【期末押题预测】期末核心考点 二项式分布与超几何分布（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
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| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 二项式分布与超几何分布（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 82.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:49:46 | ||
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文档简介
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期末核心考点 二项式分布与超几何分布
一．选择题（共7小题）
1．（2025 武昌区模拟）已知服从二项分布的似然函数为（其中p表示成功的概率，n为样本总数，k为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）的取值有关，该团队提出函数模型为，在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率L（p）最大，则称θ0是θ的最大似然估计．若n＝20，k＝5，根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出θ的最大似然估计，其最大似然估计θ0为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 晋中模拟）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025春 北京校级期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是（ ）
A．取出的最大号码X不服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
4．（2025春 龙岗区校级期中）设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1，，则P（X＝1）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025 江苏校级模拟）一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X，P（X＝1）＝P（X＝2），则p＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 江苏校级三模）设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 章丘区模拟）已知随机变量，若E（X）＝4，则D（X）＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南三模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为11
B．已知随机变量，设η＝3ξ+1，则η的方差D（η）＝12
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据x1，x2， ，xn的平均数为2，则2x1+3，2x2+3， ，2xn+3的平均数为8
（多选）9．（2025春 九龙坡区校级期中）已知随机变量X，Y满足X～B（4，p），且，且X+Y＝1，则（ ）
A． B． C． D．
（多选）10．（2025 山东校级一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B．若数据x1，x2，x3， ，xn的标准差为s，则数据2x1，2x2，2x3， ，2xn的标准差为4s
C．随机变量X服从正态分布N（1，2），若，则
D．随机变量Y服从二项分布B（4，p），若方差，则
三．填空题（共3小题）
11．（2025 广东校级二模）已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为 ．
12．（2025春 百色校级期中）设随机变量，且E（X）＞1．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则P（Y＝3）＝ ．
13．（2025春 芗城区校级期中）一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X．若取球过程是有放回的，则事件{X＝1}发生的概率为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 甘肃模拟）设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个．
（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率．
15．（2025春 泉州期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为，，记第n（n∈N，n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为 Pn．
（1）求P2的值；
（2）若n∈N，n≥2，试用Pn﹣1，表示Pn．
期末核心考点 二项式分布与超几何分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 武昌区模拟）已知服从二项分布的似然函数为（其中p表示成功的概率，n为样本总数，k为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）的取值有关，该团队提出函数模型为，在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率L（p）最大，则称θ0是θ的最大似然估计．若n＝20，k＝5，根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出θ的最大似然估计，其最大似然估计θ0为（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】令f（p）＝lnL（p），利用对数的运算性质变形，再由导数求最值，即可求解最大似然估计θ0．
【解答】解：lnL（p）＝ln[]．
令f（p）＝lnklnp+（n﹣k）ln（1﹣p），
则f′（p），令f′（p）＝0，得最大值点p，
所以参数p的极大似然估计值为．
在团队提出函数模型中，可知p（θ）在（0，1）内单调递增，
令p（θ），解得．
故最大似然估计θ0为．
故选：B．
【点评】本题考查n重伯努利试验与二项分布，考查对数的运算性质，是中档题．
2．（2025 晋中模拟）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】证明质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，利用独立事件的概率乘法公式求解即可．
【解答】解：质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，
记向左移动的次数为X，
则，
即经过3次移动后，该质点位于1处的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（2025春 北京校级期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是（ ）
A．取出的最大号码X不服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【考点】超几何分布．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD．
