四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题
1．（2024高二下·德阳期末）集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：集合，集合，
则集合.
故答案为：D.
【分析】先利用二次根式有意义化简集合，再利用交集的概念即可求解.
2．（2024高二下·德阳期末）平面向量，，若，则实数（ ）
A． B．9 C． D．7
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，则，
，即，
故答案为：B
【分析】利用向量的数量积的坐标运算公式结合向量垂直数量积为0即可求解.
3．（2024高二下·德阳期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：已知二项式的展开式中的系数是，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理的展开式列出方程即可求解.
4．（2024高二下·德阳期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若，则，，．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：依题意，
所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为.
故答案为：A.
【分析】利用正态分布的对称性及原则即可求解.
5．（2024高二下·德阳期末）已知定义域为的奇函数满足，，则（ ）
A． B．5 C． D．2024
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：已知，则是周期为5的周期函数，
所以
又因为为上奇函数且，所以，
故答案为：A．
【分析】先利用函数周期性可得，再利用函数的奇偶性即可求解．
6．（2024高二下·德阳期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度x（℃） 6 8 10
病毒数量y（万个） 30 22 20
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ）
参考公式：，
A．12 B．10 C．9 D．11
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点
由表格数据得，，
，
，
故根据最小二乘原理知，
所以，
即线性回归方程为；
将代入方程，得，
即可预测病毒数量为.
故答案为：C
【分析】设回归方程，利用表中数据可得，，利用最小二乘原理可求系数，，再把代入方程即可求解.
7．（2024高二下·德阳期末）体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设
已知体积为4，则，
长方体的外接球直径为
则长方体的最小外接球表面积为.
故答案为：B.
【分析】利用长方体的外接球直径公式可得，再利用基本不等式即可求解.
8．（2024高二下·德阳期末）2160的不同正因数个数为（ ）
A．42 B．40 C．36 D．30
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：已知，
所以2160的不同正因数个数为：
.
共40个.
故答案为：B.
【分析】先转化为因式乘积可得，再分类计算正因数个数即可求解.
9．（2024高二下·德阳期末）设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的虚部为1
B．
C．在复平面内的对应点位于第一象限
D．
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，它的虚部为1，故A正确；
B、，故B错误；
C、在复平面内的对应点位于第一象限，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先利用复数的四则运算可得，虚部的概念即可判断A；利用复数模的计算公式即可判断B；利用复数的几何意义即可判断C；利用复数的乘方计算即可判断D.
10．（2024高二下·德阳期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A，由已知可得双曲线C的焦点和顶点分别为，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A选项错误；
B，双曲线C的离心率为，故B选项正确；
C，显然异于，不妨设，如图所示：
注意到都在双曲线上面，且，
所以直线与的斜率之积为，故C选项正确；
D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，，
而点到直线的距离是，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用双曲线和椭圆的几何性质直接写出符合描述的椭圆方程即可判断A；由离心率公式即可判断B；直接根据斜率公式验算即可判断C；根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断D.
11．（2024高二下·德阳期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ）
A．该零件出自于甲加工的概率为0.25
B．该零件是次品的概率为0.0525
C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为
D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3
【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：A、因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，故A正确；
B、该零件时次品的概率为，故B正确；
C、若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，故C不正确；
D、若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为，
出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用甲加工零件的占比即可判断A；利用全概率公式即可判断B；利用条件概率公式即可判断C；利用贝叶斯公式分别计算即可判断D.
