【中考押题卷】广东省广州市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷一人教版（含解析）

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广东省广州市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024 杭州模拟）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：200±5ml”．随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（　　）
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量/ml 190 195 203 200
A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味
2．（3分）（2023春 兴宁区校级月考）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
3．（3分）（2022秋 易县期中）中国的陆地面积约为9600000km2，领水面积约为370000km2，用科学记数法表示上述两个数字的和为（　　）
A．9.97×106 B．9.637×106 C．9.97×105 D．9.637×105
4．（3分）（2024春 二七区月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．不相交的两条直线平行
B．相等的角是对顶角
C．如果∠a＝48°32′，那么∠a余角的度数为41.28°
D．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣2a2）3＝8a4
C．a3÷a2＝a D．2a2+a2＝3a4
6．（3分）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率
7．（3分）（2024春 惠阳区期中）连接对角线相等四边形各边的中点得到的是什么四边形？（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
8．（3分）（2023秋 义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）（2017秋 华容县期末）方程：1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣4
C．x1＝1，x2＝﹣4 D．x＝4
10．（3分）（2023春 太原期中）如图，一次函数y＝kx﹣1与y＝﹣x+3的图象都经过点P（2，1），则不等式kx﹣1≥﹣x+3的解集为（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x≥1 D．x≤1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022 台山市校级一模）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是 　 　 ，中位数是 　 　 ．
12．（3分）已知关于x的不等式4x﹣a≥﹣5的解集如图所示，则a的值是 　 　 ．
13．（3分）（2024 江西模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　 ．
14．（3分）已知两个分式A，B，那么A+B＝　 　 ．
15．（3分）（2024 溧阳市一模）如图，以菱形ABCD的顶点B为圆心，边长AB为半径作圆，经过顶点D，点E、F分别在弧AD、弧DC上，且∠EBF＝60°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　 .
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）计算：（）﹣1﹣20210+|﹣4|﹣tan60°．
17．（9分）（2024春 嘉定区期末）已知∠α、∠β．
（1）作∠AOB，使∠AOB＝∠α﹣2∠β；
（2）作∠AOB的平分线OC．
18．（9分）（2024春 沙坪坝区校级期中）如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线AO直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①A﹣C﹣D﹣O；线路②A﹣B﹣O．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西30°方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东30°方向．（参考数据：，）
（1）求CD的长度；（结果保留根号）
（2）受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O．
19．（9分）（2025春 沙坪坝区校级月考）为了了解学生的视力健康情况，某校从七、八年级各随机抽取了20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行了整理和分析，得到下列信息：（视力情况共分为4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C.4.6≤视力≤4.8，
中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良）
抽取的20名七年级学生的视力情况数据为：4.9，4.9，4.7，4.8，4.7，4.8，5.0，5.1，5.1，5.2，4.9，4.9，4.9，4.8，4.8，4.5，4.5，4.8，5.0，4.6；
抽取的八年级学生的视力情况在C组的数据为：4.8，4.8，4.8，4.7，4.8，4.8，4.7，4.8；
抽取的七、八年级学生的视力情况数据统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 4.85 4.9 a
八年级 4.85 b 4.8
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级学生的视力情况谁更健康？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生500人，请估计两个年级学生中视力正常的人数共有多少人？
20．（9分）（2024秋 西城区校级期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4
根据以上数据，回答下列问题：
①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是 　 　 m；
②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球 　 　 （填“是”或“否”）可以过网；
