辽宁省名校联盟2025届高三下学期5月份联合考试数学试题（含解析）

辽宁省名校联盟2025届高三下学期5月份联合考试数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．3 B． C．1 D．5
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ）
A．直线与圆C相离 B． 的面积为12
C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为
10．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则（ ）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
三、填空题
12．已知具有线性相关的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，则 ．
13．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
14．在平面直角坐标系中，设点（其中表示中较大的数）为两点的“切比雪夫距离”．若为函数上的动点，则两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ．
四、解答题
15．已知数列的前n项积为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16．如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17．某农业兴趣小组为比较长效肥和缓释肥这两种肥料的作用，进行了一个季度的对比试验，长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的同一种植物分别对应第组．分别从第组各随机抽取20株并测出株高，得到的60个样本数据分组整理如下表所示：
株高（单位：厘米）
第1组（长效肥） 2 10 6 2
第2组（缓释肥） 3 8 8 1
第3组（未施肥） 8 5 6 1
（1）从第一组20株植物中随机抽取2株，求至少有一株株高在内的概率；
（2）为了进一步研究，从这三组植物中各随机抽取1株，记这3株植物中恰有X株的株高在内，求X的分布列和数学期望（假设植物的生长情况相互独立，用频率估计概率）；
（3）已知这三组植物的平均株高分别为，株高的方差分别为，求样本的平均数和方差．
18．已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：．
19．已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N．
（1）求椭圆的方程；
（2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值；
（3）证明：直线经过定点．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，所以．
故选A．
2．【答案】C
【详解】根据题意，联立方程组，可得，
所以，解得，即集合，
所以集合的子集个数为2个．
故选C．
3．【答案】D
【详解】由，所以，
又，所以，
则，故．
故选:D．
4．【答案】B
【详解】不妨设M在第一象限，则，则，即，所以．即，
所以．则双曲线C的渐近线方程为，
故选B．
5．【答案】D
【详解】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得，
则，
所以.
解法二：设，则，
如图所示，取的中点P，连接，
在正方形中，可得，
在三角形中，因为是的中点，可得，
所以（或其补角）是异面直线与所成角，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得,
在中，由余弦定理得．
故选:D．
6．【答案】B
【详解】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选B.
7．【答案】B
【详解】掷骰子一共4次，基本事件共种情况，
其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种；
得三分平均两人均有两种情况，两人共种，
以此类推，甲、乙平局一共有种情况，
其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．
故选B
8．【答案】A
【详解】设，则，
所以在上单调递减，又，则，即
则，即．
设，则在上单调递增，
又．所以，即，
所以有，
则，即，
综上，．
故选A．
9．【答案】AC
【详解】由圆，可得圆心为，半径为，
对于A中，圆心坐标到直线的距离为，
所以直线与圆相离，所以A正确；
对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误；
对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确；
对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误．
故选AC.
10．【答案】BC
【详解】因为函数，
由，得或，
所以或，
设，则
又由有且仅有三个极值点，则，可得，
所以，所以A项错误，B项正确；
由函数的对称轴方程为，
当时，可得是函数的一条对称轴，所以C项正确；
令，解得，
当时，可得，所以是函数一个增区间，所以D项错误．
故选BC．
11．【答案】BCD
【详解】由题意得，A项错误；
，所以（当且仅当时取等号），B项正确；
，当且仅当时取等号，C项正确；
，
又因为，
所以，
设，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，D项正确．
故选:BCD．
12．【答案】9
【详解】由，可得，
所以回归直线过样本中心点为，将其代入，可得.
13．【答案】
【详解】由利用正弦定理得
，
因为，所以，所以，
的面积，所以
，
当且仅当时等号成立，．
14．【答案】/
【详解】，
在同一平面直角坐标系画出函数，的图象，如图所示：
令，则，当时，，
当时，，
当时，，
所以的最小值为．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，
当时，成立，
综上可得．
（2）解法一：，
，
，
，
．
解法二：，
设，
所以
即，
所以，
所以的前n项和．
16．【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【详解】（1）证明：连接，
因为，所以．
因为是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
所以，
因为，
所以．
（2）因为，
所以，所以，
又由（1）知，且平面，
所以平面，
因为为四棱台，底面为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同，
所以四边形为正方形，上下面平行
所以平面，.
因为点是的中点，，所以.
所以且，所以四边形为平行四边形
所以.
又平面，所以平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，．
设平面的法向量为，
则
令．
设直线与平面所成角为，
则，
化简得，
即，所以．
17．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）9.3；6.83
【详解】（1）设事件“从第一组20株植物中随机抽取2株，至少有一株株高在”，
则．
（2）X的可能取值为，
则，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
．
（3）样本的平均数为，
所以样本的方差为
，
又，
类似的，，成立，
所以.
所以样本的平均数为9.3，方差为6.83.
18．【答案】（1）1
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）的定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，则的零点为1．
（2）恒成立，即．
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，
所以，即．
则实数的取值范围为
（3）由（2）可知，当时，有成立，当且仅当时等号成立，
取，
则，
所以，
即．
由，
即，当且仅当时等号成立，
取，
得，
所以，
即．
综上，
19．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）由已知可得，所以椭圆的方程为．
（2）解法一：因为，，所以，即，
因为，即关于直线对称，
所以四边形的面积，
即，且为M到直线的距离，
因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值．
直线的方程为，
设，则M到直线的距离为，
，
因为，所以，
所以，
所以当时，．
解法二：因为，所以，即，
因为，即关于直线对称，
所以四边形的面积，
即，且为M到直线的距离，
因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值．
直线的方程为，
若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，
设该切线方程为，
联立，
，
因为点M在第一象限内，所以（正值舍去），
所以点M到直线的距离的最大值为，
，
当时，．
（3）解法一：设直线的方程为，
点关于直线对称，则
又，且，
所以，，
即．
联立，
所以
所以，
化简得，
即，则或．
若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）；
若，则直线过定点．
解法二：因为且，不妨取点M在第一象限，
所以为的平分线，所以，
设直线的斜率分别为，
因为，
所以，
即，
所以，即．
经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立．
联立整理得，
因为且，
所以，所以，
同理可得，
由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为，
因为在直线上，所以，
所以，
同理可得，
所以是关于k的方程的两个根，
则
所以，
所以，
故直线过定点．
解法三：因为且，不妨取点M在第一象限，
所以为的平分线，所以，
设直线的斜率分别为，
因为，
所以，
即，
所以，即．①
经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立．
设直线的方程为，
把椭圆向左平移2个单位长度，得，
即，
联立，
即，即（等式两端同除），
所以是方程的两个根，由韦达定理得②
把②代入①得，
，则，解得
此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．