（2019·安徽合肥·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·安徽·二模）已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
4．（17-18九年级下·安徽阜阳·期中）如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A．3 B． C．6-3 D．3-3
5．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接．
（1）若E，F分别是边上的中点，则 ；
（2）若，则的最小值为 ．
6．（2024·安徽合肥·二模）已知三个顶点的坐标为，点P为边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到的距离”，记为．
（1）若Q在原点O时， ；
（2）若点Q是以点为圆心，以1为半径的上一动点，且，则t的取值范围是 ．
7．（2023·安徽亳州·二模）如图，，，，，连接，其中的延长线交于点F．
（1） ．
（2）若点P为的中点，则的最小值是 ．
8．（2023·安徽黄山·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠得到，作直线交线段于点．当有最小值时，的长是 ．
9．（2023·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是 ；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为 ．
10．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ．
11．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点是内一点，过点作，，，垂足分别为，，．
（1）若点是的重心，则的长为 ；
（2）连接，若，则的最小值为 ．
12．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．
（1）的最小值是 ；
（2）若为直角三角形，则的长为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 最值问题
（隐形圆、线段和、勾股定理、胡不归和阿氏圆）
题型01 一般隐形圆最值
1.考查重点：直径所对的圆周角是直角；直角所对的弦是直径。
2.高频题型：利用隐形圆求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
【典例分析】
例1．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键．
由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8．
【详解】解：如图，
，，
，
在以为直径的上，
连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，
，
，
，
，
，
线段的最小值为8．
故选答案为：A．
【变式演练】
1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于，如图1，可证可得，再证可得，可证，可得是以为直径的圆上一点，取中点，连接，，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得长度的最小值．本题考查圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点是以为直径的圆上一点．
【详解】解：延长交于，如图1
∵四边形是正方形，
，，，
，，，
，
且，，
，
且，
且，，
，
，
，
，即，
点是以为直径的圆上一点．
如图2，取中点，连接，，
，是中点，
，
在中，，
，
，
的最小值为．
故选：C．
2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．5
【答案】A
【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到故，得到在以为直径的圆E上，此时点E为的中点，当点E,P，D三点共线时，线段有最小值，根据勾股定理计算即可，本题考查了矩形的性质，辅助圆的构造方法，圆的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
【详解】∵矩形中，
∴，，，
∵，
∴
故，
∴在以为直径的圆E在矩形内部的弧上，此时点E为的中点，
连接，设与圆弧的交点为F，
当点E,P，D三点共线时，线段有最小值，
此时点P与点F重合，
∴，
∴，
∴，
故选A．
3．（2023·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，
∴连接交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵，，
∴，，
根据勾股定理可得，
，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
题型02 折叠隐形圆最值
考查重点：圆外一点到圆最近的距离等于点与圆心的连线减去半径。考察折叠图形的特征；勾股定理求线段长。
2.高频题型：利用隐形圆求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，端点一动一静，且折叠出现的最值，折痕端点一动一静 做法：以折痕定点为圆心，折叠长度为半径作圆 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
【典例分析】
例1．（2018·安徽·一模）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论．
【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故选D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键．
【变式演练】
1．（2020·安徽合肥·一模）如图所示，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，点E为边DC上不与端点重合的一个动点，连接BE，将BCE沿BE翻折得到BEF，连接AF并延长交CD于点G，则线段CG的最大值是( )
A．1 B．1.5 C．4- D．4-
【答案】D
【分析】由图可知：DG最小时CG最大，故当∠GAD最小（∠GAB最大）时，CG取最大值，由F在以B为圆心，BC为半径的圆上得到AF⊥BF，此时点G、E重合，证明△ABF≌△AED，得到AE=AB=4，再利用勾股定理求出DE即可得到CG的最大值.
【详解】由图可知：DG最小时CG最大，故当∠GAD最小（∠GAB最大）时，CG取最大值，
∵F在以B为圆心，BC为半径的圆上，
∴AF与圆相切时，∠GAB最大，
即AF⊥BF，此时点G、E重合，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵∠AFB=∠D=90°，BF=BC=AD,
∴△ABF≌△AED，
∴AE=AB=4，
∴DE=，
∴CE=CG=,
故选：D.
【点睛】此题考查矩形的性质，动点最值问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，圆的性质，切线的性质定理，是一道较难的题.