12．（2024高二下·德阳期末）直线：与：的交点为P，记点P的轨迹为，动点Q在曲线：上，下列选项正确的有（ ）
A．若点，则
B．是面积为的圆
C．过Q作的切线，则切线长的最小值为
D．有且仅有一个点Q，使得在Q处的切线被截得的线段长为2
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、若点，则，
注意到，所以，所以，故A正确；
B、直线：与：依次过定点，
注意到，所以直线，
所以是以为圆心，以为半径的一个圆，
所以是面积为的圆，故B错误；
C、设，则切线长为 ，
令，则，令，
则，所以在实数域上单调递增，
注意到，
所以当时，，当时，，
所以在时单调递减，在时单调递增，
所以的最小值为，
所以当点坐标为时，切线长的最小值为，故C错误；
D、由B可知是以为圆心，以为半径的一个圆，如图所示：
若在Q处的切线被截得的线段长为2，则在切线上，
而在Q处的切线为：，
所以，
因为，所以，解得，
所以存在唯一的点，使得在Q处的切线被截得的线段长为2，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将代入两直线方程，结合即可判断A；说明是以为圆心，以为半径的一个圆即可判断B；利用切线长公式得切线长表达式，构造函数即可求得最小值进而判断C；利用题意分析得知在在Q处的切线上，即可列方程求解即可判断D.
13．（2024高二下·德阳期末）已知函数的零点为和1，则 ．
【答案】4
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：已知函数的零点为和1
则，
所以.
所以
所以.
故答案为：4.
【分析】利用分段函数函数值即可求解.
14．（2024高二下·德阳期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 .
【答案】1.2
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；
则，
，
，
随机变量X的概率分布为；
X 0 1 2
P
所以数学期望.
故答案为：.
【分析】由题意知X服从超几何分布，利用超几何概率公式分别计算概率值，写出X的概率分布，再利用期望公式即可求解.
15．（2024高二下·德阳期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：取椭圆的左焦点，连结，如图所示：
由为等边三角形，则，
可知为直角三角形，且，
设，则，，
可得，则，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：.
【分析】由题意可知为直角三角形，利用椭圆定义可得，，再利用离心率的定义即可求解.
16．（2024高二下·德阳期末），，都有，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：不妨，
由题意分式转化为，
则，即，
构造函数可得单调递增，
又因为，解得，
，单调递增，所以.
故答案为： .
【分析】不妨设，把不等式成立，转化为函数在内恒成立，即可求解.
17．（2024高二下·德阳期末）现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据：
满意 不满意
男 60 40
女 40 10
（1）能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望．
参考数据：
0.150 0.100 0.050 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
（，其中）
【答案】（1）解：
所以有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关．
（2）解：由表中数据可知，被调查者中“不满意”的频率为．所以，，，
，，
其分布列为
0 1 2 3
所以.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）先利用公式求出，再利用独立性检验思想进行判定即可求解；
（2）先求出不满意的概率为，再利用二项分布概率公式分布求概率，列表得到分布列，利用期望公式即可求解.
（1）所以有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关．
（2）由表中数据可知，被调查者中“不满意”的频率为．
所以，，，
，，
其分布列为
0 1 2 3
所以.
18．（2024高二下·德阳期末）如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系如图所示：
则，，
所以，，，
所以，
，
即，，
又平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面的法向量可取，
平面的法向量可取为，
设平面与平面夹角为，
则.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可得，，，再利用线面垂直的判定定理证明即可得证；
（2）由（1）可得平面的法向量，平面的法向量可取为，再利用空间向量法求二面角的余弦值即可求解.
（1）由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系：
则，，
所以，，，
所以，
，
即，，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量可取，
平面的法向量可取为，
设平面与平面夹角为，
则.
19．（2024高二下·德阳期末）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求内角C；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）解：在中由正弦定理及已知条件得：
即
由余弦定理得：
又，所以．
（2）解：已知为锐角三角形，所以，即，
所以，
即的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理再应用两角和差正弦计算可得，再利用正切函数值计算即可求解.
（1）在中由正弦定理及已知条件得：
即
由余弦定理得：
又，所以．
（2）由于为锐角三角形，所以，即，
所以，
即的取值范围为．
20．（2024高二下·德阳期末）数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（2）令，数列的前n项和为.求证：.
