专题04 四边形中的折叠和最值问题
（平行四边形、矩形、菱形、正方形）
题型01 平行四边形中的折叠问题
折叠问题时是安徽省中考的重难点问题，一般放在选择或填空的压轴，涉及内容较多，做法灵活。
技巧：
折叠问题的本质是轴对称，折叠前的部分和折叠后的部分是全等图形；
折痕可以看作垂直平分线，对称点的连线被对称轴垂直平分，连接两对称点可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形，从而把折叠问题转化为轴对称问题；
(3)利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，是上一动点，连接，将沿折叠，使点正好落在上．
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
【答案】
【分析】（1）根据折叠性质，利用三角形外角性质得到，再利用平行四边形性质得到，设，列方程求解即可得到答案；
（2）过作，如图所示，设，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求出线段，在中，利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出，，由列方程求解得到，则在中，由代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）将沿折叠，使点正好落在上，
，，
，且是的一个外角，
，解得，
在中，，则，
设，
，解得，
，
（2）过作，如图所示：
设，
在中，，则，
，由勾股定理可得，
在中，，则，由勾股定理可得，
，解得，则，
在中，，
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及折叠性质、三角形外角性质、平行四边形性质、含的直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式混合运算等知识，熟练掌握平行四边形性质是解决问题的关键．
【变式演练】
1．（23-24九年级上·安徽六安·开学考试）在平行四边形中，，，，点P在边上，如图，将平行四边形沿直线折叠，点D落在边上．
①的长为 ；
②已知Q是直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）利用折叠的性质以及平行四边形的性质，得到四边形为菱形，求解即可；
（2）由题意可得点与点关于对称，连接交于点，此时最小，作高构造直角三角形利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得：，，
在平行四边形中，，
∴
∴
∴
∴，
∴四边形为菱形，
则
（2）由题意可得：点与点关于对称，则
连接，交于点，如下图，则此时最小，即最小，为
作交延长线于点，如下图：
由题意可得：
在中，，
∴，，
∴
∴
在中，
即最小为．
故答案为：；．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线，构造出直角三角形．
2．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）的大小为 ；
（2）当四边形是平行四边形，时，
【答案】 30 3
【分析】由折叠的性质可得，，，，，，由平角的性质可得，，可证，由平行线的性质可得，即可求解；
由平行四边形和折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：
，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：30；
由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．（2022·安徽合肥·二模）如图，在△ABC中，AB＝4，点P为AC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，将∠A、∠C分别沿PE、PF折叠，使点A、C分别落在边AB、BC上的点G、H处．
（1）当∠B＝50°时，则∠GPH＝ ．
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，则PE＋PF的值为 ．
【答案】 80° 2
【分析】（1）根据三角形的内角和与折叠的性质即可求解；
（2）根据四边形BHPG为平行四边形时得到△ABC是等边三角形，再根据解三角形的性质即可求解．
【详解】（1）当∠B＝50°时，则∠A+∠C=130°，
由折叠可得，∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，
∴∠AGP+∠PHC=130°，
∴∠APG+∠CPH=（180°-∠A-∠AGP）+（180°-∠C-∠PHC）=360°-（∠A+∠C）-（∠AGP+∠PHC）=100°，
∴∠GPH=180°-（∠APG+∠CPH）=80°，
故答案为：80°；
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，ABPH，GPBC，
∴∠AGP=∠B，∠PHC=∠B，
∵∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形，AC=AB=4，
∴在Rt△AGP和Rt△PCF中，PE＋PF=APcos60°+PCcos60°=（AP+PC）cos60°=ACcos60°=4×=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平行四边形与几何综合，解题的关键是熟知平行四边形的性质、三角形内角和定理、折叠的性质、解直角三角形的方法．
4．（22-23八年级下·安徽黄山·期中）（1）如图1，在矩形中，E是的中点，将沿折叠得到，点F在矩形内部，延长交于点G．求证：；
（2）如图2，将（1）中的“矩形”这一条件改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若将（1）中的“矩形”这一条件改为“任意四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论仍然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请增加一个条件，使它成立（无需证明）．
【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）不成立，增加的条件为
【分析】（1）根据矩形性质和折叠的特点，得出，，根据等腰三角形的性质证明，得出，根据等腰三角形的判定即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的性质证明，得出，根据等腰三角形的判定得出结果即可；
（3）根据，得出一定成立，根据一定成立，得出，根据，，得出一定成立，得出一定成立．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
（2）结论仍然成立.；理由如下：
如图2，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）不成立；需要增加的条件为；
∵，
∴一定成立，
∵点E为的中点，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴一定成立，
∴，
即，
∵，
根据折叠可知，，
∴，
∴一定成立，
∴需要增加的条件为．
【点睛】本题主要考查了矩形、平行四边形性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．
题型02 矩形中的折叠
矩形中的折叠和平行四边形中的折叠属于同类问题，做题方法也雷同，不再赘述，方法参考平行四边形。
1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形
【典例分析】
例1．（2024·安徽淮南·二模）如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则 °；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为 ．
【答案】 63
