【期末押题预测】期末核心考点 离散型随机变量的数字特征（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
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| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 离散型随机变量的数字特征（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 320.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:50:00 | ||
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文档简介
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期末核心考点 离散型随机变量的数字特征
一．选择题（共7小题）
1．（2025 四川模拟）若随机变量X的分布列如表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E（X）＝（ ）
X 1 2 3
P p1 p2 p3
A． B． C． D．
2．（2025春 九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025 江苏校级三模）设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则最小值为（ ）
X 0 a b
P c
A．1 B． C．4 D．2
4．（2025春 沙坪坝区校级期中）随机变量X的分布列如表，则方差D（X）＝（ ）
X 0 1 2
P a 3a
A． B． C． D．
5．（2025 西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．E（X）＜E（Y），DX＞DY
B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）
C．E（X）＜E（Y），DX＜DY
D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）
6．（2025春 周口期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2.0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事A，B，C三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
7．（2025春 周口期中）若随机变量X的分布列为，则a＝（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 如皋市期中）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1题答对的概率为，第2题答对的概率为，则（ ）
A．
B．500名考生中面试成绩不低于20分约有125人
C．该考生笔试成绩未达6分的概率为
D．该考生笔试成绩的期望为
（多选）9．（2025 凉山州模拟）下列说法正确的有（ ）
A．69，63，65，55，71，73，77，78，83，82这组数据的第80百分位数是80
B．若一组数据x1，x2， ，xn的方差为，则2x1，2x2， ，2xn的方差为1
C．若变量X～B（4，），则E（X）＝2
D．若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则P（ξ＜87）＝0.2
（多选）10．（2025 吉林模拟）已知集合M＝{1，2，3， ，19}，现随机选取集合M中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为k．（ ）
A．k的最小取值为1，最大取值为19
B．集合M中以k为最小数的3元子集共有个
C．取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为
D．E（k）＝5
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浙江期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为X，则E（X）＝ ．
12．（2025 重庆模拟）甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i（i＝1，2，3）本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为X，X的均值为Ei（X），则E1（X）+E3（X）＝ ．
13．（2025 河西区校级模拟）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 ；在3轮测试中，通过的次数X的期望是 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 滨州二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元，甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立，
（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；
（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．
15．（2025 东昌府区校级模拟）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一．高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
（3）若从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
期末核心考点 离散型随机变量的数字特征
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 四川模拟）若随机变量X的分布列如表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E（X）＝（ ）
X 1 2 3
P p1 p2 p3
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】因为数列{pn}是公比为2的等比数列，又p1+p2+p3＝1，所以p1+2p1+4p1＝1，即，p3＝4，即可得出E（X）．
【解答】解：由已知可得，，又p1+p2+p3＝1，
∴p1+2p1+4p1＝1，即，p3＝4，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．
2．（2025春 九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出小球落入第k号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号．
【解答】解：设选定的格子编号为k（1≤k≤10，k∈N），
此时小球碰撞过程中有k﹣1次向右边滚落，
落到该格子的概率为，
则数学期望为，
令，
此时，
当k＞7.5时，；当k＜7.5时，，
所以当k＝8时，bk取得最大，
则每次试验前选定的球槽编号为8，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
3．（2025 江苏校级三模）设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则最小值为（ ）
X 0 a b
P c