【解答】解：超几何分布是在N个对象（包含M个特定对象）中随机不放回取出n个对象，
含有特定对象数ξ的概率分布，被取出的n个对象中特定对象数ξ是变化的，
任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，X不服从超几何分布，故A正确；
取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；
取出2个白球的概率为，故C错误；
根据已知可得取出四个黑球的总得分最大，概率为，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查超几何分布，属于中等题．
4．（2025春 龙岗区校级期中）设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1，，则P（X＝1）的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式列方程组计算n，p，再计算出P（X＝1）．
【解答】解：由题意可得：，解得：，
所以P（X＝1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二项分布的性质，属于基础题．
5．（2025 江苏校级模拟）一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X，P（X＝1）＝P（X＝2），则p＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知有X B（5，p），应用二项分布的概率公式及已知列方程求p．
【解答】解：由题意可知，X B（5，p），
因为P（X＝1）＝P（X＝2），
所以，
解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
6．（2025 江苏校级三模）设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】计算题；概率与统计．
【答案】C
【分析】由独立重复试验的概率的求法及二项分布得：P（X≤5）＝1﹣P（X＝6）＝1，得解．
【解答】解：因为函数存在零点，
则（2）2﹣4X≥0，
所以X≤5，
则P（X≤5）＝1﹣P（X＝6）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了独立重复试验的概率的求法及二项分布，属中档题．
7．（2025 章丘区模拟）已知随机变量，若E（X）＝4，则D（X）＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用二项分布的期望公式求出n的值，然后利用二项分布的方差公式可求得D（X）的值．
【解答】解：因为随机变量，且E（X）＝4，
所以，解得n＝8，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查二项分布的期望与方差，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南三模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为11
B．已知随机变量，设η＝3ξ+1，则η的方差D（η）＝12
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据x1，x2， ，xn的平均数为2，则2x1+3，2x2+3， ，2xn+3的平均数为8
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；平均数；百分位数；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用第p百分位数意义计算判断A；利用二项分布的方差公式及方差的性质计算判断B；求出简单随机抽样的概率公式计算判断C；利用平均数的性质计算判断D作答．
【解答】解：对于选项A，因为7×80%＝5.6，
所以第80百分位数为11，故A正确；
对于选项B，因为，
所以，
所以D（η）＝9D（ξ）＝12，故B正确；
对于选项C，简单随机抽样，从51个个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率相等，都是，故C错误；
对于选项D，因为样本数据x1，x2， ，xn的平均数为2，
所以2x1+3，2x2+3， ，2xn+3的平均数为2×2+3＝7，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了二项分布的方差公式，以及平均数和方差的性质，属于基础题．
（多选）9．（2025春 九龙坡区校级期中）已知随机变量X，Y满足X～B（4，p），且，且X+Y＝1，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由随机变量X满足X～B（4，p），且，可得，解得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，因为X+Y＝1，即Y＝1﹣X，可得，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由Y＝1﹣X，可得，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查二项分布的应用，属于基础题．
（多选）10．（2025 山东校级一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B．若数据x1，x2，x3， ，xn的标准差为s，则数据2x1，2x2，2x3， ，2xn的标准差为4s
C．随机变量X服从正态分布N（1，2），若，则
D．随机变量Y服从二项分布B（4，p），若方差，则
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数；n重伯努利试验与二项分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确．
【解答】解：对于A，数据从小到大排列为1，1，2，2，3，4，4，5，
因为8×45%＝3.6，
所以数据的第45分位数为2，故A错误；
对于B，因为数据x1，x2，x3， ，xn的标准差为s，
所以数据2x1，2x2， ，2xn的标准差为，故B错误；
对于C，随机变量X服从正态分布N（1，2），且，
所以，故C正确；
对于D，随机变量X服从二项分布B（4，p），且，
可得，
解得或，
当时，可得，
当时，可得，
综上可得，，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了标准差的性质，以及正态分布曲线的对称性，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 广东校级二模）已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为 ．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；概率与统计；数学抽象；运算求解．
【答案】
【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且前6次出现第四种号码．分两类，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序为种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种号码卡片出现有一种方法，相乘可得，最后根据古典概型求概率即可．
【解答】解：由分步计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有46种不同的取法．
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．
三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法由，
三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法由，
