【期末押题预测】期末核心考点 数列（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 数列（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 79.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:50:44 | ||
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文档简介
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期末核心考点 数列
一．选择题（共7小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）在数列{an}中，a1＝1，若数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，则log3a985＝（ ）
A．490 B．491 C．492 D．493
2．（2025春 商丘期中）在等比数列{an}中，a3﹣2a2＝4，a4﹣2a3＝﹣8，则{an}的公比为（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
3．（2025春 江西校级月考）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn，给出以下论述：
①P3＝0.52；
②Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N）；
③
④前k天甲午餐总费用的数学期望为．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
4．（2025春 辽宁期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，S6＝4S3，则a7＝（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
5．（2025春 安徽期中）设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝2n﹣1（n∈N*），则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 皇姑区校级期中）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，则（ ）
A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1
C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1
7．（2025 晋中模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝S9，则a9＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn．S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a7＞0 B．d＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
（多选）9．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a6＞0 B．d＜0
C．{Sn}中S7最大 D．|a4|＜|a9|
（多选）10．（2025春 辽宁期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（ ）
A．若{an}是等比数列，S2＝2，S4＝8，则S6＝16
B．若an＝2n﹣11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61
C．若{an}是等差数列，a1＝﹣2025，若，则S2025＝﹣2025
D．若a1＝1，，则a50＝99
三．填空题（共3小题）
11．（2025 太原模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝2，8S3＝3S5，则S6＝ ．
12．（2025 宁德三模）已知数列{an}共有m+k项（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m项为0，k项为1．若数列{an}满足对任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的个数不少于1的个数，则称数列{an}为“规范数列”．当m＝3，k＝3时，“规范数列”的个数为 ，记Pm+k表示数列{an}是“规范数列”的概率，则Pm+2的最小值为 ．
13．（2025 朝阳区校级四模）已知在等差数列{an}中，a1，a7是正整数，且a1＜a7，设Sn为数列{an}的前n项和，若S10＝35，则a10＝ ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 吉林模拟）已知数列{an}与{log2bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Pn．
15．（2025 江苏校级模拟）已知数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
期末核心考点 数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）在数列{an}中，a1＝1，若数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，则log3a985＝（ ）
A．490 B．491 C．492 D．493
【考点】数列递推式；等比数列的性质；由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得anan+2＝3（an﹣1an+1）＝9（anan﹣2），变形可得an+4＝9an，由此可得a985的值，由对数的运算性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，
则anan+2＝3（an﹣1an+1）＝9（anan﹣2），
则有an+2＝9an﹣2，变形可得an+4＝9an，
又由a1＝1，则a985＝a1×9246＝9246，
故log3a985＝log39246＝492．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质和应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
2．（2025春 商丘期中）在等比数列{an}中，a3﹣2a2＝4，a4﹣2a3＝﹣8，则{an}的公比为（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式列式计算．
【解答】解：因为数列{an}为等比数列，
所以a4﹣2a3＝（a3﹣2a2）q，即﹣8＝4q，解得q＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
3．（2025春 江西校级月考）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn，给出以下论述：
①P3＝0.52；
②Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N）；
③
④前k天甲午餐总费用的数学期望为．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【考点】数列递推式；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据题意找到递推式，即可判断①②，由递推式可求出Pn，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及Pn，即可判断④．
