【期末押题预测】期末核心考点 条件概率与全概率公式（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 条件概率与全概率公式（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:51:22 | ||
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文档简介
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期末核心考点 条件概率与全概率公式
一．选择题（共7小题）
1．（2025 攀枝花模拟）袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025春 广东校级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B|A） B．P（AB）≤P（A）
C．P（AB）＝P（A）P（A|B） D．P（AB）≤P（B|A）
3．（2025 遵义模拟）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为1：1，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 龙岗区校级期中）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65
5．（2025春 海南期中）现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A＝“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 皇姑区校级一模）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025春 龙岩期中）某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 沙坪坝区校级期中）在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为1﹣4的小球．从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ）
A．B与C互斥 B．A与C相互独立
C． D．
（多选）9．（2025 莆田模拟）某校教研会上，共有3位统考科目（语文、数学、外语）教师，2位首选科目（物理、历史）教师，4位再选科目（化学、生物、政治、地理）教师进行发言，现用抽签的方式决定发言顺序，用事件Ai，Bi， i（1≤i≤9，i∈N）分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025春 崇川区校级月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 薛城区校级期中）若事件A，B互斥，，，，则P（B|C）＝ ．
12．（2025春 深圳校级期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 ．
13．（2025 河北区一模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行．此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币．为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼﹣20S”模型．抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球．每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 晋中模拟）某学校有A，B，C三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为．
（Ⅰ）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅱ）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅲ）以王同学在A，B，C餐厅就餐的概率估计高一新生在A，B，C餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过5‰，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．
15．（2025春 鲤城区校级期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，
①求从乙箱中取出的球是白球的概率．
②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率．
期末核心考点 条件概率与全概率公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 攀枝花模拟）袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式求解．
【解答】解：设事件A表示“第一次摸到的是白球”，事件B表示“第二次摸到黑球”，
则P（A），P（AB），
所以P（B|A）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了条件概率公式的应用，属于基础题．
2．（2025春 广东校级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B|A） B．P（AB）≤P（A）
C．P（AB）＝P（A）P（A|B） D．P（AB）≤P（B|A）
【考点】求解条件概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算可得．
【解答】解：对于A，由条件概率公式可得，所以P（AB）＝P（A）P（B|A），故A正确；
对于B，因为P（AB）＝P（A）P（B|A）且0≤P（B|A）≤1，所以P（AB）≤P（A），故B正确；
对于C，因为，所以P（AB）＝P（B）P（A|B）≠P（A）P（A|B），故C错误；
对于D，因为P（AB）＝P（A）P（B|A）且0＜P（A）≤1，所以P（AB）≤P（B|A），故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率公式及概率的性质，属于中档题．
3．（2025 遵义模拟）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为1：1，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】全概率公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据古典概型相关知识可解．
【解答】解：已知参加活动的甲、乙两班的人数之比为1：1，可设甲班的人数为a，则乙班人数为a，
又甲班中女生占，乙班中女生占，
则甲班女生有人，乙班女生有人，
则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
4．（2025春 龙岗区校级期中）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得．
【解答】解：种植一等麦种和二等麦种的事件分别为A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B，
依题意，P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.2，P（B|A1）＝0.6，P（B|A2）＝0.2，
由全概率公式得，P（B）＝P（BA1）+P（BA2）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.8×0.6+0.2×0.2＝0.52．
故选：B．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
