【期末押题预测】期末核心考点 离散型随机变量及其分布列（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 离散型随机变量及其分布列（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:50:34 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
期末核心考点 离散型随机变量及其分布列
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P m2﹣2m 0.4
则数学期望E（X）＝（ ）
A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．2
2．（2025春 天津校级期中）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2025春 辽宁期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
4．（2025春 九龙坡区校级期中）设离散型随机变量X的分布列如下表所示．若随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝（ ）
X ﹣2 0 1 2
P 0.1 0.4 0.2 0.3
A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6
5．（2025 山东校级一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 滨海新区校级期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.7，设Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
7．（2025春 沧州期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 西安模拟）已知min{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最小的数，max{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最大的数．若数列{an}，{bn}都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，则（ ）
A．X的值可能为4，5，6，7
B．Y的值可能为3，4，5，6
C．X≥6的概率为
D．X＞Y的概率为
（多选）9．（2025春 浙江期中）下列说法中错误的有（ ）
A．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
B．决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好
C．若随机变量X服从两点分布，其中，则E（3X+2）＝3，D（3X+2）＝4
D．随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝0.3
（多选）10．（2025春 滨湖区校级期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则（ ）
A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1
B．
C．
D．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 南岸区期中）随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P（X≤2）＝ ．
12．（2025春 浙江期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用Y表示编号与盒子编号相同的小球数，则Y的分布列为 ．
13．（2025春 溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝ ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 青岛期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．
（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；
（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数ξ的分布列；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．
15．（2025春 石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为．
（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；
（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列；
（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．
期末核心考点 离散型随机变量及其分布列
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P m2﹣2m 0.4
则数学期望E（X）＝（ ）
A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．2
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据概率之和为1得到方程，求出m2﹣2m＝0.4，利用期望公式得到答案．
【解答】解：已知P（X＝1）＝m2﹣2m，P（X＝2），P（X＝3）＝0.4，
由题意，，所以m2﹣2m＝0.4，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望相关知识，属于中档题．
2．（2025春 天津校级期中）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用分布列的性质求出a，进而可得出答案．
【解答】解：已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），
根据随机变量分布列的性质可知概率和为1，
则P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝a+4a+9a＝1，解得，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查了离散型随机变量分布列的性质，属于中档题．
3．（2025春 辽宁期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数a，进一步将所求变形为P（Y≥5）＝P（X＝2）+P（X＝3）即可求解．
【解答】解：由题意，解得，
而．
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机事件概率分布列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2025春 九龙坡区校级期中）设离散型随机变量X的分布列如下表所示．若随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝（ ）
X ﹣2 0 1 2
P 0.1 0.4 0.2 0.3
A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用分布列的性质求解．
【解答】解：根据题意，随机变量Y＝|X|，
则P（Y＝2）＝P（X＝﹣2）+P（X＝2）＝0.1+0.3＝0.4．
故选：B．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．
5．（2025 山东校级一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论．
【解答】解：甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有（2，1）、（3，2）、（4，1）、（4，3）、（5，2）、（5，4）、（6，1）、（6，3）、（6，5），共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为，
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2025春 滨海新区校级期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.7，设Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解．
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，
所以D（X）＝0.7×（1﹣0.7）＝0.21，
又Y＝2X﹣1，
所以D（Y）＝D（2X﹣1）＝22D（X）＝4×0.21＝0.84．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两点分布的期望公式，考查了期望的性质，属于基础题．
7．（2025春 沧州期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合期望、方差公式，即可求解．
【解答】解：得分X的期望E（X）＝3×0.4＝1.2，E（X2）＝32×0.4＝3.6，
故D（X）＝E（X2）﹣[（EX）]2＝3.6﹣1.44＝2.16．
故选：C．
【点评】本题主要考查期望、方差的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 西安模拟）已知min{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最小的数，max{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最大的数．若数列{an}，{bn}都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，则（ ）
A．X的值可能为4，5，6，7
B．Y的值可能为3，4，5，6
C．X≥6的概率为
D．X＞Y的概率为
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】先确定满足条件的X，Y的个数，再结合定义确定X的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得X取各值的概率，再求Y的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论．