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理等；（1）由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由外角的性质得， 由即可求解；（2）过作交于，由勾股定理得求出，由折叠及平行线的性质得，由勾股定理得，即可求解；
掌握折叠的性质，熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，过作交于，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
是的中点，
，
∴
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，．分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接．
（1） ；
（2）将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，此时k的值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）根据矩形的性质，得到A、B、C三点坐标，再结合反比例函数解析式，得到，，从而得出，，即可求出的值；
（2）过点作于点，证明，得到，进而得到，，再结合，即可求出的值．
【详解】解：在矩形中，，，
，，,
F为边上的一个动点，点在边上，
点的横坐标为6，点的纵坐标为，
F、在反比例函数的图象上，
，，
，，
，，
，
故答案为：2；
（2）如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形与折叠，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
2．（2024·安徽滁州·一模）如图，在矩形纸片中，对角线和交于点，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点．
（1）若，，则的长为 ；
（2）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】（1）勾股定理得出，设，则，根据勾股定理即可求解；
（2）同（1）求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵依题意，在矩形纸片中，，，
∴
∴
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：，
即，
故答案为：．
（2）∵，
设，，
∴
∴
∵折叠，
∴，，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：，
即，
∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H．
（1）的度数为 度；
（2）的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据矩形性质及折叠性质得点在同一条直线上，证四边形为菱形得， 则， 由此得，进而可得的度数；
（2）设， 则， 则， ， 设，， 证得， 则， 将代入， 得， 则， 由此可得 的值.
【详解】（1）∵四边形为矩形， 点是对角线的中点，
∴，
∴，
由折叠的性质得： ，，，
∴点在同一条直线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为： .
（2）由（1）可知： 四边形为菱形， ，设， 则，
∴在中， ，
∴
∴，
设，
∵，
∴，，
∴
同理可得，
∴C，
即，，
∴，
∵，，
∴，
整理得： ，
∴，
，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.
4．（2024·安徽黄山·一模）如图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点恰好落在上，据此解决下列问题：
(1)求证：；
(2)如图，延长交于点，交于点．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得，从而利用证明结论；
（2）利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明，由相似三角形的性质得，从而解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
将沿折叠至，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）证明：，
，，
，
由折叠知：，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题是主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质，是解题的关键．
题型03 菱形中的折叠问题
1.考查重点：折叠问题的性质；全等图形产生的等线段、等角、垂直平分线、角平分线等。
2.高频题型：菱形中的折叠问题。
3.能力要求：掌握菱形折叠产生的特殊图形、特殊角等。
1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）； （2）四边相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【典例分析】
例1．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图1，在五边形纸片中，，将五边形纸片沿折叠，点落在点处，在上取一点，将和分别沿、折叠，点、恰好落在点处．
（1） ；
（2）如图2，若四边形是菱形，且、、三点共线时，则 ．
【答案】 /度 /
【分析】（1）由折叠的性质可得，又，即可求解；
（2）由菱形的性质可得，，，由可证，可得，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵将五边形纸片沿折叠，
，，，
，
，
，
故答案为：；
（2）连接，交于，设，如图：
四边形是菱形，
是的垂直平分线，，
，，三点共线，
是的垂直平分线，
，，，
由折叠可知：，，，，，
，
，
，，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式演练】
1．（2022·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．
（1） ；
（2）若点E是的中点，则的长为 ．
【答案】 /90度
【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即．
（2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案．
【详解】解：（1）由翻折可得，，
，
，
，
即．
故答案为：．
（2）四边形为菱形，
，
，
由翻折可得，，，，
点是的中点，
，
，
即点与点重合．
，
点，，三点在同一条直线上．
过点作，交的延长线于点．
，，
，，
，，
由翻折可得，，
设，
则，，
由勾股定理可得，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
2．（2023·安徽六安·二模）如图，沿折叠菱形纸片，使得的对应边恰好经过点，若，则
（1） ．
（2）线段的长是 ．
【答案】
【分析】（1）证明，，由对折可得：，可得；
（2）先延长，交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到，设，则，， ， 再依据勾股定理可得，进而得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵菱形，，
∴，
∵，
∴，
由对折可得：，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，延长，交于点G，
∵菱形，，，
∴，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 设，则，，
∴，
∵中，，
∴， 解得：，（负值已舍去）
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．
3．（2022·安徽安庆·二模）如图，在△中，°，°，，点是上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处.