5．（2025春 海南期中）现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A＝“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】分别求P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求值．
【解答】解：由已知，
又，所以．
故选：D．
【点评】本题考查条件概率，属于基础题．
6．（2025 皇姑区校级一模）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用全概率公式计算可求概率．
【解答】解：设事件D为这个人患流感，A1，A2，A3表示这个人来自A，B，C三个地区，
这三个地区人口数量的比为3：2：1，，
又P（D|A1）＝6%，P（D|A2）＝5%，P（D|A3）＝4%，
故P（D）＝P（A1） P（D|A1）+P（A2） P（D|A2）+P（A3） P（D|A3）
．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
7．（2025春 龙岩期中）某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值．
【解答】解：由题意可知，事件表示“比赛进行两局，且甲获得冠军”，即前两局都是甲获胜，
所以，
又因为，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 沙坪坝区校级期中）在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为1﹣4的小球．从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ）
A．B与C互斥 B．A与C相互独立
C． D．
【考点】求解条件概率；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意分别求出事件A，B，C包含的情况，然后得出概率，对选项逐一判断即可．
【解答】解：由已知有放回的任取两次共4×4＝16种情况，
第二次取到球的号码小于等于2，包含（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），共8种，
所以，
两次取到球的号码之和为奇数，包含（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，1），共8种，
所以，
两次取到球的号码之积为偶数，包含（1，2），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），（4，4），共12种，
所以，
显然B∩C≠ ，所以B与C不是互斥事件，故A错误；
P（A）P（C），所以A与C相互独立，故B正确；
P（A+C）＝P（A）+P（C）﹣P（A∩C），故C正确；
，所以，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查古典概型，互斥事件，相互独立事件，条件概率，属于中等题．
（多选）9．（2025 莆田模拟）某校教研会上，共有3位统考科目（语文、数学、外语）教师，2位首选科目（物理、历史）教师，4位再选科目（化学、生物、政治、地理）教师进行发言，现用抽签的方式决定发言顺序，用事件Ai，Bi， i（1≤i≤9，i∈N）分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用古典概型概率公式与条件概率公式，结合独立事件同时发生的概率公式即可求解．
【解答】解：用事件Ai，Bi， i（1≤i≤9，i∈N）分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，
对于A，或，故A正确；
对于B，，或，故B错误；
对于C，或，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
（多选）10．（2025春 崇川区校级月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
【考点】条件概率；全概率公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知A不正确；根据计算可知P（BA1）≠P（A1）P（B），故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确．
【解答】解：依题意得，，，
则，故B正确；
，，
所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
，故A不正确；
因为，，P（BA1）≠P（A1）P（B），
所以事件B与事件A1不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 薛城区校级期中）若事件A，B互斥，，，，则P（B|C）＝ ．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据互斥事件的性质，结合条件概率的计算公式可得，即可求解，即可由条件概率公式求解．
【解答】解：因为，所以，
由于事件A，B互斥，
，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率，属于中等题．
12．（2025春 深圳校级期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 0.76 ．
【考点】条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.76．
【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果．
【解答】解：设“买到的产品是甲厂产品”为事件A，“买到的产品是乙厂产品”为事件B，
所以P（A）＝0.8，P（B）＝0.2，
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件C，
因为甲厂产品的合格率是75%，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率P（C|A）＝0.75，
又因为乙厂产品的合格率是80%，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率P（C|B）＝0.8，
根据全概率公式P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B），
所以P（C）＝0.8×0.75+0.2×0.8＝0.6+0.16＝0.76．
故答案为：0.76．
【点评】本题考查全概率公式，属于基础题．
13．（2025 河北区一模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行．此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币．为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼﹣20S”模型．抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球．每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 ．
【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】；．
【分析】利用古典概型的概率公式和独立事件的概率公式求解第一空；利用条件概率公式求解第二空．
【解答】解：由题意可知，某顾客两次抽奖都中奖的概率为P，
设事件A表示“顾客第一次抽奖没有中奖”，事件B表示“第二次抽奖中奖”，
则P（A），P（AB），
所以P（B|A），
即该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 晋中模拟）某学校有A，B，C三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为．