【答案】（1）证明：因为①，
所以，当时，②，
①②得：，
则(*)，
当时，，
则，
所以，
由(*)可得，，
则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）证明：由（1）知，，
所以
因为，，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与的关系式，从而消去，进而证出数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）将数列的通项进行裂项，利用裂项相消法求出，再结合放缩法证出不等式成立.
（1）因为①，
所以当时，②，
①②得：，即(*)，
又当时，，即，所以，
由(*)可得，，
则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故；
（2）由（1）知，
故，
因，，故得.
21．（2024高二下·德阳期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：.
（2）解：由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，如图所示：
由得：，，
则，由得：，
从而，
令，由于，
则，
所以在上单调递增，从而，
即，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦点到准线可得出，即可求解；
（2）先设直线方程，再联立方程可得，利用向量的线性关系可得，最后利用导函数正负结合单调性得出参数范围即可求解.
（1）由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：.
（2）由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，.
由得：，，
则，由得：，
从而，
令，由于，
则，
所以在上单调递增，从而，
即，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
22．（2024高二下·德阳期末）已知在中，，，，记的面积为S．
（1）请利用所学过的相关知识证明：；
（2）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：由题意得：，.
所以
，
从而，
又，，
所以，，
，
所以
，
从而；
（2）解：，所以切线的斜率为，
从而切线方程为，
由，
得：，
所以，又，
所以的面积，
于是问题转化为关于m的方程在上有解，
即在上有解或在上有解，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
综上得的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用面积公式可得结合向量的夹角公式计算证明即可；
（2）先求出切线方程可得再结合面积公式，最后求出导函数判断函数的单调性即可求出参数范围即可求解.
（1）由题意得：，.
所以
，
从而，
又，，
所以，，
，
所以
，
从而；
（2），所以切线的斜率为，
从而切线方程为，
由，
得：，
所以，又，
所以的面积，
于是问题转化为关于m的方程在上有解，
即在上有解或在上有解，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
综上得的取值范围为.
1 / 1四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题
1．（2024高二下·德阳期末）集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·德阳期末）平面向量，，若，则实数（ ）
A． B．9 C． D．7
3．（2024高二下·德阳期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
4．（2024高二下·德阳期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若，则，，．
A． B． C． D．
5．（2024高二下·德阳期末）已知定义域为的奇函数满足，，则（ ）
A． B．5 C． D．2024
6．（2024高二下·德阳期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度x（℃） 6 8 10
病毒数量y（万个） 30 22 20
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ）
参考公式：，
A．12 B．10 C．9 D．11
7．（2024高二下·德阳期末）体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·德阳期末）2160的不同正因数个数为（ ）
A．42 B．40 C．36 D．30
9．（2024高二下·德阳期末）设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的虚部为1
B．
C．在复平面内的对应点位于第一象限
D．
10．（2024高二下·德阳期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
11．（2024高二下·德阳期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ）
A．该零件出自于甲加工的概率为0.25
B．该零件是次品的概率为0.0525
C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为
D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3
12．（2024高二下·德阳期末）直线：与：的交点为P，记点P的轨迹为，动点Q在曲线：上，下列选项正确的有（ ）
A．若点，则
B．是面积为的圆
C．过Q作的切线，则切线长的最小值为
D．有且仅有一个点Q，使得在Q处的切线被截得的线段长为2
13．（2024高二下·德阳期末）已知函数的零点为和1，则 ．
14．（2024高二下·德阳期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 .
15．（2024高二下·德阳期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
16．（2024高二下·德阳期末），，都有，则实数m的取值范围为 .
17．（2024高二下·德阳期末）现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据：
满意 不满意
男 60 40
女 40 10
（1）能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望．
参考数据：
0.150 0.100 0.050 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
（，其中）
18．（2024高二下·德阳期末）如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2024高二下·德阳期末）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求内角C；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
20．（2024高二下·德阳期末）数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（2）令，数列的前n项和为.求证：.
21．（2024高二下·德阳期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围.