（1）当四边形为菱形时， .
（2）当°时， .
【答案】 30° 6-2或2
【分析】（1）由翻折可得，BP=DP，由菱形性质可得CP=DP，则可得CP=DP，即可求∠BCP=30°；
（2）过P作PH⊥BC交于H，由折叠的性质结合三角形性质可得∠PCH=45°，在Rt△PBH中，∠B=30°，PB=2PH，HB=PH，在Rt△CHP中，PH=CH，则有PH+PH=2，求出PH即可求PD．
【详解】解：（1）由翻折可得，BP=DP，
∵四边形ACPD为菱形，
∴CP=DP，
∴CP=BP，
∵∠B=30°，
∴∠BCP=30°，
故答案为30°；
（2）过P作PH⊥BC交于H，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴BC=2，
在Rt△PBH中，∠B=30°，PB=2PH，HB=PH，
由翻折的性质，∠BPC=∠CPD，
∵∠DPA=30°，
∴∠BPC-30°+∠BPC=180°，
∴∠BPC=105°，
∴∠PCB=180°-105°-30°=45°，
在Rt△CHP中，PH=CH，
∴PH+PH=2，
∴PH=3-，
∴PB=PD=6-2，
故答案为：6-2．
【点睛】本题考查图形的翻折，直角三角形的性质，熟练掌握图形翻折的性质，灵活解直角三角形是解题的关键．
4．（2023·安徽合肥·三模）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点．
(1)求的长；
(2)若，求证：；
(3)若点在线段上（不与、重合），以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在菱形的边上，画出图形并求的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)作图见解析，的长为或
【分析】（1）四边形是菱形，，，勾股定理求得，进而即可求解．
（2）由，，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）如图，当点在边上时，延长交于点，，则，由（2）可知，进而即可求解；当点落在边上时，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，，，，
，
；
（2）证明：，，
，，
，，
，
，
，
由（1）知，，则，
，
，
，即；
（3）解：当点在边上时，延长交于点，如图所示：
由折叠知，则，
由（2）可知，
当点落在边上时，如图所示：
由折叠可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的长为或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，对称性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题关键．
题型04 正方形中的折叠
正方形中的折叠比其它四边形折叠更为特殊，折叠后产生的特殊图形较多，比如直角三角形和特殊的直角三角形、等腰三角形、等边三角形、甚至出现矩形、平行线、垂直平分线等，涉及出现的知识点也比较多，一般求线段长、角度、三角函数值等。
1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点E，F为边上的点，将，分别沿折叠，点B，D恰好落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处．
（1） ；
（2）若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形：根据折叠的性质求得是解题的关键．
（1）利用折叠的性质及三角组成平角即可求得，从而求得，则根据特殊角正弦函数可求得结果；
（2）由及，可求得，进而求得，在中，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：（1）由折叠的性质得：，
即，
而，
∴；
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，，
∴，；
∴；
由折叠知：，，
∴；
在中，，
故答案为：．
【变式演练】
1．（2024·安徽·二模）如图，在正方形中，点分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点．
（1） ；
（2）若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形：
（1）根据折叠的性质可得，由平角的定义求得，进而求得，根据正弦的概念计算即可；
（2）解求得，，进而求得，由折叠的性质可得，，求得，再解，即可求得．
【详解】（1）解：由折叠可知，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
2．（2023·安徽池州·二模）在正方形中，边长为2，如图，点E为边的中点，将边沿折叠到，点F为边上一点，将边沿折叠恰能使与重合．
（1）
（2）如图，延长，交于点N，连接并延长，交的延长线于点G，连接，则
【答案】 / /
【分析】（1）由正方形的性质得到，，则，设，则，由折叠的性质得到，，，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案；
（2）如图，过点G作交的延长线于点Q，由折叠的性质得：，，，即可得到，证明，得到，即可证明为等腰直角三角形，则，再证明得到，证明，得到．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵E为边的中点，
