【期末押题预测】期末核心考点 计数原理（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 计数原理（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:49:53 | ||
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文档简介
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期末核心考点 计数原理
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）已知（x+a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为16，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
2．（2025 河南模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若a为（4+x）2024的二项展开式中含x项的系数，且a≡b（mod5），则b的值可以是（ ）
A．203 B．204 C．205 D．206
3．（2025 广东校级模拟）已知，若|a0|+|a1|+|a2|+ +|a2n|＝4096，则a3＝（ ）
A．﹣640 B．﹣200 C．﹣160 D．﹣40
4．（2025春 龙岗区校级期中）满足的正整数x等于（ ）
A．1，5 B．3，﹣7 C．1，3 D．5，﹣7
5．（2025春 深圳校级期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
6．（2025春 薛城区校级期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．60
7．（2025春 东城区校级期中）某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．120 D．240种
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 太原模拟）若，则（ ）
A．
B．a0+a1+ +a9＝0
C．
D．
（多选）9．（2025春 如皋市期中）已知，若a2＝21，则（ ）
A．n＝7 B．a0＝128
C． D．
（多选）10．（2025 赣州二模）设（x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A．a0＝1 B．a1+a2+…+a9＝0
C．a4+a5＝0 D．a1+a3+a5+a7+a9＝256
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 种．
12．（2025 河北模拟）（2﹣x2）（1﹣2x）5的展开式中x4的系数为 （用数字作答）．
13．（2025 昆明校级模拟）在一个装饰盒中有3个蓝色珠子（编号1、2、3）和3个绿色珠子（编号1、2、3），现取出4个珠子排成一列．如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有 种．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 东城区校级期中）在（2x2）6的展开式中．
（Ⅰ）求各项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求第3项的系数；
（Ⅲ）求x3的系数；
（Ⅳ）求常数项；
（Ⅴ）求二项式系数最大的项．
15．（2025春 南岸区期中）在的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为64；②第三项的二项式系数为15；③只有第4项的二项式系数最大；试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值，并求出展开式中的常数项；
（2）求展开式中x4的系数．
期末核心考点 计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）已知（x+a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为16，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】依题意可知展开式有5项，故n＝4，再由所有项的系数和为16可列出等式进而求出a．
【解答】解：因为（x+a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大，
故，
解得n＝4，
又展开式中所有项的系数和为16，
令x＝1，
有（1+a）4＝16，
即（1+a）2＝4，
解得a＝1或a＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了赋值法，属基础题．
2．（2025 河南模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若a为（4+x）2024的二项展开式中含x项的系数，且a≡b（mod5），则b的值可以是（ ）
A．203 B．204 C．205 D．206
【考点】二项式定理的应用；同余的性质．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】运用二项式定理算出a＝2024×42023，结合42023＝5202352022520215202051﹣1，推导出a除以5所得的余数与﹣2024除以5所得的余数相同，进而可得a除以5所得余数为1，结合a≡b（mod5）可知b除以5的余数也是1，由此求出本题答案．
【解答】解：根据题意，（4+x）2024的展开式中含x的项为T2，可得a＝2024×42023，
由2024×42023＝2024（5﹣1）2023＝2024（5202352022520215202051﹣1），
可知2024×42023除以5所得的余数，与﹣2024除以5所得的余数相同，
根据﹣2024＝﹣405×5+1，可得2024×42023除以5所得余数为1，
所以a≡b（mod5），可知b除以5的余数也是1，对照各个选项，可知D项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、整数的整除性等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
3．（2025 广东校级模拟）已知，若|a0|+|a1|+|a2|+ +|a2n|＝4096，则a3＝（ ）
