【期末押题预测】期末核心考点 列联表与独立性检验（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 列联表与独立性检验（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 83.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:50:39 | ||
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文档简介
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期末核心考点 列联表与独立性检验
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．下列结论正确的是（ ）
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中n＝a+b+c+d．
A．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
2．（2025春 辽宁期中）为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如表，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（ ）
男 女
近视 240 200
不近视 m 50
A．40 B．60 C．100 D．240
3．（2025 辽宁模拟）某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，统计数据如下：
生活习惯 合计
良好 不够良好
患有该疾病居民 0.6n 1.4n 2n
未患有该疾病居民 1.2n 0.8n 2n
合计 1.8n 2.2n 4n
若根据小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（ ）
附：，n＝a+b+c+d．
A．60 B．76 C．80 D．100
4．（2025春 温州期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
5．（2025 辽宁二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：
分数 锻炼 合计
坚持锻炼 不坚持锻炼
分数≥600 100 80 180
分数＜600 50 70 120
合计 150 150 300
依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（ ）
附：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05
6．（2025 西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm
C．594mm，420mm D．588mm，420mm
7．（2025春 烟台期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值x0.01＝6.635，则下列说法正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌
B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者
D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 辽宁期中）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示．
α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则（ ）
A．若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关
B．若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关
C．若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关
D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b
（多选）9．（2025春 天心区校级期中）下列结论中，正确的有（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79
C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
（多选）10．（2025 内蒙古二模）下列结论正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则在犯错误不超过1%的前提下，认为X与Y相关
B．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A＝“第一次向上的点数是1”，事件B＝“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.4x+a，若其中一个散点坐标为（﹣a，5.4），则a一定是9
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浦东新区校级期中）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝ ．（结果精确到0.001）
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150
无呼吸系统疾病 100
总计 200
12．（2025 昆明模拟）某研究性学习小组针对“使用大绿书APP的用户是否存在性别差异”，向40n（n∈N*）个人进行调查．用Ω表示所有调查对象构成的集合．以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书APP的用户（Y＝1） 不是大绿书APP的用户（Y＝0）
男性（X＝1） 8n 12n
女性（X＝0） 12n 8n
若根据α＝0.05的独立性检验认为P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），则n的最小值为 .（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
13．（2025 长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）
四．解答题（共2小题）
14．（2025 湖州模拟）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19﹣35） 中年组（36﹣60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“A组”，记中年组和老年组为“B组”．请完成以下列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次
2次
合计
附表：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2，n＝a+b+c+d．
15．（2025 景德镇校级模拟）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌 性别 A B
男性 15 30
女性 30 25
（1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
期末核心考点 列联表与独立性检验
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．下列结论正确的是（ ）
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中n＝a+b+c+d．
A．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可．
【解答】解：在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，
由题意，列出2×2列联表：
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为H0：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
故选：B．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
2．（2025春 辽宁期中）为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如表，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（ ）
男 女
近视 240 200
不近视 m 50
A．40 B．60 C．100 D．240
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，则240×50＝200m，进而求出m的值．
【解答】解：依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，
则240×50＝200m，
解得m＝60．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
3．（2025 辽宁模拟）某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，统计数据如下：
生活习惯 合计
良好 不够良好
患有该疾病居民 0.6n 1.4n 2n
未患有该疾病居民 1.2n 0.8n 2n
合计 1.8n 2.2n 4n
若根据小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（ ）