∴，
设，则，
由折叠的性质得，，则，
在中，由勾股定理得：
∴，
解得，即；
故答案为：；
（2）如图，过点G作交的延长线于点Q，
由折叠的性质得：，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
3．（2021·安徽合肥·三模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝ ；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝ ．
【答案】 1：4 5：12
【分析】（1）根据翻折的性质得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根据∠HEB＝∠BEA，从而证明△HEB∽△BEA，得出，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；
（2）由S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．
【详解】解：（1）∵AE为对称轴，
∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，
∴∠GHE＝∠BHE＝90°，
又∵∠HEB＝∠BEA，
∴△HEB∽△BEA，
∴，
在正方形ABCD中，设边长为2x，
∵点E是BC的中点，则BE＝x，AB＝2x，
∴AE＝，
∴HE＝，
∴AH＝AE﹣HE＝，
∴HE：AH＝＝1：4．
故答案为：1：4；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则S正方形ABCD＝4x2，
∵S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝x，
设FG＝DF＝m，
则EF＝x + m，CF＝2 x﹣m，
在△EFC中，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（m+x）2＝（2 x﹣m）2+ x2，
解得：m＝，
∴CE＝2 x﹣m＝，
∴S△CFE＝×CE×CF＝×，
∴S△AFE＝×（4 x2﹣）＝，
∴S△AFE：S正方形ABCD＝＝5：12．
故答案为：5：12．
【点睛】本题考查轴对称性质，三角形全等，三角形相似判定与性质，正方形性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握上述知识是解题关键．
4．（2023·安徽合肥·二模）在正方形中，点为边上一点．连接，将沿折叠得到，，分别交于点，，连接．
(1)如图1，点是的中点．
①若，则_________（用含的式子表示）；
②求证：；
(2)如图2，若，，求的长．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①由正方形的性质求得，由折叠的性质，得，推出，根据等边对等角即可求解；
②由①求得；由折叠的性质，求得，据此即可证明；
（2）由折叠和已知可得，证明，推出，作于点M，得到两个等腰直角三角形，分别求得的长，从而得到正方形的边长，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质，得，
∴，
∴；
故答案为：；
②由①，得，
∴，
∴，
由折叠的性质，得，
∴；
（2）解：由折叠的性质，得，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
如图，作于点M，则，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形与折叠的问题，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
题型05 四边形中的最值问题
四边形中的最值问题一般涉及的有线段和最值、单线段最值、面积最值、周长最值类等，解决方法一般一般有“将军饮马类”、“胡不归类”“阿氏圆类”、“隐形圆类”、旋转类等。
线段和求最值类：一般方法有将军饮马的解决方法、阿氏圆和胡不归的方法； 单线段求最值类：一般有隐形圆的解决方法、直角三角形斜边中线等于斜边一半求最值、遇中点构造中位线类； 面积类最值：一般根据图像的面积公式将面积转化为底和高的最值；还可以将面积用函数解析式的形式表示，根据函数的性质求最值。
【典例分析】
例1．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键．
例2．（2022·安徽·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作交的延长线于，根据为定值，可知当在上时，取得最小值，然后依据角度和三角函数，即可求得的长．
【详解】解：∵是定值，
∴当在上时，取得最小值，
如图，过作交的延长线于，
∵在边长为2的菱形中，，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形性质、折叠问题、三角函数和勾股定理等知识点，找出所在位置是解答本题的关键．
【变式演练】
1．（2021·安徽·二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （ ）