A．1 B． C．4 D．2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；运用基本不等式求最值；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出c的值，再利用期望公式得到a与b的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合m与n的关系，运用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，
根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为1，即，解得，
已知随机变量X的期望为1，根据随机变量的期望公式可得，
化简可得：，进一步变形为2a+b＝4，
设a+1＝m，b+2＝n，则2m+n＝8，
将进行变形，
根据“1”的代换得到，
展开式子：，
根据基本不等式，有，
所以，当且仅当，即m＝2，n＝4时等号成立，
则最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查了分布列的性质、随机变量的期望公式和基本不等式的应用，属于中档题．
4．（2025春 沙坪坝区校级期中）随机变量X的分布列如表，则方差D（X）＝（ ）
X 0 1 2
P a 3a
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，利用期望和方差公式求解即可．
【解答】解：因为a3a＝1，
所以a，
此时E（X）＝012，
则D（X）＝（0）2（1）2（2）2．
故选：C．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
5．（2025 西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．E（X）＜E（Y），DX＞DY
B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）
C．E（X）＜E（Y），DX＜DY
D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二项分布求E（X），D（X），根据超几何分布求E（Y），D（Y），即可得结果．
【解答】解：盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，
则，
所以，
随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则Y的所有可能取值为0，1，2，
则，
所以，
，
所以E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）．
故选：B．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2025春 周口期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2.0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事A，B，C三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；排列组合的综合应用．
【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法即可．
【解答】解：先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，
采用隔板法，五名员工和两个板，共有七个位置，
∴不同的分配方法种数为21种．
故选：A．
【点评】本题主要考查组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2025春 周口期中）若随机变量X的分布列为，则a＝（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得a的值．
【解答】解：由题意可得：，
即，解得a＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 如皋市期中）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1题答对的概率为，第2题答对的概率为，则（ ）
A．
B．500名考生中面试成绩不低于20分约有125人
C．该考生笔试成绩未达6分的概率为
D．该考生笔试成绩的期望为
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用正态分布的对称性判断A，B选项；考生两道题都未答对，或只答对第1题时，笔试成绩未达6分，计算概率判断C选项；由题意X的可能取值为0，4，6，10，分别计算各概率，再求期望判断D选项．
【解答】解：对于A，因为考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），，
所以P（Y＜10），故A正确；
对于B，P（Y≥20），
所以500名考生中面试成绩不低于20分约有500125人，故B正确；
对于C，考生两道题都未答对，或只答对第1题时，笔试成绩未达6分，
所以其概率为，故C错误；
对于D，由题意，X的可能取值为0，4，6，10，
且P（X＝0），P（X＝4），
P（X＝6），P（X＝10），
所以该考生笔试成绩的期望为04610，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查正态分布的对称性、离散型随机变量的数学期望，综合性较强，属于中档题．
（多选）9．（2025 凉山州模拟）下列说法正确的有（ ）
A．69，63，65，55，71，73，77，78，83，82这组数据的第80百分位数是80
B．若一组数据x1，x2， ，xn的方差为，则2x1，2x2， ，2xn的方差为1
C．若变量X～B（4，），则E（X）＝2
D．若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则P（ξ＜87）＝0.2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；方差；百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用百分位数的定义计算判断A；由方差的性质判断B；由二项分布期望公式判断C；由正态分布曲线的对称性判断D．
【解答】解：对于A，将数据从小到大排序为55，63，65，69，71，73，77，78，82，83，
因为10×80%＝8，所以这组数据的第80百分位数是80，A正确；
对于B，若一组数据x1，x2， ，xn的方差为，
则2x1，2x2， ，2xn的方差为222，故B错误；
对于C，若变量X～B（4，），则E（X）＝42，故C正确；
对于D，若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，
则由对称性可知，P（87≤ξ＜100）＝0.3，所以P（ξ＜87）＝0.5﹣0.3＝0.2，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查百分位数的定义、方差的性质、二项分布的期望公式、正态分布等知识点，属于基础题．
（多选）10．（2025 吉林模拟）已知集合M＝{1，2，3， ，19}，现随机选取集合M中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为k．（ ）
A．k的最小取值为1，最大取值为19
B．集合M中以k为最小数的3元子集共有个
C．取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为
D．E（k）＝5
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；子集的个数；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A最小为17；B问题转化为在k+1，k+2， ，19中选出2个数即可；C利用古典概型的概率公式可求；D以模型“随机选取集合N＝{1，2， ，20}中4个元素组成子集的种类数”证明即可求得．