由分步加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360＝600种取法，
所以恰好取6次卡片时停止的概率为P，
故答案为．
【点评】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题．
12．（2025春 百色校级期中）设随机变量，且E（X）＞1．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则P（Y＝3）＝ ．
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据二项分布的均值与方差公式，求出p的值，再用超几何分布即可解题．
【解答】解：由二项分布的方差公式可知，，解得或，
又E（X）＝3p＞1，则，可得，则，
所以有5名男生．
记选出的代表中男生的人数为Y，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查据二项分布的均值与方差公式，属于基础题．
13．（2025春 芗城区校级期中）一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X．若取球过程是有放回的，则事件{X＝1}发生的概率为 ．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】有放回取球时，可以得到X服从二项分布，利用二项分布概率公式计算即可．
【解答】解：有放回取球时，每次取到黄球的概率都是，
则X～B（3，），
所以P（X＝1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 甘肃模拟）设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个．
（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【分析】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率，再利用二项分布的概率公式求解．
（2）利用古典概型的概率公式求解．
（3）若第3个球为白球，则有三种情况：①白，白，白，②白，红，白，③红，白，白，④红，红，白，结合独立事件的概率公式求解．
【解答】解：（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，
所以这5个球中恰有3个白球的概率P．
（2）在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率P．
（3）在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：①白，白，白，②白，红，白，③红，白，白，④红，红，白，
所以所求概率P．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15．（2025春 泉州期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为，，记第n（n∈N，n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为 Pn．
（1）求P2的值；
（2）若n∈N，n≥2，试用Pn﹣1，表示Pn．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
．
【分析】（1）根据条件概率分别求出第1次出现红球、绿球情况下第2次出现红球的概率，利用全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率分别求出第n﹣1次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算即可．
【解答】解：（1）设A1＝第1次出现红球，A2＝第1次出现绿球，B＝第2次出现红球，
则，，，
由全概率公式得．
（2）设C1＝第n﹣1次出现红球，C2＝第n﹣1次出现绿球，D＝第n次出现红球，
则P（C1）＝Pn﹣1，P（C2）＝1﹣Pn﹣1，，，
由全概率公式得Pn＝P（D）＝P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）
（n∈N，n≥1）．
【点评】本题主要考查概率统计中的递推关系，全概率公式及其应用等知识，属于中等题．
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期末核心考点 二项式分布与超几何分布
一．选择题（共7小题）
1．（2025 武昌区模拟）已知服从二项分布的似然函数为（其中p表示成功的概率，n为样本总数，k为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）的取值有关，该团队提出函数模型为，在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率L（p）最大，则称θ0是θ的最大似然估计．若n＝20，k＝5，根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出θ的最大似然估计，其最大似然估计θ0为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 晋中模拟）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025春 北京校级期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是（ ）
A．取出的最大号码X不服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
4．（2025春 龙岗区校级期中）设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1，，则P（X＝1）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025 江苏校级模拟）一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X，P（X＝1）＝P（X＝2），则p＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 江苏校级三模）设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 章丘区模拟）已知随机变量，若E（X）＝4，则D（X）＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南三模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为11
B．已知随机变量，设η＝3ξ+1，则η的方差D（η）＝12
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据x1，x2， ，xn的平均数为2，则2x1+3，2x2+3， ，2xn+3的平均数为8
（多选）9．（2025春 九龙坡区校级期中）已知随机变量X，Y满足X～B（4，p），且，且X+Y＝1，则（ ）
A． B． C． D．
（多选）10．（2025 山东校级一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B．若数据x1，x2，x3， ，xn的标准差为s，则数据2x1，2x2，2x3， ，2xn的标准差为4s
C．随机变量X服从正态分布N（1，2），若，则
D．随机变量Y服从二项分布B（4，p），若方差，则
三．填空题（共3小题）
11．（2025 广东校级二模）已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为 ．
12．（2025春 百色校级期中）设随机变量，且E（X）＞1．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则P（Y＝3）＝ ．
