【期末押题预测】期末核心考点 成对数据的统计相关性（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 成对数据的统计相关性（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 229.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:49:10 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
期末核心考点 成对数据的统计相关性
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 滨海新区校级期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①若随机变量X服从正态分布X N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.3；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强；
③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05；
⑤决定系数，甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025春 盐城期中）在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）所对应的点均在直线y＝﹣3x+2上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2
3．（2025春 河南月考）现有一组样本数据点，（3，2），，（6，3），则该组样本数据点的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
4．（2025春 南阳期中）现有一组样本数据，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
5．（2025 天津模拟）小明研究温差x（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数y（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：
x 3 4 5 6 7
y 16 20 25 28 36
由表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程x+1，则下列结论不正确的是（ ）
A．x与y正相关
B．经验回归直线经过点（5，25）
C．当x＝6时，残差为1.8
D．4.8
6．（2025 德阳模拟）下列结论不正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数r反映了两个变量线性相关程度的强弱，且|r|越大，线性相关性越强
B．若两个变量x，y的线性相关系数r＝0，则x，y之间不具有线性相关性
C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系
D．在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）都在直线y＝0.8x+1上，则这组样本数据的相关系数为0.8
7．（2025春 赣州期中）关于随机变量X和Y的样本（线性）相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围为[0，1]
B．当r＝1时，随机变量X和Y不相关
C．当r＝0时，随机变量X和Y的相关程度最强
D．当r＞0时，随机变量X和Y正相关
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 蕲春县校级二模）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（ ）
A．决定系数R2变大
B．相关系数r变小
C．残差平方和变小
D．这些数据中的x的平均值变小，y的平均值变大
（多选）9．（2025 福州校级模拟）下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜0）＝0.2，则P（X＜4）＝0.8
B．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.92，rB＝﹣0.96，则A组数据比B组数据的相关性强
D．已知P（A）＞0，P（B）＞0，若P（A|B）＝P（A），则
（多选）10．（2025春 赣州期中）调研某工厂的生产投入x（生产工时/天）对产量y（件/天）和每件产品的平均能源消耗z（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：
x（生产工时/天） 10 20 30 40 50 60
y（件/天） 50 101 149 202 248 301
z（千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2
现在对y与x，z与x分别进行相关性分析，得到相关系数分别为r1，r2，则下列判断正确的是（ ）
A．0＜r1＜1 B．0＜r2＜1 C．r1+r2＞0 D．r1+r2＜0
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 滨海新区校级期中）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为 ．
12．（2025 奉贤区二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示：
价格（百元） x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10
需求量（千克） y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1
那么线性相关系数r＝ ．（精确到0.001）
线性相关系数公式．
13．（2025春 东湖区校级月考）在陈塘关，哪吒发现高中学生的仙术成绩（类似数学成绩设为x）、法宝操控成绩（类似物理成绩设为y）、灵符绘制成绩（类似化学成绩设为z）两两成正相关关系．哪吒随机抽取了55名仙童，仙术成绩x和法宝操控成绩y的样本线性相关系数为，法宝操控成绩y和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数为，求仙术成绩x和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数的最大值为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 南山区校级期中）“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数a1，a2， ，an所组成的有序实数组称为n维向量，记作，特别地，称为零向量，所有n维向量组成的集合记为．
设，定义加法和数乘分别为：
．
对一组向量，若存在一组不全为零的实数λ1，λ2， λs，使得，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关．
（1）若n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（i）；
（ii）；
（2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（3）已知t（t≥2）个向量线性相关，但其中任意t﹣1个向量都线性无关，证明：
（i）如果存在等式，则这些系数λ1，λ2， ，λt或者全为零，或者全不为零；
（ii）如果两个等式（λi∈R，μi∈R，i＝1，2， ，t）同时成立，其中μ1≠0，则．
15．（2023秋 德州期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为y＝3x+800，且销量y的方差，年份x的方差．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 45