A．2－3 B．2－2 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC，证明△BCF∽△ABE，推出∠BPA=90°，可得CP最短时点P的位置，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，再利用CG-PG即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又，
∴，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG==，
∴此时CP=，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出CP最小时点P的位置是解题关键，也是本题的难点．
2．（2020·安徽·模拟预测）如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接OD，AC，取OD中点F，由∠OED=90°可证得点E在以OD中点F为圆心，DF为半径的圆上，进而可知当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，由正方形的性质可得OD=OC=2，进而可得OF=1，最后用勾股定理即可求得CF的长，进而可求得CE的最小值．
【详解】解：连接OD，AC，
由题意可知，在正方形中，OD⊥AC，
∵在△ODE中OD的长为定值，∠OED始终为90°，
∴点E在以OD中点F为圆心，OD为直径的圆上，
连接EF，CE，当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，
∵正方形的边长为，点O为正方形中心，
∴，
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴CE的最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直径的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2022·安徽·二模）如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG．
（1）当，且时，四边形AEGF的面积为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】 1 /
【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，得E为正方形ABCD的中心，由DG=GC，证得G，E，H三点共线，进而推出四边形AFGE为平行四边形，最后求得面积；
（2）由，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点，连接O，线段即为所求．
【详解】解：（1）取AB的中点H，连接EH，
∵AE⊥EB，AE=EB，
∴EH垂直平分AB，E为正方形ABCD的中心，
又DG=GC，
∴G，E，H三点共线，
∴GH⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥EG，
∵F，E分别是AD，GH的中点，
∴GE=AF，
∴四边形AFGE为平行四边形，
∴四边形AEGF的面积为1×1=1．
故答案为：1；
（2）由，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点，连接O，
∵，
∴FG+GE=G+GE≥E，
当，G，E三点共线时，FG+GE有最小值，
在Rt中，
，
∴=，
即FG+GE最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题，以及动点轨迹的探究，能够准确地判断动点的轨迹和找出最短路径是解决问题的关键．
4．（2021·安徽·二模）如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
（1）若，则正方形的面积为 ．
（2）连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】 5
【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE，根据S△DEC+S△DFGS正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，
∵，
∴AE1
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5．
（2）如图，设，则
∵，
∴．
∵，
∴当时，的面积最小，且最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5．（2019·安徽合肥·三模）如图正方形的顶点是和上的动点，与交于P、Q两点，.
（1）当时，
①求的度数；
②求以为边长的正方形面积；
（2）当在上运动时，始终保持，连接，则面积的最小值为 （直接写出答案）．
【答案】（1）①，②以为边的正方形面积为；（2）．
【分析】（1）根据正方形性质得出，，由此得知，然后根据AB=AQ=CP，结合等腰三角形性质以及三角形内角和定理进一步求出答案即可；
（2）首先根据勾股定理求出，由此得出，通过证明进一步得出，据此即可得出答案；
（3）延长至点，使，连接，先证明与全等，得出∠GBF=∠EBF，再证明与全等，从而得出，即当时，取得最小值，设此时，则，根据题意利用勾股定理得出，最后得出，，据此进一步求解即可.