13．（2025春 芗城区校级期中）一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X．若取球过程是有放回的，则事件{X＝1}发生的概率为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 甘肃模拟）设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个．
（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率．
15．（2025春 泉州期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为，，记第n（n∈N，n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为 Pn．
（1）求P2的值；
（2）若n∈N，n≥2，试用Pn﹣1，表示Pn．
期末核心考点 二项式分布与超几何分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 武昌区模拟）已知服从二项分布的似然函数为（其中p表示成功的概率，n为样本总数，k为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ（0＜θ＜1）的取值有关，该团队提出函数模型为，在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率L（p）最大，则称θ0是θ的最大似然估计．若n＝20，k＝5，根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出θ的最大似然估计，其最大似然估计θ0为（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】令f（p）＝lnL（p），利用对数的运算性质变形，再由导数求最值，即可求解最大似然估计θ0．
【解答】解：lnL（p）＝ln[]．
令f（p）＝lnklnp+（n﹣k）ln（1﹣p），
则f′（p），令f′（p）＝0，得最大值点p，
所以参数p的极大似然估计值为．
在团队提出函数模型中，可知p（θ）在（0，1）内单调递增，
令p（θ），解得．
故最大似然估计θ0为．
故选：B．
【点评】本题考查n重伯努利试验与二项分布，考查对数的运算性质，是中档题．
2．（2025 晋中模拟）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】证明质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，利用独立事件的概率乘法公式求解即可．
【解答】解：质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，
记向左移动的次数为X，
则，
即经过3次移动后，该质点位于1处的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（2025春 北京校级期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是（ ）
A．取出的最大号码X不服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【考点】超几何分布．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD．
【解答】解：超几何分布是在N个对象（包含M个特定对象）中随机不放回取出n个对象，
含有特定对象数ξ的概率分布，被取出的n个对象中特定对象数ξ是变化的，
任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，X不服从超几何分布，故A正确；
取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；
取出2个白球的概率为，故C错误；
根据已知可得取出四个黑球的总得分最大，概率为，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查超几何分布，属于中等题．
4．（2025春 龙岗区校级期中）设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1，，则P（X＝1）的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式列方程组计算n，p，再计算出P（X＝1）．
【解答】解：由题意可得：，解得：，
所以P（X＝1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二项分布的性质，属于基础题．
5．（2025 江苏校级模拟）一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X，P（X＝1）＝P（X＝2），则p＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知有X B（5，p），应用二项分布的概率公式及已知列方程求p．
【解答】解：由题意可知，X B（5，p），
因为P（X＝1）＝P（X＝2），
所以，
解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
6．（2025 江苏校级三模）设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】计算题；概率与统计．
【答案】C
【分析】由独立重复试验的概率的求法及二项分布得：P（X≤5）＝1﹣P（X＝6）＝1，得解．
【解答】解：因为函数存在零点，
则（2）2﹣4X≥0，
所以X≤5，
则P（X≤5）＝1﹣P（X＝6）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了独立重复试验的概率的求法及二项分布，属中档题．
7．（2025 章丘区模拟）已知随机变量，若E（X）＝4，则D（X）＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用二项分布的期望公式求出n的值，然后利用二项分布的方差公式可求得D（X）的值．
【解答】解：因为随机变量，且E（X）＝4，
所以，解得n＝8，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查二项分布的期望与方差，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南三模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为11
B．已知随机变量，设η＝3ξ+1，则η的方差D（η）＝12
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据x1，x2， ，xn的平均数为2，则2x1+3，2x2+3， ，2xn+3的平均数为8
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；平均数；百分位数；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用第p百分位数意义计算判断A；利用二项分布的方差公式及方差的性质计算判断B；求出简单随机抽样的概率公式计算判断C；利用平均数的性质计算判断D作答．
【解答】解：对于选项A，因为7×80%＝5.6，
所以第80百分位数为11，故A正确；
对于选项B，因为，
所以，
所以D（η）＝9D（ξ）＝12，故B正确；
对于选项C，简单随机抽样，从51个个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率相等，都是，故C错误；
对于选项D，因为样本数据x1，x2， ，xn的平均数为2，
所以2x1+3，2x2+3， ，2xn+3的平均数为2×2+3＝7，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了二项分布的方差公式，以及平均数和方差的性质，属于基础题．