女性 15
总计
根据调查数据回答：是否有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：（i）线性回归方程：，其中，a；
（ii）相关系数：r，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强．
（iii），其中n＝a+b+c+d．附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
期末核心考点 成对数据的统计相关性
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 滨海新区校级期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①若随机变量X服从正态分布X N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.3；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强；
③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05；
⑤决定系数，甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】样本相关系数；独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断①，根据相关系数的性质可判断②，根据残差图的性质可判断③，根据独立性检验的性质可判断④．
【解答】解：对于①，若随机变量X服从正态分布X N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，
所以P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.7﹣0.5＝0.2，故①错误；
对于②，可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，|r|值越大两个变量的相关程度越强，故②错误；
对于③，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故③正确；
对于④，因为χ2＝4.712＞3.841，所以根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故④正确；
对于⑤，因为决定系数R2越大，拟合效果越好，所以模型甲的拟合效果更好，故⑤错误．
所以正确的个数有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了相关系数和决定系数的性质，以及独立性检验的应用，属于基础题．
2．（2025春 盐城期中）在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）所对应的点均在直线y＝﹣3x+2上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2
【考点】样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）所对应的点均在直线y＝﹣3x+2上，且直线的斜率小于0，
所以r＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
3．（2025春 河南月考）现有一组样本数据点，（3，2），，（6，3），则该组样本数据点的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【考点】样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】注意到样本数据点均在直线上，根据题意结合相关系数的意义分析判断即可．
【解答】解：根据题意可知：这些样本数据点均在直线上，且直线的斜率大于0，
所以r＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
4．（2025春 南阳期中）现有一组样本数据，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【考点】样本相关系数；直线的倾斜角．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据，，，都在直线上，且0，
所以x与y负相关，即该组样本数据的相关系数r＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
5．（2025 天津模拟）小明研究温差x（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数y（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：
x 3 4 5 6 7
y 16 20 25 28 36
由表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程x+1，则下列结论不正确的是（ ）
A．x与y正相关
B．经验回归直线经过点（5，25）
C．当x＝6时，残差为1.8
D．4.8
【考点】变量间的相关关系；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据经验回归方程过点（，）可求出的值，进而可判断A，B，D，再结合残差的定义可判断C．
【解答】解：由题意可知，5，25，
因为经验回归方程x+1过点（，），即点（5，25），
所以25＝51，
解得4.8，
因为0，
所以x与y正相关，故A正确，B正确，D正确，
因为经验回归方程为4.8x+1，
所以当x＝6时，残差为28﹣（4.8×6+1）＝﹣1.8，故C错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了经验回归方程的性质，属于基础题．
6．（2025 德阳模拟）下列结论不正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数r反映了两个变量线性相关程度的强弱，且|r|越大，线性相关性越强
B．若两个变量x，y的线性相关系数r＝0，则x，y之间不具有线性相关性
C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系
D．在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）都在直线y＝0.8x+1上，则这组样本数据的相关系数为0.8
【考点】变量间的相关关系．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：对于A，两个变量x，y的线性相关系数r反映了两个变量线性相关程度的强弱，且|r|越大，线性相关性越强，故A正确；
对于B，若两个变量x，y的线性相关系数r＝0，则x，y之间不具有线性相关性，故B正确；
对于C，因为简单随机抽样带有随机性，所以由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系，故C正确；
对于D，在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）都在直线y＝0.8x+1上，则这组样本数据的相关系数为1，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
7．（2025春 赣州期中）关于随机变量X和Y的样本（线性）相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围为[0，1]
B．当r＝1时，随机变量X和Y不相关
C．当r＝0时，随机变量X和Y的相关程度最强
D．当r＞0时，随机变量X和Y正相关
【考点】样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：由相关系数r的性质可知，r的取值范围为[﹣1，1]，故A错误；
|r|的绝对值越接近于1，随机变量X和Y的相关程度越强，故B错误，C错误；
