【中考押题卷】广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷一北师大版（含解析）

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广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 兴宁区校级月考）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2025 尤溪县一模）我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（　　）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
3．（3分）（2023 呼和浩特）下列运算正确的是（　　）
A． B．（a2）3＝a5
C． D．4a2 a＝4a3
4．（3分）（2024秋 青山区校级期中）下列说法：（1）顺次连接矩形四边的中点得到的四边形是菱形；（2）若一元二次方程x2﹣4﹣m＝0有两个相等实数根，则反比例函数的图象不经过第一、三象限；（3）两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例；（4）若△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，则S△ABC＝4S△DEF；（5）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则BC；（6）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，y1＜y2＜y3．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（3分）（2025 威远县校级模拟）函数中自变量x的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）（2024秋 宁阳县期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2024秋 宝安区校级期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　）
A．5cm B． C． D．8cm
8．（3分）（2024 西湖区三模）如图，在 ABCD中，，∠DAB，∠ABC的平分线分别交CD于点E，F，AE与BF交于点G．若DF＝3，EF＝2，AG＝kGE，则k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2023 恩施市校级模拟）因式分解：﹣36x3+4x＝　 　 ．
10．（3分）（2024秋 兴化市期中）已知一组数据3，4，n，6，9，它们的中位数是5，则n＝　 　 ．
11．（3分）（2024秋 新兴县期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交于AB点D，交⊙O于点C，CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径长为　 　 ．
12．（3分）（2025 淮安区校级一模）如图，由两个正方形组成的矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，已知OA＝4，OB＝3，点D在反比例函数的图象上，则k＝　 　 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点．将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F．连接B'D，则B'D的最小值是 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（7分）（2023 吴川市二模）计算：tan245°﹣2cos60°+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
15．（9分）（2025 广安模拟）为了解广安市民对共享单车的使用情况，小月以问卷的形式，对部分广安市民某天的骑行时间t（分）进行了随机调查，将获得的数据分成四组（A：0＜t≤30；B：30＜t≤60；C：60＜t≤120；D：t＞120），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求参与本次随机调查的市民共有　 　 人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为　 　 ；
（2）补全条形统计图；
（3）小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
16．（9分）（2024秋 漳州期中）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：
已知某矩形长为4，宽为3，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）
图1菱形的面积为：　 　 ；图2菱形的面积为：　 　 ．图3菱形的面积为：　 　 ．
17．（9分）（2022 巧家县二模）小洪从批发市场购进A，B两种材料用于手工制作，进行“爱心义卖”．若每个A种材料的进价比每个B种材料的进价少2元，且用160元购进A种材料的数量与用200元购进B种材料的数量相等，一个甲种手工艺品需要一个A种材料，一个乙种手工艺品需要一个B种材料．
（1）求A，B两种材料单个的进价．
（2）若购买的材料可以制作甲、乙两种手工艺品共56个，甲的售价是24元/个，乙的售价是30元/个，在甲种手工艺品制作数量不少于18个的情况下，如何安排制作方案可使所获利润最大？
18．（9分）（2024 沙洋县模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
19．（9分）（2024 金凤区校级二模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且CM＝DN，已知tan∠ACD．
（1）以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离．
20．（9分）（2023 通榆县三模）【探究问题】阅读并补全解题过程
如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AB的中点，CE⊥DE，求证：DE平分∠ADC．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据该同
学的做法补全证明过程．
证明：延长DE交射线CB于点F．
【应用】如图②，在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，直接写出∠AFB的度数；
【拓展】如图③，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．
广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 兴宁区校级月考）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
