云南省临沧地区中学2025届高三高考适应性月考卷（九） 数学试题（含解析）

2025届云南省临沧地区中学高三高考适应性月考卷（九）
数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则( )
A. B. C. D. E. 均不是
5.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.年月日第届杭州亚运会跳水女子米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是( )
A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数
C. 若，则新数据的方差不可能等于原数据方差
D. 若，则新数据的第百分位数可能等于原数据的第百分位数
7.双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点若，且，则直线与的斜率之积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数为常数，且函数为奇函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 当时，方程有且仅有个实根
10.已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是( )
A. 若，则 B. 函数的最小正周期是
C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴
11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则( )
A. 有对称轴
B. 的弦长的最大值为
C. 对内任意一点，均存在过且平分围成区域的面积的直线
D. 的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是，的等差中项，是，的等比中项，则 ．
13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和个黑球，这些小球除颜色外完全相同在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖假设在有放回地连续次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 ．
14.已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆、圆、直线都相切，则圆的半径为 ，若圆与圆、圆、直线都相切，则圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，
求角
点在边上，且，若 从以下三个条件中任选一个，求的最小值．
是边上的高是边上的中线是角的平分线．
16.本小题分
如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点．
证明：平面
若，证明：平面平面
在的条件下，求二面角的余弦值．
17.本小题分
在椭圆中，直线上有两点、点在第一象限，左顶点为，下顶点为，右焦点为．
若，求椭圆的标准方程；
若点的纵坐标为，点的纵坐标为，则与的交点是否在椭圆上？请说明理由；
已知直线与椭圆相交于点，直线与椭圆相交于点，若与关于原点对称，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程．
设函数有两个零点，，且．
求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第轮猜错，则他第轮也猜错的概率为在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．
求第二轮活动中甲乙都猜对成语的概率；
若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵单位为比特，用于量度该条信息的复杂程度试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数的信息熵；
如果“星队”共参加了轮猜成语活动，设在这轮活动中，每轮活动至少有一人猜对成语的轮数为随机变量，求．
答案
1.【答案】
【解析】解：因为，所以．
又，所以．
故选：
2.【答案】
解：，则，
．
故选：
3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
又，所以，解得．
故选：．
4.【答案】
解：，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的奇函数且当时，，
所以在上单调递增，根据奇函数的对称性可知，函数在上单调递增，
又 ，即，
由，可得，
化简可得
所以
故答案选：
6.【答案】
解：对于选项，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，
此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A错误
对于选项，不妨假设，
当时，若随机删去的成绩是，
此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B错误
对于选项，若，即删去的数据恰为平均数，
根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，
此时方差会变大，所以C正确
对于选项，若，即删去的数据恰为平均数，
在按从小到大的顺序排列的个数据中，因为，
此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即，
删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得，
此时新数据的分位数为第三个数，即或，
，，
显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，所以D错误．
故选：．
7.【答案】
解：由双曲线定义可知：
，且，
不妨设，
所以，，
则，，
在中，，
由余弦定理得
，
即，
即，
解得，舍去负值，
在中，由余弦定理得
，
即，
即，结合，
即得，
故得，即，
设，
则，，
而，
．
故选：．
8.【答案】
解：因为，所以为的中点，
则，
同理，
因为，，
所以
，
故
，
因为，，，
所以上式，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，由函数为奇函数，得函数图象的一个对称中心为，
则，解得，B错误；
对于，，的最小正周期为，A正确；
对于，，与的图象有相同的对称轴，C正确；
对于，方程在上的实根个数即为与，
图象交点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，
观察图象知，函数与在上的图象恰有个交点，D正确．
故选：．
10.【答案】
解：根据，得，因此为定义在上的奇函数，
因为是偶函数，得关于对称，
那么直线是图象的对称轴，所以选项D正确；
且，那么，
因此，所以，
因此的周期为，所以选项B错误；
对于选项A，根据，如果，那么，所以选项A正确；
对任意的，，当时，都有，
所以，因此函数在上单调递减，
结合奇函数知，函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
因为关于对称，
因此在上单调递增，所以选项C正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：项，由题意，由，
的反函数为，两者的图象关于对称，
故A正确；
项，
令，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在内有一个零点，
另一个零点为，设，
，故B错误；
项，连接，设的中点为，