【解答】解：若甲在第（n﹣1）天选择了米饭套餐，那么在第n天有40%的可能性选择米饭套餐，
甲在第（n﹣1）天选择了面食套餐，那么在第n天有60%的可能性选择米饭套餐，
所以第n天选择米饭套餐的概率Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N），故②正确；
因为P2＝0.4，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以P3＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52，故①正确；
由②得，Pn＝﹣0.2Pn﹣1+0.6，所以Pn﹣0.5＝﹣0.2（Pn﹣1﹣0.5），
又由题意得，P1＝1，{Pn﹣0.5}是以0.5为首项，﹣0.2为公比的等比数列，
所以，所以，故③错误；
前k天甲午餐总费用的数学期望为，
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式，以及等比数列的定义、通项公式，以及数学期望，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
4．（2025春 辽宁期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，S6＝4S3，则a7＝（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】设等比数列{an}的公比为q，讨论q＝1和q≠1时，利用S6＝4S3求出q3，即可求出a7．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝3，q＝1时，S6＝6a1＝18，4S3＝12a1＝36，S6≠4S3，所以q≠1；
由S6＝4S3，得4，1+q3＝4，所以q3＝3，所以a7＝a1q6＝3×32＝27．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式应用问题，是基础题．
5．（2025春 安徽期中）设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝2n﹣1（n∈N*），则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】由递推关系求出an，再由裂项相消法求得前10项和即可．
【解答】解：当n＝1时，a1＝1；
当n∈N*，且n≥2时，a1+2a2+3a3+ +nan＝2n﹣1，
所以a1+2a2+3a3+ +（n﹣1）an﹣1＝2n﹣3，
两式相减得nan＝2，所以，，
所以，（n∈N*），
所以，
所以数列的前10项和为：
．
故选：A．
【点评】本题考查数列的求和，属于中档题．
6．（2025春 皇姑区校级期中）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，则（ ）
A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1
C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1
【考点】等比数列的性质．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】先利用导数法证不等式lnx≤x﹣1，然后确定首项和公比的范围，再利用不等式的性质判断．
【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx﹣1，则f′（x）＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝0，即lnx≤x﹣1．
∴a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4）≤a2+a3+a4﹣1，得a1≤﹣1，
又a4＞1，∴1，
则等比数列的公比q＜0，且1，则q＜﹣1，
从而|q|＞1，即q2＞1，
∴a2，，
∵a1≤﹣1，q2＞1，
∴0，即a3＜a1．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
7．（2025 晋中模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝S9，则a9＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】借助等差数列的性质计算即可得．
【解答】解：因为{an}是公差为1的等差数列，S6＝S9，
所以S9﹣S6＝a7+a8+a9＝0，
所以3a8＝0，即a8＝0，所以a9＝a8+1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前n项和与性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn．S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a7＞0 B．d＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维．
【答案】CD
【分析】由等差数列的前n项和公式结合条件式可得a6＞0，a7＜0，公差d＜0，判断A，B；再由数列的单调性与前n项和定义可判断C；由等差数列的性质计算判断D．
【解答】解：由，得a6＞0，
由，得a6+a7＜0，所以a7＜0，公差d＝a7﹣a6＜0，故A错误，B错误；
因为d＜0，所以a1＞a2＞ ＞a6＞0＞a7＞a8＞ ，所以{Sn}中S6最大，故C正确；
因为a4＞0，a9＜0，所以|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，则|a4|＜|a9|，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质应用，属于基础题．
（多选）9．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a6＞0 B．d＜0
C．{Sn}中S7最大 D．|a4|＜|a9|
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由等差数列的前n项和公式结合条件式可得a6＞0，a7＜0，公差d＜0，判断A，B；再由数列的单调性与前n项和定义可判断C；由等差数列的性质计算判断D．
【解答】解：由，得a6＞0，故A正确；
由，得a6+a7＜0，所以a7＜0，公差d＝a7﹣a6＜0，故B正确；
因为d＜0，所以a1＞a2＞ ＞a6＞0＞a7＞a8＞ ，所以{Sn}中S6最大，故C错误；
因为a4＞0，a9＜0，所以|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，则|a4|＜|a9|，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质应用，属于基础题．
（多选）10．（2025春 辽宁期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（ ）
A．若{an}是等比数列，S2＝2，S4＝8，则S6＝16
B．若an＝2n﹣11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61
C．若{an}是等差数列，a1＝﹣2025，若，则S2025＝﹣2025
D．若a1＝1，，则a50＝99
【考点】求等比数列的前n项和；求等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据an的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由an＝Sn﹣Sn﹣1可得是等差数列，代入公式即可求．
【解答】解：对于A，因为{an}是等比数列，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