A．﹣640 B．﹣200 C．﹣160 D．﹣40
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项判断各项系数的正负，然后利用赋值法求出n＝6，运用二项展开式的通项公式算出a3的值．
【解答】解：由（x2﹣x+2）n＝[（x2+2）﹣x]n，展开式的第r+1项Tr+1 （x2+2）n﹣r （﹣x）r，0≤r≤n，r∈N，
根据 （x2+2）n﹣r＞0，且（x2+2）n﹣r的展开式中x的次数均为偶次，
可得a0，a2，a4， ，a2n为正数，a1，a3，a3， ，a2n﹣1为负数，
由（x2﹣x+2）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+ +a2nx2n，
令x＝﹣1，可得4n＝a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2n＝|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+ +|a2n|＝4096，解得n＝6，
所以（x2﹣x+2）6＝[（x2+2）﹣x]6，其展开式的通项为，0≤r≤6，r∈N，
而（x2+2）6﹣r的展开式的通项为，0≤k≤6﹣r，k∈N，
欲使（x2﹣x+2）6的展开式中x的次数为3，则取r＝1，k＝4或取r＝3，k＝3，
可得．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、有理数指数幂的运算法则等知识，属于中档题．
4．（2025春 龙岗区校级期中）满足的正整数x等于（ ）
A．1，5 B．3，﹣7 C．1，3 D．5，﹣7
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由组合数的性质可得，求出x的取值范围，又由x2﹣x＝5x﹣5或x2﹣x+5x﹣5＝16，解可得答案．
【解答】解：根据题意，，
必有，解可得x≤0或1≤x，
则有x2﹣x＝5x﹣5或x2﹣x+5x﹣5＝16，
解可得x＝1或5或x＝3或x＝﹣7，
又由x≤0或1≤x，故x＝1或x＝3．
故选：C．
【点评】本题考查组合数公式，注意组合数公式的性质，属于基础题．
5．（2025春 深圳校级期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据展开式中二项式系数最大的项是第四项，由通项公式即可求解．
【解答】解：因为展开共有7项，且二项式系数对称分布且先增后减，
故（2x2）6的展开式中，的展开式中，Tk+1项的二项式系数为，
当k＝3时，最大，即第四项的二项式系数最大．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，注意运用通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（2025春 薛城区校级期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．60
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】解：用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，
个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择，
故符合条件的偶数有2×4×3＝24．
故选：A．
【点评】本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
7．（2025春 东城区校级期中）某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．120 D．240种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】首先让甲、乙在中间位置上排序，然后剩下的4人在其余位置进行全排列即可．
【解答】解：合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，
甲，乙站在正中间，有种排队方案，
其它人随机排列，有种排法，
则这6个人的排队方案共有种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 太原模拟）若，则（ ）
A．
B．a0+a1+ +a9＝0
C．
D．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ABD
【分析】A：令x＝0即可判断；B：先求出a10，再令x＝1，进而可以判断；C：令x＝﹣1结合选项B即可求解；D：令x＝2即可判断．
【解答】解：A：令x＝0，则a，故A正确；
B：由已知可得a101，令x＝1，则a0+a1+...+a10＝1，所以a0+a1+...+a9＝0，故B正确；
C：令x＝﹣1，则a0﹣a1+...+a10＝310，则2（a0+a2+...+a10）＝310+1，故C错误；
D：令x＝2，则a20a...+210a10＝0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
（多选）9．（2025春 如皋市期中）已知，若a2＝21，则（ ）
A．n＝7 B．a0＝128
C． D．
【考点】二项式定理的应用；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；二项式定理；运算求解．
【答案】AD
【分析】令x+1＝t，将所给等式化简为关于t的二项展开式，根据a2＝21列式求出n＝7，判断出A项的正误；取t＝0求出常数项a0＝1，可判断B项的正误；取t＝1求出展开式的系数和，可判断C项的正误；在等式的两边求导数，可得7（t+1）6＝a1+2a2t+…+7a7t6，然后令t＝1求出a1+2a2+…+7a7的值，进而判断出D项的正误．
【解答】解：令x+1＝t，则所给等式化简为（t+1）n＝a0+a1t+a2t2+…+antn．
根据二项式定理，可得a221，即，解得n＝7，故A项正确；
由（t+1）7＝a0+a1t+a2t2+…+a7t7，取t＝0，得a0＝1，可知B项不正确；
取t＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝27＝128，即128≠37，可知C项不正确；
对（t+1）7＝a0+a1t+a2t2+…+a7t7两边求导数，可得7（t+1）6＝a1+2a2t+…+7a7t6，
取t＝1得a1+2a2+…+7a7＝7×26＝448，即，故D项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、导数的运算法则、运用赋值法求系数和等知识，属于中档题．
