【中考押题卷】广东省广州市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷三人教版（含解析）

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广东省广州市2024-2025学年九年级下学期数学中考押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 兴隆台区期末）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2025 二七区校级一模）11月23日，以“玉林香料世界味道”为主题的第二届玉林香料产业博览会圆满落幕．本届香博会规模大、亮点多、层次高，超80万人次逛展，促成签约23个项目，总投资金额大约117亿元．数据117亿元用科学记数法表示为（　　）
A．1.17×109 B．1.17×1010 C．1.17×1011 D．11.7×109
3．（3分）下列几何体中，从左面看不是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2025 江海区一模）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．a3+a3＝a6
C． D．2a6÷a2＝2a3
5．（3分）（2023秋 遂川县期末）商家为了提高某种蔬菜的销售量，最应关注这种蔬菜近期的日销售量的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．（3分）（2025春 庐江县月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则sinB的值为（　　）
A．3 B． C． D．
7．（3分）（2024 石峰区一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数 的图象有一个交点，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）（2021秋 南江县校级期中）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1，例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
9．（3分）（2024秋 婺城区校级期末）如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则该干果盘的半径为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
10．（3分）（2023秋 莲池区校级期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、…，则O2023的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春 五华区校级期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围为 　 　 ．
12．（3分）（2022秋 顺德区期末）某数学兴趣小组选择“利用镜子的反射”测量旗杆高度．如图，小华将镜子放在离旗杆30m的点E处，然后站在点C处，恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合．若小华的眼睛离地面的高度CD＝1.5m，CE＝2m，则旗杆AB的高度是 　 　 ．
13．（3分）（2024 红桥区二模）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个黑球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　 　 ．
14．（3分）（2024秋 临潼区期中）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k＝0有一个根是2，则k＝ 　 　 ．
15．（3分）（2023春 新疆期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝　 　 ．
16．（3分）（2022秋 阳新县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BE，则∠AEB＝　 　 ，BE的长是 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．
18．（4分）（2021秋 鄞州区校级月考）已知：如图，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点O，求证：∠A＝∠B，OD＝OC．
19．（6分）（2025 增城区一模）已知．
（1）化简T；
（2）若点P（a，b）在反比例函数的图象上，求T的值．
20．（6分）（2025 海珠区一模）某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，被调查者从“A：非电动自行车，B：电动自行车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 　 　 名市民，其中“C：公交车”选项的有 　 　 人；扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是 　 　 度；
（2）从B组的甲、乙、丙三个人中随机选择两个人，了解他们使用的电动自行车品牌情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
21．（8分）（2024 东明县一模）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过220元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
22．（10分）（2024 兴隆台区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，AB与CD相交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作⊙O的切线，交DA延长线于点F；
（2）当⊙O的半径为5，sinB时，求CF的长．
23．（10分）（2022秋 龙泉驿区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a）和点B（2，3），分别与y轴，x轴交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点E为反比例函数y（x＞0）上一点（不与点A，B重合），过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当△EFD∽△COD时，求点E坐标．
24．（12分）（2023春 阳新县月考）综合与实践
问题解决：
（1）已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，连接AE．如图1，当点E在BC上时，请判断AE和CF的关系，并说明理由．
问题探究：
（2）如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：；
问题拓展：
（3）将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB＝45°时，若AB＝3，，请求出线段CH的长．
25．（12分）（2023秋 开福区校级期末）定义：若直线l：y＝kx+b与函数G交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，将|AB|叫做函数G在直线l上的弦长，且，其中|xA﹣xB|叫做函数G在直线l上的截距．
（1）求出y＝ax2﹣5ax+6a在x轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
（3）若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数在第一象限交于点A，在第三象限交于B、C两点．
①若B、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出整数a的值；
