【期末押题预测】期末核心考点 正态分布（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 正态分布（含解析）2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 10:52:18 | ||
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文档简介
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期末核心考点 正态分布
一．选择题（共7小题）
1．（2025 福建模拟）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布N（75，σ2），若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 滨州二模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），则a2+b2的最小值为（ ）
A．18 B． C．24 D．27
3．（2025春 邢台期中）已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝（ ）
A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44
4．（2025 遵义三模）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞2）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．（2025春 沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）
A．变量X服从正态分布N（360，12）
B．E（2X+1）＝720
C．P（X＜384）＝P（X＞348）
D．P（X＜384）≈0.9773
6．（2025 山东模拟）已知随机变量，为使ξ在内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545），则a的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
7．（2025 山东模拟）已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，则P（2＜X≤4）＝0.35
（多选）9．（2025 河北模拟）某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（82，36），下列说法正确的是（ ）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．
A．这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36
B．这300份问卷中得分超过88分的约有48份
C．P（70＜X＜76）＝P（88＜X＜94）
D．若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（82，36）
（多选）10．（2025 点军区校级模拟）若小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t＝38分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．P（X＞38）＜P（Y＞38）
B．P（24≤X≤36）＝P（32≤Y≤36）
C．若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1，则t1＜30
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X﹣1）＝ ．
12．（2025春 皇姑区校级期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差 n在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．
（若X N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）
13．（2025春 辽宁期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[83.8，86.2]内的为合格品，某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 三明期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克．根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，则随机变量X服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，求P（Y≤4940）．
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在（4900，5100）内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克．小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，求Z的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜η≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜η≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜η≤μ+3σ）≈0.9973；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
③参考数据：，，，0.6827×0.3173≈0.2166，0.8186×0.1814≈0.1485．
15．（2025春 辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．
期末核心考点 正态分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 福建模拟）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布N（75，σ2），若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解．
【解答】解：因为考生成绩服从正态分布N（75，σ2），
所以，
所以任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布和二项分布的概率求解，属于基础题．
2．（2025 滨州二模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），则a2+b2的最小值为（ ）
A．18 B． C．24 D．27
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性可得a，b的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案．
【解答】解：若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），
由题意可得，则b＝6﹣a，
所以a2+b2＝a2+（6﹣a）2＝2a2﹣12a+36＝2（a﹣3）2+18，
易知当a＝3时，a2+b2的最小值为18．
故选：A．
【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
3．（2025春 邢台期中）已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝（ ）
A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性相关知识可解．
【解答】解：已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），
则该曲线的对称轴为μ＝6，
又P（X＞3）＝0.88，
则P（6＜X≤9）＝P（3≤X＜6）＝0.88﹣0.5＝0.38．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
4．（2025 遵义三模）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞2）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵x～N（3，σ2），
∴P（x≥3）＝0.5，
∴P（x＞2）＝P（2＜x＜3）+P（x≥3）＝0.7，
∴P（2＜x＜3）＝0.2，
∴P（3＜x＜4）＝P（2＜x＜3）＝0.2．
故选：B．
【点评】本题主要考了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．（2025春 沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）
A．变量X服从正态分布N（360，12）
B．E（2X+1）＝720
C．P（X＜384）＝P（X＞348）
D．P（X＜384）≈0.9773
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，所以变量X服从正态分布N（360，144），再利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，
所以变量X服从正态分布N（360，144），故A错误；
E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×360+1＝721，故B错误；
因为X～N（360，144），而360，
所以P（X＜384）≠P（X＞348），故C错误；
P（X＜384）＝P（X＜360+24）＝P（X＜360+2×12）≈0.50.97725≈0.9773，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
6．（2025 山东模拟）已知随机变量，为使ξ在内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545），则a的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意得，从而可列出关于a的不等式即可求解．
【解答】解：因为X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，
随机变量，则，，
为使ξ在内的概率不小于0.9545，则，解得a≥32，
即a的最小值为32．
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的性质应用，属于基础题．
7．（2025 山东模拟）已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称轴得出a＝2，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：随机变量ξ～N（1，σ2），
则正态分布的曲线的对称轴为ξ＝1，
∵P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），
∴0+a＝2，解得a＝2，
当0＜x＜2时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为8．
故选：B．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，则P（2＜X≤4）＝0.35
