甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设点，点，点，若的中点为，则等于（ ）
A． B． C． D．3
3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
4．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上是（　　）
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是单调减函数，在上是单调增函数
D．在上是单调增函数，在上是单调减函数
7．已知的三个顶点坐标分别为，，，则的重心坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A． B．
C． D．
10．函数与函数图象有且仅有一个交点，则实数可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与AC所成角的余弦值为
三、填空题
12．已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .
13．已知函数在上总是单调函数，则a的取值范围是
14．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 .
四、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
16．已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
17．已知空间中三点A（2，0，－2），B（1，－1，－2），C（3，0，－4），设，
（I）若，且，求向量c；
（II）已知向量与互相垂直，求k的值；
（III）求的面积．
18．如图，在直三棱柱中，，棱，点分别是的中点.

(1)求
的模；
(2)求
；
(3)求证：
.
19．设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为．
（1）求的值； （2）求函数的最大值； （3）证明：．
甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D A C B C ABD AB
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．
15．（1）.
（2）
.
（3），则.
16．（1）当时，函数，所以，
令解得：或.
当时，，即函数在上是减函数.当时，，函数在上是增函数.
当时，，函数在上是减函数.
所以当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值为.
（2）函数有三个零点等价于函数与函数的图像有三个公共点.
由（1）可知：当时，，当时，，并且函数的极小值为，极大值为，函数图象如下所示：
所以.即实数的取值范围是.
17．（I），由于，故可设，故，解得，故为或.
（II），，由于与垂直，则.
（III）依题意，，，故由余弦定理得，所以.故三角形面积为.
18．（1）如图，建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系.

依题意得、，；
（2）依题意得、、、，
，，，，，
所以，；
（3）依题意，得、，
，，
，，即；
19．（1）因为，由点在上，可得
因为，所以
又因为切线的斜率为，所以，所以
（2）由（1）可知，
令，即在上有唯一的零点．
在上，，故单调递增；而在上，，单调递减，故在的最大值为．
（3）令，则
在上，，故单调递减，而在上，，单调递增，
故在上的最小值为，所以即，令，得，即所以，即由（2）知，，故所证不等式成立．