【解答】解：将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成2组，有种分法，
对于A，C，X的值可能为4，5，6，7，故A正确；
不妨设max{a1，a2，a3，a4}＜max{a5，a6，a7，a8}，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为4，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有1种情况，此时X＝4，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为5，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有种情况，此时X＝5，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为6，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有种情况，此时X＝6，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为7，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有种情况，此时X＝7，
所以，，，，
P（X≥6）＝P（X＝6）+P（X＝7），故C正确；
对于B，D，Y的值可能为2，3，4，5，故B错误；
不妨设min{b1，b2，b3，b4}＞min{b5，b6，b7，b8}，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为5，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有1种情况，此时Y＝5，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为4，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有种情况，此时Y＝4，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为3，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有种情况，此时Y＝3，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为2，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有种情况，此时Y＝2，
所以，，，，
P（X＞Y）＝P（X＝4） [P（Y＝3）+P（Y＝2）]+P（X＝5） [P（Y＝4）+P（Y＝3）+P（Y＝2）]
，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了古典概型及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
（多选）9．（2025春 浙江期中）下列说法中错误的有（ ）
A．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
B．决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好
C．若随机变量X服从两点分布，其中，则E（3X+2）＝3，D（3X+2）＝4
D．随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝0.3
【考点】两点分布（0﹣1分布）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D．
【解答】解：对于选项A：|r|值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误；
对于选项B，决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确；
对于选项C，若随机变量X服从两点分布，其中，
则P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝1，
所以，，
所以，，故C错误；
对于选项D，随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，
则P（X≤1）＝P（X≥5）＝1﹣0.7＝0.3，故D正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了期望和方差的性质，以及正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）10．（2025春 滨湖区校级期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则（ ）
A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1
B．
C．
D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解．
【解答】解：因为X的分布列为，
所以，
解得，
则P（X＝1），P（0≤X＜2）．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 南岸区期中）随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P（X≤2）＝ 0.3 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.3．
【分析】根据题意，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答．
【解答】解：根据题意，由分布列的性质得，0.1+m+0.3+2m＝1，解得m＝0.2，
所以P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
12．（2025春 浙江期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用Y表示编号与盒子编号相同的小球数，则Y的分布列为
Y
0
1
2
4
P
．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】
Y 0 1 2 4
P
【分析】由题意，得到Y的所有可能取值和相对应的概率，进而可解．
【解答】解：易知Y的所有可能取值取值为0，1，2，3，4，
若Y＝4，
此时所有小球与盒子编号相同，共有一种排列方式，
所以，
若Y＝3，
此时有3个小球与盒子编号相同，显然最后一组编号必相同，
所以Y的所有可能取值不包括3；
若Y＝2，
此时有2个小球与盒子编号相同，显然剩余两组编号必然不同，
所以，
若Y＝1，
此时有1个小球与盒子编号相同，剩余三组编号共有两种排列方式，
所以，
若Y＝0，
此时没有小球与盒子编号相同，
因为P（Y＝0）+P（Y＝1）+P（Y＝2）+P（Y＝4）＝1，
所以．
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 4
P
故答案为：
Y 0 1 2 4
P
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
13．（2025春 溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝ 0.7 ．
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.7．
【分析】结合两点分布的定义即可得答案．
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，
所以P（X＝0）＝0.7，因为Y＝2X﹣1，
所以P（Y＝﹣1）＝P（X＝0）＝0.7．
故答案为：0.7．
【点评】本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 青岛期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．
（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；
（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数ξ的分布列；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）分布列见解答；（3）．
【分析】（1）结合组合数知识及古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可得ξ的所有取值为0，1，2，进而求解即可．；
（3）分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可．
【解答】解：（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为；
（2）由题意，ξ的所有取值为0，1，2，
则，
，
，
则ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
（3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
故从乙箱中摸到红球的概率为，
综上所述：摸到红球的概率为：．
【点评】本题考查古典概型的概率求解，分布列的求法，计数原理的应用，属于中档题．
15．（2025春 石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为．
（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；
（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列；
（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
（3）．
【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；
（2）由题意可得X＝2，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，即可求解X的分布列；
（3）根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛，
在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，
他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为，
设Ai为“第i场甲队获胜”，Bi为“球员M第i场上场比赛”，i＝1，2，3，
根据全概率公式可得；
（2）由题意可得X＝2，3，
又，由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
所以X的分布列为：
X 2 3
P