（多选）9．（2025春 九龙坡区校级期中）已知随机变量X，Y满足X～B（4，p），且，且X+Y＝1，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由随机变量X满足X～B（4，p），且，可得，解得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，因为X+Y＝1，即Y＝1﹣X，可得，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由Y＝1﹣X，可得，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查二项分布的应用，属于基础题．
（多选）10．（2025 山东校级一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B．若数据x1，x2，x3， ，xn的标准差为s，则数据2x1，2x2，2x3， ，2xn的标准差为4s
C．随机变量X服从正态分布N（1，2），若，则
D．随机变量Y服从二项分布B（4，p），若方差，则
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数；n重伯努利试验与二项分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确．
【解答】解：对于A，数据从小到大排列为1，1，2，2，3，4，4，5，
因为8×45%＝3.6，
所以数据的第45分位数为2，故A错误；
对于B，因为数据x1，x2，x3， ，xn的标准差为s，
所以数据2x1，2x2， ，2xn的标准差为，故B错误；
对于C，随机变量X服从正态分布N（1，2），且，
所以，故C正确；
对于D，随机变量X服从二项分布B（4，p），且，
可得，
解得或，
当时，可得，
当时，可得，
综上可得，，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了标准差的性质，以及正态分布曲线的对称性，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 广东校级二模）已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为 ．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；概率与统计；数学抽象；运算求解．
【答案】
【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且前6次出现第四种号码．分两类，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序为种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种号码卡片出现有一种方法，相乘可得，最后根据古典概型求概率即可．
【解答】解：由分步计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有46种不同的取法．
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．
三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法由，
三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法由，
由分步加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360＝600种取法，
所以恰好取6次卡片时停止的概率为P，
故答案为．
【点评】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题．
12．（2025春 百色校级期中）设随机变量，且E（X）＞1．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则P（Y＝3）＝ ．
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据二项分布的均值与方差公式，求出p的值，再用超几何分布即可解题．
【解答】解：由二项分布的方差公式可知，，解得或，
又E（X）＝3p＞1，则，可得，则，
所以有5名男生．
记选出的代表中男生的人数为Y，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查据二项分布的均值与方差公式，属于基础题．
13．（2025春 芗城区校级期中）一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X．若取球过程是有放回的，则事件{X＝1}发生的概率为 ．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】有放回取球时，可以得到X服从二项分布，利用二项分布概率公式计算即可．
【解答】解：有放回取球时，每次取到黄球的概率都是，
则X～B（3，），
所以P（X＝1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 甘肃模拟）设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个．
（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【分析】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率，再利用二项分布的概率公式求解．
（2）利用古典概型的概率公式求解．
（3）若第3个球为白球，则有三种情况：①白，白，白，②白，红，白，③红，白，白，④红，红，白，结合独立事件的概率公式求解．
【解答】解：（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，
所以这5个球中恰有3个白球的概率P．
（2）在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率P．
（3）在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：①白，白，白，②白，红，白，③红，白，白，④红，红，白，
所以所求概率P．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15．（2025春 泉州期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为，，记第n（n∈N，n≥1）次按下按钮后出现红球的概率为 Pn．
（1）求P2的值；
（2）若n∈N，n≥2，试用Pn﹣1，表示Pn．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
．
【分析】（1）根据条件概率分别求出第1次出现红球、绿球情况下第2次出现红球的概率，利用全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率分别求出第n﹣1次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算即可．
【解答】解：（1）设A1＝第1次出现红球，A2＝第1次出现绿球，B＝第2次出现红球，
则，，，
由全概率公式得．
（2）设C1＝第n﹣1次出现红球，C2＝第n﹣1次出现绿球，D＝第n次出现红球，
则P（C1）＝Pn﹣1，P（C2）＝1﹣Pn﹣1，，，
由全概率公式得Pn＝P（D）＝P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）
（n∈N，n≥1）．
【点评】本题主要考查概率统计中的递推关系，全概率公式及其应用等知识，属于中等题．
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