（多选）10．（2025 赣州二模）设（x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A．a0＝1 B．a1+a2+…+a9＝0
C．a4+a5＝0 D．a1+a3+a5+a7+a9＝256
【考点】二项式定理的应用．
【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】CD
【分析】分别令x＝0、x＝1、x＝﹣1求相关系数或系数和判断A、B、D，应用二项式定理写出通项公式求a4，a5判断C．
【解答】A：令x＝0，则，故A错；
B：令x＝1，则a0+a1+a2+...+a9＝0①，又a0＝﹣1，则a1+a2+...+a9＝1，故B错；
C：二项式的展开式中含x4的项为，展开式中含x5的项为，
所以，故C正确；
D：令x＝﹣1，则②，
①﹣②得2（29，则，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 36 种．
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】36．
【分析】根据2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案．
【解答】解：3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，
根据题意，分派方案可分为两种情况：
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法．
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法．故一共有：36种分配方法．
故答案为：36．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
12．（2025 河北模拟）（2﹣x2）（1﹣2x）5的展开式中x4的系数为 120 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】120．
【分析】先得到（1﹣2x）5的展开式的通项，得到，，从而得到展开式中含x4的系数为（﹣1）×40+2×80＝120．
【解答】解：（1﹣2x）5的展开式的通项公式为，r＝0，1，…，5，
当r＝2时，，当r＝4时，，
多项式的展开式中含x4的系数为（﹣1）×40+2×80＝120．
故答案为：120．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
13．（2025 昆明校级模拟）在一个装饰盒中有3个蓝色珠子（编号1、2、3）和3个绿色珠子（编号1、2、3），现取出4个珠子排成一列．如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有 12 种．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】12．
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解即可．
【解答】由题意可得：取出的4个珠子为2个蓝色珠子，2个绿色珠子，
若排列为蓝绿蓝绿，第一位选蓝珠有3种选择，第二位选绿珠有2种，
第三位选另一蓝珠有1种选择，第4位选另一绿珠，编号与第3位不同有1种选择，共有3×2×1×1＝6种，
同理若排列为绿蓝绿蓝，共有6种，
共有12种．
故答案为：12．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 东城区校级期中）在（2x2）6的展开式中．
（Ⅰ）求各项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求第3项的系数；
（Ⅲ）求x3的系数；
（Ⅳ）求常数项；
（Ⅴ）求二项式系数最大的项．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（Ⅰ）64；
（Ⅱ）240；
（Ⅲ）160；
（Ⅳ）60；
（Ⅴ）160x3．
【分析】（Ⅰ）根据二项式系数的性质算出答案；
（Ⅱ）求出展开式的通项公式，取r＝2求得T3，进而可得第3项的系数；
（Ⅲ）求出展开式的通项公式，然后令x的指数等于3，得出k的值，进而求出x3项的系数；
（Ⅳ）类似于（Ⅲ）的解法，令x的指数等于0，求出k的值，进而求出常数项；
（Ⅴ）根据二项式系数的性质，可得第4项的二项式系数最大，进而求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为n＝6，所以展开式中各项的二项式系数之和等于；
（Ⅱ）由题意得，即第3项的系数为240；
（Ⅲ）根据，r＝0，1，2，…，6．
令12﹣3k＝3，解得k＝3，可得，所以x3的系数为160；
（Ⅳ）由（3）得，令12﹣3k＝0，解得k＝4，常数项为；
（Ⅴ）由二项式系数的性质，可知二项式系数最大的项为第4项，
由（Ⅲ）得，可知二项式系数最大的项为160x3．
【点评】本题主要考查二项式定理、有理数指数幂的运算法则等知识，属于中档题．
15．（2025春 南岸区期中）在的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为64；②第三项的二项式系数为15；③只有第4项的二项式系数最大；试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值，并求出展开式中的常数项；
（2）求展开式中x4的系数．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）选①②③：n＝6，常数项为160；（2）72．
【分析】（1）选①：利用二项式系数和公式即可求出n的值，再根据二项式定理即可求出常数项；选②③：利用二项式系数的性质即可求出n的值，再根据二项式定理即可求出常数项；（2）利用（1）的结论代入n的值，再根据二项式定理求出多项式的展开式中含x4的项，进而可以求解．
【解答】解：（1）若选①，则2n＝64，解得n＝6，此时二项式（x）6的常数项为；
若选②，则，解得n＝6，此时二项式（x）6的常数项为；
若选③，则最大，且n为偶数，则n＝6，此时二项式（x）6的常数项为；
综上，选①②③：n的值为6，且此时二项式（x）6的常数项为；
（2）由（1）可知n＝6，则多项式为（1+x2），
则多项式的展开式中含x4的项为172x4，