设上存在一点，
则点关于点的对称点为，
函数与互为反函数，
在上，
在封闭曲线上，于关于的中点对称，
故在封闭图形中，总存在与任意一点关于的中点对称的点，
使得直线平分封闭图形，
对内任意一点，均存在过且平分围成区域的面积的直线，C正确；
对于，如图，只需考察曲线上的任意一点到距离的最大值即可，
找出过与曲线相切且与平行的点即可，
令，令，故，
到的距离，连接，，
，故D正确．
故选：．
12.【答案】
解：由题设可知：
由是，的等差中项，则，
是，的等比中项，则，
则有可知：，
，，
则将式变形得：，
即，
则．
故答案为：．
13.【答案】
依题意，单次抽奖中奖的概率，
则连续次抽奖中恰好中奖一次的概率，
令，则，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
因此当取最大值时，，而，解得，
所以当取到最大值时的值为．
故答案为：．
14.【答案】
解：由题意得位于圆，构成的曲边三角形内，
这些圆之间的相切均为外切，
且都位于直线的上方，
设的圆心为，半径为，
则根据和相切，则，
再由圆，，的位置关系，
得，
由和相切，
得，
，
，
和，相切，
同理有，
，
，
，
，
，
，
，数列是斐波那契数列，
，，
，．
故答案为：；．
15.【答案】解：由余弦定理知，
，，
由余弦定理可得，则在中，．
选．，
，又，
当且仅当时，等号成立，
，即的最小值为．
选由是边上的中线，知，
，
即，
，即，且，
当且仅当时，等号成立，即．
由余弦定理得，即，
的最小值为．
选．，
，
当且仅当时，等号成立，．
，即，的最小值为．
16.【答案】解：如图，延长，交于点，连接，
因为四边形是矩形，是的中点，所以∽，
所以，所以，分别是，的中点，
又是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
证明：在平面中，，，，
所以，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
如图，取中点，过作于点，连接，，
因为，所以，由可知，平面平面，
又因为平面平面，平面，
所以平面，又，平面，所以，，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
由题意可知，，，所以，
即二面角的余弦值为．

17.【答案】解：由题可得，又，
所以，解得，
所以，
故椭圆的标准方程为；
由，得直线的方程为：，
由，得直线的方程为：，
联立两方程，解得交点为，
代入椭圆方程的左边，得，
故直线与的交点在椭圆上；
由题有，
因为两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设，
直线，则，
直线，则，
所以
设，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，即的最小值为．
18.【答案】解：因为，所以．
因为，
，
所以曲线在处的切线方程为．
解：当时，则，则，则．
当时，则，则，
则．
所以在上单调递减，在上单调递增．
故．
当时，当时，；
因为函数有两个零点，，所以的取值范围为．
证明：先证明恒成立，即证．
构造函数，则，
在上单调递增，在上单调递减，
则，故恒成立，
即中切线始终在曲线的下方．
设直线与的交点为，则，显然．
要证，转换为证，
也就是证，即证．
因为，所以只需证，
即证，其中．
令函数，则，
设
求导．
所以在上单调递增．
因为，所以当时，，单调递增．
当时，，单调递减；
故．
又上述等号不能同时取到，所以恒成立．
综上所述，得证．
19.【答案】解：设 “甲在第轮活动中猜对成语”， “乙在第轮活动中猜对成语”，
“甲乙在第轮活动中都都猜对成语”， ，
则
；
由题意知 ，，，由知 ，
， ，
故的信息熵 ；
设第轮甲猜对的概率为，乙猜对的概率为则，，
，，，即，
，，
，，即，
所以每一轮至少有一人猜对的概率为，
因此，则