【详解】（1）①∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵AB=AQ=CP，
∴AB=AQ=CP=BC，
∴，
同理，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即，
故以为边的正方形面积为；
（2）如图，延长至点，使，连接，
在与中，
∵
∴
∴，，
∴，
∴∠GBF=∠EBF，
在与中，
∵
∴
∴，
在中，，
当且仅当时等号成立，此时，
设此时，则，
由得：
即
解得（舍去），
∴，，
∴面积的最小值=，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正方形性质与全等三角形性质及判定和相似三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
1．（2023·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，E是边上的一个动点，F是对角线上的一个动点，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】延长至，使，易得，即可得到，连接交于一点即为最小距离和点，过C作，过D作，结合三角函数即可得到答案；
【详解】解：延长至，使，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴连接交于一点即为最小距离和点，
过C作，过D作，
∵， ，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线得到最小距离之和的点．
2．（2024·安徽芜湖·一模）如图， 在矩形中，，点E， F分别是上的点， ，垂足为点O， 则 ； 连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，勾股定理，分别以为边作平行四边形，连接，过点F作交于点G，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点F作交于点G，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值为，
故答案为：，．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，点P为线段上一动点（不与点C，D重合），连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P且与垂直的直线于点Q．
（1）连接，则的度数是 ；
（2）连接，则周长的最小值是 ．
【答案】 /45度 /
【分析】（1）以为边向下作正方形，连接、，证明，可得；
（2）首先得到点Q在上移动，然后根据点D与点E关于对称可知当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得答案．
【详解】（1）如图，以为边向下作正方形，连接、，
由题意知和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵为的高线，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，
∴点Q在上移动，
∵四边形是正方形，
∴点D与点E关于对称，
∴当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长，
∵在等腰直角中，为高线，，
∴，，
∴，
∴，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题，作出合适的辅助线，判断出点Q的运动路径是解题的关键．
4．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、．
（1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）分别过点G作于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解；
（2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，在的延长线上取点，使得，可得，可证得，可得，可知，当、、在同一直线上时去等号，进而可知的最小值为．
【详解】解：分别过点G作于M，于H，如图1，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∵E，F分别是边上的中点，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
故答案为：；
（2）∵四边形是矩形，，，
∴，，
过点作，，则四边形是矩形，
∴，，
∵，，则，
∴，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴，
在的延长线上取点，使得，则，
则
∵，
∴，
∴，
则，当、、在同一直线上时取等号，
即：的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
5．（2024·安徽合肥·三模）如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M：
（1）当点G是的中点时，则的长为 ；
（2）连接，则的最小值为 ；
【答案】 1 /
【分析】（1）过F点作于H点，,则四边形，都是矩形，则可得，根据证明，则可得，又由，即可求出的长；
（2）连接交于O点，可证，则可得，取中点P，连接、，过P点作于Q点，则可得．再求出的长，根据两点之间线段最短可得当A、M、P三点共线时取最小值，由此可求得的最小值．
【详解】（1）
∵四边形是正方形，
，．
过F点作于H点，
则四边形，都是矩形，
，，
．
，，
，
又，
，
，点G是的中点，
，
，
又，，
．
故答案为：1
（2）
连接，交于O点，
，
，
，，
，
又，
，
．
，，
，
．
取中点P，连接、，过P点作于Q点，
则，
，，
，
，
．
在中，P是中点，
，
，
当A、M、P三点共线时取最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．两点之间线段最短，直角三角形的性质．熟练掌握根据“两点之间线段最短”求最小值是解题的关键．
6．（2024·安徽合肥·一模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．
（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
【答案】
【分析】（1）由直角三角形的性质及折叠性质得的度数，再由矩形的性质及角平分线的条件即可求解；
（2）由面积相等可求得，从而得，由勾股定理得，则可表示，在中由勾股定理建立方程即可求得．
【详解】解：（1）矩形中，，
∴，；
由折叠知：，
∴，；
∵平分，
∴；
故答案为：55；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
由折叠知，，；
∵E为中点，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：,
即，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识，灵活运用这些知识是关键．
7．（2022·安徽·模拟预测）已知是矩形的边上一点，，连接，将沿翻折．若点的对应点正好落在矩形的对角线上，则的值为 ．
【答案】或
【分析】设，分两种情况：①点在上，求出，证明，根据相似三角形的性质可得答案；②点在上，证明，根据相似三角形的性质求出即可得出答案．
【详解】解：设，分两种情况：
①点在上，如图1，由翻折可知，，，
，
，
，
，，
，
；
②点在上，如图2，由翻折可知，
垂直平分，
，
，
，
，
，即，
，