所以已知多项式的展开式中x4的系数为72．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到二项式系数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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期末核心考点 计数原理
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）已知（x+a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为16，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
2．（2025 河南模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若a为（4+x）2024的二项展开式中含x项的系数，且a≡b（mod5），则b的值可以是（ ）
A．203 B．204 C．205 D．206
3．（2025 广东校级模拟）已知，若|a0|+|a1|+|a2|+ +|a2n|＝4096，则a3＝（ ）
A．﹣640 B．﹣200 C．﹣160 D．﹣40
4．（2025春 龙岗区校级期中）满足的正整数x等于（ ）
A．1，5 B．3，﹣7 C．1，3 D．5，﹣7
5．（2025春 深圳校级期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
6．（2025春 薛城区校级期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．60
7．（2025春 东城区校级期中）某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．120 D．240种
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 太原模拟）若，则（ ）
A．
B．a0+a1+ +a9＝0
C．
D．
（多选）9．（2025春 如皋市期中）已知，若a2＝21，则（ ）
A．n＝7 B．a0＝128
C． D．
（多选）10．（2025 赣州二模）设（x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A．a0＝1 B．a1+a2+…+a9＝0
C．a4+a5＝0 D．a1+a3+a5+a7+a9＝256
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 种．
12．（2025 河北模拟）（2﹣x2）（1﹣2x）5的展开式中x4的系数为 （用数字作答）．
13．（2025 昆明校级模拟）在一个装饰盒中有3个蓝色珠子（编号1、2、3）和3个绿色珠子（编号1、2、3），现取出4个珠子排成一列．如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有 种．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 东城区校级期中）在（2x2）6的展开式中．
（Ⅰ）求各项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求第3项的系数；
（Ⅲ）求x3的系数；
（Ⅳ）求常数项；
（Ⅴ）求二项式系数最大的项．
15．（2025春 南岸区期中）在的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为64；②第三项的二项式系数为15；③只有第4项的二项式系数最大；试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值，并求出展开式中的常数项；
（2）求展开式中x4的系数．
期末核心考点 计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）已知（x+a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为16，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】依题意可知展开式有5项，故n＝4，再由所有项的系数和为16可列出等式进而求出a．
【解答】解：因为（x+a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大，
故，
解得n＝4，
又展开式中所有项的系数和为16，
令x＝1，
有（1+a）4＝16，
即（1+a）2＝4，
解得a＝1或a＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了赋值法，属基础题．
2．（2025 河南模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若a为（4+x）2024的二项展开式中含x项的系数，且a≡b（mod5），则b的值可以是（ ）
A．203 B．204 C．205 D．206
【考点】二项式定理的应用；同余的性质．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】运用二项式定理算出a＝2024×42023，结合42023＝5202352022520215202051﹣1，推导出a除以5所得的余数与﹣2024除以5所得的余数相同，进而可得a除以5所得余数为1，结合a≡b（mod5）可知b除以5的余数也是1，由此求出本题答案．
【解答】解：根据题意，（4+x）2024的展开式中含x的项为T2，可得a＝2024×42023，
由2024×42023＝2024（5﹣1）2023＝2024（5202352022520215202051﹣1），
可知2024×42023除以5所得的余数，与﹣2024除以5所得的余数相同，
根据﹣2024＝﹣405×5+1，可得2024×42023除以5所得余数为1，
所以a≡b（mod5），可知b除以5的余数也是1，对照各个选项，可知D项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、整数的整除性等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
3．（2025 广东校级模拟）已知，若|a0|+|a1|+|a2|+ +|a2n|＝4096，则a3＝（ ）
A．﹣640 B．﹣200 C．﹣160 D．﹣40
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项判断各项系数的正负，然后利用赋值法求出n＝6，运用二项展开式的通项公式算出a3的值．