③求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+5.2．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75m时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，则d2﹣d1　 　 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
21．（9分）（2024 济宁一模）如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：BD∥CP；
（2）若 cosP，BD＝24，求BP的长．
22．（9分）（2023秋 开平市校级期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是边CD的中点，P（与点B，C不重合）是边BC上一动点，连接AP，PE，延长PE交AD的延长线于点Q．
（1）求证：△PCE≌△QDE．
（2）当△QDE∽△ABP时，求BP的长．
（3）如图2，分别取PA，PE，AD的中点F，G，H，连接FG，FH，GH，当FG⊥FH时，求BP的长和△FGH的面积．
23．（12分）（2024 驿城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A和点B（1，﹣2）为顶点，分别作矩形ACOD和矩形BEOF，点C，E在x轴上，点D，F在y轴上，以点O为圆心，OF的长为半径作，交BE于点G，连接AO，OG．
（1）求k的值；
（2）求∠FOG的度数；
（3）求图中阴影部分的面积．
广东省广州市2024-2025学年九年级下学期数学中考押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024 杭州模拟）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：200±5ml”．随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（　　）
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量/ml 190 195 203 200
A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味
【考点】正数和负数；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意，可得取值范围为（200﹣5）ml～（200+5）ml，即195ml～205ml，由此即可求解．
【解答】解：根据包装上标明“净含量：200±5ml”可得，最少为200﹣5＝195ml，最多为200+5＝205ml，
∴净含量的取值范围为195ml～205ml，
∴原味190＜195，不合格，
故选：A．
【点评】本题考查了正负数，有理数的加减运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
2．（3分）（2023春 兴宁区校级月考）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
3．（3分）（2022秋 易县期中）中国的陆地面积约为9600000km2，领水面积约为370000km2，用科学记数法表示上述两个数字的和为（　　）
A．9.97×106 B．9.637×106 C．9.97×105 D．9.637×105
【考点】科学记数法—表示较大的数；有理数的加法．
【专题】实数；数感；符号意识．
【答案】A
【分析】先求和9600000+370000，再用科学记数法表示即可．
【解答】解：∵9600000+370000＝9970000，
∴9970000＝9.97×106；
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法与有理数的加法运算，熟练掌握科学记数法的表示形式（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数）是解答此题的关键．
4．（3分）（2024春 二七区月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．不相交的两条直线平行
B．相等的角是对顶角
C．如果∠a＝48°32′，那么∠a余角的度数为41.28°
D．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
【考点】平行线的判定与性质；度分秒的换算；余角和补角；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平面内直线的位置关系，对顶角的定义，度分秒的进制，余角与补角的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A．同一平面内，不相交的两条直线平行，故A不符合题意；
B．相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意；
C．如果∠a＝48°32′，那么∠a余角的度数为41°28′，故C不符合题意；
D．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平面内直线的位置关系，对顶角的定义，度分秒的换算，余角与补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣2a2）3＝8a4
C．a3÷a2＝a D．2a2+a2＝3a4
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
B、原式＝﹣8a6，不符合题意；
C、原式＝a，符合题意；
D、原式＝3a2，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
6．（3分）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为，故此选不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选不符合题意；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选不符合题意；
D、从一装有2个红球和1个黄球的袋子中任取一球，取到黄球的概率是：0.33，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法和概率公式，解题关键是掌握i频率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2024春 惠阳区期中）连接对角线相等四边形各边的中点得到的是什么四边形？（　　）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】作四边形ABCD中，使AC＝BD，令E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，由三角形的中位线定理得EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，则EF∥GH，EF＝GH，可证明四边形EFGH是平行四边形，由EFAC，EHBD，且AC＝BD得EF＝EG，则四边形EFGH是菱形，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EFAC，