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确分类讨论是解题的关键．
8．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在菱形中，，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段的延长线上，交于点G，若，则 ．
【答案】
【分析】由翻折得，因为点B的对应点F恰好落在线段的延长线上，所以，则，所以，则，由勾股定理求得，由菱形的性质得，，而，则，所以，，于是得到问题的答案．
【详解】解：由翻折得，
∵点B的对应点F恰好落在线段的延长线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
9．（2023·安徽·模拟预测）如图，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，过点作分别交于点．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ．
【答案】 45
【分析】（1）证明，得出，求出即可；
（2）过点作，垂足为点，证明，得出，证明，得出，设，得出，即，求出，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得，，，
又，
，
，
．
故答案为：45．
（2）过点作，垂足为点．如图所示：
由折叠的性质知，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定方法．
10．（2023·安徽池州·二模）如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题：
（1） ．
（2）若，则 ．
【答案】 /度
【分析】（1）根据折叠得出，证明，得出，根据，求出结果即可；
（2）过点H作于点M，证明，得出，，证明，得出，设，则，得出，得出，根据，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可知，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）过点H作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判断，作出辅助线构造全等三角形，证明．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 四边形中的折叠和最值问题
（平行四边形、矩形、菱形、正方形）
题型01 平行四边形中的折叠问题
折叠问题时是安徽省中考的重难点问题，一般放在选择或填空的压轴，涉及内容较多，做法灵活。
技巧：
折叠问题的本质是轴对称，折叠前的部分和折叠后的部分是全等图形；
折痕可以看作垂直平分线，对称点的连线被对称轴垂直平分，连接两对称点可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形，从而把折叠问题转化为轴对称问题；
(3)利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，是上一动点，连接，将沿折叠，使点正好落在上．
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
【变式演练】
1．（23-24九年级上·安徽六安·开学考试）在平行四边形中，，，，点P在边上，如图，将平行四边形沿直线折叠，点D落在边上．
①的长为 ；
②已知Q是直线上的动点，则的最小值为 ．
2．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）的大小为 ；
（2）当四边形是平行四边形，时，
3．（2022·安徽合肥·二模）如图，在△ABC中，AB＝4，点P为AC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，将∠A、∠C分别沿PE、PF折叠，使点A、C分别落在边AB、BC上的点G、H处．
（1）当∠B＝50°时，则∠GPH＝ ．
（2）当四边形BHPG为平行四边形时，则PE＋PF的值为 ．
4．（22-23八年级下·安徽黄山·期中）（1）如图1，在矩形中，E是的中点，将沿折叠得到，点F在矩形内部，延长交于点G．求证：；
（2）如图2，将（1）中的“矩形”这一条件改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若将（1）中的“矩形”这一条件改为“任意四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论仍然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请增加一个条件，使它成立（无需证明）．
题型02 矩形中的折叠
矩形中的折叠和平行四边形中的折叠属于同类问题，做题方法也雷同，不再赘述，方法参考平行四边形。
1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形
【典例分析】
例1．（2024·安徽淮南·二模）如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则 °；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为 ．
【变式演练】
1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，．分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接．
（1） ；
（2）将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，此时k的值为 ．
2．（2024·安徽滁州·一模）如图，在矩形纸片中，对角线和交于点，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点．
（1）若，，则的长为 ；
（2）若，则的值为 ．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H．
（1）的度数为 度；
（2）的值为 ．
4．（2024·安徽黄山·一模）如图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点恰好落在上，据此解决下列问题：
(1)求证：；
(2)如图，延长交于点，交于点．求证：．
题型03 菱形中的折叠问题
1.考查重点：折叠问题的性质；全等图形产生的等线段、等角、垂直平分线、角平分线等。
2.高频题型：菱形中的折叠问题。
3.能力要求：掌握菱形折叠产生的特殊图形、特殊角等。
1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）； （2）四边相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【典例分析】
例1．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图1，在五边形纸片中，，将五边形纸片沿折叠，点落在点处，在上取一点，将和分别沿、折叠，点、恰好落在点处．
（1） ；
（2）如图2，若四边形是菱形，且、、三点共线时，则 ．
【变式演练】
1．（2022·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．
（1） ；
（2）若点E是的中点，则的长为 ．
2．（2023·安徽六安·二模）如图，沿折叠菱形纸片，使得的对应边恰好经过点，若，则
（1） ．
（2）线段的长是 ．
3．（2022·安徽安庆·二模）如图，在△中，°，°，，点是上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处.
