江西省吉安市第一中学2024-2025学年高三下学期数学月考试卷（二）（含解析）

江西省吉安市第一中学2024 2025学年高三下学期数学月考试卷（二）
一、单选题
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|12．已知复数z满足，其中i是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
5．已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知是函数的一个极大值点，若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交，从引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于点、.若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
8．已知函数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．这头生猪体重的众数为
B．这头生猪中体重不低于的有头
C．这头生猪体重的中位数落在区间内
D．这头生猪体重的平均数为
11．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E，F分别是AB，BC的中点，过点 D1，E，F的平面记为α，则（ ）
A．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形
B．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为
C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25
D．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶3
三、填空题
12．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
13．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
14．已知椭圆的右焦点为，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点在以线段为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若，则的取值范围为
四、解答题
15．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为．
（1）求C；
（2）求面积的取值范围．
16．如图，在三棱台ABC A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，将梯形AA1C1C绕AA1旋转至AA1D1D位置，二面角D1 AA1 C1的大小为30°．
（1）证明：A1，B1，C1，D1四点共面，且A1D1⊥平面ABB1A1；
（2）若AA1=A1C1=2AB=4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值．
17．已知函数，.
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2.
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值；
（3）如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
19．将连续正整数、、、、从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时，的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】故选C
2．【答案】B
【详解】因为，
，
，
故选B.
3．【答案】A
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选A.
4．【答案】B
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选B.
5．【答案】B
【详解】，
，
，
，
，
即的最大值为.
故选B.
6．【答案】A
【详解】由题意知，则，，又，
所以，所以，方程在上有且仅有一个实数根，即函数的图象与直线有且仅有一个交点，
作出的图象，如图所示，由图易知满足题意的实数的取值范围是或，
故选A.
7．【答案】C
【详解】由题意可令直线的方程为，
联立得，解得，即，同理可得，
则.
由于直线与双曲线相交，则，
所以，整理得，
解得或（舍去），所以，
故选C.
8．【答案】A
【详解】解：因为函数的对称轴为，故由题意可得，
即，即，解得或（舍去），
则，即有．
记，令，则，
故，
又（当且仅当取等号），由于，则或时取最小值，
又，，
由于，故当时原式取最小值．
故选A．
9．【答案】AD
【详解】对于A，令，得，A正确；
对于B，令，得，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，令，得，
因此，D正确.
故选AD
10．【答案】BCD
【详解】由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这头生猪的体重的众数为，A错误；
这头生猪中体重不低于的有（头），B正确；
因为生猪的体重在内的频率为，
在内的频率为，且，
所以这头生猪体重的中位数落在区间内，C正确；
这头生猪体重的平均数为，
D正确．
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】如图，
延长EF分别与DA，DC的延长线交于点P，Q，连接D1P，交AA1于点M，连接D1Q，交CC1于点N，
连接ME，NF，则平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形D1MEFN，故A错误；
由平行线分线段成比例可得，AP=BF=1，故DP=DD1=3，则△DD1P为等腰直角三角形，
由相似三角形可知AM=AP=1，故A1M=2，则D1M=D1N=2，ME=EF=FN=，连接MN，易知MN=2，
因此五边形D1MEFN可以分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，等腰梯形MEFN的高h=，
则等腰梯形MEFN的面积为，又×2=2，
所以五边形D1MEFN的面积为2，故B正确；
记平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为V1，V2，
则V2= V三棱锥M-PAE V三棱锥N-CFQ=×3×3×3 ×1×1×1 ×1×1×1=，所以V1= V1=12，
则V1∶V2=47∶25，故C正确；
因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等，
由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，
因此点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍，故D错误.
故选BC
12．【答案】/．
【详解】因为，所以，因此．
13．【答案】②③
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
14．【答案】
【详解】试题分析：由题知， ，又因为 是 的中点，所以；所以点 在原点为圆心，半径为的圆上，即
设联立 ，解得因为 ，所以，即，又因为 ，解得，，所以，即
所以
考点：直线与圆锥曲线的综合问题，求离心率取值范围
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）的面积为，
则，则
又，则
（2）由（1）可知，又
则，则
则的面积
锐角中，，则，解之得
则，则，
则，则面积的取值范围为
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：因为平面，所以，
又因为，，所以平面，
假设，，，四点不共面，因为平面，
平面，所以平面平面，
与平面平面矛盾，
故，，，四点共面，
又因为，，
所以二面角的平面角，
所以，又，
所以；又，，
所以平面；
（2）以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；
则，，，，
，，，，
所以，则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
设与平面所成角为，
则．
所以与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）.
【详解】（1）当时，，
则.
当时，因为，且，
所以，
所以，单调递减.
当时，因为，且，
所以，
所以，单调递增.
所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）恒成立等价于恒成立，
令，
则.
①当时，在区间上恒成立，符合题意；
②当时，，
令，，即在上单调递增，，则存在，使得，此时，即，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以.
令，得.
因为，所以.
综上，实数a的取值范围为.
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）是，
【详解】（1）由题意得，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）设 ，则，
又，所以直线PA的方程为.
令 ，得，从而.
直线PC的方程为.
令，得，从而.
所以四边形的面积
=2.
从而四边形的面积为定值.
（3）直线GH过定点，理由如下：
①当点Q在x轴上时，直线GH为x轴，过点.
②当点Q不在x轴上时，由题意可设，，，直线 ，
将直线方程代入椭圆E的方程得，
则，则点，
设直线 ，同理得点.
又点 为直线AG与直线BH的交点，则.
由两点式得直线GH的方程为:，
令 ，得，
故直线GH过定点.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当时，一位数有，二位数个，三位数个，
这个数中总共有个数字，
其中数字的数有、、、、、，数字的个数为，
所以恰好取到的概率为.
（2）当时，全是一位数，；
当时，一位数个数为，二位数的个数为，；
当时，一位数的个数为，二位数的个数为，三位数的个数为，
；
当时，一位数的个数为，二位数的个数为，三位数的个数为，
四位数的个数为，.
综上所述，.
（3）当时，；
当时，；
当时，，
所以，，
同理可得，
由可知，
所以当时，，
当时，，
当时，；
当时，，
由随着的增大而增大，故当时，的最大值为，
又，所以当时，的最大值为.