所以，即62＝2×（S6﹣8），解得S6＝26，故A错误；
对于B，因为an＝2n﹣11，所以an+1﹣an＝2，所以{an}是等差数列，
由an＝2n﹣11＜0得，
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝﹣（a1+a2+ +a5）+（a6+a7+ +a11）
，故B正确；
对于C，因为，
所以S2025＝﹣2025，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，a1＝1，
所以，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 太原模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝2，8S3＝3S5，则S6＝ 57 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】57．
【分析】由等差数列的前n项和公式建立方程，求出公差，再由等差数列的前n项和公式即可求得．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝2，8S3＝3S5，
所以8（3a1+3d）＝3（5a1+10d），
即6d＝9a1＝18，所以d＝3，
所以6+15×3＝57．
故答案为：57．
【点评】本题考查等差数列的前n项和求解，属于基础题．
12．（2025 宁德三模）已知数列{an}共有m+k项（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m项为0，k项为1．若数列{an}满足对任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的个数不少于1的个数，则称数列{an}为“规范数列”．当m＝3，k＝3时，“规范数列”的个数为 5 ，记Pm+k表示数列{an}是“规范数列”的概率，则Pm+2的最小值为 ．
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；整体思想；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．
【答案】5；．
【分析】根据定义列出当m＝3，k＝3条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结合组合数定义确定有m个0，2个1，m≥2，m∈N*时数列{an}的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论．
【解答】解：根据题目：已知数列{an}共有m+k项（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），
其中m项为0，k项为1．若数列{an}满足对任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的个数不少于1的个数，
则称数列{an}为“规范数列”．当m＝3，k＝3时，
当m＝3，k＝3时，满足要求的“规范数列”有
0，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，1；0，0，1，1，0，1；0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1；
所以当m＝3，k＝3时，“规范数列”的个数为5．
n＝m+k，m≥k，m，k∈N*时，具有“规范数列”数列特征的数列{an}的个数为f（m，k），
当k＝2，m≥2，m∈N*时，由已知数列{an}共有m+2项，其中m项为0，2项为1，
所以满足条件的数列{an}的个数为，
若数列{an}为“规范数列”，则第一项为0，
若第一项为0，第二项为0时，“规范数列”个数为，
当第一项为0，第二项为1，第三项必然为0，此时“规范数列”个数为，
所以．
故，
因为函数在[2，+∞）上单调递增，
所以当m＝2时，Pm+2取最小值，，
故答案为：5；．
【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．
13．（2025 朝阳区校级四模）已知在等差数列{an}中，a1，a7是正整数，且a1＜a7，设Sn为数列{an}的前n项和，若S10＝35，则a10＝ 5 ．
【考点】等差数列通项公式的应用；求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和可得a1+a10＝7，再由正整数的条件推得3d是正整数即可得解．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若S10＝35，则S10，即a1+a10＝7，
又由a1＜a7，则d0，数列{an}是递增的，
而a4+a7＝a1+a10，则有a4+a7＝7，
又a1，a7是正整数，则a4＝a1+3d是正整数，故3d是正整数，
而a1+a10＝2a1+9d＝7，即2a1＝7﹣3×3d＝7﹣9d，
则7﹣9d是正偶数，故3d是正奇数，且，
必有3d＝1，
此时a1＝2，a10＝5，a4＝3，a7＝4，符合题意，
所以a10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及整数的性质，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 吉林模拟）已知数列{an}与{log2bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Pn．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n，；
（2）．
【分析】（1）设等差数列{an}与{log2bn}的公差分别为d1、d2，根据所给条件得到d1、a1＝2的方程组，解得即可求出an，求出log2b2，log2b1，即可求出log2bn的通项公式，从而求出bn的通项；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得．
【解答】解：（1）已知数列{an}与{log2bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，
且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3，
设等差数列{an}与{log2bn}的公差分别为d1、d2，
由，可得，解得，
所以an＝2n，
由b1＝a1＝2，T3＝a3＝6，即log2b1+log2b2+log2b3＝3log2b2＝6，
所以b2＝4，则d2＝log2b2﹣log2b1＝2﹣1＝1，又log2b1＝1，
所以log2bn＝n，则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
两式相减得
，
所以数列的前n项和Pn．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
15．（2025 江苏校级模拟）已知数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n﹣1，；
（2）．
【分析】（1）推导出数列{an}为等差数列，确定该数列的首项和公差，可得出数列{an}的通项公式，利用等差数列的求和公式可求出Sn的表达式；
（2）推导出数列{bn}为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式可求出Tn的表达式．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2，
所以，Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+2，即an+1﹣an＝2，
根据等差数列的定义可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