2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ）
A． B． B． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值．
【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
如图所示：
当点正好落在边上时，
，
是等边三角形，
，
最短，
此时；
当点落在边上时，最长，
过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点．
四边形是矩形，
在菱形中，，，
点在边上，且，
，，，，
，
，
，，，
在中，，，
，
，
，
设，则，，
在中，
由勾股定理可知，，
即，
解得，
，
故答案为：A．
【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键．
3．（21-22九年级下·安徽·期中）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD=MD=1，
∴HM==，CH=CD+DH=5，
∴，
∴A′C=MC-MA′=2-2；
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．
题型03 角度定值隐形圆最值
1.考查重点：同弧所对的圆周角相等。给定一个动角，保持角度不变的情况下，分析这个角是隐形圆的圆周角，作圆解决问题。
2.高频题型：利用隐形圆求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得恒定不变的角 做法：以恒定不变的角为圆周角，所在三角形为圆内接三角形，确定其外接圆圆心 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径
【典例分析】
例1．（2021·安徽·二模）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．则，那么，点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，当点落在线段上时，的值最小，根据矩形的性质得，结合已知求得和，继而证明四边形是矩形，可知和，利用勾股定理可求得，即可求得．
【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．
，
点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，
当点落在线段上时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，
当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴．
∴的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键．
2．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
本题中先证明，角度推导得，继而确定点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接，利用等边对等角以及四边形内角和定理可求出，后面解含有角的直角三角形即可．
【详解】解：∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接
∵，，
∴，，
∴，
∴，
由得，，
当O、P、C三点共线，即点P位于点时，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，由得，
∴，
∴，即最小值为，
故选：A．
3．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4
【答案】C
【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，
此时PC取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，
∴OB=OP=AB=4，
由勾股定理得CO=，
PC=
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
题型04 勾股定理最值
1.考查重点：分析直角三角形的三边关系的正比和反比关系，根据这个关系求最值。
2.高频题型：利用勾股定理求最值。
3.能力要求：给出的单线段最值，分析端点特征，根据每个特征找到对应的解题方法。
特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中 做法：根据勾股定理：a +b =c 最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边越大，另一直角边越小则斜边越小； 当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边越小，一直角边越小则另一斜边越大。
【典例分析】
例1．（2018·广西河池·中考真题）如图，等边ΔABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】连接AE，AD，作AH⊥BC于H，因为DE与⊙A相切于E，所以AE⊥DE，可得DE= ，当D与H重合时，AD最小，此时DE最小，求出AH的长，即可得出DE的最小值．
【详解】解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，
∵DE与⊙A相切于E，
∴AE⊥DE，
∵⊙A的半径为1，
∴DE=，
当D与H重合时，AD最小，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH=CH=1，
∴AH=，
∴DE的最小值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
【变式演练】
1．（2021·安徽安庆·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝5，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝13，则可得出答案．
【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝12，BC＝9，
∴AB＝＝＝15，
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC，
∵点O是AB的三等分点，
∴，
∴OP＝8，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴，
∴OD＝3，
∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，
∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置．
2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解．
【详解】解：如图，连接、，过点作于，
，
是等边三角形，且，
，
，
是的切线，
，
，
，
当取得最小值时，取得最小值，
根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时，
的最小值为：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键．
3．（22-23九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接．
∵是的切线，
∴；
根据勾股定理知，
∵为定值，
∴当的值最小时，的值最小，
∴当时，线段最短，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键．
题型05 胡不归和阿氏圆最值
1.考查重点：这类问题时难点中的难点，主要考察kAC+BC类最值问题的特征。
2.高频题型：胡不归和阿氏圆。
3.能力要求：能够分析判断出动点的运动轨迹是直线还是圆，根据对应解题方法求值。