【解答】解：由（x2﹣x+2）n＝[（x2+2）﹣x]n，展开式的第r+1项Tr+1 （x2+2）n﹣r （﹣x）r，0≤r≤n，r∈N，
根据 （x2+2）n﹣r＞0，且（x2+2）n﹣r的展开式中x的次数均为偶次，
可得a0，a2，a4， ，a2n为正数，a1，a3，a3， ，a2n﹣1为负数，
由（x2﹣x+2）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+ +a2nx2n，
令x＝﹣1，可得4n＝a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2n＝|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+ +|a2n|＝4096，解得n＝6，
所以（x2﹣x+2）6＝[（x2+2）﹣x]6，其展开式的通项为，0≤r≤6，r∈N，
而（x2+2）6﹣r的展开式的通项为，0≤k≤6﹣r，k∈N，
欲使（x2﹣x+2）6的展开式中x的次数为3，则取r＝1，k＝4或取r＝3，k＝3，
可得．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、有理数指数幂的运算法则等知识，属于中档题．
4．（2025春 龙岗区校级期中）满足的正整数x等于（ ）
A．1，5 B．3，﹣7 C．1，3 D．5，﹣7
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由组合数的性质可得，求出x的取值范围，又由x2﹣x＝5x﹣5或x2﹣x+5x﹣5＝16，解可得答案．
【解答】解：根据题意，，
必有，解可得x≤0或1≤x，
则有x2﹣x＝5x﹣5或x2﹣x+5x﹣5＝16，
解可得x＝1或5或x＝3或x＝﹣7，
又由x≤0或1≤x，故x＝1或x＝3．
故选：C．
【点评】本题考查组合数公式，注意组合数公式的性质，属于基础题．
5．（2025春 深圳校级期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据展开式中二项式系数最大的项是第四项，由通项公式即可求解．
【解答】解：因为展开共有7项，且二项式系数对称分布且先增后减，
故（2x2）6的展开式中，的展开式中，Tk+1项的二项式系数为，
当k＝3时，最大，即第四项的二项式系数最大．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，注意运用通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（2025春 薛城区校级期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．60
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】解：用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，
个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择，
故符合条件的偶数有2×4×3＝24．
故选：A．
【点评】本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
7．（2025春 东城区校级期中）某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．120 D．240种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】首先让甲、乙在中间位置上排序，然后剩下的4人在其余位置进行全排列即可．
【解答】解：合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，
甲，乙站在正中间，有种排队方案，
其它人随机排列，有种排法，
则这6个人的排队方案共有种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 太原模拟）若，则（ ）
A．
B．a0+a1+ +a9＝0
C．
D．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ABD
【分析】A：令x＝0即可判断；B：先求出a10，再令x＝1，进而可以判断；C：令x＝﹣1结合选项B即可求解；D：令x＝2即可判断．
【解答】解：A：令x＝0，则a，故A正确；
B：由已知可得a101，令x＝1，则a0+a1+...+a10＝1，所以a0+a1+...+a9＝0，故B正确；
C：令x＝﹣1，则a0﹣a1+...+a10＝310，则2（a0+a2+...+a10）＝310+1，故C错误；
D：令x＝2，则a20a...+210a10＝0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
（多选）9．（2025春 如皋市期中）已知，若a2＝21，则（ ）
A．n＝7 B．a0＝128
C． D．
【考点】二项式定理的应用；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；二项式定理；运算求解．
【答案】AD
【分析】令x+1＝t，将所给等式化简为关于t的二项展开式，根据a2＝21列式求出n＝7，判断出A项的正误；取t＝0求出常数项a0＝1，可判断B项的正误；取t＝1求出展开式的系数和，可判断C项的正误；在等式的两边求导数，可得7（t+1）6＝a1+2a2t+…+7a7t6，然后令t＝1求出a1+2a2+…+7a7的值，进而判断出D项的正误．
【解答】解：令x+1＝t，则所给等式化简为（t+1）n＝a0+a1t+a2t2+…+antn．
根据二项式定理，可得a221，即，解得n＝7，故A项正确；
由（t+1）7＝a0+a1t+a2t2+…+a7t7，取t＝0，得a0＝1，可知B项不正确；
取t＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝27＝128，即128≠37，可知C项不正确；
对（t+1）7＝a0+a1t+a2t2+…+a7t7两边求导数，可得7（t+1）6＝a1+2a2t+…+7a7t6，
取t＝1得a1+2a2+…+7a7＝7×26＝448，即，故D项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、导数的运算法则、运用赋值法求系数和等知识，属于中档题．
（多选）10．（2025 赣州二模）设（x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A．a0＝1 B．a1+a2+…+a9＝0