【解答】解：对于A，由题意可知，k的最小取值为1，最大取值为17，故A错误；
对于B，以k为最小元的子集只需在k+1，k+2， ，19中选出2个数与k共同组成一个集合，
所以有个，故B正确；
对于C，集合M共有个3元子集，由B选项可知集合M中以k为最小数的3元子集共有个，
所以取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为，故C正确；
对于D，随机选取集合N＝{1，2， ，20}中4个元素组成子集共有种，
由于N＝{1， ，k}∪{k+1}∪{k+2， ，20}，k＝1， ，17，
其中k为集合{1， ，k}中的最大数，k+2是集合{k+2， ，20}中的最小数，
则从{1， ，k}中任取1个元素有种，从{k+2， ，20}中任取2个元素有种，
再取k+1，则从集合N中任取4个元素共有种，
则，
则，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浙江期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为X，则E（X）＝ 0 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】0
【分析】由题意，X的可能取值为﹣1，0，1，分别求出每种取值对应的概率，可得X的分布列，进而计算E（X）．
【解答】解：由题意，X的可能取值为﹣1，0，2，
所以，
，，
则X的分布列为：
X ﹣1 0 2
P
所以．
故答案为：0．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，结合超几何分布等相关知识，属于基础题．
12．（2025 重庆模拟）甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i（i＝1，2，3）本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为X，X的均值为Ei（X），则E1（X）+E3（X）＝ 4 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】4．
【分析】分别计算交换1本书和3本书时甲同学故事书数量的期望值E1（X）和E3（X），再求和．解题分为两步：先分析交换1本书的情况，再分析交换3本书的情况．
【解答】解：当i＝1时，X的取值可能是2，3，4，
且，
，
，
则，
当i＝3时，X的取值可能是0，1，2，
且，
，
，
则．
故E1（X）+E3（X）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．
13．（2025 河西区校级模拟）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 ；在3轮测试中，通过的次数X的期望是 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】；．
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率，
故在一轮测试中，通过的概率为1，
在3轮测试中，通过的次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
各次测试合格与否互不影响，通过的次数X服从二项分布，即X～B（3，）．
E（X）＝3．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 滨州二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元，甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立，
（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；
（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.5；
（2）15．
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算可得结果；
（2）求出甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的分布列，再由期望值相等解方程求得x＝15．
【解答】解：（1）设甲同学答对问题A的概率为P（A），答对问题B的概率为P（B）；
易知P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，又回答A，B两个问题正确与否相互独立，
所以仅答对其中一个问题的概率为：
P＝P（A）[1﹣P（B）]+[1﹣P（A）]P（B）＝0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.5＝0.5．
（2）设甲先回答A问题所获得的奖金总额为X，
则X的所有可能取值为0，10，10+x；
易知P（X＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（X＝10）＝0.6×（1﹣0.5）＝0.3，
P（X＝10+x）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝10）＝0.3，
则E（X）＝0×0.4+10×0.3+（10+x）×0.3＝6+0.3x；
设甲先回答B问题所获得的奖金总额为Y，
则Y的所有可能取值为0，x，10+x，
所以P（Y＝0）＝1﹣0.5＝0.5，P（Y＝x）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2，
P（Y＝10+x）＝1﹣P（Y＝0）﹣P（Y＝x），
则E（Y）＝0×0.5+0.2x+（10+x）×0.3＝3+0.5x，
因为甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，
所以6+0.3x＝3+0.5x，
解得：x＝15．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
15．（2025 东昌府区校级模拟）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一．高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
（3）若从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝1；
（2）；
（3）n＝31或n＝32或33时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在（70，80]中抽4人，在（80，90]中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望；
（2）由全概率公式，即可求解；
（3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题．
【解答】解：（1）由直方图可知，分数在（70，80]中的学生有32人，分数在（80，90]中的学生有16人，
从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，
∴根据分层抽样，在（70，80]中抽64人，在（80，90]中抽62人，
则成绩优秀的学生人数X可取0，1，2，
∴，
，
．
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
p
则期望．
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，
记事件A：成绩优秀的学生，事件B：高一年级的学生，
由已知条件可知，，
所以．
（3）记随机抽取n人中竞赛成绩优秀的人数为Y，
由题意可知，，