同理GH∥AC，GHAC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EHBD，
∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，根据三角形的中位线定理及AC＝BD推导出EF＝GH是解题的关键．
8．（3分）（2023秋 义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】根据函数解析式求出抛物线对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质求判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣mx2+2mx+4的对称轴为直线x1，
∵m＞0，
∴抛物线开口向下，
∴x＝1时，y2最大，
∵1﹣（﹣2）＝3＞3﹣1＝2，
∴y3＞y1，
∴y1，y2，y3的大小关y1＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质．
9．（3分）（2017秋 华容县期末）方程：1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣4
C．x1＝1，x2＝﹣4 D．x＝4
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：1，
6﹣3（x+1）＝x2﹣1，
解得：x＝﹣4或x＝1，
检验：当x＝1时，x2﹣1＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
当x＝﹣4时，x2﹣1≠0，
∴x＝﹣4是原方程的根，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
10．（3分）（2023春 太原期中）如图，一次函数y＝kx﹣1与y＝﹣x+3的图象都经过点P（2，1），则不等式kx﹣1≥﹣x+3的解集为（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x≥1 D．x≤1
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；几何直观．
【答案】A
【分析】根据函数图象可知：当x＞2时，一次函数y＝kx﹣1的图象在y＝﹣x+3的图象的上方，然后即可写出不等式kx﹣1≥﹣x+3的解集．
【解答】解：由图象可得，
当x＞2时，一次函数y＝kx﹣1的图象在y＝﹣x+3的图象的上方，
∴不等式kx﹣1≥﹣x+3的解集为x≥2，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022 台山市校级一模）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是 　1　 ，中位数是 　1　 ．
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】1；1．
【分析】根据众数和中位数的定义即可求解．
【解答】解：从统计图中得知：从星期日到星期六的每天用水量分别为：2，1，0.5，1.5，1，1.5，1（单位：t）．
出现次数最多的数字是1，即可众数是1．
将其按从小到大顺序排列为：0.5，1，1，1，1.5，1.5，2，
位于中间的数字为1，即中位数是1．
故答案为：1；1．
【点评】本题考查的是众数和中位数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
12．（3分）已知关于x的不等式4x﹣a≥﹣5的解集如图所示，则a的值是 　﹣3　 ．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥﹣2，求得a的值．
【解答】解：移项得，4x≥a﹣5，
化系数为1得，x，
由数轴知x≥﹣2，所以2，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
13．（3分）（2024 江西模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 　m　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4m≥0，
∴m，
故答案为：m．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥0是解题的关键．
14．（3分）已知两个分式A，B，那么A+B＝　0　 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用分式的加减运算的法则进行运算即可．
【解答】解：∵A，B，
∴A+B
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（3分）（2024 溧阳市一模）如图，以菱形ABCD的顶点B为圆心，边长AB为半径作圆，经过顶点D，点E、F分别在弧AD、弧DC上，且∠EBF＝60°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　4　 .
【考点】扇形面积的计算；菱形的性质；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】4．
【分析】根据菱形的性质，正三角形的判断和性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝DB＝BE＝FB＝CB，
∴△ABD，△BCD是正三角形，
∴∠ABD＝60°＝∠EBF，即∠ABE+∠DBE＝∠DBF+∠DBE，
∴∠AOE＝∠DBF，
S阴影部分＝S扇形ABD﹣S△ABD
4×（4）
4．
故答案为：4．
【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法，菱形的性质以及正三角形的判断和性质是正确解答的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）计算：（）﹣1﹣20210+|﹣4|﹣tan60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2+3．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（）﹣1﹣20210+|﹣4|﹣tan60°
＝3﹣1+4
＝2+3．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（9分）（2024春 嘉定区期末）已知∠α、∠β．
（1）作∠AOB，使∠AOB＝∠α﹣2∠β；
