人教版数学九年级上 第22章 二次函数 单元测试（含答案）

人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知抛物线y=x2+mx-1经过（-1，n）和（2，n）两点，则n的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
2．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=abx+c不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．对于二次函数y=（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=-1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
4．点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y=-2x2-2上的点，且|x1|＞|x2|，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1=y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定
5．已知抛物线y=ax2+4ax（a＜0）经过点A（m,y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．-4＜m≤-3 D．-3＜m＜-2
6．将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（　　）
A．y=-3（x-1）2-3 B．y=-3（x-1）2-1
C．y=-3（x=1）2-3 D．y=-3（x+1）2-1
7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＞0
C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4
8．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（m-4，y1），B（m,y1），C（6，y2），记该抛物线的对称轴为x=h,若3＜h＜4，则下列推断正确的是（　　）
A．当a＞0时，y1＜y2＜c B．当a＞0时，y2＜c＜y1
C．当a＜0时，y1＜y2＜c D．当a＜0时，c＜y1＜y2
9．已知关于x的二次函数y=2mx2-3mx-m2+2，当x≥1时，y随x的增大而减小，且-1≤x≤2时，y的最小值为-4，则m的值为（　　）
A．6 B．-2 C．-6 D．-1
10．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽为2m.
①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为y=-2x2；
②若水面由位置l下降1m,水面宽度为4m；
③若水面由位置l下降2m,水面宽度增加．
以上结论正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点B．若∠AOC=60°，则a为（　　）
A．-1 B．-2 C． D．1
12．函数y=|ax2+bx+c|（a＞0，b2-4ac＞0）的图象是由函数y=ax2+bx+c（a＞0，b2-4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b=0；
②c=3；
③abc＞0；
④将图象向上平移2个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．已知二次函数y=ax2的图象开口向下，则a______．
14．已知二次函数y=x2-2x+c的图象上A，B，C三点的坐标分别为（m-1，yA），（m,-4），（m+1，yC）．若yA=yc，则c的值为______．
15．（2025 武威一模）已知函数，其中m为常数．若该函数的图象显示y随着x的增大而增大，则m的取值范围为______．
16．如图，已知抛物线y=-x2+4x-2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，5），（4，5），将线段MN向下平移k（k＞0）个单位长度后与抛物线有两个交点，则k的取值范围是______．
17．（2025 庐阳区校级三模）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m,则称点A（m,2m）是这个函数的“二倍点”，已知二次函数y=x2+3x+k.
（1）若点A（1，2）是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是______；
（2）若（2）若此函数有两个相异的“二倍点”A（m,2m）、B（n,2n），且m＜1＜n,则k的取值范围______．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=x2-2mx+2m-4的顶点为P，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的任意两点．
（1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式；
（2）当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值；
（3）若对于-1≤x1≤0，3≤x2≤4总有y1＞y2，请直接写出m的取值范围．
19．如图1，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2米的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上A点距离地面2米，窗上沿B距离地面14米．
（1）如图2，以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式；
（2）实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6米处，且比窗上沿B低2米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：≈2.45，结果精确到0.1米）
20．如图1，抛物线y=ax2-2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3ax-3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B．
（1）若抛物线经过点（-1，0）；
①求点B的坐标；
②当t-1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值；
（2）已知点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围．