②若﹣1＜a＜2，求该二次函数在直线BC上的截距的取值范围．
广东省广州市2024-2025学年九年级下学期数学中考押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 兴隆台区期末）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．选项图形是轴对称图形，符合题意；
D．选项图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是关键．
2．（3分）（2025 二七区校级一模）11月23日，以“玉林香料世界味道”为主题的第二届玉林香料产业博览会圆满落幕．本届香博会规模大、亮点多、层次高，超80万人次逛展，促成签约23个项目，总投资金额大约117亿元．数据117亿元用科学记数法表示为（　　）
A．1.17×109 B．1.17×1010 C．1.17×1011 D．11.7×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：117亿＝11700000000＝1.17×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列几何体中，从左面看不是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：圆柱、三棱柱、长方体从左边看都是长方形，
圆锥从左边看是等腰三角形，故B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）（2025 江海区一模）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．a3+a3＝a6
C． D．2a6÷a2＝2a3
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，二次根式的减法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣a2）3＝﹣a6，故A符合题意；
B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、2a6÷a2＝2a4，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）（2023秋 遂川县期末）商家为了提高某种蔬菜的销售量，最应关注这种蔬菜近期的日销售量的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据众数的意义求解即可．
【解答】解：商家为了提高某种蔬菜的销售量，最应关注这种蔬菜近期的日销售量的众数，
故选：B．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数、平均数、中位数及方差的定义．
6．（3分）（2025春 庐江县月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则sinB的值为（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】直接根据一个锐角的正弦值等于对边与斜边的比值即可求解．
【解答】解：由条件可得，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数的定义，正确记忆定义是解题关键．
7．（3分）（2024 石峰区一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数 的图象有一个交点，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得出直线l的解析式，联立，得出一元二次方程，令Δ＝0，即可得出m的值．
【解答】解：由平移可得直线l的解析式为：y＝﹣2x+m，
令﹣2x+m，
整理得，2x2﹣mx+2＝0，
∵直线l与反比例函数 的图象有一个交点，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×2×2＝0，
解得m＝4或m＝﹣4（舍）．
∴m的值为4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等相关知识，得出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）（2021秋 南江县校级期中）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1，例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据新定义运算法则以及一元二次方程根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程1☆x＝0的根的情况为有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
9．（3分）（2024秋 婺城区校级期末）如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则该干果盘的半径为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】过点O作OK⊥AB于点K，连接OA，根据垂径定理得AK＝BKAB＝15（cm），根据正方形的性质得OK＝MKMN＝5（cm），再由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，过点O作OK⊥AB于点K，连接OA，
则AK＝BKAB＝15（cm），
∵AM＝MN＝BNAB＝10（cm），
∴OK＝MKMN＝5（cm），
在Rt△AOK中，由勾股定理得，
OA
5（cm），
∴该干果盘的半径为5cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
10．（3分）（2023秋 莲池区校级期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、…，则O2023的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】规律型：点的坐标；正比例函数的性质；利用平移设计图案；中心对称．
【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】利用函数解析式求出O1的坐标，再分别求出O2，O3的坐标，探究规律后解决问题．
【解答】解：在矩形中，OA＝1，即A（0，1），
∴，，代入中，
得，
解得：，
∴，，
，，
，，
，
，，
即，．
故选：B．
【点评】本题考查规律型﹣点的坐标，矩形的性质平移，正比例函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春 五华区校级期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围为 　x≥﹣2023　 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣2023．
【分析】若代数式 有意义，则x+2023≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x+2023≥0，
解得x≥﹣2023．
故答案为：x≥﹣2023．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
12．（3分）（2022秋 顺德区期末）某数学兴趣小组选择“利用镜子的反射”测量旗杆高度．如图，小华将镜子放在离旗杆30m的点E处，然后站在点C处，恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合．若小华的眼睛离地面的高度CD＝1.5m，CE＝2m，则旗杆AB的高度是 　22.5m　 ．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】22.5m．
【分析】直接利用已知进而得出△ECD∽△EAB，即可得到，据此求出答案即可．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，
∵EF⊥AC，∠DEF＝∠BEF，