当r＞0时，随机变量X和Y正相关，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 蕲春县校级二模）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（ ）
A．决定系数R2变大
B．相关系数r变小
C．残差平方和变小
D．这些数据中的x的平均值变小，y的平均值变大
【考点】样本相关系数；残差及残差图．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据样本相关系数知识可解．
【解答】解：对于A，去掉点P后，拟合效果越好，决定系数越接近于1，故R2变大，故A正确；
对于B，去掉点P后，相关性越强，相关系数r的绝对值越接近于1，故变大，故B错误；
对于C，去掉点P后，残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确；
对于D，通过点P的位置可知，去掉点P后x的平均值变大，y的平均值变小，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查样本相关系数知识，属于中档题．
（多选）9．（2025 福州校级模拟）下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜0）＝0.2，则P（X＜4）＝0.8
B．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.92，rB＝﹣0.96，则A组数据比B组数据的相关性强
D．已知P（A）＞0，P（B）＞0，若P（A|B）＝P（A），则
【考点】样本相关系数；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的性质判断A的真假；根据方差的计算公式判断B的真假；根据相关系数的意义判断C的真假；根据条件概率的计算公式判断事件A、B的关系，确定D的真假．
【解答】解：对于选项A：因为X N（2，σ2），且P（X＜0）＝0.2，
所以P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.2，所以P（X＜4）＝0.8，故选项A正确；
对于选项B：设两层的数据分别为：z1，z2，z3， ，zm和y1，y2，y3， ，yn，
则，，
设总体平均数为，则，
因为，所以，
因为，，
所以，故选项B正确；
对于选项C：由样本相关系数的的意义可知，B组数据比A组数据的相关性强，故选项C错误；
对于选项D：由P（A|B）＝P（A） P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A，B独立，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了分层随机抽样的方差公式，以及独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
（多选）10．（2025春 赣州期中）调研某工厂的生产投入x（生产工时/天）对产量y（件/天）和每件产品的平均能源消耗z（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：
x（生产工时/天） 10 20 30 40 50 60
y（件/天） 50 101 149 202 248 301
z（千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2
现在对y与x，z与x分别进行相关性分析，得到相关系数分别为r1，r2，则下列判断正确的是（ ）
A．0＜r1＜1 B．0＜r2＜1 C．r1+r2＞0 D．r1+r2＜0
【考点】样本相关系数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据所给数据及相关系数的概念及性质判断即可．
【解答】解：由表格数据可知x增大y也增大，即y与x呈正相关，所以0＜r1＜1，故A正确；
因为x增大时z反而越来越少，所以z与x呈负相关，所以r2＜0，故B错误；
因为x每增加10，y增加的量分别为51，48，53，46，53，增加的量接近50且偏差不大，而x每增加10，z减少的量分别为0.7，3.9，0.7，1.5，3.8，偏差较大，即y与x的相关性更强，所以|r1|＞|r2|即r1＞﹣r2所以r1+r2＞0，故C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查样本相关系数的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 滨海新区校级期中）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为 1 ．
【考点】变量间的相关关系；散点图．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】1．
【分析】由散点图知两变量间是相关关系，不是函数关系；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性．
【解答】解：对于①，根据散点图知，各点分布在一条直线附近，两变量间是线性相关关系，①正确；
对于②，根据散点图知，两变量不是确定的一次函数关系，②错误；
对于③，利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，③错误，
所以正确的个数为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查两变量间是相关关系，属于基础题．
12．（2025 奉贤区二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示：
价格（百元） x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10
需求量（千克） y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1
那么线性相关系数r＝ ﹣0.863 ．（精确到0.001）
线性相关系数公式．
【考点】样本相关系数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】﹣0.863．
【分析】利用相关系数公式计算即可．
【解答】解：由题意可得，
，
所以，
，
，
所以．
故答案为：﹣0.863．
【点评】本题考查了相关系数公式，属于中档题．
13．（2025春 东湖区校级月考）在陈塘关，哪吒发现高中学生的仙术成绩（类似数学成绩设为x）、法宝操控成绩（类似物理成绩设为y）、灵符绘制成绩（类似化学成绩设为z）两两成正相关关系．哪吒随机抽取了55名仙童，仙术成绩x和法宝操控成绩y的样本线性相关系数为，法宝操控成绩y和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数为，求仙术成绩x和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数的最大值为 ．
【考点】样本相关系数．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据线性相关系数的定义与性质，求解即可．
【解答】解：设（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn），（z1，z2，…，zn），
（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn），（z1，z2，…，zn），
设与的夹角为α，与的夹角为β，
由题意知，x与y的样本相关系数为，即cosα，y与z的样本相关系数为，即cosβ；
由题意知α与β均为锐角，且β＞α，
所以与夹角余弦的最大值为cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα
，
即x与z的样本相关系数的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了线性相关系数的定义与性质应用问题，是中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 南山区校级期中）“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数a1，a2， ，an所组成的有序实数组称为n维向量，记作，特别地，称为零向量，所有n维向量组成的集合记为．