22．2024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵以五跳共425.60分的总成绩夺得金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）某位运动员在第一次跳水中，从点A（3，10）处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式y=a（x-3.5）2+k（a＜0），测得几组数据如表：
水平距离x/m 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 k 10 6.25
则k的值为 ______，满足的函数关系式为 ______；
（2）若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式y=-5x2+40x-68，记她这两次跳水的入水点的水平距离分别为d1，d2，则d1______d2；（填“＞”“=”或“＜”）．
（3）在（2）的条件下，从该运动员起跳后到达最高点B处时开始计时，已知点B到水平面的距离为c,竖直高度y（单位：m）与时间t（单位：s）之间近似满足函数关系式y=-5t2+c.若该运动员在达到最高点后需要1.5s才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作．
人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、B 4、C 5、B 6、D 7、D 8、A 9、D 10、B 11、A 12、B
二．填空题（共5小题）
13、＜0； 14、-3； 15、； 16、3＜k≤7； 17、（-2，-4）；k＜-2；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由条件可得：2m-4=0，
解得：m=2，
∴当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为y=x2-4x；
（2）将抛物线解析式配方得y=x2-2mx+2m-4=（x-m）2-m2+2m-4，
∴其顶点为P（m,-m2+2m-4），
当点P位于x轴下方时，-m2+2m-4＜0，
∴点P到x轴的距离为h=|-m2+2m-4|=m2-2m+4=（m-1）2+3，
由条件可知当m=1时，h取得最小值3，
即点P到x轴距离的最小值为3；
（3）∵抛物线y=x2-2mx+2m-4=（x-m）2-m2+2m-4，开口向上，对称轴为直线x=m,
∴当x＜m时，y随x的增大而减小，当x＞m时，y随x的增大而增大，
由条件可知m-0＞4-m,
解得：m＞2．
19、解：（1）由题意知A（0，2），B（2，14），
设水流抛物线的解析式为y=a（x-2）2+14，
代入A（0，2），得2=a（0-2）2+14，
解得a=-3，
∴水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14；
（2）由题意知，失火中心点坐标是（2.6，12），
方案一：水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14，
当x=2.6时，y=-3（2.6-2）2+14=12.92，
即抛物线向下平移12.92-12=0.92≈0.9（米），
抛物线正好经过失火中心；
方案二：水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14，
当y=12时，12=-3（x-2）2+14，
解得，（舍去），
，
即抛物线向左平移2.817-2.6=0.217≈0.2（米），
抛物线正好经过失火中心，
所以消防员把喷水头向下平移0.9米，或向左平移0.2米，可以使水流刚好落在失火中心．
20、解：（1）把B（3，0），C（0，-3），代入y=ax2-2x+c（a≠0）得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3；
（2）在二次函数y=x2-2x-3中，令y=0，得x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为yBC=kx+b,将B（3，0），C（0，-3）代入得，
，解得，
∴直线BC的解析式为yBC=x-3，
设P（x,x2-2x-3），（0＜x＜3），
∵PM∥y轴，
∴M（x,x-3），
∴，
∵-1＜0，
∴当时，PM最大值为，此时．
21、解：（1）①∵抛物线y=ax2-3ax-3a+1（a＜0）过点（-1，0），
∴a+3a-3a+1=0，
∴a=-1，
∴抛物线解析式为：y=-x2+3x+4，
∴点A坐标为（0，4），
当y=4时，即y=-x2+3x+4=4，
∴x1=0，x2=3，
∴点B（3，4），
②∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当时，t-1≤x≤t在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴x=t时，为最大值，即，
解得或（舍）；
Ⅱ．当即时，t-1≤x≤t在对称轴右侧，y随x增大而减小，
x=t-1时，为最大值，即，
解得或（舍），
综上所述，t的值为或；
（2）∵抛物线，
∴抛物线，
对称轴为，顶点为，
∵点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当抛物线y=ax2-3ax-3a+1的顶点在线段GH上时，
即：，
解得：；
Ⅱ．当抛物线顶点落在GH上方时，
当x=1时，y=a-3a-3a+1=-5a+1，
当x=3时，y=9a-9a-3a+1=-3a+1，
∵a＜0，对称轴为，
∴-5a+1＜-3a+1，
∵抛物线y=ax2-3ax-3a+1与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），
∴与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，
解得：，
综上，a的取值范围是或．
22、解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴，
解得：，
∴y=-5（x-3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y=-5（x-3.5）2+11.25；
（2）∵y=-5（x-3.5）2+11.25，
当y=0时：0=-5（x-3.5）2+11.25，
解得：x=5或x=2（不合题意，舍去）；
∴d1=5米；
∵y=-5x2+40x-68，
当y=0时：-5x2+40x-68=0，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
（3）y=-5x2+40x-68=-5（x-4）2+12，
∴B（4，12），
∴c=12，
∴y=-5t2+12，
当t=1.5时，y=-5×1.52+12=0.75＞0，
∴该运动员能在落水前完成此动作．