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；中位数；标准差；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A：求数据中位数和平均数即可得；对于B：求数据方差和标准差即可判断；对于C：根据相关系数的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断．
【解答】解：对于A：数据1，2，3，5，8，9的平均数为，中位数为，
故中位数小于平均数，故A正确；
对于B：数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的平均数为，
则方差为，
则标准差s＞s2，即标准差大于方差，故B正确；
对于C：样本相关系数r的绝对值越小，线性相关程度越弱，故C错误；
对于D：因为随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，
所以P（2＜X≤4）＝P（4＜X≤6）＝P（X≤6）﹣P（X≤4）＝0.85﹣0.5＝0.35，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查中位数，平均数，方差的计算，考查计算能力，属于基础题．
（多选）9．（2025 河北模拟）某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（82，36），下列说法正确的是（ ）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．
A．这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36
B．这300份问卷中得分超过88分的约有48份
C．P（70＜X＜76）＝P（88＜X＜94）
D．若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（82，36）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项．
【解答】解：由题意知，数据的期望是μ＝82，方差是σ2＝36，标准差是σ＝6，所以A错误；
由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确；
由数据的期望是μ＝82，方差是σ2＝36，C正确；
由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查正态分布的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
（多选）10．（2025 点军区校级模拟）若小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t＝38分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．P（X＞38）＜P（Y＞38）
B．P（24≤X≤36）＝P（32≤Y≤36）
C．若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1，则t1＜30
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用正态分布密度曲线的性质及3σ原则、密度函数解析式一一分析选项即可．
【解答】解：小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），
则坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即X的密度曲线较矮胖，Y的密度曲线更瘦高，
则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知P（X＞38）＞P（Y＞38），故A错误；
由3σ原则可知P（30﹣6≤X≤30+6）＝P（34﹣2≤Y≤34+2），故B正确；
根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，
，建立方程，
整理可得8x2﹣552x+9×342﹣302＝72ln3，
则，故C错误；
易知P（X≤34）＞0.5＝P（Y≤34），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查正态分布曲线相关知识，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X﹣1）＝ 36 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】36．
【分析】由方差的性质直接求解即可．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（10，22），则该正态分布曲线为μ＝10，σ＝2，
D（X）＝22＝4，
所以D（3X﹣1）＝32D（X）＝9×4＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查正态分布以及方差相关知识，属于中档题．
12．（2025春 皇姑区校级期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差 n在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，则至少要测量 32 次．
（若X N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】32．
【分析】因为误差，所以μ＝0，σ，由题意可知0.75≥μ+3σ，进而求出n的最小值．
【解答】解：因为误差，所以μ＝0，σ，
因为误差 n在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，而P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973，
所以0.75≥μ+3σ，
即0.75≥3，
解得n≥32，
即至少要测量32次．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
13．（2025春 辽宁期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[83.8，86.2]内的为合格品，某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为 1600 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】1600．
【分析】根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果．
【解答】解：因为X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，
所以该企业生产的该种零件合格的概率P（83.8≤X≤86.2）＝1﹣2P（X＜83.8）＝1﹣2×0.1＝0.8，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为0.8×2000＝1600．
故答案为：1600．
【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 三明期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克．根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，则随机变量X服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，求P（Y≤4940）．
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在（4900，5100）内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克．小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，求Z的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜η≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜η≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜η≤μ+3σ）≈0.9973；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
③参考数据：，，，0.6827×0.3173≈0.2166，0.8186×0.1814≈0.1485．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（i）0.00135；
（ii）见解析；
（2）14.85．
【分析】（1）（i）利用正态分布曲线相关知识可解；
（ii）利用正态分布曲线以及概率相关知识可解；
（2）利用方差相关知识可解．
【解答】解：（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，
依题意得，，所以Y N（5000，202）．
设μ＝5000，σ1＝20，因为P（μ﹣3σ1＜Y≤μ+3σ1）≈0.9973，
则P（Y≤4940）＝P（Y≤5000﹣3×20）＝P（Y≤μ﹣3σ1）≈1﹣0.9973＝0.00135；
（ii）由（i）得P（Y≤4940）≈0.00135．
因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，
4938.77＜4940，0.00135＜0.05，
所以小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，
设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K，
则K N（5000，1002）．
设μ＝5000，σ＝100，
由4900＝5000﹣100，5200＝5000+2×100，
得P（4900＜K＜5200）＝P（5000﹣100＜K＜5000+200），
根据题意得随机变量Z B（100，0.8186），
故D（Z）＝100×0.8186×（1﹣0.8186）≈14.85．
【点评】本题考查正态分布相关知识以及随机变量的方差相关知识，属于中档题．
15．（2025春 辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；全概率公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）80，0.8185；
（2）（i），（ii）．
【分析】（1）计算出平均数后可得X N（80，σ2），结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）（i）借助全概率公式计算即可得；
（ii）由贝叶斯公式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据，（66×10+77×20+80×48+88×19+96×3）＝80，
因为X N（80，σ2），σ2＝36，则σ＝6，
则，
（2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件A1；
“抽取的零件是乙机床生产”记为事件A2；
“抽取的零件是次品”记为事件B，
则，，P（B|A1）＝0.02，P（B|A2）＝0.01，
（i）则，
（ii）．
【点评】本题考查概率的应用，涉及条件概率、贝叶斯公式的应用，属于基础题．