设，定义加法和数乘分别为：
．
对一组向量，若存在一组不全为零的实数λ1，λ2， λs，使得，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关．
（1）若n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（i）；
（ii）；
（2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（3）已知t（t≥2）个向量线性相关，但其中任意t﹣1个向量都线性无关，证明：
（i）如果存在等式，则这些系数λ1，λ2， ，λt或者全为零，或者全不为零；
（ii）如果两个等式（λi∈R，μi∈R，i＝1，2， ，t）同时成立，其中μ1≠0，则．
【考点】变量间的相关关系；数列求和的其他方法．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）（i）线性相关，理由见解析；（ii）线性相关，理由见解析；
（2）线性无关，理由见解析；
（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到λ1＝λ2＝λ3＝0即可判断；
（3）（i）如果某个λi＝0，i＝1，2， ，t，然后证明λ1，λ2， λi﹣1，λi+1， ，λt都等于0即可；（ii）由可得，然后代入根据题意证明即可．
【解答】解：（1）对于（i），线性相关，理由如下：
设，则可得，则λ1+3λ2＝0，所以，线性相关；
对于②，线性相关，理由如下：
设，则可得，
即 λ1+3λ2＝0，λ3＝0，所以，，线性相关．
（2）假设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，
，解得λ1＝λ2＝λ3＝0，所以向量，，线性无关．
（3）证明：（i）因为，如果某个λi＝0，i＝1，2， ，t，
则，
因为其中任意t﹣1个向量都线性无关，所以λ1，λ2，…λi﹣1，λi+1，…，λt都等于0，
所以这些系数λ1，λ2，…，λt或者全为零，或者全不为零．
（ii）因为μ1≠0，所以μ1，μ2，…，μt全不为零，
由可得，
代入，可得，
，
所以，，…，，
所以．
【点评】本题主要考查新定义问题，考查向量的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
15．（2023秋 德州期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为y＝3x+800，且销量y的方差，年份x的方差．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 45
女性 15
总计
根据调查数据回答：是否有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：（i）线性回归方程：，其中，a；
（ii）相关系数：r，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强．
（iii），其中n＝a+b+c+d．附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
【考点】样本相关系数；独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）相关较强；（2）有把握．
【分析】（1）根据相关系数r与的关系即可得；（2）代入χ2公式即可．
【解答】解：（1）由于，年份x的方差，
则相关系数为
，
故y与x线性相关较强．
（2）列表如下：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
．
又∵1﹣95%＝5%，而且查表可得P（χ2≥3.841）＝0.05，由于5.031＞3.841，
所以有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关．
【点评】本题考查回归方程的性质，考查运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
期末核心考点 成对数据的统计相关性
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 滨海新区校级期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①若随机变量X服从正态分布X N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.3；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强；
③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05；
⑤决定系数，甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025春 盐城期中）在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）所对应的点均在直线y＝﹣3x+2上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2
3．（2025春 河南月考）现有一组样本数据点，（3，2），，（6，3），则该组样本数据点的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
4．（2025春 南阳期中）现有一组样本数据，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
5．（2025 天津模拟）小明研究温差x（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数y（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：
x 3 4 5 6 7
y 16 20 25 28 36
由表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程x+1，则下列结论不正确的是（ ）
A．x与y正相关
B．经验回归直线经过点（5，25）
C．当x＝6时，残差为1.8
D．4.8
6．（2025 德阳模拟）下列结论不正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数r反映了两个变量线性相关程度的强弱，且|r|越大，线性相关性越强
B．若两个变量x，y的线性相关系数r＝0，则x，y之间不具有线性相关性
C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系
D．在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）都在直线y＝0.8x+1上，则这组样本数据的相关系数为0.8
7．（2025春 赣州期中）关于随机变量X和Y的样本（线性）相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围为[0，1]
B．当r＝1时，随机变量X和Y不相关
C．当r＝0时，随机变量X和Y的相关程度最强
D．当r＞0时，随机变量X和Y正相关
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 蕲春县校级二模）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（ ）
A．决定系数R2变大
B．相关系数r变小
C．残差平方和变小
D．这些数据中的x的平均值变小，y的平均值变大
（多选）9．（2025 福州校级模拟）下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜0）＝0.2，则P（X＜4）＝0.8
B．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.92，rB＝﹣0.96，则A组数据比B组数据的相关性强