∴∠DEC＝∠BEA，
又∵∠ECD＝∠BAC＝90°，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∵CD＝1.5m，CE＝2m，AE＝30m，
∴，
解得：AB＝22.5，
故答案为：22.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
13．（3分）（2024 红桥区二模）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个黑球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　　 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】．
【分析】直接根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵9个球中有2个红球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，理解题意，掌握概率公式是解题的关键．
14．（3分）（2024秋 临潼区期中）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k＝0有一个根是2，则k＝ 　﹣4　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】﹣4．
【分析】将已知根2代入一元二次方程即可求得k的值．
【解答】解：将x＝2代入x2+kx﹣k＝0，得：22+2k﹣k＝0，
解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，理解定义是关键．
15．（3分）（2023春 新疆期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝　　 ．
【考点】矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝3，∠C＝90°，AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA，而∠DAE＝∠BAE，所以∠BAE＝∠BEE，则EB＝AB＝3，所以CE＝BC﹣EB＝1，根据勾股定理得DE，根据三角形的中位线定理得FGDE，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴CD＝AB＝3，∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEE，
∴EB＝AB＝3，
∴CE＝BC﹣EB＝4﹣3＝1，
∴DE，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FGDE，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理得知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（3分）（2022秋 阳新县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BE，则∠AEB＝　30°　 ，BE的长是 　2+2　 ．
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】30°，2+2．
【分析】由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【解答】解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE，
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝CE＝AE＝4，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS），
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°，
在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AFAB＝2，
在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，
∴FEAF＝2，
∴BE＝BF+FE＝2+2，
故答案为：30°，2+2．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；因式分解；运算能力．
【答案】0或．
【分析】设出这个数，利用给定的等量关系列方程，解出即可．
【解答】解：设这个数位x，
则2x2＝7x，
即2x2﹣7x＝0，
则x（2x﹣7）＝0，
解得x＝0，或x．
故这个数为0或．
【点评】本题考查一元二次方程的解法应用，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（4分）（2021秋 鄞州区校级月考）已知：如图，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点O，求证：∠A＝∠B，OD＝OC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】连接CD．只要证明△ADC≌△BCD，可得∠ACD＝∠BDC，推出OD＝OC．
【解答】证明：连接CD，
在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SSS），
∴∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，
∴OD＝OC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．（6分）（2025 增城区一模）已知．
（1）化简T；
（2）若点P（a，b）在反比例函数的图象上，求T的值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值．
【专题】分式；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）T；
（2）2．
【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再除法转化为乘法，然后约分即可；
（2）把P点代入解析式，求得ab＝2，即可求得T＝2．
【解答】解：（1）

，
（2）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，
∴ab＝2，
∴T＝2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
20．（6分）（2025 海珠区一模）某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，被调查者从“A：非电动自行车，B：电动自行车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 　2000　 名市民，其中“C：公交车”选项的有 　800　 人；扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是 　54　 度；
（2）从B组的甲、乙、丙三个人中随机选择两个人，了解他们使用的电动自行车品牌情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）2000；800；54．
（2）．
【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查的人数；用本次调查的人数分别减去A，B，D，E选项的人数，可得“C：公交车”选项的人数；用360°乘以E的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查中，一共调查了500÷25%＝2000（名）居民．
“C：公交车”选项的有2000﹣100﹣300﹣500﹣300＝800（人）．
扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是360°54°．
故答案为：2000；800；54．
（2）列表如下：
