【期末押题预测】期末核心考点 一元线性回归模型及其应用（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 一元线性回归模型及其应用（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 121.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:51:34 | ||
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文档简介
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期末核心考点 一元线性回归模型及其应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得x，y之间的线性回归方程为，则（ ）
x 6 8 10 12
y 7 t 5.5 4.5
A．点（8，t）一定在回归直线上
B．x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位
C．t＝7
D．去掉（12，4.5）这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大
2．（2025 葫芦岛校级一模）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为yx+0.16，由它计算出成对样本数据（2，1.4）对应的残差为0.12（残差＝观测值﹣预测值），则（ ）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
3．（2025 秦淮区校级二模）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4
B．已知数据x1，x2， 的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+1，2x2+1， 的平均数和方差分别为5，13
C．在回归直线方程中，相对于样本点（2，1.2）的残差为﹣0.8
D．样本相关系数r∈（﹣1，1）
4．（2025春 皇姑区校级期中）已知变量y与变量x的关系可以用模型（c1，c2为常数）拟合，设z＝lny，变换后得到一组数据如下：
x 2 3 4 5 6
z 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为，则c1＝（ ）
A．0.206 B．e0.206 C．0.596 D．e0.596
5．（2025 徐汇区二模）在研究线性回归模型时，若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线上，则两组数据xi和yi（i＝1，2，3， ，n）的线性相关系数为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
6．（2025春 辽宁期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线至少经过一个样本点
B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
7．（2025春 西山区校级期中）如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线l1的方程为1，相关系数为r1，决定系数为，若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线l2的方程为2x2，相关系数为r2，决定系数为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．r1＞r2 B．
C． D．r1＞0，r2＜0
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 广东校级期中）对变量y和x的一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）进行回归分析，建立回归模型，则（ ）
A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D．若y和x的样本相关系数r＝﹣0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
（多选）9．（2025 遵义模拟）下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量X～N（3，2），则E（X）＝3
B．已知线性相关系数为r，若|r|越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
C．回归直线方程为0.1x+1.4，则样本点（5，2）的残差为0.1
D．一组数x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数为a，若再插入一个数a，则这n+1个数的方差不变
（多选）10．（2025春 安徽期中）某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表：
广告费用X（万元） 2 3 4 5 6
销售额Y（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）
A．回归直线必经过样本点（4，34）
B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36
C．6.8
D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为50.9万元
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 辽宁期中）某公司从某年起7年的利润情况如表所示．
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 m 4.8 5.2 5.9
且y关于x的回归直线方程是，则m的值为 ．
12．（2025春 沙河口区校级期中）数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成一个样本，其回归直线方程为x﹣3，其中8.2，剔除一个异常点（1，7）后，得到新的回归直线必过点 ．
13．（2025 辽宁模拟）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x8，y8），经验回归方程为3x，若，，则 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 龙岩模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
（1）根据表中的数据，计算相关系数r；
（2）求特征量y关于x的线性回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值．
参考公式：相关系数
，．
参考数据：，，．
15．（2025春 辽宁期中）已知s与t及x与y的成对数据如下，且t关于s的回归直线方程为0.55s+0.287．
s 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t 0.36 0.39 0.43 0.50 0.58