2．（3分）（2025 尤溪县一模）我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（　　）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12500000＝1.25×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2023 呼和浩特）下列运算正确的是（　　）
A． B．（a2）3＝a5
C． D．4a2 a＝4a3
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的性质与化简．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式及整式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：3与无法合并，则A不符合题意；
（a2）3＝a6，则B不符合题意；
7，则C不符合题意；
4a2 a＝4a3，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式与整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（3分）（2024秋 青山区校级期中）下列说法：（1）顺次连接矩形四边的中点得到的四边形是菱形；（2）若一元二次方程x2﹣4﹣m＝0有两个相等实数根，则反比例函数的图象不经过第一、三象限；（3）两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例；（4）若△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，则S△ABC＝4S△DEF；（5）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则BC；（6）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，y1＜y2＜y3．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】黄金分割；根的判别式；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的判定；矩形的性质；中点四边形．
【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】利用中点四边形的性质，黄金分割的定义，反比例函数的性质，根的判别式，菱形的判定矩形的性质一一判断即可．
【解答】解：（1）顺次连接矩形四边的中点得到的四边形是菱形．正确；
（2）∵一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，
∴16+4m＝0，
∴m＝﹣4，
∴反比例函数y的图象不经过第一、三象限．正确；
（3）两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例．正确；
（4）∵△ABC～△DEF，且AB＝2DE，
∴（）2＝4，
∴S△ABC＝4S△DEF．正确；
（5）∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，
∴ACAB1，
∴BC＝2﹣（．正确；
（6）∵点A（﹣1，y1）、B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，
∴y1＝1，y2＝﹣1，y3，
∴y1＞y3＞y2．错误．
故选：D．
【点评】本题考查黄金分割，反比例函数的性质，菱形的判定，矩形的性质，中点四边形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（3分）（2025 威远县校级模拟）函数中自变量x的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x的取值范围，然后再判断．
【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
∴x≤3，
∴只有3符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数大于或等于0列出不等式是解题的关键．
6．（3分）（2024秋 宁阳县期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可．
【解答】解：设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程：
，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
7．（3分）（2024秋 宝安区校级期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　）
A．5cm B． C． D．8cm
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可．
【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，
∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，
∴∠CEF＝∠GFI，
∵∠ECF＝∠FIG＝90°，
∴△GIF∽△FCE，
∴，
即，
∴CE＝4FI，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，
解得FI或FI＝0（舍去），
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键．
8．（3分）（2024 西湖区三模）如图，在 ABCD中，，∠DAB，∠ABC的平分线分别交CD于点E，F，AE与BF交于点G．若DF＝3，EF＝2，AG＝kGE，则k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，再证∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，推出DE＝CF＝5，求出AB＝CD＝8，然后证△ABG∽△EFG，得出4，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，
∵AE是∠DAB的平分线、BF是∠ABC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，
∴AD＝DE，BC＝CF，
∴DE＝CF＝DF+EF＝3+2＝5，
∴AB＝CD＝DE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△EFG，
∴4，
∴AG＝4GE，
∴k＝4，
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的定义、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2023 恩施市校级模拟）因式分解：﹣36x3+4x＝　﹣4x（3x+1）（3x﹣1）　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】﹣4x（3x+1）（3x﹣1）．
【分析】依据题意，由因式分解的一般方法进行运算可以得解．
【解答】解：﹣36x3+4x
＝﹣4x（9x2﹣1）
＝﹣4x（3x+1）（3x﹣1）．
故答案为：﹣4x（3x+1）（3x﹣1）．
【点评】本题主要考查了因式分解的知识点，需要熟练掌握因式分解的一般步骤和常见方法是关键．
10．（3分）（2024秋 兴化市期中）已知一组数据3，4，n，6，9，它们的中位数是5，则n＝　5　 ．