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期末核心考点 正态分布
一．选择题（共7小题）
1．（2025 福建模拟）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布N（75，σ2），若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 滨州二模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），则a2+b2的最小值为（ ）
A．18 B． C．24 D．27
3．（2025春 邢台期中）已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝（ ）
A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44
4．（2025 遵义三模）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞2）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．（2025春 沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）
A．变量X服从正态分布N（360，12）
B．E（2X+1）＝720
C．P（X＜384）＝P（X＞348）
D．P（X＜384）≈0.9773
6．（2025 山东模拟）已知随机变量，为使ξ在内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545），则a的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
7．（2025 山东模拟）已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，则P（2＜X≤4）＝0.35
（多选）9．（2025 河北模拟）某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（82，36），下列说法正确的是（ ）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．
A．这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36
B．这300份问卷中得分超过88分的约有48份
C．P（70＜X＜76）＝P（88＜X＜94）
D．若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（82，36）
（多选）10．（2025 点军区校级模拟）若小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t＝38分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．P（X＞38）＜P（Y＞38）
B．P（24≤X≤36）＝P（32≤Y≤36）
C．若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1，则t1＜30
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X﹣1）＝ ．
12．（2025春 皇姑区校级期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差 n在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．
（若X N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）
13．（2025春 辽宁期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[83.8，86.2]内的为合格品，某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为 ．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 三明期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克．根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，则随机变量X服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，求P（Y≤4940）．
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在（4900，5100）内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克．小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，求Z的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜η≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜η≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜η≤μ+3σ）≈0.9973；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
③参考数据：，，，0.6827×0.3173≈0.2166，0.8186×0.1814≈0.1485．
15．（2025春 辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．
期末核心考点 正态分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 福建模拟）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布N（75，σ2），若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解．
【解答】解：因为考生成绩服从正态分布N（75，σ2），
所以，
所以任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布和二项分布的概率求解，属于基础题．
2．（2025 滨州二模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），则a2+b2的最小值为（ ）
A．18 B． C．24 D．27
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性可得a，b的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案．
【解答】解：若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），
由题意可得，则b＝6﹣a，
所以a2+b2＝a2+（6﹣a）2＝2a2﹣12a+36＝2（a﹣3）2+18，
易知当a＝3时，a2+b2的最小值为18．
故选：A．
【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
3．（2025春 邢台期中）已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝（ ）
A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性相关知识可解．
【解答】解：已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），
则该曲线的对称轴为μ＝6，
又P（X＞3）＝0.88，
则P（6＜X≤9）＝P（3≤X＜6）＝0.88﹣0.5＝0.38．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
4．（2025 遵义三模）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞2）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵x～N（3，σ2），
∴P（x≥3）＝0.5，
∴P（x＞2）＝P（2＜x＜3）+P（x≥3）＝0.7，
∴P（2＜x＜3）＝0.2，
∴P（3＜x＜4）＝P（2＜x＜3）＝0.2．
故选：B．
【点评】本题主要考了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．（2025春 沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）
A．变量X服从正态分布N（360，12）
B．E（2X+1）＝720
C．P（X＜384）＝P（X＞348）
D．P（X＜384）≈0.9773
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，所以变量X服从正态分布N（360，144），再利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，
所以变量X服从正态分布N（360，144），故A错误；
E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×360+1＝721，故B错误；
因为X～N（360，144），而360，
所以P（X＜384）≠P（X＞348），故C错误；
P（X＜384）＝P（X＜360+24）＝P（X＜360+2×12）≈0.50.97725≈0.9773，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
6．（2025 山东模拟）已知随机变量，为使ξ在内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545），则a的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意得，从而可列出关于a的不等式即可求解．
【解答】解：因为X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，
随机变量，则，，
为使ξ在内的概率不小于0.9545，则，解得a≥32，
即a的最小值为32．
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的性质应用，属于基础题．
7．（2025 山东模拟）已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称轴得出a＝2，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：随机变量ξ～N（1，σ2），
则正态分布的曲线的对称轴为ξ＝1，
∵P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），
∴0+a＝2，解得a＝2，
当0＜x＜2时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为8．
故选：B．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2025 湖南一模）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，则P（2＜X≤4）＝0.35