x 1 2 3 4 5
y 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）由散点图发现可以用指数型函数模型y＝abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；
（3）又得到一组新数据x＝6，y＝6.7，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好．
参考数据：
e1.2789 e0.1077 1.116
1.602 25.107 3.593 1.114 1.870
其中mi＝lnyi，．
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）， ，（un，vn）．
其回归直线方程为u，其中．
期末核心考点 一元线性回归模型及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得x，y之间的线性回归方程为，则（ ）
x 6 8 10 12
y 7 t 5.5 4.5
A．点（8，t）一定在回归直线上
B．x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位
C．t＝7
D．去掉（12，4.5）这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用回归直线方程过样本点可求得t＝7，进而逐项计算判断每个选项的正误．
【解答】解：，，
因为回归直线方程一定过样本中心点，
所以，解得t＝7，故C选项正确；
当﹣0.5×8+10.5＝6.5≠7，所以点（8，t）不在回归直线上，故A选项错误；
x每增加1个单位，y大约减少0.5个单位，故B选项错误；
当﹣0.5×12+10.5＝4.5，所以（12，4.5）在回归直线上，故去掉点（12，4.5）不影响回归直线方程，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了回归方程的性质，属于基础题．
2．（2025 葫芦岛校级一模）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为yx+0.16，由它计算出成对样本数据（2，1.4）对应的残差为0.12（残差＝观测值﹣预测值），则（ ）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参．
【解答】解：因为y关于x的经验回归方程为，样本数据（2，1.4）对应的残差为0.12，
所以预测值为，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
3．（2025 秦淮区校级二模）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4
B．已知数据x1，x2， 的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+1，2x2+1， 的平均数和方差分别为5，13
C．在回归直线方程中，相对于样本点（2，1.2）的残差为﹣0.8
D．样本相关系数r∈（﹣1，1）
【考点】经验回归方程与经验回归直线；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；样本相关系数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用百分位数的定义判断A；根据平均数和方差的性质判断B；直接求出残差判定C；根据变量间的关系以及相关系数判断D．
【解答】解：对应A，将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，
第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，故A错误；
对于B，已知数据x1，x2， 的平均数为2，方差为3，
得数据2x1+1，2x2+1， 的平均数为2×2+1＝5，方差为22×3＝12，故B错误；
对于C，已知回归直线方程为，样本点为（2，1.2），
则残差，故C正确；
对于D，样本的相关系数应满足﹣1≤r≤1，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查统计及其有关定义，是基础题．
4．（2025春 皇姑区校级期中）已知变量y与变量x的关系可以用模型（c1，c2为常数）拟合，设z＝lny，变换后得到一组数据如下：
x 2 3 4 5 6
z 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为，则c1＝（ ）
A．0.206 B．e0.206 C．0.596 D．e0.596
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求c1的值．
【解答】解：由表格中数据得，，
因为经验回归方程过样本中心点（，），
所以，解得，
因此，
由两边取对数，得lny＝c2x+lnc1，
又因为z＝lny，所以z＝c2x+lnc1，
所以c2＝0.206，lnc1＝0.596，
即．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
5．（2025 徐汇区二模）在研究线性回归模型时，若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线上，则两组数据xi和yi（i＝1，2，3， ，n）的线性相关系数为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线上，
所以相关系数|r|＝1，
又因为0，所以y与x是负相关，
所以r＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
6．（2025春 辽宁期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线至少经过一个样本点
B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图；独立性检验；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析、独立性检验逐个判断正误．
【解答】解：对于A，线性回归方程可以不经过任何一个样本点，故A错误；
对于B，可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，|r|值越大两个变量的相关程度越强，故B错误；
对于C，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故C错误；
对于D，因为χ2＝4.712＞3.841＝x0.05，
所以可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了相关系数的性质，以及独立性检验的性质，属于基础题．
7．（2025春 西山区校级期中）如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线l1的方程为1，相关系数为r1，决定系数为，若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线l2的方程为2x2，相关系数为r2，决定系数为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．r1＞r2 B．