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】5．
【分析】根据中位数的定义可得将这组数据按从小到大进行排序后，即可求解．
【解答】解：一组数据3，4，n，6，9，它们的中位数是5，
根据中位数的定义可知：n＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．
11．（3分）（2024秋 新兴县期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交于AB点D，交⊙O于点C，CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径长为　2.5　 ．
【考点】切线长定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】2.5．
【分析】证明△OAP≌△OBP（SSS）得出∠AOP＝∠BOP，三线合一得出OP⊥AB，设⊙O的半径长为r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣1，在Rt△AOD中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：由题意可得：PA＝PB，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OA＝OB，
∴AD＝DB＝2，OP⊥AB，
设⊙O的半径长为r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣1，
AO2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了切线长定理；全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
12．（3分）（2025 淮安区校级一模）如图，由两个正方形组成的矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，已知OA＝4，OB＝3，点D在反比例函数的图象上，则k＝　11　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】11．
【分析】作DE⊥y轴于E，证明△AOB∽△DEA，得AEOB，DEOA＝2，可得点D的坐标，再将点D代入反比例函数解析式可得答案．
【解答】解：作DE⊥y轴于E，
∵两个正方形组成的矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，
∴AB＝2AD，∠DAB＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAE，
∴△AOB∽△DEA，
∴，
∵OA＝4，OB＝3，
∴AEOB，DEOA＝2，
∴OE＝OA+AE＝4，
∴D（2，），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k＝211，
故答案为：11．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求得顶点D的坐标是解题的关键．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点．将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F．连接B'D，则B'D的最小值是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】44．
【分析】由E是AB边的中点，求得AE＝BEAB＝4，根据勾股定理求得DE＝4，再根据两点之间线段最短得BD+4≥4，则 B'D≥44，即可求得B'D的最小值是44，得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴∠A＝90°，
∵E是AB边的中点，
AE＝BEAB＝4，
∴，
由折叠得B'E＝BE＝4，
∵B'D+B'E≥DE，
∴B'D+4≥4，
∴B'D，
．B'D的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用、两点之间线段最短等知识，求出DE的长并且根据两点之间线段最短列不等式是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（7分）（2023 吴川市二模）计算：tan245°﹣2cos60°+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：tan245°﹣2cos60°+（2﹣π）0﹣（）﹣1
＝12﹣21﹣2
＝1﹣1+1﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
15．（9分）（2025 广安模拟）为了解广安市民对共享单车的使用情况，小月以问卷的形式，对部分广安市民某天的骑行时间t（分）进行了随机调查，将获得的数据分成四组（A：0＜t≤30；B：30＜t≤60；C：60＜t≤120；D：t＞120），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求参与本次随机调查的市民共有　20　 人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为　126°　 ；
（2）补全条形统计图；
（3）小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）20；126°．
（2）见解答．
（3）．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次随机调查的市民人数；用360°乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）分别求出C组和D组的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参与本次随机调查的市民共有6÷30%＝20（人）．
B组的人数所在扇形的圆心角的度数为360°126°．
故答案为：20；126°．
（2）C组的人数为20×20%＝4（人），D组的人数为20﹣6﹣7﹣4＝3（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有6种，
∴恰好选中一男一女的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
16．（9分）（2024秋 漳州期中）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：
已知某矩形长为4，宽为3，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）
图1菱形的面积为：　6　 ；图2菱形的面积为：　9　 ．图3菱形的面积为：　　 ．
【考点】作图﹣轴对称变换；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】图见解析；6，9，．
【分析】根据菱形的判定画图即可，结合矩形和菱形的性质求面积．
【解答】解：如图1，四边形EFMN即为所求，
；
如图2，四边形ABMN即为所求，
S四边形ABMN＝3×3＝9；
如图3，四边形AMCN即为所求，
设AM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，