胡不归模型 特征：求kAC+BC最小值，其中C点为动点且轨迹是在直线上 做法：以A点为顶点，在线段AC异侧构造∠α，使得sin∠α=k 最值： 做点C到∠α的构造边的垂线段，即为最小值。 阿式圆 特征：求kAC+BC最小值，其中C点为动点且轨迹是在圆上 做法：截取k值边定点到圆心的线段部分，结合圆心到动点的线段构造倒A型相似 最值： 截点到非k值边定点的长度即为最值
【典例分析】
例1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
【变式演练】
1．（20-21九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．
【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2
∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o
∴DE =CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A'，D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故选B
【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．
2．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线，作于E，作于F，交y轴于，
抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，当点P在时，最小，最大值等于，
在中，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值，证明是等腰直角三角形，即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，，
点是弧的中点，
，
，
又，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明是解题关键．
题型06 线段和最值
1.考查重点：线段和的最值问题，将军饮马、垂线段最短等。
2.高频题型：线段和最值。
3.能力要求：判断出线段和的特征，根据特征找到对应的解题方法。
特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值
直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点
做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点
最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值
【典例分析】
例1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】先根据得，进而可得，由此可得E点的运动轨迹在是以为直径的圆上．延长至使，得与F关于直线对称．连接交于P点，交圆O于E点，则，此时的值最小，根据勾股定理求出的长，即可得的最小值．
【详解】
∵是正方形，
，，
又，
，
，
又，
，
，
∴E点在以为直径的圆上运动．
设的中点为O，则 ，
延长至使，
则与F关于直线对称，
连接交于P点，交圆O于E点，
则，，
此时P、E、F三点共线，因此的值最小．
在中，，，
，
，
∴的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键．
【变式演练】
1．（2023·安徽合肥·二模）如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长，，交于点，作点关于的对称点，连接，，交于点，交于点，利用轴对称的性质可得，利用直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，从而得出当、、、四点在同一条直线上时，最小，然后利用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】如图，延长，，交于点，作点关于的对称点，
连接，，交于点，交于点，则，
，
，
，是的中点，连接，
，
点在以为圆心，半径为1的圆位于的内部的弧上运动，
，
当、、、四点在同一条直线上时，最小，
即最小，
点、关于对称，
垂直平分，
，，
，
，，
，
的最小值为．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
2．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是菱形，，且，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】如解图，过点A作于点T，过点M作于点H．∵四边形ABCD是菱形，，∴，∵，∴．∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值为．
1．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长．
连接，，，
，
，
是弧的中点，
，
，
由轴对称可知，，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，确定点的位置是本题的关键．
2．（2019·安徽合肥·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．
【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4
∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形
∴∠FBH＝30°
∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G
∴∠AGC＝90°
∵O为AC中点
∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，
sin∠P＝
∴OQ＝
∴GH最小值为
故选C．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．
3．（2019·安徽·二模）已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解.
【详解】如图，
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵∠APB=30°，
∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；
易得圆心坐标为， ，
.
故选
【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点．
4．（17-18九年级下·安徽阜阳·期中）如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A．3 B． C．6-3 D．3-3
【答案】D
【分析】点F在以AB为直径的圆上，当圆心，点F，C在一条直线上时，CF取最小值，且最小值为CE－EF．
【详解】如图，取AB的中点E，连接CE，FE．
因为∠AFB＝90°，所以EF＝ AB＝3，
因为△ABC是等边三角形，所以CE＝3
当点E，F，C三点在一条直线上时，
CF有最小值，且最小值为CE－EF＝3 －3
故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
5．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接．
（1）若E，F分别是边上的中点，则 ；
（2）若，则的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）证明，推出，得到，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）同（1）理证明，得到点在以为直径的上，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形中，，E，F分别是边上的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：．
