山西省部分学校2024-2025学年高三下学期4月巩固提升卷数学试题（含解析）

山西省部分学校2024 2025学年高三下学期4月巩固提升卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，或，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．
C．2 D．4
4．若双曲线的一个焦点为，则实数为（ ）
A． B．4 C．5 D．
5．若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．一个三位数的百位 十位 个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
8．已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ）
A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的图象关于原点对称
C．若，则
D．，都有成立
11．设函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．
D．可能为单调递增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知为等差数列的前项和，若，，则 .
13．已知，则 ．
14．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，抛物线在处的切线为，过作与平行的直线，记与的另一交点为，则的面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）记的内角的对边分别为．已知．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求．
16．（本小题满分15分）已知函数的两个极值点分别为和3．
（1）求的解析式；
（2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值．
17．（本小题满分15分）景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名．景德镇瓷器以其精美的工艺、独特的风格和高质量的品质而闻名于世．景德镇瓷器的历史可以追溯到唐代，经过宋、元、明、清等朝代的发展，逐渐形成了独特的风格．景德镇瓷器的制作过程非常复杂，需要经过多道工序，包括制坯、彩绘、烧制等．其中，彩绘是景德镇瓷器的一大特色，采用的是传统的釉下彩和釉上彩技法，色彩鲜绝、图案精美．假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花瓷的成品率依次为0.5，0.8，0.9．
（1）若从这10个青花瓷中任取1个，求取出的青花瓷是成品的概率；
（2）若每件青花瓷成品的收入为600元，每件青花瓷废品的收入为0元，记随机变量为乙烧制的这3个青花瓷的总收入，求的分布列及数学期望．
18．（本小题满分17分）如图，在直四棱柱中，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．
19．（本小题满分17分）椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为.
（1）求的方程；
（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.
（i）求证：；
（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】依题意，.
故选A
2．【答案】A
【详解】由，得．
故选A．
3．【答案】D
【详解】，故，解得.
故选D
4．【答案】B
【详解】因为双曲线的一个焦点为，
所以，解得．
故选B．
5．【答案】D
【详解】同一坐标系内画出函数和的图象，如图，
由图可知，
即，
又因为，
所以．
故选D．

6．【答案】B
【详解】因为，可知，
又因为为奇函数，且连续不断，则，则，
且，可知，
由奇函数对称性可知：时，，
且，，
所以在定义域的值域为.
故选B.
7．【答案】C
【详解】从这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为24；
从这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为，
所以全部“有缘数”的个数为．
故选C．
8．【答案】C
【详解】设这10个样本数据分别为，且．
因为，所以这10个数据的分位数为．
设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为，
由题意知，则；
，
所以，整理得，解得，
所以，
当且仅当时等号成立，
即，时，取到最大值13.
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示：
因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角；
所以，解得，A正确；
设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以，
则圆锥的高，所以该圆锥的体积，
侧面积为，B正确、C错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，
所以，D正确．
故选ABD．
10．【答案】CD
【详解】对于A，若，则，
所以，或，
即，或，故A错误；
对于B，又，
由于，所以不可能是奇函数，
则的图象不可能关于原点对称，故B错误；
对于C，当时，，满足是正弦函数的增区间的子集，
所以函数在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，所以，
故，所以，
又，即，
所以，都有成立，故D正确．
故选CD．
11．【答案】AD
【详解】因为，又，所以，即，故A正确；
取满足题意，故B C均错误；
取函数满足题意，且为上的增函数，故D正确．
故选AD
12．【答案】16
【详解】由，，
可得：，解得：，
所以.
13．【答案】/
【详解】由，得，
解得，所以，
又因为，且，所以，，所以，
则.
14．【答案】36
【详解】
由题意知抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在，
故设直线的方程为，，，
联立消去，得，，
所以，，
因为，所以，则直线的斜率为，
因，故直线的方程为，即，
也即，联立，消去，得，
所以，即，
设直线与交于点，则，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，所以的面积的最小值为36．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，由正弦定理得．
因为，所以，
即，得到，
又，则，所以．
（2）由（1）知，又，所以，
又的面积为，所以，得到，
在中，由余弦定理，得，
所以，又，所以，
因为，所以．
16．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1），
由题意，得和3是关于的方程的两根，
由韦达定理，得解得
此时．
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意．
综上，．
（2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根，
即关于的方程仅有两个实根．
设，则．
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
且，．
根据题意，得或
解得或．
17．【答案】（1）；
（2）分布列见解析，.
【详解】（1）记事件为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件为“取出的青花瓷是乙烧制的”，
事件为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件为“取出的青花瓷是成品”，
则，，，，，，
所以
．
（2）的所有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 600 1200 1800
数学期望．
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，，
所以，，
所以∽，所以，
因为，所以，所以，
又，，平面，所以平面．
（2）解：因为底面，平面，
所以，
因为，所以，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
因为，，
所以，即，令，可得．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设，，
则，，
设到直线的距离为，则
，
所以当时，，即到直线距离的最小值为．
19．【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
又与的相似比为，所以，解得，
所以的方程为.
（2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，得，
方程的判别式
设，
所以，
故中点的纵坐标为中点的横坐标，
即中点的坐标为.
由，得，
方程的判别式
设，所以，
故中点的纵坐标为中点的横坐标，即中点的坐标为.
所以的中点与的中点重合，所以.
（ii）如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以，所以，，
所以的面积.
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由
得，设，所
以，
所以
同理可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.