北师大版数学九年级上 第4章 图形的相似 单元测试（含答案）

北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,则线段d的长为（　　）
A．1cm B．4cm C．2cm D．9cm
2．已知a：b=4：5，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△DAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．4：25 D．9：25
4．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=6，则A′B′的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
6．如图，在 ABCD中，点E在DC上，BE与AC相交于点F，若=，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，且AB=3OD，若点A的坐标为（-2，0），则点C的坐标为（　　）
A．（0，1） B． C．（1，0） D．
8．如图，在△ABC中，D，E为边AB上的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，H为AF与DG的交点．若EF=4，则HG的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm,点O到CD的距离为15cm,蜡烛火焰AB的高度是2cm,则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　）
A．2cm B． C．3cm D．4cm
10．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB=36cm,A′B′=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A′B′的距离为（　　）cm.
A．20 B．22 C．24 D．26
11．如图，△ABC是等边三角形，点E，F在AB上，点H，G在AC上，AE=EF=FB，EH∥FG∥BC，△ABC的面积为27cm2，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．9cm2 B．3cm2 C．12cm2 D．15cm2
12．（2025 温州模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD于点F，连结AE，记，若，则GH的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
二．填空题（共5小题）
13．已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=6cm,b=4cm,c=3cm,则线段d= ______cm.
14．如图，AE=5，AC=8，AB=10，当BD= ______时，DE∥BC．
15．如图，将腰长为12cm的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 ______．
16．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC、DF被l1、l2、l3所截，若AB：BC=2：3，DF=10，则DE的长为 ______．
17．（2025 朝阳区校级一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10．点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处．给出下列四个结论：
①∠EBG=45°；
②△DEF∽△ABG；
③；
④AG+DF=FG．
上述结论中，正确结论的序号有______．
三．解答题（共5小题）
18．如图所示，在锐角△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，求证：．
19．随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD=1m,窗高CD=1.5m,并测得OE=1m,OF=3m.请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长．
21．如图，在等边三角形ABC中，点P是边BC上一动点（P点不与端点重合），作∠DPE=60°，PE交边AC于点E，PD交边AB于点D．
（1）求证：△BPD∽△CEP；
（2）若AB=10，BD=3，CP：BP=1：4，求CE的长．
22．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
（1）如图1，点D在BC边上，=，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得的值为 ______．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，=，求的值．
北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、A 7、C 8、A 9、C 10、A 11、A 12、B
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、； 15、4cm； 16、4； 17、①③④；
三．解答题（共5小题）
18、证明：∵AD，BE分别是边BC，AC上的高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
又∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴．
19、解：∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m,OE=1m,
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m,
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴=，
=，
解得：x=10．
经检验：x=10是原方程的解．
答：AB的高度是10m.
20、（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD=2．
21、（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BPD=120°-∠BPD，
∵∠DPE=60°，
∴∠CPE=180°-∠DPE-∠BPD=120°-∠BPD，
∴∠BPD=∠CEP，
∴△BPD∽△CEP．
（2）解：∵AB=10，BD=3，CP：BP=1：4，
∴BC=AB=10，
∴BP=BC=BC=×10=8，CP=BC=BC=×10=2，
∵△BPD∽△CEP，
∴=，
∴CE===，
∴CE的长是．
22、解：（1）如图1中，∵AF∥BC，
∴∠F=∠EBC，
∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC．
设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,
∵AF∥BC，
∴△APF∽△DPB，
∴==．
故答案为：；
（2）如图：过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，
设DC=k,则BC=2k,DB=DC+BC=3k.
∵E是AC中点，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠PBD
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴EF=BE，AF=BC=2k.
∵AF∥BC，
∴△APF∽△DPB，
∴====．