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；中位数；标准差；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A：求数据中位数和平均数即可得；对于B：求数据方差和标准差即可判断；对于C：根据相关系数的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断．
【解答】解：对于A：数据1，2，3，5，8，9的平均数为，中位数为，
故中位数小于平均数，故A正确；
对于B：数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的平均数为，
则方差为，
则标准差s＞s2，即标准差大于方差，故B正确；
对于C：样本相关系数r的绝对值越小，线性相关程度越弱，故C错误；
对于D：因为随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，
所以P（2＜X≤4）＝P（4＜X≤6）＝P（X≤6）﹣P（X≤4）＝0.85﹣0.5＝0.35，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查中位数，平均数，方差的计算，考查计算能力，属于基础题．
（多选）9．（2025 河北模拟）某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（82，36），下列说法正确的是（ ）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．
A．这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36
B．这300份问卷中得分超过88分的约有48份
C．P（70＜X＜76）＝P（88＜X＜94）
D．若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（82，36）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项．
【解答】解：由题意知，数据的期望是μ＝82，方差是σ2＝36，标准差是σ＝6，所以A错误；
由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确；
由数据的期望是μ＝82，方差是σ2＝36，C正确；
由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查正态分布的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
（多选）10．（2025 点军区校级模拟）若小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t＝38分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A．P（X＞38）＜P（Y＞38）
B．P（24≤X≤36）＝P（32≤Y≤36）
C．若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1，则t1＜30
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用正态分布密度曲线的性质及3σ原则、密度函数解析式一一分析选项即可．
【解答】解：小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），
则坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即X的密度曲线较矮胖，Y的密度曲线更瘦高，
则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知P（X＞38）＞P（Y＞38），故A错误；
由3σ原则可知P（30﹣6≤X≤30+6）＝P（34﹣2≤Y≤34+2），故B正确；
根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，
，建立方程，
整理可得8x2﹣552x+9×342﹣302＝72ln3，
则，故C错误；
易知P（X≤34）＞0.5＝P（Y≤34），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查正态分布曲线相关知识，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
11．（2025春 龙岗区校级期中）已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X﹣1）＝ 36 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】36．
【分析】由方差的性质直接求解即可．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（10，22），则该正态分布曲线为μ＝10，σ＝2，
D（X）＝22＝4，
所以D（3X﹣1）＝32D（X）＝9×4＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查正态分布以及方差相关知识，属于中档题．
12．（2025春 皇姑区校级期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差 n在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，则至少要测量 32 次．
（若X N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】32．
【分析】因为误差，所以μ＝0，σ，由题意可知0.75≥μ+3σ，进而求出n的最小值．
【解答】解：因为误差，所以μ＝0，σ，
因为误差 n在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，而P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973，
所以0.75≥μ+3σ，
即0.75≥3，
解得n≥32，
即至少要测量32次．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
13．（2025春 辽宁期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[83.8，86.2]内的为合格品，某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为 1600 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】1600．
【分析】根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果．
【解答】解：因为X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，
所以该企业生产的该种零件合格的概率P（83.8≤X≤86.2）＝1﹣2P（X＜83.8）＝1﹣2×0.1＝0.8，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为0.8×2000＝1600．
故答案为：1600．
【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．（2025春 三明期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克．根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，则随机变量X服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，求P（Y≤4940）．
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在（4900，5100）内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克．小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，求Z的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜η≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜η≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜η≤μ+3σ）≈0.9973；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
③参考数据：，，，0.6827×0.3173≈0.2166，0.8186×0.1814≈0.1485．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（i）0.00135；
（ii）见解析；
（2）14.85．
【分析】（1）（i）利用正态分布曲线相关知识可解；
（ii）利用正态分布曲线以及概率相关知识可解；
（2）利用方差相关知识可解．
【解答】解：（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，
依题意得，，所以Y N（5000，202）．
设μ＝5000，σ1＝20，因为P（μ﹣3σ1＜Y≤μ+3σ1）≈0.9973，
则P（Y≤4940）＝P（Y≤5000﹣3×20）＝P（Y≤μ﹣3σ1）≈1﹣0.9973＝0.00135；
（ii）由（i）得P（Y≤4940）≈0.00135．
因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，
4938.77＜4940，0.00135＜0.05，
所以小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，
设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K，
则K N（5000，1002）．
设μ＝5000，σ＝100，
由4900＝5000﹣100，5200＝5000+2×100，
得P（4900＜K＜5200）＝P（5000﹣100＜K＜5000+200），
根据题意得随机变量Z B（100，0.8186），
故D（Z）＝100×0.8186×（1﹣0.8186）≈14.85．
【点评】本题考查正态分布相关知识以及随机变量的方差相关知识，属于中档题．
15．（2025春 辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；全概率公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）80，0.8185；
（2）（i），（ii）．
【分析】（1）计算出平均数后可得X N（80，σ2），结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）（i）借助全概率公式计算即可得；
（ii）由贝叶斯公式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据，（66×10+77×20+80×48+88×19+96×3）＝80，
因为X N（80，σ2），σ2＝36，则σ＝6，
则，
（2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件A1；
“抽取的零件是乙机床生产”记为事件A2；
“抽取的零件是次品”记为事件B，
则，，P（B|A1）＝0.02，P（B|A2）＝0.01，
（i）则，
（ii）．
【点评】本题考查概率的应用，涉及条件概率、贝叶斯公式的应用，属于基础题．
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