D．已知P（A）＞0，P（B）＞0，若P（A|B）＝P（A），则
（多选）10．（2025春 赣州期中）调研某工厂的生产投入x（生产工时/天）对产量y（件/天）和每件产品的平均能源消耗z（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：
x（生产工时/天） 10 20 30 40 50 60
y（件/天） 50 101 149 202 248 301
z（千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2
现在对y与x，z与x分别进行相关性分析，得到相关系数分别为r1，r2，则下列判断正确的是（ ）
A．0＜r1＜1 B．0＜r2＜1 C．r1+r2＞0 D．r1+r2＜0
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 滨海新区校级期中）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为 ．
12．（2025 奉贤区二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示：
价格（百元） x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10
需求量（千克） y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1
那么线性相关系数r＝ ．（精确到0.001）
线性相关系数公式．
13．（2025春 东湖区校级月考）在陈塘关，哪吒发现高中学生的仙术成绩（类似数学成绩设为x）、法宝操控成绩（类似物理成绩设为y）、灵符绘制成绩（类似化学成绩设为z）两两成正相关关系．哪吒随机抽取了55名仙童，仙术成绩x和法宝操控成绩y的样本线性相关系数为，法宝操控成绩y和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数为，求仙术成绩x和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数的最大值为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 南山区校级期中）“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数a1，a2， ，an所组成的有序实数组称为n维向量，记作，特别地，称为零向量，所有n维向量组成的集合记为．
设，定义加法和数乘分别为：
．
对一组向量，若存在一组不全为零的实数λ1，λ2， λs，使得，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关．
（1）若n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（i）；
（ii）；
（2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（3）已知t（t≥2）个向量线性相关，但其中任意t﹣1个向量都线性无关，证明：
（i）如果存在等式，则这些系数λ1，λ2， ，λt或者全为零，或者全不为零；
（ii）如果两个等式（λi∈R，μi∈R，i＝1，2， ，t）同时成立，其中μ1≠0，则．
15．（2023秋 德州期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为y＝3x+800，且销量y的方差，年份x的方差．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 45
女性 15
总计
根据调查数据回答：是否有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：（i）线性回归方程：，其中，a；
（ii）相关系数：r，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强．
（iii），其中n＝a+b+c+d．附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
期末核心考点 成对数据的统计相关性
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 滨海新区校级期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①若随机变量X服从正态分布X N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.3；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强；
③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05；
⑤决定系数，甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】样本相关系数；独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断①，根据相关系数的性质可判断②，根据残差图的性质可判断③，根据独立性检验的性质可判断④．
【解答】解：对于①，若随机变量X服从正态分布X N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，
所以P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.7﹣0.5＝0.2，故①错误；
对于②，可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，|r|值越大两个变量的相关程度越强，故②错误；
对于③，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故③正确；
对于④，因为χ2＝4.712＞3.841，所以根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故④正确；
对于⑤，因为决定系数R2越大，拟合效果越好，所以模型甲的拟合效果更好，故⑤错误．
所以正确的个数有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了相关系数和决定系数的性质，以及独立性检验的应用，属于基础题．
2．（2025春 盐城期中）在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）所对应的点均在直线y＝﹣3x+2上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2
【考点】样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）所对应的点均在直线y＝﹣3x+2上，且直线的斜率小于0，
所以r＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
3．（2025春 河南月考）现有一组样本数据点，（3，2），，（6，3），则该组样本数据点的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【考点】样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】注意到样本数据点均在直线上，根据题意结合相关系数的意义分析判断即可．
【解答】解：根据题意可知：这些样本数据点均在直线上，且直线的斜率大于0，
所以r＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
4．（2025春 南阳期中）现有一组样本数据，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数r＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【考点】样本相关系数；直线的倾斜角．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据，，，都在直线上，且0，