22．（2024高二下·德阳期末）已知在中，，，，记的面积为S．
（1）请利用所学过的相关知识证明：；
（2）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：集合，集合，
则集合.
故答案为：D.
【分析】先利用二次根式有意义化简集合，再利用交集的概念即可求解.
2．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，则，
，即，
故答案为：B
【分析】利用向量的数量积的坐标运算公式结合向量垂直数量积为0即可求解.
3．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：已知二项式的展开式中的系数是，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理的展开式列出方程即可求解.
4．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：依题意，
所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为.
故答案为：A.
【分析】利用正态分布的对称性及原则即可求解.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：已知，则是周期为5的周期函数，
所以
又因为为上奇函数且，所以，
故答案为：A．
【分析】先利用函数周期性可得，再利用函数的奇偶性即可求解．
6．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点
由表格数据得，，
，
，
故根据最小二乘原理知，
所以，
即线性回归方程为；
将代入方程，得，
即可预测病毒数量为.
故答案为：C
【分析】设回归方程，利用表中数据可得，，利用最小二乘原理可求系数，，再把代入方程即可求解.
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设
已知体积为4，则，
长方体的外接球直径为
则长方体的最小外接球表面积为.
故答案为：B.
【分析】利用长方体的外接球直径公式可得，再利用基本不等式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：已知，
所以2160的不同正因数个数为：
.
共40个.
故答案为：B.
【分析】先转化为因式乘积可得，再分类计算正因数个数即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，它的虚部为1，故A正确；
B、，故B错误；
C、在复平面内的对应点位于第一象限，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先利用复数的四则运算可得，虚部的概念即可判断A；利用复数模的计算公式即可判断B；利用复数的几何意义即可判断C；利用复数的乘方计算即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A，由已知可得双曲线C的焦点和顶点分别为，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A选项错误；
B，双曲线C的离心率为，故B选项正确；
C，显然异于，不妨设，如图所示：
注意到都在双曲线上面，且，
所以直线与的斜率之积为，故C选项正确；
D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，，
而点到直线的距离是，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用双曲线和椭圆的几何性质直接写出符合描述的椭圆方程即可判断A；由离心率公式即可判断B；直接根据斜率公式验算即可判断C；根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：A、因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，故A正确；
B、该零件时次品的概率为，故B正确；
C、若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，故C不正确；
D、若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为，
出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用甲加工零件的占比即可判断A；利用全概率公式即可判断B；利用条件概率公式即可判断C；利用贝叶斯公式分别计算即可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、若点，则，
注意到，所以，所以，故A正确；
B、直线：与：依次过定点，
注意到，所以直线，
所以是以为圆心，以为半径的一个圆，
所以是面积为的圆，故B错误；
C、设，则切线长为 ，
令，则，令，
则，所以在实数域上单调递增，
注意到，
所以当时，，当时，，
所以在时单调递减，在时单调递增，
所以的最小值为，
所以当点坐标为时，切线长的最小值为，故C错误；
D、由B可知是以为圆心，以为半径的一个圆，如图所示：
若在Q处的切线被截得的线段长为2，则在切线上，
而在Q处的切线为：，
所以，
因为，所以，解得，
所以存在唯一的点，使得在Q处的切线被截得的线段长为2，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将代入两直线方程，结合即可判断A；说明是以为圆心，以为半径的一个圆即可判断B；利用切线长公式得切线长表达式，构造函数即可求得最小值进而判断C；利用题意分析得知在在Q处的切线上，即可列方程求解即可判断D.
13．【答案】4
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：已知函数的零点为和1
则，
所以.
所以
所以.
故答案为：4.
【分析】利用分段函数函数值即可求解.
14．【答案】1.2
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；
则，
，
，
随机变量X的概率分布为；
X 0 1 2
P
所以数学期望.
故答案为：.
【分析】由题意知X服从超几何分布，利用超几何概率公式分别计算概率值，写出X的概率分布，再利用期望公式即可求解.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：取椭圆的左焦点，连结，如图所示：
由为等边三角形，则，
可知为直角三角形，且，
设，则，，
可得，则，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：.