C． D．r1＞0，r2＜0
【考点】决定系数与模型的拟合效果．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据去掉离群点后，线性关系更强，即可求解．
【解答】解：共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确；
去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误；
故r1＜r2，，故AB错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 广东校级期中）对变量y和x的一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）进行回归分析，建立回归模型，则（ ）
A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D．若y和x的样本相关系数r＝﹣0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据相关系数、决定系数的概念一一判断即可．
【解答】解：对于选项A，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；
对于选项B，用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故B错误；
对于选项C，若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点，故C正确；
对于选项D，若y和x的样本相关系数r＝﹣0.95，所以y和x成负相关，
又|r|＝0.95＞0.75且r＝﹣0.95接近﹣1，
所以y和x之间具有很强的负线性相关关系，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了相关系数和决定系数的性质，考查了经验回归直线的性质，属于基础题．
（多选）9．（2025 遵义模拟）下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量X～N（3，2），则E（X）＝3
B．已知线性相关系数为r，若|r|越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
C．回归直线方程为0.1x+1.4，则样本点（5，2）的残差为0.1
D．一组数x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数为a，若再插入一个数a，则这n+1个数的方差不变
【考点】经验回归方程与经验回归直线；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据方差，平均数，线性相关系数的性质即可求解．
【解答】解：A选项：若X～N（3，2），则μ＝3＝E（X），A选项正确；
B选项：若线性相关系数的绝对值|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故B正确；
C选项：令x＝5，得0.1×5+1.4＝1.9，则所求残差为2﹣1.9＝0.1，C选项正确；
D选项：由题意可知，若再插入一个数a，则平均数变为，
即平均数不变，而原来的数据的方差为，
同理可算得新数据的方差为，
所以方差可能改变，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了方差，平均数，线性相关系数，属于中档题．
（多选）10．（2025春 安徽期中）某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表：
广告费用X（万元） 2 3 4 5 6
销售额Y（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）
A．回归直线必经过样本点（4，34）
B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36
C．6.8
D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为50.9万元
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，根据百分位数的定义可判断B，根据回归直线必经过样本中心点（，）可判断CD．
【解答】解：对于A，回归直线不一定过样本点，故A错误；
对于B，样本数据中，销售额从小到大排列为：19，25，34，38，44，
因为5×70%＝3.5，
所以销售额的第70百分位数是38，故B错误；
对于C，由题意可知，4，32，
因为回归直线必经过样本中心点（，），
所以32＝6.3×4，
解得6.8，故C正确；
对于D，由C可知，回归直线为Y＝6.3X+6.8，
当X＝7时，Y＝6.3×7+6.8＝50.9，
所以据此模型估计广告费用为7万元时销售额为50.9万元，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了百分位数的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 辽宁期中）某公司从某年起7年的利润情况如表所示．
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 m 4.8 5.2 5.9
且y关于x的回归直线方程是，则m的值为 4.4 ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据回归直线方程过点（，）求解．
【解答】解：由题意可知，4，，
因为回归直线方程过点（，），即（4，），
所以0.5×4+2.3，
解得m＝4.4．
故答案为：4.4．
【点评】本题主要考查了回归直线方程的性质，属于基础题．
12．（2025春 沙河口区校级期中）数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成一个样本，其回归直线方程为x﹣3，其中8.2，剔除一个异常点（1，7）后，得到新的回归直线必过点 （9，5） ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（9，5）．
【分析】利用回归直线方程过样本中心点（，）求解．
【解答】解：因为回归直线方程x﹣3过样本中心点（，），
所以3＝8.2﹣3＝5.2，
所以剔除一个异常点（1，7）后，5，9，
所以得到新的回归直线必过点（9，5）．
故答案为：（9，5）．
【点评】本题主要考查了回归直线方程的性质，属于基础题．
13．（2025 辽宁模拟）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x8，y8），经验回归方程为3x，若，，则 9 ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】方程思想；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】9．
【分析】由已知可求得，，代入经验回归方程即可求解．
【解答】解：，，
因为（，）在经验回归方程上，所以，所以．
故答案为：9．
【点评】本题考查经验回归方程，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 龙岩模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