（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，
∵，此时，
∴甲班比赛获胜的概率为：．
【点评】本题考查了全概率公式和离散型随机变量的分布列，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
期末核心考点 离散型随机变量及其分布列
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P m2﹣2m 0.4
则数学期望E（X）＝（ ）
A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．2
2．（2025春 天津校级期中）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2025春 辽宁期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
4．（2025春 九龙坡区校级期中）设离散型随机变量X的分布列如下表所示．若随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝（ ）
X ﹣2 0 1 2
P 0.1 0.4 0.2 0.3
A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6
5．（2025 山东校级一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 滨海新区校级期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.7，设Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
7．（2025春 沧州期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 西安模拟）已知min{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最小的数，max{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最大的数．若数列{an}，{bn}都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，则（ ）
A．X的值可能为4，5，6，7
B．Y的值可能为3，4，5，6
C．X≥6的概率为
D．X＞Y的概率为
（多选）9．（2025春 浙江期中）下列说法中错误的有（ ）
A．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
B．决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好
C．若随机变量X服从两点分布，其中，则E（3X+2）＝3，D（3X+2）＝4
D．随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝0.3
（多选）10．（2025春 滨湖区校级期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则（ ）
A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1
B．
C．
D．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 南岸区期中）随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P（X≤2）＝ ．
12．（2025春 浙江期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用Y表示编号与盒子编号相同的小球数，则Y的分布列为 ．
13．（2025春 溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝ ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 青岛期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．
（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；
（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数ξ的分布列；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．
15．（2025春 石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为．
（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；
（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列；
（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．
期末核心考点 离散型随机变量及其分布列
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P m2﹣2m 0.4
则数学期望E（X）＝（ ）
A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．2
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据概率之和为1得到方程，求出m2﹣2m＝0.4，利用期望公式得到答案．
【解答】解：已知P（X＝1）＝m2﹣2m，P（X＝2），P（X＝3）＝0.4，
由题意，，所以m2﹣2m＝0.4，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望相关知识，属于中档题．
2．（2025春 天津校级期中）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用分布列的性质求出a，进而可得出答案．
【解答】解：已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），
根据随机变量分布列的性质可知概率和为1，
则P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝a+4a+9a＝1，解得，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查了离散型随机变量分布列的性质，属于中档题．
3．（2025春 辽宁期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数a，进一步将所求变形为P（Y≥5）＝P（X＝2）+P（X＝3）即可求解．
【解答】解：由题意，解得，
而．
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机事件概率分布列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2025春 九龙坡区校级期中）设离散型随机变量X的分布列如下表所示．若随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝（ ）
X ﹣2 0 1 2
P 0.1 0.4 0.2 0.3
A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用分布列的性质求解．
【解答】解：根据题意，随机变量Y＝|X|，
则P（Y＝2）＝P（X＝﹣2）+P（X＝2）＝0.1+0.3＝0.4．
故选：B．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．
5．（2025 山东校级一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论．
【解答】解：甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有（2，1）、（3，2）、（4，1）、（4，3）、（5，2）、（5，4）、（6，1）、（6，3）、（6，5），共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为，
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2025春 滨海新区校级期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.7，设Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解．
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，
所以D（X）＝0.7×（1﹣0.7）＝0.21，
又Y＝2X﹣1，
所以D（Y）＝D（2X﹣1）＝22D（X）＝4×0.21＝0.84．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两点分布的期望公式，考查了期望的性质，属于基础题．
7．（2025春 沧州期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合期望、方差公式，即可求解．
【解答】解：得分X的期望E（X）＝3×0.4＝1.2，E（X2）＝32×0.4＝3.6，
故D（X）＝E（X2）﹣[（EX）]2＝3.6﹣1.44＝2.16．
故选：C．
【点评】本题主要考查期望、方差的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 西安模拟）已知min{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最小的数，max{x1，x2， ，xn}表示x1，x2， ，xn中最大的数．若数列{an}，{bn}都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，则（ ）
A．X的值可能为4，5，6，7
B．Y的值可能为3，4，5，6
C．X≥6的概率为
D．X＞Y的概率为
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】先确定满足条件的X，Y的个数，再结合定义确定X的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得X取各值的概率，再求Y的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论．
【解答】解：将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成2组，有种分法，
对于A，C，X的值可能为4，5，6，7，故A正确；