根据等差数列的通项公式和求和公式可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，；
（2）因为，则b1＝2且，
根据等比数列的定义可得数列{bn}是首项为2，公比为16的等比数列，
故．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
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期末核心考点 数列
一．选择题（共7小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）在数列{an}中，a1＝1，若数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，则log3a985＝（ ）
A．490 B．491 C．492 D．493
2．（2025春 商丘期中）在等比数列{an}中，a3﹣2a2＝4，a4﹣2a3＝﹣8，则{an}的公比为（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
3．（2025春 江西校级月考）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn，给出以下论述：
①P3＝0.52；
②Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N）；
③
④前k天甲午餐总费用的数学期望为．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
4．（2025春 辽宁期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，S6＝4S3，则a7＝（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
5．（2025春 安徽期中）设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝2n﹣1（n∈N*），则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 皇姑区校级期中）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，则（ ）
A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1
C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1
7．（2025 晋中模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝S9，则a9＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn．S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a7＞0 B．d＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
（多选）9．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a6＞0 B．d＜0
C．{Sn}中S7最大 D．|a4|＜|a9|
（多选）10．（2025春 辽宁期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（ ）
A．若{an}是等比数列，S2＝2，S4＝8，则S6＝16
B．若an＝2n﹣11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61
C．若{an}是等差数列，a1＝﹣2025，若，则S2025＝﹣2025
D．若a1＝1，，则a50＝99
三．填空题（共3小题）
11．（2025 太原模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝2，8S3＝3S5，则S6＝ ．
12．（2025 宁德三模）已知数列{an}共有m+k项（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m项为0，k项为1．若数列{an}满足对任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的个数不少于1的个数，则称数列{an}为“规范数列”．当m＝3，k＝3时，“规范数列”的个数为 ，记Pm+k表示数列{an}是“规范数列”的概率，则Pm+2的最小值为 ．
13．（2025 朝阳区校级四模）已知在等差数列{an}中，a1，a7是正整数，且a1＜a7，设Sn为数列{an}的前n项和，若S10＝35，则a10＝ ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 吉林模拟）已知数列{an}与{log2bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Pn．
15．（2025 江苏校级模拟）已知数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
期末核心考点 数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）在数列{an}中，a1＝1，若数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，则log3a985＝（ ）
A．490 B．491 C．492 D．493
【考点】数列递推式；等比数列的性质；由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得anan+2＝3（an﹣1an+1）＝9（anan﹣2），变形可得an+4＝9an，由此可得a985的值，由对数的运算性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{anan+2}是以3为公比的等比数列，
则anan+2＝3（an﹣1an+1）＝9（anan﹣2），
则有an+2＝9an﹣2，变形可得an+4＝9an，
又由a1＝1，则a985＝a1×9246＝9246，
故log3a985＝log39246＝492．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质和应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
2．（2025春 商丘期中）在等比数列{an}中，a3﹣2a2＝4，a4﹣2a3＝﹣8，则{an}的公比为（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式列式计算．
【解答】解：因为数列{an}为等比数列，
所以a4﹣2a3＝（a3﹣2a2）q，即﹣8＝4q，解得q＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
3．（2025春 江西校级月考）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn，给出以下论述：
①P3＝0.52；
②Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N）；
③
④前k天甲午餐总费用的数学期望为．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【考点】数列递推式；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据题意找到递推式，即可判断①②，由递推式可求出Pn，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及Pn，即可判断④．
【解答】解：若甲在第（n﹣1）天选择了米饭套餐，那么在第n天有40%的可能性选择米饭套餐，