所以x与y负相关，即该组样本数据的相关系数r＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
5．（2025 天津模拟）小明研究温差x（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数y（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：
x 3 4 5 6 7
y 16 20 25 28 36
由表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程x+1，则下列结论不正确的是（ ）
A．x与y正相关
B．经验回归直线经过点（5，25）
C．当x＝6时，残差为1.8
D．4.8
【考点】变量间的相关关系；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据经验回归方程过点（，）可求出的值，进而可判断A，B，D，再结合残差的定义可判断C．
【解答】解：由题意可知，5，25，
因为经验回归方程x+1过点（，），即点（5，25），
所以25＝51，
解得4.8，
因为0，
所以x与y正相关，故A正确，B正确，D正确，
因为经验回归方程为4.8x+1，
所以当x＝6时，残差为28﹣（4.8×6+1）＝﹣1.8，故C错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了经验回归方程的性质，属于基础题．
6．（2025 德阳模拟）下列结论不正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数r反映了两个变量线性相关程度的强弱，且|r|越大，线性相关性越强
B．若两个变量x，y的线性相关系数r＝0，则x，y之间不具有线性相关性
C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系
D．在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）都在直线y＝0.8x+1上，则这组样本数据的相关系数为0.8
【考点】变量间的相关关系．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：对于A，两个变量x，y的线性相关系数r反映了两个变量线性相关程度的强弱，且|r|越大，线性相关性越强，故A正确；
对于B，若两个变量x，y的线性相关系数r＝0，则x，y之间不具有线性相关性，故B正确；
对于C，因为简单随机抽样带有随机性，所以由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系，故C正确；
对于D，在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…）都在直线y＝0.8x+1上，则这组样本数据的相关系数为1，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
7．（2025春 赣州期中）关于随机变量X和Y的样本（线性）相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围为[0，1]
B．当r＝1时，随机变量X和Y不相关
C．当r＝0时，随机变量X和Y的相关程度最强
D．当r＞0时，随机变量X和Y正相关
【考点】样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：由相关系数r的性质可知，r的取值范围为[﹣1，1]，故A错误；
|r|的绝对值越接近于1，随机变量X和Y的相关程度越强，故B错误，C错误；
当r＞0时，随机变量X和Y正相关，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 蕲春县校级二模）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（ ）
A．决定系数R2变大
B．相关系数r变小
C．残差平方和变小
D．这些数据中的x的平均值变小，y的平均值变大
【考点】样本相关系数；残差及残差图．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据样本相关系数知识可解．
【解答】解：对于A，去掉点P后，拟合效果越好，决定系数越接近于1，故R2变大，故A正确；
对于B，去掉点P后，相关性越强，相关系数r的绝对值越接近于1，故变大，故B错误；
对于C，去掉点P后，残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确；
对于D，通过点P的位置可知，去掉点P后x的平均值变大，y的平均值变小，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查样本相关系数知识，属于中档题．
（多选）9．（2025 福州校级模拟）下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜0）＝0.2，则P（X＜4）＝0.8
B．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.92，rB＝﹣0.96，则A组数据比B组数据的相关性强
D．已知P（A）＞0，P（B）＞0，若P（A|B）＝P（A），则
【考点】样本相关系数；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的性质判断A的真假；根据方差的计算公式判断B的真假；根据相关系数的意义判断C的真假；根据条件概率的计算公式判断事件A、B的关系，确定D的真假．
【解答】解：对于选项A：因为X N（2，σ2），且P（X＜0）＝0.2，
所以P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.2，所以P（X＜4）＝0.8，故选项A正确；
对于选项B：设两层的数据分别为：z1，z2，z3， ，zm和y1，y2，y3， ，yn，
则，，
设总体平均数为，则，
因为，所以，
因为，，
所以，故选项B正确；
对于选项C：由样本相关系数的的意义可知，B组数据比A组数据的相关性强，故选项C错误；
对于选项D：由P（A|B）＝P（A） P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A，B独立，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了分层随机抽样的方差公式，以及独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
（多选）10．（2025春 赣州期中）调研某工厂的生产投入x（生产工时/天）对产量y（件/天）和每件产品的平均能源消耗z（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：
x（生产工时/天） 10 20 30 40 50 60
y（件/天） 50 101 149 202 248 301
z（千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2
现在对y与x，z与x分别进行相关性分析，得到相关系数分别为r1，r2，则下列判断正确的是（ ）
A．0＜r1＜1 B．0＜r2＜1 C．r1+r2＞0 D．r1+r2＜0
【考点】样本相关系数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据所给数据及相关系数的概念及性质判断即可．
【解答】解：由表格数据可知x增大y也增大，即y与x呈正相关，所以0＜r1＜1，故A正确；
因为x增大时z反而越来越少，所以z与x呈负相关，所以r2＜0，故B错误；