（1）根据表中的数据，计算相关系数r；
（2）求特征量y关于x的线性回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值．
参考公式：相关系数
，．
参考数据：，，．
【考点】一元线性回归模型；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）r≈﹣0.99；
（2）y＝﹣0.56x+12.92，y＝6.2．
【分析】（1）根据题意，根据相关系数的计算公式即可求解；
（2）根据题意即可求解y关于x的线性回归方程，再将特征量x为12代入即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知，，，
，
，，
∴相关系数；
（2）由（1）知，，
∴，
∴所求的线性回归方程是y＝﹣0.56x+12.92，
当特征量x为12时，可预测特征量y＝﹣0.56×12+12.92＝6.2．
【点评】本题考查了一元线性回归模型，属于中档题．
15．（2025春 辽宁期中）已知s与t及x与y的成对数据如下，且t关于s的回归直线方程为0.55s+0.287．
s 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t 0.36 0.39 0.43 0.50 0.58
x 1 2 3 4 5
y 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）由散点图发现可以用指数型函数模型y＝abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；
（3）又得到一组新数据x＝6，y＝6.7，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好．
参考数据：
e1.2789 e0.1077 1.116
1.602 25.107 3.593 1.114 1.870
其中mi＝lnyi，．
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）， ，（un，vn）．
其回归直线方程为u，其中．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.55x+3.37；
（2）3.59×（1.11）x；
（3）指数函数模型拟合效果更好．
【分析】（1）利用x与s，y与t之间的关系，即可得到y与x的线性回归方程；
（2）令m＝lny＝xlnb+lna，将非线性方程转化为线性方程，即可求解；
（3）将x＝6分别代入（1）与（2）中的方程，求出观测值，再比较残差的绝对值的大小即可．
【解答】解：（1）t关于s的回归直线方程为0.55s+0.287，
由题意x＝10s，y＝10t+0.5，即s，t，
所以0.550.287，
所以y关于x的回归方程为0.55x+3.37；
（2）若用指数型函数模型y＝abx拟合y与x的关系，
令m＝lny＝xlnb+lna，
3，12+22+32+42+52＝55，
ln0.1077，
ln ln1.602﹣3×0.1077≈1.2789，
所以e1.2789 e0.1077x≈3.59×（1.11）x；
（3）若y关于x的回归方程为0.55x+3.37，当x＝6时，0.55×6+3.37＝6.67，
此时残差为6.6﹣6.67＝0.03；
若3.59×（1.11）x，当x＝6时，3.59×（1.11）6＝3.59×1.87≈6.71，
此时残差为6.7﹣6.71＝﹣0.01；
由于|0.03|＞|﹣0.01|，所以指数函数模型拟合效果更好．
【点评】本题考查线性回归方程以及残差分析，属于中档题．
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期末核心考点 一元线性回归模型及其应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得x，y之间的线性回归方程为，则（ ）
x 6 8 10 12
y 7 t 5.5 4.5
A．点（8，t）一定在回归直线上
B．x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位
C．t＝7
D．去掉（12，4.5）这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大
2．（2025 葫芦岛校级一模）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为yx+0.16，由它计算出成对样本数据（2，1.4）对应的残差为0.12（残差＝观测值﹣预测值），则（ ）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
3．（2025 秦淮区校级二模）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4
B．已知数据x1，x2， 的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+1，2x2+1， 的平均数和方差分别为5，13
C．在回归直线方程中，相对于样本点（2，1.2）的残差为﹣0.8
D．样本相关系数r∈（﹣1，1）
4．（2025春 皇姑区校级期中）已知变量y与变量x的关系可以用模型（c1，c2为常数）拟合，设z＝lny，变换后得到一组数据如下：
x 2 3 4 5 6
z 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为，则c1＝（ ）
A．0.206 B．e0.206 C．0.596 D．e0.596
5．（2025 徐汇区二模）在研究线性回归模型时，若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线上，则两组数据xi和yi（i＝1，2，3， ，n）的线性相关系数为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
6．（2025春 辽宁期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线至少经过一个样本点
B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
7．（2025春 西山区校级期中）如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线l1的方程为1，相关系数为r1，决定系数为，若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线l2的方程为2x2，相关系数为r2，决定系数为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．r1＞r2 B．
C． D．r1＞0，r2＜0
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 广东校级期中）对变量y和x的一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）进行回归分析，建立回归模型，则（ ）
A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D．若y和x的样本相关系数r＝﹣0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