（Ⅰ）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅱ）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅲ）以王同学在A，B，C餐厅就餐的概率估计高一新生在A，B，C餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过5‰，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．
【考点】全概率公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定．
【分析】（Ⅰ）第i天去A，B，C餐厅就餐的概率分别为P（Ai），P（Bi），P（ i），i∈N*．由全概率公式即可求解；
（Ⅱ）由P（An）＝P（An﹣1An∪Bn﹣1An∪Cn﹣1An），结合全概率公式得到，即可求解；
（Ⅲ）由（2）求得，，，即可判断．
【解答】解：（Ⅰ）记第i天去A，B，C餐厅就餐的概率分别为P（Ai），P（Bi），P（ i），i∈N*，
由全概率公式可得：
P（A2）＝P（A1A2∪B1A2∪C1A2）＝P（A1A2）+P（B1A2）+P（C1A2）
＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）+P（C1）P（A2|C1）
，
所以王同学第二天在A餐厅就 的概率为．
（Ⅱ）由题可知P（Ai）+P（Bi）+P（ i）＝1，当n≥2时，
P（An）＝P（An﹣1An∪Bn﹣1An∪Cn﹣1An）＝P（An﹣1An）+P（Bn﹣1An）+P（Cn﹣1An）
＝P（An﹣1）P（An|An﹣1）+P（Bn﹣1）P（An|Bn﹣1）+P（Cn﹣1）P（An|Cn﹣1）
，
所以，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以王同学第n天在A餐厅就餐的概率为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的计算可知
，，，，，
，，
，，
所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定．
【点评】本题考查全概率公式以及等比数列相关知识，属于中档题．
15．（2025春 鲤城区校级期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，
①求从乙箱中取出的球是白球的概率．
②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率．
【考点】全概率公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①；
②．
【分析】（1）结合古典概率公式即可求解；
（2）①结合全概率公式即可求解；
②结合贝叶斯公式即可求解．
【解答】解：（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为；
（2）①设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件B1为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件B2为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件B3为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件B1，B2，B3彼此互斥，
，P（B2），，
，P（A|B2），，
所以P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3），
所以取出的这个小球是白球的概率为；
②从乙箱中取出的球是白球，
则从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率P（B2|A）．
【点评】本题主要考查了古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用，属于中档题．
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期末核心考点 条件概率与全概率公式
一．选择题（共7小题）
1．（2025 攀枝花模拟）袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025春 广东校级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B|A） B．P（AB）≤P（A）
C．P（AB）＝P（A）P（A|B） D．P（AB）≤P（B|A）
3．（2025 遵义模拟）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为1：1，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 龙岗区校级期中）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65
5．（2025春 海南期中）现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A＝“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 皇姑区校级一模）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025春 龙岩期中）某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 沙坪坝区校级期中）在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为1﹣4的小球．从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ）
A．B与C互斥 B．A与C相互独立
C． D．
（多选）9．（2025 莆田模拟）某校教研会上，共有3位统考科目（语文、数学、外语）教师，2位首选科目（物理、历史）教师，4位再选科目（化学、生物、政治、地理）教师进行发言，现用抽签的方式决定发言顺序，用事件Ai，Bi， i（1≤i≤9，i∈N）分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025春 崇川区校级月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 薛城区校级期中）若事件A，B互斥，，，，则P（B|C）＝ ．
12．（2025春 深圳校级期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 ．
13．（2025 河北区一模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行．此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币．为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼﹣20S”模型．抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球．每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 晋中模拟）某学校有A，B，C三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为．
（Ⅰ）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅱ）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅲ）以王同学在A，B，C餐厅就餐的概率估计高一新生在A，B，C餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过5‰，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．