在Rt△ABM中，
由勾股定理可得AM2＝AB2+BM2，
即x2＝32+（4﹣x）2，
解得，
∴；
故答案为：6；9；．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质以及求其面积，掌握菱形的面积计算方法是解题的关键．
17．（9分）（2022 巧家县二模）小洪从批发市场购进A，B两种材料用于手工制作，进行“爱心义卖”．若每个A种材料的进价比每个B种材料的进价少2元，且用160元购进A种材料的数量与用200元购进B种材料的数量相等，一个甲种手工艺品需要一个A种材料，一个乙种手工艺品需要一个B种材料．
（1）求A，B两种材料单个的进价．
（2）若购买的材料可以制作甲、乙两种手工艺品共56个，甲的售价是24元/个，乙的售价是30元/个，在甲种手工艺品制作数量不少于18个的情况下，如何安排制作方案可使所获利润最大？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】分式方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）每个A种材料单个的进价为8元，每个B种材料单个的进价为10元；
（2）制作甲种手工艺品18个，乙种手工艺品38个，可使所获利润最大．
【分析】（1）设每个A种材料单个的进价为x元，则每个B种材料单个的进价为（x+2）元，由题意：用160元购进A种材料的数量与用200元购进B种材料的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲种手工艺品a个，则乙种手工艺品（56﹣a）个设利润为w元，由题意得w＝（24﹣8）a+（30﹣10）（56﹣a）＝﹣4a+1120，再由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个A种材料单个的进价为x元，则每个B种材料单个的进价为（x+2）元，
由题意可得：，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝10，
答：每个A种材料单个的进价为8元，每个B种材料单个的进价为10元；
（2）设甲种手工艺品a个，则乙种手工艺品（56﹣a）个，设利润为w元，
由题意得：w＝（24﹣8）a+（30﹣10）（56﹣a）＝﹣4a+1120，
∵﹣4＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a≥18，
∴当a＝18时，w最大，
此时56﹣a＝38，
答：制作甲种手工艺品18个，乙种手工艺品38个，可使所获利润最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键时：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，正确得出一次函数关系式．
18．（9分）（2024 沙洋县模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】（1）连接OD，利用三角形的内心的性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，平行线的判定定理和平行四边形的定义解答即可；
（3）连接CD，设AC与BD交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，利用圆周角定理和勾股定理得到AC，利用平行线的性质，三角形的内心的性质和等腰三角形的判定定理得到HG＝HB，设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得x值，进而AG＝AC﹣CG＝3；利用直角三角形的边角关系定理，圆周角定理得到，设GD＝a，则CD＝2a，利用勾股定理得到a值，利用相似三角形的判定与性质求得BG；利用平行线的性质，三角形的内心的性质和等腰三角形的判定定理得到AK＝EK，设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴OD⊥AC，
∵DF∥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点A为弧BD的中点，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（3）解：连接CD，设AC与B交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，如图，
∵⊙O的半径长为5，
∴BC＝10，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AC8．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABD＝∠BCD．
∵GH∥AB，
∴∠HGB＝∠ABD，
∴∠HGB＝∠DBC，
∴HG＝HB，
设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∴，
∴x，
∴GH，
∴，
∴CG＝5，
∴AG＝AC﹣CG＝3．
∴tan∠ABD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴tan∠ACDtan∠ABD，
设GD＝a，则CD＝2a，
∵GD2+CD2＝CG2，
∴a2+（2a）2＝52，
∵a＞0，
∴a．
∴GD．
∵∠BAC＝∠BDC，∠AGB＝∠DGC，
∴△ABG∽△DCG，
∴，
∴，
∴BG＝3．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠GAE．
∵EK∥AC，
∴∠AEK＝∠GAE，
∴∠AEK＝∠BAE，
∴AK＝EK，
设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BGA，
∴，
∴，
∴y＝2，
∴，
∴BE＝2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的内心的性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，添加辅助线构造等腰三角形和相似三角形是解题的关键．
19．（9分）（2024 金凤区校级二模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且CM＝DN，已知tan∠ACD．
（1）以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离．
【考点】二次函数的应用；解直角三角形．
【专题】数形结合；函数思想；待定系数法；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣0.4x2+8x；
（2）100．
【分析】（1）建立平面直角坐标系后，可得抛物线与x轴的两个交点M、N的坐标，用交点式表示出二次函数解析式，根据∠CAD的正切值和AE的长可判断出CE的长，根据CD和MN的长度以及CM＝ND可得MC的长度，进而可求得ME的长度，就求得点A的坐标，代入交点式可得二次项系数的值，整理成一般形式即可得到二次函数的解析式；
（2）可设正方形的边长为n，顶边的左边的顶点的横坐标为m，则纵坐标为20+n，那么右边那个顶点的坐标为（m+n，20+n），根据抛物线的对称轴为直线x＝10可得m和n的关系式，代入抛物线解析式可得m的值，进而可得n的值，即可求得广告牌的面积．
【解答】解：（1）由题意得，点M（0，0），点N（20，0）.