甲 乙 丙
甲 （甲，乙） （甲，丙）
乙 （乙，甲） （乙，丙）
丙 （丙，甲） （丙，乙）
共有6种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
21．（8分）（2024 东明县一模）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过220元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）购买一本甲种笔记本需10元，一本乙种笔记本需5元；
（2）至多需要购买20本甲种笔记本．
【分析】（1）设购买一本甲种笔记本需x元，一本乙种笔记本需y元，根据“购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要购买m本甲种笔记本，则购买（35﹣m）本乙种笔记本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过220元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一本甲种笔记本需x元，一本乙种笔记本需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一本甲种笔记本需10元，一本乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买m本甲种笔记本，则购买（35﹣m）本乙种笔记本，
根据题意得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤220，
解得：m≤20，
∴m的最大值为20．
答：至多需要购买20本甲种笔记本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）（2024 兴隆台区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，AB与CD相交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作⊙O的切线，交DA延长线于点F；
（2）当⊙O的半径为5，sinB时，求CF的长．
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）过C点作OC的垂线交DA的延长线于F点；
（2）先证明∠OCB＝∠D得到AD∥OC，再根据切线的性质得到OC⊥CF，所以DF⊥CF，则∠CFD＝90°，接着利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用正弦的定义可计算出AC＝6，然后证明∠ACF＝∠B，于是在Rt△ACF中利用正弦的定义求出AF，从而利用勾股定理可计算出CF．
【解答】解：（1）如图，直线CF为所求；
（2）∵OC平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D，
∴AD∥OC，
∵CF为⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴DF⊥CF，
∴∠CFD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，∵sinB，
∴AC10＝6，
∵∠ACF+∠OCA＝90°，∠OCB+∠OCA＝90°，
∴∠OCB＝∠ACF，
∵∠B＝∠OCB，
∴∠ACF＝∠B，
在Rt△ACF中，∵sin∠ACFsinB，
∴AF6，
∴CF．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质和解直角三角形．
23．（10分）（2022秋 龙泉驿区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，a）和点B（2，3），分别与y轴，x轴交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点E为反比例函数y（x＞0）上一点（不与点A，B重合），过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当△EFD∽△COD时，求点E坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；反比例函数的表达式为y；
（2）E（，）．
【分析】（1）把点B（2，3）代入y得到反比例函数的表达式为y；解方程组得到一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）解方程得到OD＝3，OC＝9设E（a，），根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（2，3）代入y得，3，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式为y；
把点A（1，a）代入y得，a＝6，
∴A（1，6），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）在y＝﹣3x+9中，令x＝0，则y＝9，令y＝0，则x＝3，
∴OD＝3，OC＝9
∵点E为反比例函数y上一点，
∴设E（a，），
∵EF⊥x轴，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠COD＝90°，
当△EFD∽△COD时，有，
∴，
解得a（负值舍去），
∴E（，）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
24．（12分）（2023春 阳新县月考）综合与实践
问题解决：
（1）已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，连接AE．如图1，当点E在BC上时，请判断AE和CF的关系，并说明理由．
问题探究：
（2）如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：；
问题拓展：
（3）将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB＝45°时，若AB＝3，，请求出线段CH的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AE＝CF，AE⊥CF，理由见解答；
（2）证明见解答；
（3）线段CH的长为21或21．
【分析】（1）延长AE交CF于点G，由正方形的性质得AB＝CB，∠ABE＝90°，因为BE＝BF，∠EBF＝90°，所以∠ABE＝∠CBF＝90°，可证明△ABE≌△CBF，得BE＝CF，∠BAE＝∠BCF，则∠BCF+∠CEG＝∠BAE+∠AEB＝90°，即可证明AE⊥CF；
（2）在AH上截取AL＝CH，连接BL，先证明△ABE≌△CBF，得∠BAE＝∠BCF，再证明△BAL≌△BCH，得BL＝BH，∠ABL＝∠CBH，可推导出∠LBH＝∠ABC＝90°，则LHBH，所以AH﹣CH＝AH﹣AL＝LH＝BH；
（3）分两种情况，一是∠CFB＝45°，且点F在直线BC右侧，可证明点E在CF上，点H与点E重合，作BN⊥CF于点N，则EF，BN＝EN＝FN，所以CN2，则CH＝CE＝21；二是∠CFB＝45°，且点F在直线BC左侧，可证明△ABE≌△CBF，得∠BAE＝∠BCF，AE＝CF，进而证明∠AFC＝90°，则∠AFC+∠CFB+∠BFE＝180°，所以点F在AE上，点H与点F重合，作BQ⊥AE于点Q，可求得BQ＝FQ＝EQ＝1，AQ2，则CH＝CF＝AE＝21．
【解答】（1）解：AE＝CF，AE⊥CF，
理由：如图1，延长AE交CF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BC上，
∴AB＝CB，∠ABE＝90°，
∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF＝90°，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝CF，∠BAE＝∠BCF，
∵∠AEB＝∠CEG，
∴∠BCF+∠CEG＝∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CGE＝90°，
∴AE⊥CF.