因为x每增加10，y增加的量分别为51，48，53，46，53，增加的量接近50且偏差不大，而x每增加10，z减少的量分别为0.7，3.9，0.7，1.5，3.8，偏差较大，即y与x的相关性更强，所以|r1|＞|r2|即r1＞﹣r2所以r1+r2＞0，故C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查样本相关系数的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 滨海新区校级期中）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩散点图对应如图：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为 1 ．
【考点】变量间的相关关系；散点图．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】1．
【分析】由散点图知两变量间是相关关系，不是函数关系；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性．
【解答】解：对于①，根据散点图知，各点分布在一条直线附近，两变量间是线性相关关系，①正确；
对于②，根据散点图知，两变量不是确定的一次函数关系，②错误；
对于③，利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，③错误，
所以正确的个数为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查两变量间是相关关系，属于基础题．
12．（2025 奉贤区二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示：
价格（百元） x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10
需求量（千克） y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1
那么线性相关系数r＝ ﹣0.863 ．（精确到0.001）
线性相关系数公式．
【考点】样本相关系数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】﹣0.863．
【分析】利用相关系数公式计算即可．
【解答】解：由题意可得，
，
所以，
，
，
所以．
故答案为：﹣0.863．
【点评】本题考查了相关系数公式，属于中档题．
13．（2025春 东湖区校级月考）在陈塘关，哪吒发现高中学生的仙术成绩（类似数学成绩设为x）、法宝操控成绩（类似物理成绩设为y）、灵符绘制成绩（类似化学成绩设为z）两两成正相关关系．哪吒随机抽取了55名仙童，仙术成绩x和法宝操控成绩y的样本线性相关系数为，法宝操控成绩y和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数为，求仙术成绩x和灵符绘制成绩z的样本线性相关系数的最大值为 ．
【考点】样本相关系数．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据线性相关系数的定义与性质，求解即可．
【解答】解：设（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn），（z1，z2，…，zn），
（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn），（z1，z2，…，zn），
设与的夹角为α，与的夹角为β，
由题意知，x与y的样本相关系数为，即cosα，y与z的样本相关系数为，即cosβ；
由题意知α与β均为锐角，且β＞α，
所以与夹角余弦的最大值为cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα
，
即x与z的样本相关系数的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了线性相关系数的定义与性质应用问题，是中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2024春 南山区校级期中）“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数a1，a2， ，an所组成的有序实数组称为n维向量，记作，特别地，称为零向量，所有n维向量组成的集合记为．
设，定义加法和数乘分别为：
．
对一组向量，若存在一组不全为零的实数λ1，λ2， λs，使得，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关．
（1）若n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（i）；
（ii）；
（2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（3）已知t（t≥2）个向量线性相关，但其中任意t﹣1个向量都线性无关，证明：
（i）如果存在等式，则这些系数λ1，λ2， ，λt或者全为零，或者全不为零；
（ii）如果两个等式（λi∈R，μi∈R，i＝1，2， ，t）同时成立，其中μ1≠0，则．
【考点】变量间的相关关系；数列求和的其他方法．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）（i）线性相关，理由见解析；（ii）线性相关，理由见解析；
（2）线性无关，理由见解析；
（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到λ1＝λ2＝λ3＝0即可判断；
（3）（i）如果某个λi＝0，i＝1，2， ，t，然后证明λ1，λ2， λi﹣1，λi+1， ，λt都等于0即可；（ii）由可得，然后代入根据题意证明即可．
【解答】解：（1）对于（i），线性相关，理由如下：
设，则可得，则λ1+3λ2＝0，所以，线性相关；
对于②，线性相关，理由如下：
设，则可得，
即 λ1+3λ2＝0，λ3＝0，所以，，线性相关．
（2）假设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，
，解得λ1＝λ2＝λ3＝0，所以向量，，线性无关．
（3）证明：（i）因为，如果某个λi＝0，i＝1，2， ，t，
则，
因为其中任意t﹣1个向量都线性无关，所以λ1，λ2，…λi﹣1，λi+1，…，λt都等于0，
所以这些系数λ1，λ2，…，λt或者全为零，或者全不为零．
（ii）因为μ1≠0，所以μ1，μ2，…，μt全不为零，
由可得，
代入，可得，
，
所以，，…，，
所以．
【点评】本题主要考查新定义问题，考查向量的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
15．（2023秋 德州期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为y＝3x+800，且销量y的方差，年份x的方差．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 45
女性 15
总计
根据调查数据回答：是否有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：（i）线性回归方程：，其中，a；
（ii）相关系数：r，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强．
（iii），其中n＝a+b+c+d．附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
【考点】样本相关系数；独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）相关较强；（2）有把握．
【分析】（1）根据相关系数r与的关系即可得；（2）代入χ2公式即可．
【解答】解：（1）由于，年份x的方差，
则相关系数为
，
故y与x线性相关较强．
（2）列表如下：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
．
又∵1﹣95%＝5%，而且查表可得P（χ2≥3.841）＝0.05，由于5.031＞3.841，
所以有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关．
【点评】本题考查回归方程的性质，考查运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)