（多选）9．（2025 遵义模拟）下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量X～N（3，2），则E（X）＝3
B．已知线性相关系数为r，若|r|越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
C．回归直线方程为0.1x+1.4，则样本点（5，2）的残差为0.1
D．一组数x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数为a，若再插入一个数a，则这n+1个数的方差不变
（多选）10．（2025春 安徽期中）某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表：
广告费用X（万元） 2 3 4 5 6
销售额Y（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）
A．回归直线必经过样本点（4，34）
B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36
C．6.8
D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为50.9万元
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 辽宁期中）某公司从某年起7年的利润情况如表所示．
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 m 4.8 5.2 5.9
且y关于x的回归直线方程是，则m的值为 ．
12．（2025春 沙河口区校级期中）数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成一个样本，其回归直线方程为x﹣3，其中8.2，剔除一个异常点（1，7）后，得到新的回归直线必过点 ．
13．（2025 辽宁模拟）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x8，y8），经验回归方程为3x，若，，则 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 龙岩模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
（1）根据表中的数据，计算相关系数r；
（2）求特征量y关于x的线性回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值．
参考公式：相关系数
，．
参考数据：，，．
15．（2025春 辽宁期中）已知s与t及x与y的成对数据如下，且t关于s的回归直线方程为0.55s+0.287．
s 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t 0.36 0.39 0.43 0.50 0.58
x 1 2 3 4 5
y 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）由散点图发现可以用指数型函数模型y＝abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；
（3）又得到一组新数据x＝6，y＝6.7，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好．
参考数据：
e1.2789 e0.1077 1.116
1.602 25.107 3.593 1.114 1.870
其中mi＝lnyi，．
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）， ，（un，vn）．
其回归直线方程为u，其中．
期末核心考点 一元线性回归模型及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 宁德三模）由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得x，y之间的线性回归方程为，则（ ）
x 6 8 10 12
y 7 t 5.5 4.5
A．点（8，t）一定在回归直线上
B．x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位
C．t＝7
D．去掉（12，4.5）这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用回归直线方程过样本点可求得t＝7，进而逐项计算判断每个选项的正误．
【解答】解：，，
因为回归直线方程一定过样本中心点，
所以，解得t＝7，故C选项正确；
当﹣0.5×8+10.5＝6.5≠7，所以点（8，t）不在回归直线上，故A选项错误；
x每增加1个单位，y大约减少0.5个单位，故B选项错误；
当﹣0.5×12+10.5＝4.5，所以（12，4.5）在回归直线上，故去掉点（12，4.5）不影响回归直线方程，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了回归方程的性质，属于基础题．
2．（2025 葫芦岛校级一模）已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为yx+0.16，由它计算出成对样本数据（2，1.4）对应的残差为0.12（残差＝观测值﹣预测值），则（ ）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参．
【解答】解：因为y关于x的经验回归方程为，样本数据（2，1.4）对应的残差为0.12，
所以预测值为，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
3．（2025 秦淮区校级二模）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4
B．已知数据x1，x2， 的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+1，2x2+1， 的平均数和方差分别为5，13
C．在回归直线方程中，相对于样本点（2，1.2）的残差为﹣0.8
D．样本相关系数r∈（﹣1，1）
【考点】经验回归方程与经验回归直线；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；样本相关系数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用百分位数的定义判断A；根据平均数和方差的性质判断B；直接求出残差判定C；根据变量间的关系以及相关系数判断D．
【解答】解：对应A，将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，
第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，故A错误；
对于B，已知数据x1，x2， 的平均数为2，方差为3，
得数据2x1+1，2x2+1， 的平均数为2×2+1＝5，方差为22×3＝12，故B错误；
对于C，已知回归直线方程为，样本点为（2，1.2），
则残差，故C正确；