∴，令，
则，
令，则n＜31，所以n≤30时，an+1＞an，
令，则n＞31，所以n≥32时，an+1＜an，
令，则n＝31，所以a32＝a31，
∴当n＝31或n＝32或33时，an最大，即n＝31或n＝32或33时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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期末核心考点 离散型随机变量的数字特征
一．选择题（共7小题）
1．（2025 四川模拟）若随机变量X的分布列如表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E（X）＝（ ）
X 1 2 3
P p1 p2 p3
A． B． C． D．
2．（2025春 九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025 江苏校级三模）设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则最小值为（ ）
X 0 a b
P c
A．1 B． C．4 D．2
4．（2025春 沙坪坝区校级期中）随机变量X的分布列如表，则方差D（X）＝（ ）
X 0 1 2
P a 3a
A． B． C． D．
5．（2025 西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．E（X）＜E（Y），DX＞DY
B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）
C．E（X）＜E（Y），DX＜DY
D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）
6．（2025春 周口期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2.0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事A，B，C三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
7．（2025春 周口期中）若随机变量X的分布列为，则a＝（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 如皋市期中）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1题答对的概率为，第2题答对的概率为，则（ ）
A．
B．500名考生中面试成绩不低于20分约有125人
C．该考生笔试成绩未达6分的概率为
D．该考生笔试成绩的期望为
（多选）9．（2025 凉山州模拟）下列说法正确的有（ ）
A．69，63，65，55，71，73，77，78，83，82这组数据的第80百分位数是80
B．若一组数据x1，x2， ，xn的方差为，则2x1，2x2， ，2xn的方差为1
C．若变量X～B（4，），则E（X）＝2
D．若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则P（ξ＜87）＝0.2
（多选）10．（2025 吉林模拟）已知集合M＝{1，2，3， ，19}，现随机选取集合M中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为k．（ ）
A．k的最小取值为1，最大取值为19
B．集合M中以k为最小数的3元子集共有个
C．取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为
D．E（k）＝5
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浙江期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为X，则E（X）＝ ．
12．（2025 重庆模拟）甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i（i＝1，2，3）本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为X，X的均值为Ei（X），则E1（X）+E3（X）＝ ．
13．（2025 河西区校级模拟）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 ；在3轮测试中，通过的次数X的期望是 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 滨州二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元，甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立，
（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；
（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．
15．（2025 东昌府区校级模拟）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一．高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
（3）若从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
期末核心考点 离散型随机变量的数字特征
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 四川模拟）若随机变量X的分布列如表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E（X）＝（ ）
X 1 2 3
P p1 p2 p3
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】因为数列{pn}是公比为2的等比数列，又p1+p2+p3＝1，所以p1+2p1+4p1＝1，即，p3＝4，即可得出E（X）．
【解答】解：由已知可得，，又p1+p2+p3＝1，
∴p1+2p1+4p1＝1，即，p3＝4，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．
2．（2025春 九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出小球落入第k号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号．
【解答】解：设选定的格子编号为k（1≤k≤10，k∈N），
此时小球碰撞过程中有k﹣1次向右边滚落，
落到该格子的概率为，
则数学期望为，
令，
此时，
当k＞7.5时，；当k＜7.5时，，
所以当k＝8时，bk取得最大，
则每次试验前选定的球槽编号为8，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
3．（2025 江苏校级三模）设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则最小值为（ ）
X 0 a b
P c
A．1 B． C．4 D．2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；运用基本不等式求最值；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出c的值，再利用期望公式得到a与b的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合m与n的关系，运用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，