附：，n＝a+b+c+d．
A．60 B．76 C．80 D．100
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由卡方的计算结合题意可得．
【解答】解：某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，
根据题意，，
又n∈N*，所以n≥19，且0.6n，1.4n，1.2n，0.8n均为整数，
所以n的最小值为20，则从该地区抽取居民人数至少为80．
故选：C．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
4．（2025春 温州期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表，计算χ2的值，令χ2＞3.841求出k的取值范围即可．
【解答】解：设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下：
发病 没发病 合计
接种 2k
没接种 k
合计 3k
则χ2的观测值χ2，
因为本次测查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是χ2＞3.841，即χ23.841，
即3k＞3.841×28，
解得k＞35.85，
所以kmin＝36．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
5．（2025 辽宁二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：
分数 锻炼 合计
坚持锻炼 不坚持锻炼
分数≥600 100 80 180
分数＜600 50 70 120
合计 150 150 300
依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（ ）
附：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】计算χ2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：零假设H0：高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼无关，
由题意可知，χ25.556，
因为3.841＜5.556＜6.635，
因为依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
6．（2025 西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm
C．594mm，420mm D．588mm，420mm
【考点】实际推断原理和假设检验；归纳推理．
【专题】对应思想；归纳法；推理和证明；逻辑思维．
【答案】A
【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：A4纸的宽为210mm，设其长为xmm，
若两张A4纸的宽拼在一起，
则A3纸的宽为210mm，长为2xmm，
且，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
即A3纸的宽为xmm，长为420mm，
A2纸的宽为420mm，长为2xmm，
A1纸的宽为2xmm，长为840mm，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得，解得x≈297，则2x≈594，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm．
故选：A．
【点评】本题考查利用归纳推理求解实际问题，属中档题．
7．（2025春 烟台期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值x0.01＝6.635，则下列说法正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌
B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者
D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%
【考点】独立性检验．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据独立性检验的性质求解．
【解答】解：因为计算得出χ2≈6.816＞6.635，
所以吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，
即有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关联，但是并不是在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 辽宁期中）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示．
α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则（ ）
A．若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关
B．若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关
C．若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关
D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据独立性检验的性质判断．
【解答】解：对于A，若χ2＝12.502＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A正确；
对于B，若χ2＝11.483＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A错误；
对于C，若χ2＝11.004＞3.841，则有95%的把握认为A与B有关，故C正确；
对于D，若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
（多选）9．（2025春 天心区校级期中）下列结论中，正确的有（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79
C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【考点】独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据正态分布曲线的对称性可判断B，根据条件概率公式，以及独立事件的定义可判断C，根据独立性检验的性质可判断D．
【解答】解：对于A，数据4，1，6，2，9，5，8从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，9，
因为7×70%＝4.9，
所以数据的第70百分位数为6，故A错误；
对于B，若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，
则P（ξ≤﹣2）＝P（ξ≥4）＝0.21，
所以P（ξ≤4）＝1﹣0.21＝0.79，故B正确；
对于C，若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），
则1﹣P（D）＝1，
所以P（C）﹣P（C）P（D）＝P（C）﹣P（DC），
所以P（DC）＝P（C）P（D），
所以C，D相互独立，故C正确；
对于D，因为χ2＝9.632＜10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y没有关联，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及独立性检验的性质，属于基础题．
（多选）10．（2025 内蒙古二模）下列结论正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则在犯错误不超过1%的前提下，认为X与Y相关
B．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A＝“第一次向上的点数是1”，事件B＝“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.4x+a，若其中一个散点坐标为（﹣a，5.4），则a一定是9
【考点】独立性检验；样本相关系数；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据独立性检验的性质可判断A，根据二项分布的期望公式和方差公式可判断B，根据独立事件的定义可判断C，根据回归直线的性质可判断D．
【解答】解：对于A，因为P（χ2≥6.635）＝0.01，而χ2＝4.245＜6.635，所以认为X与Y独立，故A错误；
对于B，由题意可知，，解得，故B正确；
对于C，由题意可知，P（A），P（B），P（AB），
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与事件B相互独立，故C正确；
对于D，散点图中的散点不一定在回归直线方程上，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了二项分布的期望公式和方差公式，以及独立事件的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浦东新区校级期中）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝ 3.968 ．（结果精确到0.001）
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150
无呼吸系统疾病 100