不妨设max{a1，a2，a3，a4}＜max{a5，a6，a7，a8}，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为4，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有1种情况，此时X＝4，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为5，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有种情况，此时X＝5，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为6，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有种情况，此时X＝6，
若a1，a2，a3，a4中的最大值为7，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有种情况，此时X＝7，
所以，，，，
P（X≥6）＝P（X＝6）+P（X＝7），故C正确；
对于B，D，Y的值可能为2，3，4，5，故B错误；
不妨设min{b1，b2，b3，b4}＞min{b5，b6，b7，b8}，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为5，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有1种情况，此时Y＝5，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为4，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有种情况，此时Y＝4，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为3，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有种情况，此时Y＝3，
若b1，b2，b3，b4中的最小值为2，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有种情况，此时Y＝2，
所以，，，，
P（X＞Y）＝P（X＝4） [P（Y＝3）+P（Y＝2）]+P（X＝5） [P（Y＝4）+P（Y＝3）+P（Y＝2）]
，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了古典概型及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
（多选）9．（2025春 浙江期中）下列说法中错误的有（ ）
A．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
B．决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好
C．若随机变量X服从两点分布，其中，则E（3X+2）＝3，D（3X+2）＝4
D．随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝0.3
【考点】两点分布（0﹣1分布）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D．
【解答】解：对于选项A：|r|值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误；
对于选项B，决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确；
对于选项C，若随机变量X服从两点分布，其中，
则P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝1，
所以，，
所以，，故C错误；
对于选项D，随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，
则P（X≤1）＝P（X≥5）＝1﹣0.7＝0.3，故D正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了期望和方差的性质，以及正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）10．（2025春 滨湖区校级期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则（ ）
A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1
B．
C．
D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解．
【解答】解：因为X的分布列为，
所以，
解得，
则P（X＝1），P（0≤X＜2）．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 南岸区期中）随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P（X≤2）＝ 0.3 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.3．
【分析】根据题意，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答．
【解答】解：根据题意，由分布列的性质得，0.1+m+0.3+2m＝1，解得m＝0.2，
所以P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
12．（2025春 浙江期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用Y表示编号与盒子编号相同的小球数，则Y的分布列为
Y
0
1
2
4
P
．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】
Y 0 1 2 4
P
【分析】由题意，得到Y的所有可能取值和相对应的概率，进而可解．
【解答】解：易知Y的所有可能取值取值为0，1，2，3，4，
若Y＝4，
此时所有小球与盒子编号相同，共有一种排列方式，
所以，
若Y＝3，
此时有3个小球与盒子编号相同，显然最后一组编号必相同，
所以Y的所有可能取值不包括3；
若Y＝2，
此时有2个小球与盒子编号相同，显然剩余两组编号必然不同，
所以，
若Y＝1，
此时有1个小球与盒子编号相同，剩余三组编号共有两种排列方式，
所以，
若Y＝0，
此时没有小球与盒子编号相同，
因为P（Y＝0）+P（Y＝1）+P（Y＝2）+P（Y＝4）＝1，
所以．
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 4
P
故答案为：
Y 0 1 2 4
P
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
13．（2025春 溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝ 0.7 ．
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.7．
【分析】结合两点分布的定义即可得答案．
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，
所以P（X＝0）＝0.7，因为Y＝2X﹣1，
所以P（Y＝﹣1）＝P（X＝0）＝0.7．
故答案为：0.7．
【点评】本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 青岛期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．
（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；
（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数ξ的分布列；
（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）分布列见解答；（3）．
【分析】（1）结合组合数知识及古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可得ξ的所有取值为0，1，2，进而求解即可．；
（3）分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可．
【解答】解：（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为；
（2）由题意，ξ的所有取值为0，1，2，
则，
，
，
则ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
（3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
故从乙箱中摸到红球的概率为，
综上所述：摸到红球的概率为：．
【点评】本题考查古典概型的概率求解，分布列的求法，计数原理的应用，属于中档题．
15．（2025春 石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为．
（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；
（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列；
（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
（3）．
【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；
（2）由题意可得X＝2，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，即可求解X的分布列；
（3）根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛，
在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，
他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为，
设Ai为“第i场甲队获胜”，Bi为“球员M第i场上场比赛”，i＝1，2，3，
根据全概率公式可得；
（2）由题意可得X＝2，3，
又，由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
所以X的分布列为：
X 2 3
P
（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，
∵，此时，
∴甲班比赛获胜的概率为：．
【点评】本题考查了全概率公式和离散型随机变量的分布列，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)