15．（2025春 鲤城区校级期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，
①求从乙箱中取出的球是白球的概率．
②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率．
期末核心考点 条件概率与全概率公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 攀枝花模拟）袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式求解．
【解答】解：设事件A表示“第一次摸到的是白球”，事件B表示“第二次摸到黑球”，
则P（A），P（AB），
所以P（B|A）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了条件概率公式的应用，属于基础题．
2．（2025春 广东校级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B|A） B．P（AB）≤P（A）
C．P（AB）＝P（A）P（A|B） D．P（AB）≤P（B|A）
【考点】求解条件概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算可得．
【解答】解：对于A，由条件概率公式可得，所以P（AB）＝P（A）P（B|A），故A正确；
对于B，因为P（AB）＝P（A）P（B|A）且0≤P（B|A）≤1，所以P（AB）≤P（A），故B正确；
对于C，因为，所以P（AB）＝P（B）P（A|B）≠P（A）P（A|B），故C错误；
对于D，因为P（AB）＝P（A）P（B|A）且0＜P（A）≤1，所以P（AB）≤P（B|A），故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率公式及概率的性质，属于中档题．
3．（2025 遵义模拟）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为1：1，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】全概率公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据古典概型相关知识可解．
【解答】解：已知参加活动的甲、乙两班的人数之比为1：1，可设甲班的人数为a，则乙班人数为a，
又甲班中女生占，乙班中女生占，
则甲班女生有人，乙班女生有人，
则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
4．（2025春 龙岗区校级期中）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得．
【解答】解：种植一等麦种和二等麦种的事件分别为A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B，
依题意，P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.2，P（B|A1）＝0.6，P（B|A2）＝0.2，
由全概率公式得，P（B）＝P（BA1）+P（BA2）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.8×0.6+0.2×0.2＝0.52．
故选：B．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
5．（2025春 海南期中）现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A＝“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】分别求P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求值．
【解答】解：由已知，
又，所以．
故选：D．
【点评】本题考查条件概率，属于基础题．
6．（2025 皇姑区校级一模）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用全概率公式计算可求概率．
【解答】解：设事件D为这个人患流感，A1，A2，A3表示这个人来自A，B，C三个地区，
这三个地区人口数量的比为3：2：1，，
又P（D|A1）＝6%，P（D|A2）＝5%，P（D|A3）＝4%，
故P（D）＝P（A1） P（D|A1）+P（A2） P（D|A2）+P（A3） P（D|A3）
．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
7．（2025春 龙岩期中）某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值．
【解答】解：由题意可知，事件表示“比赛进行两局，且甲获得冠军”，即前两局都是甲获胜，
所以，
又因为，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 沙坪坝区校级期中）在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为1﹣4的小球．从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ）
A．B与C互斥 B．A与C相互独立
C． D．
【考点】求解条件概率；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意分别求出事件A，B，C包含的情况，然后得出概率，对选项逐一判断即可．
【解答】解：由已知有放回的任取两次共4×4＝16种情况，
第二次取到球的号码小于等于2，包含（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），共8种，
所以，
两次取到球的号码之和为奇数，包含（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，1），共8种，
所以，
两次取到球的号码之积为偶数，包含（1，2），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），（4，4），共12种，
所以，
显然B∩C≠ ，所以B与C不是互斥事件，故A错误；
P（A）P（C），所以A与C相互独立，故B正确；
P（A+C）＝P（A）+P（C）﹣P（A∩C），故C正确；
，所以，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查古典概型，互斥事件，相互独立事件，条件概率，属于中等题．
（多选）9．（2025 莆田模拟）某校教研会上，共有3位统考科目（语文、数学、外语）教师，2位首选科目（物理、历史）教师，4位再选科目（化学、生物、政治、地理）教师进行发言，现用抽签的方式决定发言顺序，用事件Ai，Bi， i（1≤i≤9，i∈N）分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用古典概型概率公式与条件概率公式，结合独立事件同时发生的概率公式即可求解．
【解答】解：用事件Ai，Bi， i（1≤i≤9，i∈N）分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，
对于A，或，故A正确；
对于B，，或，故B错误；
对于C，或，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
（多选）10．（2025春 崇川区校级月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