甲在第（n﹣1）天选择了面食套餐，那么在第n天有60%的可能性选择米饭套餐，
所以第n天选择米饭套餐的概率Pn＝0.4Pn﹣1+0.6（1﹣Pn﹣1）（n≥2，n∈N），故②正确；
因为P2＝0.4，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以P3＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52，故①正确；
由②得，Pn＝﹣0.2Pn﹣1+0.6，所以Pn﹣0.5＝﹣0.2（Pn﹣1﹣0.5），
又由题意得，P1＝1，{Pn﹣0.5}是以0.5为首项，﹣0.2为公比的等比数列，
所以，所以，故③错误；
前k天甲午餐总费用的数学期望为，
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式，以及等比数列的定义、通项公式，以及数学期望，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
4．（2025春 辽宁期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，S6＝4S3，则a7＝（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】设等比数列{an}的公比为q，讨论q＝1和q≠1时，利用S6＝4S3求出q3，即可求出a7．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝3，q＝1时，S6＝6a1＝18，4S3＝12a1＝36，S6≠4S3，所以q≠1；
由S6＝4S3，得4，1+q3＝4，所以q3＝3，所以a7＝a1q6＝3×32＝27．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式应用问题，是基础题．
5．（2025春 安徽期中）设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝2n﹣1（n∈N*），则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】由递推关系求出an，再由裂项相消法求得前10项和即可．
【解答】解：当n＝1时，a1＝1；
当n∈N*，且n≥2时，a1+2a2+3a3+ +nan＝2n﹣1，
所以a1+2a2+3a3+ +（n﹣1）an﹣1＝2n﹣3，
两式相减得nan＝2，所以，，
所以，（n∈N*），
所以，
所以数列的前10项和为：
．
故选：A．
【点评】本题考查数列的求和，属于中档题．
6．（2025春 皇姑区校级期中）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4），若a4＞1，则（ ）
A．a4＜a2，a3＜a1 B．a4＞a2，a3＜a1
C．a4＜a2，a3＞a1 D．a4＞a2，a3＞a1
【考点】等比数列的性质．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】先利用导数法证不等式lnx≤x﹣1，然后确定首项和公比的范围，再利用不等式的性质判断．
【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx﹣1，则f′（x）＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝0，即lnx≤x﹣1．
∴a1+a2+a3+a4＝ln（a2+a3+a4）≤a2+a3+a4﹣1，得a1≤﹣1，
又a4＞1，∴1，
则等比数列的公比q＜0，且1，则q＜﹣1，
从而|q|＞1，即q2＞1，
∴a2，，
∵a1≤﹣1，q2＞1，
∴0，即a3＜a1．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
7．（2025 晋中模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝S9，则a9＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】A
【分析】借助等差数列的性质计算即可得．
【解答】解：因为{an}是公差为1的等差数列，S6＝S9，
所以S9﹣S6＝a7+a8+a9＝0，
所以3a8＝0，即a8＝0，所以a9＝a8+1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前n项和与性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn．S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a7＞0 B．d＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维．
【答案】CD
【分析】由等差数列的前n项和公式结合条件式可得a6＞0，a7＜0，公差d＜0，判断A，B；再由数列的单调性与前n项和定义可判断C；由等差数列的性质计算判断D．
【解答】解：由，得a6＞0，
由，得a6+a7＜0，所以a7＜0，公差d＝a7﹣a6＜0，故A错误，B错误；
因为d＜0，所以a1＞a2＞ ＞a6＞0＞a7＞a8＞ ，所以{Sn}中S6最大，故C正确；
因为a4＞0，a9＜0，所以|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，则|a4|＜|a9|，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质应用，属于基础题．
（多选）9．（2025春 安徽期中）已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则（ ）
A．a6＞0 B．d＜0
C．{Sn}中S7最大 D．|a4|＜|a9|
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由等差数列的前n项和公式结合条件式可得a6＞0，a7＜0，公差d＜0，判断A，B；再由数列的单调性与前n项和定义可判断C；由等差数列的性质计算判断D．
【解答】解：由，得a6＞0，故A正确；
由，得a6+a7＜0，所以a7＜0，公差d＝a7﹣a6＜0，故B正确；
因为d＜0，所以a1＞a2＞ ＞a6＞0＞a7＞a8＞ ，所以{Sn}中S6最大，故C错误；
因为a4＞0，a9＜0，所以|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，则|a4|＜|a9|，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质应用，属于基础题．
（多选）10．（2025春 辽宁期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（ ）
A．若{an}是等比数列，S2＝2，S4＝8，则S6＝16
B．若an＝2n﹣11，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝61
C．若{an}是等差数列，a1＝﹣2025，若，则S2025＝﹣2025
D．若a1＝1，，则a50＝99
【考点】求等比数列的前n项和；求等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据an的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由an＝Sn﹣Sn﹣1可得是等差数列，代入公式即可求．
【解答】解：对于A，因为{an}是等比数列，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
所以，即62＝2×（S6﹣8），解得S6＝26，故A错误；
对于B，因为an＝2n﹣11，所以an+1﹣an＝2，所以{an}是等差数列，
由an＝2n﹣11＜0得，