【分析】由题意可知为直角三角形，利用椭圆定义可得，，再利用离心率的定义即可求解.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：不妨，
由题意分式转化为，
则，即，
构造函数可得单调递增，
又因为，解得，
，单调递增，所以.
故答案为： .
【分析】不妨设，把不等式成立，转化为函数在内恒成立，即可求解.
17．【答案】（1）解：
所以有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关．
（2）解：由表中数据可知，被调查者中“不满意”的频率为．所以，，，
，，
其分布列为
0 1 2 3
所以.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）先利用公式求出，再利用独立性检验思想进行判定即可求解；
（2）先求出不满意的概率为，再利用二项分布概率公式分布求概率，列表得到分布列，利用期望公式即可求解.
（1）所以有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关．
（2）由表中数据可知，被调查者中“不满意”的频率为．
所以，，，
，，
其分布列为
0 1 2 3
所以.
18．【答案】（1）证明：由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系如图所示：
则，，
所以，，，
所以，
，
即，，
又平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面的法向量可取，
平面的法向量可取为，
设平面与平面夹角为，
则.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可得，，，再利用线面垂直的判定定理证明即可得证；
（2）由（1）可得平面的法向量，平面的法向量可取为，再利用空间向量法求二面角的余弦值即可求解.
（1）由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系：
则，，
所以，，，
所以，
，
即，，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量可取，
平面的法向量可取为，
设平面与平面夹角为，
则.
19．【答案】（1）解：在中由正弦定理及已知条件得：
即
由余弦定理得：
又，所以．
（2）解：已知为锐角三角形，所以，即，
所以，
即的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理再应用两角和差正弦计算可得，再利用正切函数值计算即可求解.
（1）在中由正弦定理及已知条件得：
即
由余弦定理得：
又，所以．
（2）由于为锐角三角形，所以，即，
所以，
即的取值范围为．
20．【答案】（1）证明：因为①，
所以，当时，②，
①②得：，
则(*)，
当时，，
则，
所以，
由(*)可得，，
则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）证明：由（1）知，，
所以
因为，，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与的关系式，从而消去，进而证出数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）将数列的通项进行裂项，利用裂项相消法求出，再结合放缩法证出不等式成立.
（1）因为①，
所以当时，②，
①②得：，即(*)，
又当时，，即，所以，
由(*)可得，，
则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故；
（2）由（1）知，
故，
因，，故得.
21．【答案】（1）解：由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：.
（2）解：由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，如图所示：
由得：，，
则，由得：，
从而，
令，由于，
则，
所以在上单调递增，从而，
即，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦点到准线可得出，即可求解；
（2）先设直线方程，再联立方程可得，利用向量的线性关系可得，最后利用导函数正负结合单调性得出参数范围即可求解.
（1）由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：.
（2）由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，.
由得：，，
则，由得：，
从而，
令，由于，
则，
所以在上单调递增，从而，
即，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
22．【答案】（1）证明：由题意得：，.
所以
，
从而，
又，，
所以，，
，
所以
，
从而；
（2）解：，所以切线的斜率为，
从而切线方程为，
由，
得：，
所以，又，
所以的面积，
于是问题转化为关于m的方程在上有解，
即在上有解或在上有解，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
综上得的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用面积公式可得结合向量的夹角公式计算证明即可；
（2）先求出切线方程可得再结合面积公式，最后求出导函数判断函数的单调性即可求出参数范围即可求解.
（1）由题意得：，.
所以
，
从而，
又，，
所以，，
，
所以
，
从而；
（2），所以切线的斜率为，
从而切线方程为，
由，
得：，
所以，又，
所以的面积，
于是问题转化为关于m的方程在上有解，
即在上有解或在上有解，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
当时，，
所以在上单调递增，故而，
综上得的取值范围为.
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