【考点】条件概率；全概率公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知A不正确；根据计算可知P（BA1）≠P（A1）P（B），故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确．
【解答】解：依题意得，，，
则，故B正确；
，，
所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
，故A不正确；
因为，，P（BA1）≠P（A1）P（B），
所以事件B与事件A1不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 薛城区校级期中）若事件A，B互斥，，，，则P（B|C）＝ ．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据互斥事件的性质，结合条件概率的计算公式可得，即可求解，即可由条件概率公式求解．
【解答】解：因为，所以，
由于事件A，B互斥，
，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率，属于中等题．
12．（2025春 深圳校级期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 0.76 ．
【考点】条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.76．
【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果．
【解答】解：设“买到的产品是甲厂产品”为事件A，“买到的产品是乙厂产品”为事件B，
所以P（A）＝0.8，P（B）＝0.2，
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件C，
因为甲厂产品的合格率是75%，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率P（C|A）＝0.75，
又因为乙厂产品的合格率是80%，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率P（C|B）＝0.8，
根据全概率公式P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B），
所以P（C）＝0.8×0.75+0.2×0.8＝0.6+0.16＝0.76．
故答案为：0.76．
【点评】本题考查全概率公式，属于基础题．
13．（2025 河北区一模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行．此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币．为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼﹣20S”模型．抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球．每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 ．
【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】；．
【分析】利用古典概型的概率公式和独立事件的概率公式求解第一空；利用条件概率公式求解第二空．
【解答】解：由题意可知，某顾客两次抽奖都中奖的概率为P，
设事件A表示“顾客第一次抽奖没有中奖”，事件B表示“第二次抽奖中奖”，
则P（A），P（AB），
所以P（B|A），
即该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 晋中模拟）某学校有A，B，C三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为．
（Ⅰ）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅱ）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率；
（Ⅲ）以王同学在A，B，C餐厅就餐的概率估计高一新生在A，B，C餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过5‰，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．
【考点】全概率公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定．
【分析】（Ⅰ）第i天去A，B，C餐厅就餐的概率分别为P（Ai），P（Bi），P（ i），i∈N*．由全概率公式即可求解；
（Ⅱ）由P（An）＝P（An﹣1An∪Bn﹣1An∪Cn﹣1An），结合全概率公式得到，即可求解；
（Ⅲ）由（2）求得，，，即可判断．
【解答】解：（Ⅰ）记第i天去A，B，C餐厅就餐的概率分别为P（Ai），P（Bi），P（ i），i∈N*，
由全概率公式可得：
P（A2）＝P（A1A2∪B1A2∪C1A2）＝P（A1A2）+P（B1A2）+P（C1A2）
＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）+P（C1）P（A2|C1）
，
所以王同学第二天在A餐厅就 的概率为．
（Ⅱ）由题可知P（Ai）+P（Bi）+P（ i）＝1，当n≥2时，
P（An）＝P（An﹣1An∪Bn﹣1An∪Cn﹣1An）＝P（An﹣1An）+P（Bn﹣1An）+P（Cn﹣1An）
＝P（An﹣1）P（An|An﹣1）+P（Bn﹣1）P（An|Bn﹣1）+P（Cn﹣1）P（An|Cn﹣1）
，
所以，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以王同学第n天在A餐厅就餐的概率为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的计算可知
，，，，，
，，
，，
所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定．
【点评】本题考查全概率公式以及等比数列相关知识，属于中档题．
15．（2025春 鲤城区校级期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，
①求从乙箱中取出的球是白球的概率．
②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率．
【考点】全概率公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①；
②．
【分析】（1）结合古典概率公式即可求解；
（2）①结合全概率公式即可求解；
②结合贝叶斯公式即可求解．
【解答】解：（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为；
（2）①设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件B1为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件B2为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件B3为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件B1，B2，B3彼此互斥，
，P（B2），，
，P（A|B2），，
所以P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3），
所以取出的这个小球是白球的概率为；
②从乙箱中取出的球是白球，
则从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率P（B2|A）．
【点评】本题主要考查了古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用，属于中档题．
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