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a11|＝﹣（a1+a2+ +a5）+（a6+a7+ +a11）
，故B正确；
对于C，因为，
所以S2025＝﹣2025，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，a1＝1，
所以，所以，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025 太原模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝2，8S3＝3S5，则S6＝ 57 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】57．
【分析】由等差数列的前n项和公式建立方程，求出公差，再由等差数列的前n项和公式即可求得．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝2，8S3＝3S5，
所以8（3a1+3d）＝3（5a1+10d），
即6d＝9a1＝18，所以d＝3，
所以6+15×3＝57．
故答案为：57．
【点评】本题考查等差数列的前n项和求解，属于基础题．
12．（2025 宁德三模）已知数列{an}共有m+k项（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），其中m项为0，k项为1．若数列{an}满足对任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的个数不少于1的个数，则称数列{an}为“规范数列”．当m＝3，k＝3时，“规范数列”的个数为 5 ，记Pm+k表示数列{an}是“规范数列”的概率，则Pm+2的最小值为 ．
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；整体思想；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．
【答案】5；．
【分析】根据定义列出当m＝3，k＝3条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结合组合数定义确定有m个0，2个1，m≥2，m∈N*时数列{an}的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论．
【解答】解：根据题目：已知数列{an}共有m+k项（n＝m+k，m≥k，m，k∈N*），
其中m项为0，k项为1．若数列{an}满足对任意i≤m+k，a1，a2，…，ai中的0的个数不少于1的个数，
则称数列{an}为“规范数列”．当m＝3，k＝3时，
当m＝3，k＝3时，满足要求的“规范数列”有
0，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，1；0，0，1，1，0，1；0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1；
所以当m＝3，k＝3时，“规范数列”的个数为5．
n＝m+k，m≥k，m，k∈N*时，具有“规范数列”数列特征的数列{an}的个数为f（m，k），
当k＝2，m≥2，m∈N*时，由已知数列{an}共有m+2项，其中m项为0，2项为1，
所以满足条件的数列{an}的个数为，
若数列{an}为“规范数列”，则第一项为0，
若第一项为0，第二项为0时，“规范数列”个数为，
当第一项为0，第二项为1，第三项必然为0，此时“规范数列”个数为，
所以．
故，
因为函数在[2，+∞）上单调递增，
所以当m＝2时，Pm+2取最小值，，
故答案为：5；．
【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．
13．（2025 朝阳区校级四模）已知在等差数列{an}中，a1，a7是正整数，且a1＜a7，设Sn为数列{an}的前n项和，若S10＝35，则a10＝ 5 ．
【考点】等差数列通项公式的应用；求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和可得a1+a10＝7，再由正整数的条件推得3d是正整数即可得解．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若S10＝35，则S10，即a1+a10＝7，
又由a1＜a7，则d0，数列{an}是递增的，
而a4+a7＝a1+a10，则有a4+a7＝7，
又a1，a7是正整数，则a4＝a1+3d是正整数，故3d是正整数，
而a1+a10＝2a1+9d＝7，即2a1＝7﹣3×3d＝7﹣9d，
则7﹣9d是正偶数，故3d是正奇数，且，
必有3d＝1，
此时a1＝2，a10＝5，a4＝3，a7＝4，符合题意，
所以a10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及整数的性质，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 吉林模拟）已知数列{an}与{log2bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Pn．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n，；
（2）．
【分析】（1）设等差数列{an}与{log2bn}的公差分别为d1、d2，根据所给条件得到d1、a1＝2的方程组，解得即可求出an，求出log2b2，log2b1，即可求出log2bn的通项公式，从而求出bn的通项；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得．
【解答】解：（1）已知数列{an}与{log2bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，
且a2+a4+a6＝24，a5+S5＝40，b1＝a1，T3＝a3，
设等差数列{an}与{log2bn}的公差分别为d1、d2，
由，可得，解得，
所以an＝2n，
由b1＝a1＝2，T3＝a3＝6，即log2b1+log2b2+log2b3＝3log2b2＝6，
所以b2＝4，则d2＝log2b2﹣log2b1＝2﹣1＝1，又log2b1＝1，
所以log2bn＝n，则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
两式相减得
，
所以数列的前n项和Pn．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
15．（2025 江苏校级模拟）已知数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n﹣1，；
（2）．
【分析】（1）推导出数列{an}为等差数列，确定该数列的首项和公差，可得出数列{an}的通项公式，利用等差数列的求和公式可求出Sn的表达式；
（2）推导出数列{bn}为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式可求出Tn的表达式．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+an+2，
所以，Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+2，即an+1﹣an＝2，
根据等差数列的定义可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
根据等差数列的通项公式和求和公式可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，；
（2）因为，则b1＝2且，
根据等比数列的定义可得数列{bn}是首项为2，公比为16的等比数列，
故．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
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