总计 200
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3.968．
【分析】由题意，根据2×2列联表中所给数据补全列表，将数据代入公式得，计算即可得到答案．
【解答】解：根据题意，补全列联表：
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150 200 350
无呼吸系统疾病 50 100 150
总计 200 300 500
则．
故答案为：3.968．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
12．（2025 昆明模拟）某研究性学习小组针对“使用大绿书APP的用户是否存在性别差异”，向40n（n∈N*）个人进行调查．用Ω表示所有调查对象构成的集合．以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书APP的用户（Y＝1） 不是大绿书APP的用户（Y＝0）
男性（X＝1） 8n 12n
女性（X＝0） 12n 8n
若根据α＝0.05的独立性检验认为P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），则n的最小值为 3 .（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意，由χ2的公式代入计算，列出不等式，即可得到结果．
【解答】解：根据题意可知，，
即，所以n的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了独立性检验，属于基础题．
13．（2025 长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 拒绝 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】拒绝．
【分析】根据独立性检验的性质求解．
【解答】解：由题意可知，χ2≈3.468＞2.707，
所以可推断拒绝原假设H0．
故答案为：拒绝．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 湖州模拟）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19﹣35） 中年组（36﹣60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“A组”，记中年组和老年组为“B组”．请完成以下列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次
2次
合计
附表：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2，n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）1.36；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为观影次数与年龄层次有关联．
【分析】（1）根据平均数定义可解；
（2）根据独立性检验相关知识可解．
【解答】解：（1）已知少年组、青年组、中年组、老年组分别有的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次，
则少年组看了2次有人，看了1次有50人；
青年组看了2次有人，看了1次有40人；
中年组看了2次有人，看了1次有22人；
老年组看了2次有人，看了1次有16人，
平均次数为1.36；
（2）根据题意可得：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
由列联表可得χ24.17＞3.841，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为观影次数与年龄层次有关联．
【点评】本题考查平均数以及独立性检验相关知识，属于中档题．
15．（2025 景德镇校级模拟）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌 性别 A B
男性 15 30
女性 30 25
（1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．
【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可；
（2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论．
【解答】解：已知为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，
（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌B的概率；
（2）列联表如下，
品牌 性别 A B
男性 15 30 45
女性 30 25 55
45 55 100
由题设，，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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期末核心考点 列联表与独立性检验
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．下列结论正确的是（ ）
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中n＝a+b+c+d．
A．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
2．（2025春 辽宁期中）为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如表，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（ ）
男 女
近视 240 200
不近视 m 50
A．40 B．60 C．100 D．240
3．（2025 辽宁模拟）某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，统计数据如下：
生活习惯 合计
良好 不够良好
患有该疾病居民 0.6n 1.4n 2n
未患有该疾病居民 1.2n 0.8n 2n
合计 1.8n 2.2n 4n
若根据小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（ ）
附：，n＝a+b+c+d．
A．60 B．76 C．80 D．100
4．（2025春 温州期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
5．（2025 辽宁二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：
分数 锻炼 合计
坚持锻炼 不坚持锻炼
分数≥600 100 80 180
分数＜600 50 70 120
合计 150 150 300
依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（ ）
附：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05
6．（2025 西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm
C．594mm，420mm D．588mm，420mm
7．（2025春 烟台期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值x0.01＝6.635，则下列说法正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌
B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者
D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 辽宁期中）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示．
α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则（ ）
A．若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关
B．若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关
C．若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关
D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b
（多选）9．（2025春 天心区校级期中）下列结论中，正确的有（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79
C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
（多选）10．（2025 内蒙古二模）下列结论正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则在犯错误不超过1%的前提下，认为X与Y相关
B．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A＝“第一次向上的点数是1”，事件B＝“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.4x+a，若其中一个散点坐标为（﹣a，5.4），则a一定是9
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浦东新区校级期中）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝ ．（结果精确到0.001）