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0）（x﹣20）．
作AE⊥CD于点E，则AE＝30．
∴∠AEC＝90°．
∵tan∠ACD，
∴CE＝40．
∵CD＝90米，MN＝20米，CM＝DN，
∴CM＝35米．
∴ME＝5．
∴点A的坐标为（5，30）．
∴5（﹣15）a＝30．
解得：a＝﹣0.4．
∴y＝﹣0.4（x﹣0）（x﹣20）＝﹣0.4x2+8x；
（2）设海报的顶边的两个顶点分别为点G、F．正方形的边长为n，点F的横坐标为m．
∵海报底边与桥面平行且距离为20米，
∴点F的坐标为（m，20+n），则点G的坐标为（m+n，20+n）．
∵抛物线的对称轴为直线x10，
∴10，
解得：n＝20﹣2m．
∴点F的坐标为：（m，40﹣2m）．
∴﹣0.4m2+8m＝40﹣2m．
0.4m2﹣10m+40＝0，
m2﹣25m+100＝0，
（m﹣20）（m﹣5）＝0，
∴m1＝20，m2＝5．
∵点F的纵坐标40﹣2m＞0，
∴m＝5．
∴n＝20﹣2m＝10．
∴海报的面积＝10×10＝100（平方米）．
答：海报的面积是100平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键．用到的知识点为：二次函数图象与x轴的两个交点坐标为x1，x2，则这个二次函数解析式可表示为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
20．（9分）（2023 通榆县三模）【探究问题】阅读并补全解题过程
如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AB的中点，CE⊥DE，求证：DE平分∠ADC．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长DE交射线CB于点F，请你依据该同
学的做法补全证明过程．
证明：延长DE交射线CB于点F．
【应用】如图②，在长方形ABCD中，将△ABF沿直线AF折叠，若点B恰好落在边CD的中点E处，直接写出∠AFB的度数；
【拓展】如图③，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，延长BF交CD于点G，延长EF交CD于点H，若正方形ABCD的边长为4，直接写出FG的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】【探究问题】证明过程见解答；
【应用】∠AFB的度数为60°；
【拓展】FG的值为1．
【分析】【探究问题】如图①，延长DE交射线CB于点F，证明△DAE≌△FBE（AAS），可得DE＝FE，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【应用】设DE＝CE＝a，由翻折可得AB＝AE＝2a，所以sin∠DAE，得∠DAE＝30°，根据直角三角形两个锐角互余可以解决问题；
【拓展】如图③，连接BH，EG，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△DEG≌Rt△FEG（HL），Rt△BCH≌Rt△BFH（HL），可得DG＝FG，CH＝FH，设FG＝DG＝x，FH＝CH＝a，则EH＝EF+FH＝2+a，GH＝CD﹣DG﹣CH＝4﹣x﹣a，可得DH＝CD﹣CH＝4﹣a，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】【探究问题】证明：如图①，延长DE交射线CB于点F，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ABF，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝BE，
在△DAE和△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE＝FE，
∵CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDE＝∠F，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
【应用】解：在长方形ABCD中，AB＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∵点B恰好落在边CD的中点E处，
∴DE＝CE，
设DE＝CE＝a，
由翻折可知：AB＝AE＝2a，
∴sin∠DAE，
∴∠DAE＝30°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
由翻折可知：∠BAF＝∠EAF＝30°，
∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AFB的度数为60°；
【拓展】解：如图③，连接BH，EG，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE＝DE＝2，
∵将△ABE沿直线BE折叠，点A落在正方形ABCD内部的点F处，
∵AB＝BF＝4，AE＝EF＝2，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFH＝∠C＝90°，DE＝FE＝2，BC＝BF＝4，
∴Rt△DEG≌Rt△FEG（HL），Rt△BCH≌Rt△BFH（HL），
∴DG＝FG，CH＝FH，
设FG＝DG＝x，FH＝CH＝a，
则EH＝EF+FH＝2+a，GH＝CD﹣DG﹣CH＝4﹣x﹣a，
∴DH＝CD﹣CH＝4﹣a，
在Rt△EDH中，根据勾股定理得：
ED2+DH2＝EH2，
∴22+（4﹣a）2＝（2+a）2，
∴a，
在Rt△FGH中，根据勾股定理得：
FG2+FH2＝GH2，
∴x2+a2＝（4﹣x﹣a）2，
∴x2+（）2＝（4﹣x）2，
∴x＝1，
∴FG的值为1．
【点评】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
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