对于D，样本的相关系数应满足﹣1≤r≤1，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查统计及其有关定义，是基础题．
4．（2025春 皇姑区校级期中）已知变量y与变量x的关系可以用模型（c1，c2为常数）拟合，设z＝lny，变换后得到一组数据如下：
x 2 3 4 5 6
z 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为，则c1＝（ ）
A．0.206 B．e0.206 C．0.596 D．e0.596
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求c1的值．
【解答】解：由表格中数据得，，
因为经验回归方程过样本中心点（，），
所以，解得，
因此，
由两边取对数，得lny＝c2x+lnc1，
又因为z＝lny，所以z＝c2x+lnc1，
所以c2＝0.206，lnc1＝0.596，
即．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
5．（2025 徐汇区二模）在研究线性回归模型时，若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线上，则两组数据xi和yi（i＝1，2，3， ，n）的线性相关系数为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关系数的性质求解．
【解答】解：因为样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）所对应的点都在直线上，
所以相关系数|r|＝1，
又因为0，所以y与x是负相关，
所以r＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
6．（2025春 辽宁期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线至少经过一个样本点
B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图；独立性检验；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析、独立性检验逐个判断正误．
【解答】解：对于A，线性回归方程可以不经过任何一个样本点，故A错误；
对于B，可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，|r|值越大两个变量的相关程度越强，故B错误；
对于C，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故C错误；
对于D，因为χ2＝4.712＞3.841＝x0.05，
所以可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了相关系数的性质，以及独立性检验的性质，属于基础题．
7．（2025春 西山区校级期中）如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线l1的方程为1，相关系数为r1，决定系数为，若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线l2的方程为2x2，相关系数为r2，决定系数为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．r1＞r2 B．
C． D．r1＞0，r2＜0
【考点】决定系数与模型的拟合效果．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据去掉离群点后，线性关系更强，即可求解．
【解答】解：共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确；
去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误；
故r1＜r2，，故AB错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025春 广东校级期中）对变量y和x的一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）进行回归分析，建立回归模型，则（ ）
A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
B．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
D．若y和x的样本相关系数r＝﹣0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据相关系数、决定系数的概念一一判断即可．
【解答】解：对于选项A，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；
对于选项B，用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故B错误；
对于选项C，若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点，故C正确；
对于选项D，若y和x的样本相关系数r＝﹣0.95，所以y和x成负相关，
又|r|＝0.95＞0.75且r＝﹣0.95接近﹣1，
所以y和x之间具有很强的负线性相关关系，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了相关系数和决定系数的性质，考查了经验回归直线的性质，属于基础题．
（多选）9．（2025 遵义模拟）下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量X～N（3，2），则E（X）＝3
B．已知线性相关系数为r，若|r|越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
C．回归直线方程为0.1x+1.4，则样本点（5，2）的残差为0.1
D．一组数x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数为a，若再插入一个数a，则这n+1个数的方差不变
【考点】经验回归方程与经验回归直线；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据方差，平均数，线性相关系数的性质即可求解．
【解答】解：A选项：若X～N（3，2），则μ＝3＝E（X），A选项正确；
B选项：若线性相关系数的绝对值|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故B正确；
C选项：令x＝5，得0.1×5+1.4＝1.9，则所求残差为2﹣1.9＝0.1，C选项正确；
D选项：由题意可知，若再插入一个数a，则平均数变为，
即平均数不变，而原来的数据的方差为，
同理可算得新数据的方差为，
所以方差可能改变，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了方差，平均数，线性相关系数，属于中档题．
（多选）10．（2025春 安徽期中）某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表：
广告费用X（万元） 2 3 4 5 6
销售额Y（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）