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150
无呼吸系统疾病 100
总计 200
12．（2025 昆明模拟）某研究性学习小组针对“使用大绿书APP的用户是否存在性别差异”，向40n（n∈N*）个人进行调查．用Ω表示所有调查对象构成的集合．以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书APP的用户（Y＝1） 不是大绿书APP的用户（Y＝0）
男性（X＝1） 8n 12n
女性（X＝0） 12n 8n
若根据α＝0.05的独立性检验认为P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），则n的最小值为 .（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
13．（2025 长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）
四．解答题（共2小题）
14．（2025 湖州模拟）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19﹣35） 中年组（36﹣60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“A组”，记中年组和老年组为“B组”．请完成以下列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次
2次
合计
附表：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2，n＝a+b+c+d．
15．（2025 景德镇校级模拟）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌 性别 A B
男性 15 30
女性 30 25
（1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
期末核心考点 列联表与独立性检验
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 金川区校级二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．下列结论正确的是（ ）
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中n＝a+b+c+d．
A．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可．
【解答】解：在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，
由题意，列出2×2列联表：
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为H0：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
故选：B．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
2．（2025春 辽宁期中）为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如表，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（ ）
男 女
近视 240 200
不近视 m 50
A．40 B．60 C．100 D．240
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，则240×50＝200m，进而求出m的值．
【解答】解：依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，
则240×50＝200m，
解得m＝60．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
3．（2025 辽宁模拟）某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，统计数据如下：
生活习惯 合计
良好 不够良好
患有该疾病居民 0.6n 1.4n 2n
未患有该疾病居民 1.2n 0.8n 2n
合计 1.8n 2.2n 4n
若根据小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（ ）
附：，n＝a+b+c+d．
A．60 B．76 C．80 D．100
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由卡方的计算结合题意可得．
【解答】解：某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，
根据题意，，
又n∈N*，所以n≥19，且0.6n，1.4n，1.2n，0.8n均为整数，
所以n的最小值为20，则从该地区抽取居民人数至少为80．
故选：C．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
4．（2025春 温州期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表，计算χ2的值，令χ2＞3.841求出k的取值范围即可．
【解答】解：设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下：
发病 没发病 合计
接种 2k
没接种 k
合计 3k
则χ2的观测值χ2，
因为本次测查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是χ2＞3.841，即χ23.841，
即3k＞3.841×28，
解得k＞35.85，
所以kmin＝36．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
5．（2025 辽宁二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：
分数 锻炼 合计
坚持锻炼 不坚持锻炼
分数≥600 100 80 180
分数＜600 50 70 120
合计 150 150 300
依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（ ）
附：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】计算χ2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：零假设H0：高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼无关，
由题意可知，χ25.556，
因为3.841＜5.556＜6.635，
因为依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
6．（2025 西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm
C．594mm，420mm D．588mm，420mm
【考点】实际推断原理和假设检验；归纳推理．
【专题】对应思想；归纳法；推理和证明；逻辑思维．
【答案】A
【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：A4纸的宽为210mm，设其长为xmm，
若两张A4纸的宽拼在一起，
则A3纸的宽为210mm，长为2xmm，
且，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
即A3纸的宽为xmm，长为420mm，
A2纸的宽为420mm，长为2xmm，
A1纸的宽为2xmm，长为840mm，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得，解得x≈297，则2x≈594，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm．
故选：A．
【点评】本题考查利用归纳推理求解实际问题，属中档题．
7．（2025春 烟台期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值x0.01＝6.635，则下列说法正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌
B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者
D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%
【考点】独立性检验．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据独立性检验的性质求解．
【解答】解：因为计算得出χ2≈6.816＞6.635，
所以吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，
即有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关联，但是并不是在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 辽宁期中）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示．
α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则（ ）
A．若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关