（2）作∠AOB的平分线OC．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）先作射线OD，再作∠AOD＝∠α，然后作∠EOD＝∠β，∠BOE＝∠β，则∠AOB即为所求；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可．
【解答】解：（1）如图所示，∠AOB即为所求；
（2）解：如图所示，OC即为所求．
【点评】本题主要考查了基本作图，掌握基本作图是解题的关键．
18．（9分）（2024春 沙坪坝区校级期中）如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线AO直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①A﹣C﹣D﹣O；线路②A﹣B﹣O．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西30°方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东30°方向．（参考数据：，）
（1）求CD的长度；（结果保留根号）
（2）受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）CD的长度为（1010）米；
（2）选择线路①能更快挖掘到古物O．
【分析】（1）过点O作OE⊥CD交CD的延长线于点E，在RtODE中求出OE，DE，再在RtOCE中求出CE，OC，进而求出CD的抽到；
（2）由（1）可求出AC+CD+OD，证明△OBC是等边三角形，从而可求出AB+BO的长度，进而根据路程÷速度求出选择两条线路挖掘所用的时间，再比较即可解决问题．
【解答】解：（1）过点O作OE⊥CD交CD的延长线于点E，如图，
在Rt△ODE中，
∵OD＝20米，∠ODE＝45°，
∴OE＝OD sin45°＝2010（米），
DE＝OD cos45°＝2010（米），
在Rt△OCE中，
∵OE＝10米，∠OCE＝30°，
∴OC20（米），
CE（米），
∴CD＝CE﹣DE＝1010（米），
答：CD的长度为（1010）米；
（2）由题意，知∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC＝20米≈28.2米，
∴AC+CD+OD＝10+101020≈40.4（米），
AB+BO＝BC﹣AC+BO≈28.2﹣10+28.2＝46.4（米），
∵线路①挖掘的平均速度为3米/小时，
∴线路①挖掘需要时间为：40.4÷3≈13.47（小时），
∵线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，
∴线路②挖掘需要时间为：46.4÷3.2＝14.5（小时），
∵13.47＜14.5，
∴选择线路①能更快挖掘到古物O．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，理解题意，将问题转化为解直角三角形问题是解题的关键．
19．（9分）（2025春 沙坪坝区校级月考）为了了解学生的视力健康情况，某校从七、八年级各随机抽取了20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行了整理和分析，得到下列信息：（视力情况共分为4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C.4.6≤视力≤4.8，
中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良）
抽取的20名七年级学生的视力情况数据为：4.9，4.9，4.7，4.8，4.7，4.8，5.0，5.1，5.1，5.2，4.9，4.9，4.9，4.8，4.8，4.5，4.5，4.8，5.0，4.6；
抽取的八年级学生的视力情况在C组的数据为：4.8，4.8，4.8，4.7，4.8，4.8，4.7，4.8；
抽取的七、八年级学生的视力情况数据统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 4.85 4.9 a
八年级 4.85 b 4.8
（1）填空：a＝　4.9　 ，b＝　4.8　 ，m＝　25　 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级学生的视力情况谁更健康？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生500人，请估计两个年级学生中视力正常的人数共有多少人？
【考点】众数；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）4.9，4.8，25；（2）七年级学生的视力情况谁更健康，理由见解答；（3）225人．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出a和b的值，根据扇形统计图分别求出A、C、D组人数，然后计算m即可；
（2）分别根据平均数，中位数和众数的意义分析即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）被抽取的20名七年级学生的视力情况中，4.9出现的次数最多，故众数a＝4.9；
把被抽取的20名八年级学生的视力从小到大排列，排在中间的两个数分别是4.8，4.8，故中位数b4.8；
八年级C组所占百分比为：40%，故m%＝1﹣10%﹣40%﹣25%＝25%，即m＝25．
故答案为：4.9，4.8，25；
（2）七年级学生的视力情况谁更健康，理由如下：
从平均数来看，两个班一样，从众数和中位数来看，七年级学生的视力健康情况总体更好一些，综上，七年级学生的视力情况谁更健康；
（3）400500×25%＝225（人），
答：估计两个年级学生中视力正常的人数大约共有225人．
【点评】本题考查了扇形统计图，众数，中位数，算术平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数、平均数定义是解题的关键．
20．（9分）（2024秋 西城区校级期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4
根据以上数据，回答下列问题：
①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是 　4　 m；
②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球 　是　 （填“是”或“否”）可以过网；
③求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+5.2．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75m时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，则d2﹣d1　＞　 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）①4；②是；③y＝﹣0.25（x﹣4）2+5；