A．回归直线必经过样本点（4，34）
B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36
C．6.8
D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为50.9万元
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，根据百分位数的定义可判断B，根据回归直线必经过样本中心点（，）可判断CD．
【解答】解：对于A，回归直线不一定过样本点，故A错误；
对于B，样本数据中，销售额从小到大排列为：19，25，34，38，44，
因为5×70%＝3.5，
所以销售额的第70百分位数是38，故B错误；
对于C，由题意可知，4，32，
因为回归直线必经过样本中心点（，），
所以32＝6.3×4，
解得6.8，故C正确；
对于D，由C可知，回归直线为Y＝6.3X+6.8，
当X＝7时，Y＝6.3×7+6.8＝50.9，
所以据此模型估计广告费用为7万元时销售额为50.9万元，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了百分位数的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 辽宁期中）某公司从某年起7年的利润情况如表所示．
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 m 4.8 5.2 5.9
且y关于x的回归直线方程是，则m的值为 4.4 ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据回归直线方程过点（，）求解．
【解答】解：由题意可知，4，，
因为回归直线方程过点（，），即（4，），
所以0.5×4+2.3，
解得m＝4.4．
故答案为：4.4．
【点评】本题主要考查了回归直线方程的性质，属于基础题．
12．（2025春 沙河口区校级期中）数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成一个样本，其回归直线方程为x﹣3，其中8.2，剔除一个异常点（1，7）后，得到新的回归直线必过点 （9，5） ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（9，5）．
【分析】利用回归直线方程过样本中心点（，）求解．
【解答】解：因为回归直线方程x﹣3过样本中心点（，），
所以3＝8.2﹣3＝5.2，
所以剔除一个异常点（1，7）后，5，9，
所以得到新的回归直线必过点（9，5）．
故答案为：（9，5）．
【点评】本题主要考查了回归直线方程的性质，属于基础题．
13．（2025 辽宁模拟）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x8，y8），经验回归方程为3x，若，，则 9 ．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】方程思想；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】9．
【分析】由已知可求得，，代入经验回归方程即可求解．
【解答】解：，，
因为（，）在经验回归方程上，所以，所以．
故答案为：9．
【点评】本题考查经验回归方程，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025 龙岩模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
（1）根据表中的数据，计算相关系数r；
（2）求特征量y关于x的线性回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值．
参考公式：相关系数
，．
参考数据：，，．
【考点】一元线性回归模型；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）r≈﹣0.99；
（2）y＝﹣0.56x+12.92，y＝6.2．
【分析】（1）根据题意，根据相关系数的计算公式即可求解；
（2）根据题意即可求解y关于x的线性回归方程，再将特征量x为12代入即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知，，，
，
，，
∴相关系数；
（2）由（1）知，，
∴，
∴所求的线性回归方程是y＝﹣0.56x+12.92，
当特征量x为12时，可预测特征量y＝﹣0.56×12+12.92＝6.2．
【点评】本题考查了一元线性回归模型，属于中档题．
15．（2025春 辽宁期中）已知s与t及x与y的成对数据如下，且t关于s的回归直线方程为0.55s+0.287．
s 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t 0.36 0.39 0.43 0.50 0.58
x 1 2 3 4 5
y 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）由散点图发现可以用指数型函数模型y＝abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；
（3）又得到一组新数据x＝6，y＝6.7，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好．
参考数据：
e1.2789 e0.1077 1.116
1.602 25.107 3.593 1.114 1.870
其中mi＝lnyi，．
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）， ，（un，vn）．
其回归直线方程为u，其中．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.55x+3.37；
（2）3.59×（1.11）x；
（3）指数函数模型拟合效果更好．
【分析】（1）利用x与s，y与t之间的关系，即可得到y与x的线性回归方程；
（2）令m＝lny＝xlnb+lna，将非线性方程转化为线性方程，即可求解；
（3）将x＝6分别代入（1）与（2）中的方程，求出观测值，再比较残差的绝对值的大小即可．
【解答】解：（1）t关于s的回归直线方程为0.55s+0.287，
由题意x＝10s，y＝10t+0.5，即s，t，
所以0.550.287，
所以y关于x的回归方程为0.55x+3.37；
（2）若用指数型函数模型y＝abx拟合y与x的关系，
令m＝lny＝xlnb+lna，
3，12+22+32+42+52＝55，
ln0.1077，
ln ln1.602﹣3×0.1077≈1.2789，
所以e1.2789 e0.1077x≈3.59×（1.11）x；
（3）若y关于x的回归方程为0.55x+3.37，当x＝6时，0.55×6+3.37＝6.67，
此时残差为6.6﹣6.67＝0.03；
若3.59×（1.11）x，当x＝6时，3.59×（1.11）6＝3.59×1.87≈6.71，
此时残差为6.7﹣6.71＝﹣0.01；
由于|0.03|＞|﹣0.01|，所以指数函数模型拟合效果更好．
【点评】本题考查线性回归方程以及残差分析，属于中档题．
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