B．若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关
C．若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关
D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据独立性检验的性质判断．
【解答】解：对于A，若χ2＝12.502＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A正确；
对于B，若χ2＝11.483＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A错误；
对于C，若χ2＝11.004＞3.841，则有95%的把握认为A与B有关，故C正确；
对于D，若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
（多选）9．（2025春 天心区校级期中）下列结论中，正确的有（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79
C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【考点】独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据正态分布曲线的对称性可判断B，根据条件概率公式，以及独立事件的定义可判断C，根据独立性检验的性质可判断D．
【解答】解：对于A，数据4，1，6，2，9，5，8从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，9，
因为7×70%＝4.9，
所以数据的第70百分位数为6，故A错误；
对于B，若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，
则P（ξ≤﹣2）＝P（ξ≥4）＝0.21，
所以P（ξ≤4）＝1﹣0.21＝0.79，故B正确；
对于C，若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）＝1﹣P（D|C），
则1﹣P（D）＝1，
所以P（C）﹣P（C）P（D）＝P（C）﹣P（DC），
所以P（DC）＝P（C）P（D），
所以C，D相互独立，故C正确；
对于D，因为χ2＝9.632＜10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y没有关联，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及独立性检验的性质，属于基础题．
（多选）10．（2025 内蒙古二模）下列结论正确的是（ ）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则在犯错误不超过1%的前提下，认为X与Y相关
B．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A＝“第一次向上的点数是1”，事件B＝“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.4x+a，若其中一个散点坐标为（﹣a，5.4），则a一定是9
【考点】独立性检验；样本相关系数；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据独立性检验的性质可判断A，根据二项分布的期望公式和方差公式可判断B，根据独立事件的定义可判断C，根据回归直线的性质可判断D．
【解答】解：对于A，因为P（χ2≥6.635）＝0.01，而χ2＝4.245＜6.635，所以认为X与Y独立，故A错误；
对于B，由题意可知，，解得，故B正确；
对于C，由题意可知，P（A），P（B），P（AB），
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与事件B相互独立，故C正确；
对于D，散点图中的散点不一定在回归直线方程上，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了二项分布的期望公式和方差公式，以及独立事件的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 浦东新区校级期中）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝ 3.968 ．（结果精确到0.001）
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150
无呼吸系统疾病 100
总计 200
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3.968．
【分析】由题意，根据2×2列联表中所给数据补全列表，将数据代入公式得，计算即可得到答案．
【解答】解：根据题意，补全列联表：
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150 200 350
无呼吸系统疾病 50 100 150
总计 200 300 500
则．
故答案为：3.968．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
12．（2025 昆明模拟）某研究性学习小组针对“使用大绿书APP的用户是否存在性别差异”，向40n（n∈N*）个人进行调查．用Ω表示所有调查对象构成的集合．以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书APP的用户（Y＝1） 不是大绿书APP的用户（Y＝0）
男性（X＝1） 8n 12n
女性（X＝0） 12n 8n
若根据α＝0.05的独立性检验认为P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），则n的最小值为 3 .（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意，由χ2的公式代入计算，列出不等式，即可得到结果．
【解答】解：根据题意可知，，
即，所以n的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了独立性检验，属于基础题．
13．（2025 长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 拒绝 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】拒绝．
【分析】根据独立性检验的性质求解．
【解答】解：由题意可知，χ2≈3.468＞2.707，
所以可推断拒绝原假设H0．
故答案为：拒绝．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 湖州模拟）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19﹣35） 中年组（36﹣60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“A组”，记中年组和老年组为“B组”．请完成以下列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次
2次
合计
附表：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2，n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）1.36；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为观影次数与年龄层次有关联．
【分析】（1）根据平均数定义可解；
（2）根据独立性检验相关知识可解．
【解答】解：（1）已知少年组、青年组、中年组、老年组分别有的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次，
则少年组看了2次有人，看了1次有50人；
青年组看了2次有人，看了1次有40人；
中年组看了2次有人，看了1次有22人；
老年组看了2次有人，看了1次有16人，
平均次数为1.36；
（2）根据题意可得：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
由列联表可得χ24.17＞3.841，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为观影次数与年龄层次有关联．
【点评】本题考查平均数以及独立性检验相关知识，属于中档题．
15．（2025 景德镇校级模拟）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌 性别 A B
男性 15 30
女性 30 25
（1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．
【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可；
（2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论．
【解答】解：已知为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，
（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌B的概率；
（2）列联表如下，
品牌 性别 A B
男性 15 30 45
女性 30 25 55
45 55 100
由题设，，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
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