C．a4+a5＝0 D．a1+a3+a5+a7+a9＝256
【考点】二项式定理的应用．
【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】CD
【分析】分别令x＝0、x＝1、x＝﹣1求相关系数或系数和判断A、B、D，应用二项式定理写出通项公式求a4，a5判断C．
【解答】A：令x＝0，则，故A错；
B：令x＝1，则a0+a1+a2+...+a9＝0①，又a0＝﹣1，则a1+a2+...+a9＝1，故B错；
C：二项式的展开式中含x4的项为，展开式中含x5的项为，
所以，故C正确；
D：令x＝﹣1，则②，
①﹣②得2（29，则，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 36 种．
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】36．
【分析】根据2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案．
【解答】解：3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，
根据题意，分派方案可分为两种情况：
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法．
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法．故一共有：36种分配方法．
故答案为：36．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
12．（2025 河北模拟）（2﹣x2）（1﹣2x）5的展开式中x4的系数为 120 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】120．
【分析】先得到（1﹣2x）5的展开式的通项，得到，，从而得到展开式中含x4的系数为（﹣1）×40+2×80＝120．
【解答】解：（1﹣2x）5的展开式的通项公式为，r＝0，1，…，5，
当r＝2时，，当r＝4时，，
多项式的展开式中含x4的系数为（﹣1）×40+2×80＝120．
故答案为：120．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
13．（2025 昆明校级模拟）在一个装饰盒中有3个蓝色珠子（编号1、2、3）和3个绿色珠子（编号1、2、3），现取出4个珠子排成一列．如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有 12 种．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】12．
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解即可．
【解答】由题意可得：取出的4个珠子为2个蓝色珠子，2个绿色珠子，
若排列为蓝绿蓝绿，第一位选蓝珠有3种选择，第二位选绿珠有2种，
第三位选另一蓝珠有1种选择，第4位选另一绿珠，编号与第3位不同有1种选择，共有3×2×1×1＝6种，
同理若排列为绿蓝绿蓝，共有6种，
共有12种．
故答案为：12．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 东城区校级期中）在（2x2）6的展开式中．
（Ⅰ）求各项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求第3项的系数；
（Ⅲ）求x3的系数；
（Ⅳ）求常数项；
（Ⅴ）求二项式系数最大的项．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（Ⅰ）64；
（Ⅱ）240；
（Ⅲ）160；
（Ⅳ）60；
（Ⅴ）160x3．
【分析】（Ⅰ）根据二项式系数的性质算出答案；
（Ⅱ）求出展开式的通项公式，取r＝2求得T3，进而可得第3项的系数；
（Ⅲ）求出展开式的通项公式，然后令x的指数等于3，得出k的值，进而求出x3项的系数；
（Ⅳ）类似于（Ⅲ）的解法，令x的指数等于0，求出k的值，进而求出常数项；
（Ⅴ）根据二项式系数的性质，可得第4项的二项式系数最大，进而求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为n＝6，所以展开式中各项的二项式系数之和等于；
（Ⅱ）由题意得，即第3项的系数为240；
（Ⅲ）根据，r＝0，1，2，…，6．
令12﹣3k＝3，解得k＝3，可得，所以x3的系数为160；
（Ⅳ）由（3）得，令12﹣3k＝0，解得k＝4，常数项为；
（Ⅴ）由二项式系数的性质，可知二项式系数最大的项为第4项，
由（Ⅲ）得，可知二项式系数最大的项为160x3．
【点评】本题主要考查二项式定理、有理数指数幂的运算法则等知识，属于中档题．
15．（2025春 南岸区期中）在的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为64；②第三项的二项式系数为15；③只有第4项的二项式系数最大；试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值，并求出展开式中的常数项；
（2）求展开式中x4的系数．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）选①②③：n＝6，常数项为160；（2）72．
【分析】（1）选①：利用二项式系数和公式即可求出n的值，再根据二项式定理即可求出常数项；选②③：利用二项式系数的性质即可求出n的值，再根据二项式定理即可求出常数项；（2）利用（1）的结论代入n的值，再根据二项式定理求出多项式的展开式中含x4的项，进而可以求解．
【解答】解：（1）若选①，则2n＝64，解得n＝6，此时二项式（x）6的常数项为；
若选②，则，解得n＝6，此时二项式（x）6的常数项为；
若选③，则最大，且n为偶数，则n＝6，此时二项式（x）6的常数项为；
综上，选①②③：n的值为6，且此时二项式（x）6的常数项为；
（2）由（1）可知n＝6，则多项式为（1+x2），
则多项式的展开式中含x4的项为172x4，
所以已知多项式的展开式中x4的系数为72．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到二项式系数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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