（2）证明：如图2，在AH上截取AL＝CH，连接BL，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°﹣∠CBE，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BAL＝∠BCH，
∴△BAL≌△BCH（SAS），
∴BL＝BH，∠ABL＝∠CBH，
∴∠LBH＝∠LBC+∠CBH＝∠LBC+∠ABL＝∠ABC＝90°，
∴LHBH，
∴AH﹣AL＝LHBH，
∴AH﹣CHBH．
（3）解：当∠CFB＝45°，且点F在直线BC右侧时，如图3，
∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠EFB＝∠FEB＝45°，
∴∠EFB＝∠CFB，
∴点E在CF上，点H与点E重合，
作BN⊥CF于点N，则∠BNF＝∠BNC＝90°，
∵BC＝AB＝3，BF＝BE，
∴EF2，
∴BN＝EN＝FNEF＝1，
∴CN2，
∴CH＝CE＝CN﹣EN＝21；
当∠CFB＝45°，且点F在直线BC左侧时，如图4，设CF与AB交于点P，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°+∠ABF，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，AE＝CF，
∵∠APF＝∠BPC，
∴∠BAE+∠APF＝∠BCF+∠BPC＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC+∠CFB+∠BFE＝180°，
∴点F在AE上，点H与点F重合，
作BQ⊥AE于点Q，则∠BQE＝∠BQA＝90°，
∵AB＝3，BQ＝FQ＝EQEF＝1，
∴AQ2，
∴CH＝CF＝AE＝AQ+EQ＝21，
综上所述，线段CH的长为21或21．
【点评】此题是四边形的综合题，重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25．（12分）（2023秋 开福区校级期末）定义：若直线l：y＝kx+b与函数G交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，将|AB|叫做函数G在直线l上的弦长，且，其中|xA﹣xB|叫做函数G在直线l上的截距．
（1）求出y＝ax2﹣5ax+6a在x轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
（3）若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数在第一象限交于点A，在第三象限交于B、C两点．
①若B、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出整数a的值；
②若﹣1＜a＜2，求该二次函数在直线BC上的截距的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；新定义；推理能力．
【答案】（1）1；
（2）y＝±x；
（3）①39或12或﹣3或0；②|xB﹣xC|＜4．
【分析】（1）令y＝ax2﹣5ax+6a＝0，解得：x＝2或3，即可求解；
（2）联立直线和抛物线的表达式得：kxx2，即x2﹣2kx﹣1＝0，则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，由弦长公式即可求解；
（3）①联立两个函数表达式并整理得：（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，两个函数在第三象限交于B、C两点，则x2+（a+18）x+56＝0，即可求解；
②由①知，xB+xC＝﹣（a+18），xBxC＝56，由截距的公式即可求解．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣5ax+6a＝0，
解得：x＝2或3，
则截距＝|3﹣2|＝1；
（2）设直线的表达式为：y＝kx，
联立直线和抛物线的表达式得：kxx2，即x2﹣2kx﹣1＝0，
则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
则弦长|x1﹣x2|8，
解得：k＝±，
则直线的表达式为：y＝±x；
（3）①联立两个函数表达式得：x2+（a+17）x+38﹣a，
整理得：（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，
∵两个函数在第三象限交于B、C两点，则x2+（a+18）x+56＝0，
∵若B、C两点的横纵坐标均为整数，
则x＝﹣1或﹣56，则a+18＝57，解得：a＝39；
则x＝﹣2或﹣28，则a+18＝30，解得：a＝12；
则x＝﹣4或﹣14，则a+18＝18，解得：a＝0；
则x＝﹣7或﹣8，则a+18＝15，解得：a＝﹣3；
综上，a＝39或12或﹣3或0；
②由①知，xB+xC＝﹣（a+18），xBxC＝56，
设二次函数在直线BC上的截距＝|xB﹣xC|，
∵﹣1＜a＜2，
则|xB﹣xC|＜4．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，综合性强，难度适中．
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