（1）当四边形为菱形时， .
（2）当°时， .
4．（2023·安徽合肥·三模）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点．
(1)求的长；
(2)若，求证：；
(3)若点在线段上（不与、重合），以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在菱形的边上，画出图形并求的长．
题型04 正方形中的折叠
正方形中的折叠比其它四边形折叠更为特殊，折叠后产生的特殊图形较多，比如直角三角形和特殊的直角三角形、等腰三角形、等边三角形、甚至出现矩形、平行线、垂直平分线等，涉及出现的知识点也比较多，一般求线段长、角度、三角函数值等。
1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。
【典例分析】
例1．（2024·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点E，F为边上的点，将，分别沿折叠，点B，D恰好落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处．
（1） ；
（2）若，则的长为 ．
【变式演练】
1．（2024·安徽·二模）如图，在正方形中，点分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点．
（1） ；
（2）若，则的长为 ．
2．（2023·安徽池州·二模）在正方形中，边长为2，如图，点E为边的中点，将边沿折叠到，点F为边上一点，将边沿折叠恰能使与重合．
（1）
（2）如图，延长，交于点N，连接并延长，交的延长线于点G，连接，则
3．（2021·安徽合肥·三模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝ ；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝ ．
4．（2023·安徽合肥·二模）在正方形中，点为边上一点．连接，将沿折叠得到，，分别交于点，，连接．
(1)如图1，点是的中点．
①若，则_________（用含的式子表示）；
②求证：；
(2)如图2，若，，求的长．
题型05 四边形中的最值问题
四边形中的最值问题一般涉及的有线段和最值、单线段最值、面积最值、周长最值类等，解决方法一般一般有“将军饮马类”、“胡不归类”“阿氏圆类”、“隐形圆类”、旋转类等。
线段和求最值类：一般方法有将军饮马的解决方法、阿氏圆和胡不归的方法； 单线段求最值类：一般有隐形圆的解决方法、直角三角形斜边中线等于斜边一半求最值、遇中点构造中位线类； 面积类最值：一般根据图像的面积公式将面积转化为底和高的最值；还可以将面积用函数解析式的形式表示，根据函数的性质求最值。
【典例分析】
例1．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
例2．（2022·安徽·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2021·安徽·二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （ ）
A．2－3 B．2－2 C．5 D．3
2．（2020·安徽·模拟预测）如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·安徽·二模）如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG．
（1）当，且时，四边形AEGF的面积为 ；
（2）的最小值为 ．
4．（2021·安徽·二模）如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
（1）若，则正方形的面积为 ．
（2）连接，，则面积的最小值为 ．
5．（2019·安徽合肥·三模）如图正方形的顶点是和上的动点，与交于P、Q两点，.
（1）当时，
①求的度数；
②求以为边长的正方形面积；
（2）当在上运动时，始终保持，连接，则面积的最小值为 （直接写出答案）．
1．（2023·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，E是边上的一个动点，F是对角线上的一个动点，且，则的最小值为 ．
2．（2024·安徽芜湖·一模）如图， 在矩形中，，点E， F分别是上的点， ，垂足为点O， 则 ； 连接，则的最小值为 ．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，点P为线段上一动点（不与点C，D重合），连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P且与垂直的直线于点Q．
（1）连接，则的度数是 ；
（2）连接，则周长的最小值是 ．
4．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、．
（1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ；
（2）的最小值为 ．
5．（2024·安徽合肥·三模）如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M：
（1）当点G是的中点时，则的长为 ；
（2）连接，则的最小值为 ；
6．（2024·安徽合肥·一模）如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．
（1）若，则 °；
（2）若，且三点共线，则 ．
7．（2022·安徽·模拟预测）已知是矩形的边上一点，，连接，将沿翻折．若点的对应点正好落在矩形的对角线上，则的值为 ．
8．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在菱形中，，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段的延长线上，交于点G，若，则 ．
9．（2023·安徽·模拟预测）如图，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，过点作分别交于点．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ．
10．（2023·安徽池州·二模）如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题：
（1） ．
（2）若，则 ．
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