（2）＞．
【分析】（1）①由表中数据直接可以得出结论；
②由表中数据直接可以得出结论；
③用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝2.4分别代入（1）、（2）解析式求出d1和d2即可．
【解答】解：（1）①由表格中数据知，当x＝3和x＝5时，y＝4.75，
∴对称轴为x＝4，顶点坐标为（4，5），
∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是4m，
故答案为：4；
②∵当x＝5时，y＝4.75＞1.55，
∴羽毛球是可以过网，
故答案为：是；
③∵h＝4，k＝5，
∴y＝a（x﹣4）2+5，
把x＝0，y＝1代入解析式得，a（0﹣4）2+5＝1，
解得a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣4）2+5；
（2）在第一次接球中，当y＝2.75时，
则﹣0.25（x﹣4）2+5＝2.75，
解得x1＝7，x2＝1，
∵接球时球越过球网，
∴d1＝7，
在第二次接球中，当y＝2.75时，
则﹣0.2（x﹣4.5）2+5.2＝2.75，
解得x1＝1，x2＝8，
∵接球时球越过球网，
∴d2＝8，
∴d2﹣d1＝8﹣7＝1＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．
21．（9分）（2024 济宁一模）如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：BD∥CP；
（2）若 cosP，BD＝24，求BP的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）10．
【分析】（1）连接OC，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到OC⊥BD，接着利用切线的性质得OC⊥PC，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）先利用BD∥PC得到∠ABD＝∠P，所以cos∠ABD＝cosP，再根据圆周角定理得∠ADB＝90°，则利用余弦的定义可求出AB＝30，所以OB＝OC＝15，接着在Rt△OCP中利用余弦的定义得到cosP，于是设PC＝4x，PO＝5x，则OC＝3x＝15，求出x得到OP＝25，然后计算OP﹣OB即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴，
∴OC⊥BD，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴BD∥CP；
（2）解：∵BD∥PC，
∴∠ABD＝∠P，
∴cos∠ABD＝cosP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD，
∴ABBD24＝30，
∴OB＝OC＝15，
∵OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
在Rt△OCP中，∵cosP，
∴设PC＝4x，PO＝5x，
∴OC＝3x，
即3x＝15，
解得x＝5，
∴OP＝5x＝25，
∴BP＝OP﹣OB＝25﹣15＝10．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
22．（9分）（2023秋 开平市校级期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是边CD的中点，P（与点B，C不重合）是边BC上一动点，连接AP，PE，延长PE交AD的延长线于点Q．
（1）求证：△PCE≌△QDE．
（2）当△QDE∽△ABP时，求BP的长．
（3）如图2，分别取PA，PE，AD的中点F，G，H，连接FG，FH，GH，当FG⊥FH时，求BP的长和△FGH的面积．
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BP＝4或2；
（3）BP；S△PGH．
【分析】（1）根据中点的定义和ASA证明△PCE与△QDE全等即可；
（2）根据相似三角形的性质和全等三角形的性质得出比例式解答即可；
（3）根据三角形中位线定理得出FGAE，FG∥AE，FH∥PD，FHPD，进而利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
点Q在AD的延长线上，
∴∠CDQ＝∠ADC＝∠C＝90°，
∵∠CEP＝∠DEQ，
在△PCE与△QDE中，
，
∴△PCE≌△QDE（ASA）；
（2）解：∵△QDE∽△ABP，
∴，
∵△PCE≌△QDE，
∴PC＝QD，CE＝DE，
∴，
设BP＝x，则CP＝6﹣x，
即，
解得：x＝4或2，
∴BP＝4或2；
（3）解：连接AE，PD，交点为O，如图2，
∵F、G、H分别为PA、PE、AD的中点，
∴FGAE，FG∥AE，FH∥PD，FHPD，
∵FG⊥FH，
∴AE⊥PD，
在△AOD中，∠EAD+∠ADO＝90°，
∵∠CDP+∠ADO＝90°，
∴∠EAD＝∠CDP，
∵∠ADC＝∠BCD，
∴△ADE∽△DCP，
∴，
即，
可得：DPAE，
在Rt△ADE中，AD＝6，DE＝2，
∴，
∴DP，
∴
，
在△DPC中，DP2＝CD2+CP2，
即，
解得：PC，
∴BP＝BC﹣CP＝6．
【点评】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答．
23．（12分）（2024 驿城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A和点B（1，﹣2）为顶点，分别作矩形ACOD和矩形BEOF，点C，E在x轴上，点D，F在y轴上，以点O为圆心，OF的长为半径作，交BE于点G，连接AO，OG．
（1）求k的值；
（2）求∠FOG的度数；
（3）求图中阴影部分的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）﹣2；
（2）30°；
（3）3．
【分析】（1）把点B的坐标代入反比例函数的解析式，进而求得结果；
（2）在Rt△EOG中，OE＝1，OG＝OF＝2，从而求得∠OGE的度数，进而求得结果；
（3）求出矩形的面积和扇形FOG的面积，进一步求得结果．
【解答】解：（1）把x＝1，y＝﹣2代入y得，
﹣2，
∴k＝﹣2；
（2）在Rt△EOG中，OE＝1，OG＝OF＝2，
∴sin∠EGO，
∴∠EGO＝30°，
∵四边形OEBF是矩形，
∴OF∥EB，
∴∠FOG＝∠EGO＝30°；
（3）∵S矩形BFOE＝OE OF＝2，S扇形FOG，S△AOD＝1，
∴S阴影＝21＝3．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，扇形的面积公式，锐角三角函数函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
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