根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为1，即，解得，
已知随机变量X的期望为1，根据随机变量的期望公式可得，
化简可得：，进一步变形为2a+b＝4，
设a+1＝m，b+2＝n，则2m+n＝8，
将进行变形，
根据“1”的代换得到，
展开式子：，
根据基本不等式，有，
所以，当且仅当，即m＝2，n＝4时等号成立，
则最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查了分布列的性质、随机变量的期望公式和基本不等式的应用，属于中档题．
4．（2025春 沙坪坝区校级期中）随机变量X的分布列如表，则方差D（X）＝（ ）
X 0 1 2
P a 3a
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，利用期望和方差公式求解即可．
【解答】解：因为a3a＝1，
所以a，
此时E（X）＝012，
则D（X）＝（0）2（1）2（2）2．
故选：C．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
5．（2025 西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．E（X）＜E（Y），DX＞DY
B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）
C．E（X）＜E（Y），DX＜DY
D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二项分布求E（X），D（X），根据超几何分布求E（Y），D（Y），即可得结果．
【解答】解：盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，
则，
所以，
随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则Y的所有可能取值为0，1，2，
则，
所以，
，
所以E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）．
故选：B．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2025春 周口期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2.0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事A，B，C三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；排列组合的综合应用．
【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法即可．
【解答】解：先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，
采用隔板法，五名员工和两个板，共有七个位置，
∴不同的分配方法种数为21种．
故选：A．
【点评】本题主要考查组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2025春 周口期中）若随机变量X的分布列为，则a＝（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得a的值．
【解答】解：由题意可得：，
即，解得a＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 如皋市期中）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1题答对的概率为，第2题答对的概率为，则（ ）
A．
B．500名考生中面试成绩不低于20分约有125人
C．该考生笔试成绩未达6分的概率为
D．该考生笔试成绩的期望为
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用正态分布的对称性判断A，B选项；考生两道题都未答对，或只答对第1题时，笔试成绩未达6分，计算概率判断C选项；由题意X的可能取值为0，4，6，10，分别计算各概率，再求期望判断D选项．
【解答】解：对于A，因为考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），，
所以P（Y＜10），故A正确；
对于B，P（Y≥20），
所以500名考生中面试成绩不低于20分约有500125人，故B正确；
对于C，考生两道题都未答对，或只答对第1题时，笔试成绩未达6分，
所以其概率为，故C错误；
对于D，由题意，X的可能取值为0，4，6，10，
且P（X＝0），P（X＝4），
P（X＝6），P（X＝10），
所以该考生笔试成绩的期望为04610，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查正态分布的对称性、离散型随机变量的数学期望，综合性较强，属于中档题．
（多选）9．（2025 凉山州模拟）下列说法正确的有（ ）
A．69，63，65，55，71，73，77，78，83，82这组数据的第80百分位数是80
B．若一组数据x1，x2， ，xn的方差为，则2x1，2x2， ，2xn的方差为1
C．若变量X～B（4，），则E（X）＝2
D．若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则P（ξ＜87）＝0.2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；方差；百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用百分位数的定义计算判断A；由方差的性质判断B；由二项分布期望公式判断C；由正态分布曲线的对称性判断D．
【解答】解：对于A，将数据从小到大排序为55，63，65，69，71，73，77，78，82，83，
因为10×80%＝8，所以这组数据的第80百分位数是80，A正确；
对于B，若一组数据x1，x2， ，xn的方差为，
则2x1，2x2， ，2xn的方差为222，故B错误；
对于C，若变量X～B（4，），则E（X）＝42，故C正确；
对于D，若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，
则由对称性可知，P（87≤ξ＜100）＝0.3，所以P（ξ＜87）＝0.5﹣0.3＝0.2，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查百分位数的定义、方差的性质、二项分布的期望公式、正态分布等知识点，属于基础题．
（多选）10．（2025 吉林模拟）已知集合M＝{1，2，3， ，19}，现随机选取集合M中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为k．（ ）
A．k的最小取值为1，最大取值为19
B．集合M中以k为最小数的3元子集共有个
C．取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为
D．E（k）＝5
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；子集的个数；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A最小为17；B问题转化为在k+1，k+2， ，19中选出2个数即可；C利用古典概型的概率公式可求；D以模型“随机选取集合N＝{1，2， ，20}中4个元素组成子集的种类数”证明即可求得．
【解答】解：对于A，由题意可知，k的最小取值为1，最大取值为17，故A错误；
对于B，以k为最小元的子集只需在k+1，k+2， ，19中选出2个数与k共同组成一个集合，
所以有个，故B正确；
对于C，集合M共有个3元子集，由B选项可知集合M中以k为最小数的3元子集共有个，