（2）正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴点在以为直径的上，如图，
当共线时，有最小值，最小值为的长，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：．
6．（2024·安徽合肥·二模）已知三个顶点的坐标为，点P为边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到的距离”，记为．
（1）若Q在原点O时， ；
（2）若点Q是以点为圆心，以1为半径的上一动点，且，则t的取值范围是 ．
【答案】 2 或或
【分析】本题考查的是点和圆的位置关系及点到直线的距离，解题关键是分情况画出相应图形，
（1）由点的坐标推出平行，用待定系数法求出直线表达式，进而求出原点到距离；
（2）根据题意分三种情况讨论，结合图形找出临界点，利用三角函数求出关键线段的长度，进而求出对应圆心坐标．
【详解】解：（1）作于点H，如下图，
，
轴，轴，
原点Q到的距离都是2，
设直线表达式为，把代入，
，
解得：，
直线表达式为，
当时，；当时，
，
，
当Q在原点O时，点Q到的距离最小值为，
故答案为2；
（2）与位置关系有三种情况：
①在左侧，此时到的距离，
半径为1，
，
则；
②在内部，
当圆心正好在原点时，到的距离，
则，
作于点G，到的距离，
，
，
轴，轴，
则
时，均成立；
③在右侧，此时到距离，
作，于点N，
则，
则
综上所述，t的取值范围是或或，
故答案为：或或．
7．（2023·安徽亳州·二模）如图，，，，，连接，其中的延长线交于点F．
（1） ．
（2）若点P为的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】（1）由，推出，，再利用等角的余角相等得到，即可证明；
（2）由，求得，得到，推出点F在以为直径的上，当O、P、F在同一直线上时，取得最小值，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴，且，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的上，
当O、P、F在同一直线上时，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理，判断点F在以为直径的上是解题的关键．
8．（2023·安徽黄山·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠得到，作直线交线段于点．当有最小值时，的长是 ．
【答案】
【分析】根据点的位置变化范围，推出点的运动范围，得到当时，最大，即最小，根据全等三角形的判定和性质，得，，根据点、重合，求出的长度，从而得到的长度．
【详解】如图所示，以点为圆心，为半径画圆弧，交、两点，
∵沿直线折叠得到，
∴当在上运动时，点在圆弧上运动，
∵当与圆弧相切时，
∴，最长，
∵，，
∴当与圆弧相切时，点、重合，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形，折叠的知识，圆的切线的性质，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
9．（2023·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是 ；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为 ．
【答案】 2 3
【分析】（1）如图，由及易证，所以点P在以为直径的圆上，连接，交于，此时长最小，根据勾股定理求解,进而求得为2；
（2）如图，作交于，由可证，由知， 从而解得．
【详解】
解：∵四边形矩形，
，
∴
∵，
，
，
以为直径作，经过点，连接，交于，此时长最小．
∵，
，
∴，
故答案为2．
作交于，
，
，
，
∵
∴，
∴
∴，
∴，
．
故答案．
【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和性质；明确动点P的轨迹，确定取最小值时点的位置是解题的关键；求长的关键是利用矩形的性质及（1）空的结论构造相似三角形求解．
10．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，圆周角定理，连接交于点Q，连接并延长交于点P， 取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接，证明A、E、F、Q四点都在上，圆周角定理得到，进而得到，根据，即可得出结果．
【详解】解：连接交于点Q，连接并延长交于点P，
∵四边形是边长为4的正方形，且点Q是正方形的中心，
∴，
∴，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接，
∵，
∴A、E、F、Q四点都在上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为2，
故答案为：2．
11．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点是内一点，过点作，，，垂足分别为，，．
（1）若点是的重心，则的长为 ；
（2）连接，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，根据三角形重心的定义得到点是的中点，点是的中点，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，证明，根据相似三角形的性质得，可得结论；
（2）如图，连接，，，，根据等腰三角形的性质得，继而得到，证明，得，说明四边形和四边形都是圆内接四边形，得，，∴，推出为定值，则点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，当时，取得最小值，此时点、、共线，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到，
利用已知条件得到，设，则，证明，利用相似三角形的判定与性质得出结论．
【详解】解：（1）如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，
∵点是的重心，
∴是上的中线，是边上的中线，
∴点是的中点，点是的中点，
∵，，，
∴即，
此时点与点重合，即，
∴，
∴，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，连接，，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形和四边形都是圆内接四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴为定值，
∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，
∴当时，取得最小值，此时点、、共线，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形重心的定义，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
12．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．
（1）的最小值是 ；
（2）若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】 1或
【分析】（1）找到点的运动轨迹，用三角形三边关系确定的最小值即可；
（2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得，，
在以为圆心为半径的圆上，如图一所示：
在点运动过程中，在中，由三边关系得，
，
在变化过程中，和保持不变，
故的最小值为，即如图二所示：
在中，，，
，，
，
在中，，，
，
故的最小值为．
（2）为直角三角形，分两种情况：
①，
在中，，，
，
设，，
在中，，，，
，
解得，
即．
②，过点作交的延长线与点，如图四所示：
由折叠的性质可知，，
，
，
，
设，
在中，，，
在和中
，
在中，，，，
，
解得：．
综上，的长是1或．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