所以取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为，故C正确；
对于D，随机选取集合N＝{1，2， ，20}中4个元素组成子集共有种，
由于N＝{1， ，k}∪{k+1}∪{k+2， ，20}，k＝1， ，17，
其中k为集合{1， ，k}中的最大数，k+2是集合{k+2， ，20}中的最小数，
则从{1， ，k}中任取1个元素有种，从{k+2， ，20}中任取2个元素有种，
再取k+1，则从集合N中任取4个元素共有种，
则，
则，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浙江期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为X，则E（X）＝ 0 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】0
【分析】由题意，X的可能取值为﹣1，0，1，分别求出每种取值对应的概率，可得X的分布列，进而计算E（X）．
【解答】解：由题意，X的可能取值为﹣1，0，2，
所以，
，，
则X的分布列为：
X ﹣1 0 2
P
所以．
故答案为：0．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，结合超几何分布等相关知识，属于基础题．
12．（2025 重庆模拟）甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i（i＝1，2，3）本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为X，X的均值为Ei（X），则E1（X）+E3（X）＝ 4 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】4．
【分析】分别计算交换1本书和3本书时甲同学故事书数量的期望值E1（X）和E3（X），再求和．解题分为两步：先分析交换1本书的情况，再分析交换3本书的情况．
【解答】解：当i＝1时，X的取值可能是2，3，4，
且，
，
，
则，
当i＝3时，X的取值可能是0，1，2，
且，
，
，
则．
故E1（X）+E3（X）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．
13．（2025 河西区校级模拟）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 ；在3轮测试中，通过的次数X的期望是 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】；．
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率，
故在一轮测试中，通过的概率为1，
在3轮测试中，通过的次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
各次测试合格与否互不影响，通过的次数X服从二项分布，即X～B（3，）．
E（X）＝3．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 滨州二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元，甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立，
（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；
（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.5；
（2）15．
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算可得结果；
（2）求出甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的分布列，再由期望值相等解方程求得x＝15．
【解答】解：（1）设甲同学答对问题A的概率为P（A），答对问题B的概率为P（B）；
易知P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，又回答A，B两个问题正确与否相互独立，
所以仅答对其中一个问题的概率为：
P＝P（A）[1﹣P（B）]+[1﹣P（A）]P（B）＝0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.5＝0.5．
（2）设甲先回答A问题所获得的奖金总额为X，
则X的所有可能取值为0，10，10+x；
易知P（X＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（X＝10）＝0.6×（1﹣0.5）＝0.3，
P（X＝10+x）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝10）＝0.3，
则E（X）＝0×0.4+10×0.3+（10+x）×0.3＝6+0.3x；
设甲先回答B问题所获得的奖金总额为Y，
则Y的所有可能取值为0，x，10+x，
所以P（Y＝0）＝1﹣0.5＝0.5，P（Y＝x）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2，
P（Y＝10+x）＝1﹣P（Y＝0）﹣P（Y＝x），
则E（Y）＝0×0.5+0.2x+（10+x）×0.3＝3+0.5x，
因为甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，
所以6+0.3x＝3+0.5x，
解得：x＝15．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
15．（2025 东昌府区校级模拟）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一．高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
（3）若从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝1；
（2）；
（3）n＝31或n＝32或33时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在（70，80]中抽4人，在（80，90]中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望；
（2）由全概率公式，即可求解；
（3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题．
【解答】解：（1）由直方图可知，分数在（70，80]中的学生有32人，分数在（80，90]中的学生有16人，
从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，
∴根据分层抽样，在（70，80]中抽64人，在（80，90]中抽62人，
则成绩优秀的学生人数X可取0，1，2，
∴，
，
．
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
p
则期望．
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，
记事件A：成绩优秀的学生，事件B：高一年级的学生，
由已知条件可知，，
所以．
（3）记随机抽取n人中竞赛成绩优秀的人数为Y，
由题意可知，，
∴，令，
则，
令，则n＜31，所以n≤30时，an+1＞an，
令，则n＞31，所以n≥32时，an+1＜an，
令，则n＝31，所以a32＝a31，
∴当n＝31或n＝32或33时，an最大，即n＝31或n＝32或33时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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