贵州省贵阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
1．（2024高二下·贵阳期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：依题意得，，
则.
故答案为：C.
【分析】先利用一元一次不等式求解方法得出集合A，再根据交集的运算法则得出集合.
2．（2024高二下·贵阳期末）某同学测得连续7天的最低气温（单位：℃）分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为（ ）
A．15 B．17 C．17.5 D．18
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将连续7天的最低气温数据从小到大排列为：，
，则该组数据的第70百分位数为18.
故答案为：D.
【分析】根据第70百分位数的定义求解即可.
3．（2024高二下·贵阳期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，
又因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
4．（2024高二下·贵阳期末）设等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．63 C． D．31
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，
再由，可得，解得，则．
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，由题意结合等比数列的性质求得，再由，解得，利用等比数列的前项和公式代入求值即可.
5．（2024高二下·贵阳期末）已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：直线和 是函数图象的对称轴 ，则在和处取的最值；
A、，，
符合题意，故A正确；
B、，不符合题意，故B错误；
C、，不符合题意，故C错误；
D、，不符合题意，故D错误.
故答案为：A.
【分析】由题意可得当或时，取得最值，代入检验即可.
6．（2024高二下·贵阳期末）在正方体中，为的中点，为的中点，则下列直线与不垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、在正方体中，，，
则，故A错误；
B、易知，，则，故B错误；
C、在正方体中，，，则，故C错误；
D、在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
取中点F，连接，，如图所示：
易知，则FE为在内的射影，
因为与FE不垂直，所以与不垂直，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据正方体的特征，结合线面垂直即可判断ABC；利用三垂直定理即可判断D.
7．（2024高二下·贵阳期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设切点为Q，已知，则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.
故答案为：A.
【分析】先由圆的切线的性质可求得=5，再利用两点间的距离公式并结合抛物线方程计算可得即可求解.
8．（2024高二下·贵阳期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，得；
由，得，
设直线与曲线切于点，
与曲线切于点，
则，
又因为，
由方程①②解得，
所以直线过点，斜率为1，
则直线的方程为．
故答案为：B.
【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据斜率相等建立方程①，利用两点坐标求斜率公式结合斜率相等建立方程②，则解方程组得出切点横坐标，从而得出切点坐标和直线的斜率，进而得出直线的方程.
9．（2024高二下·贵阳期末）复数满足，则（ ）
A．为纯虚数
B．
C．的实部不存在
D．复数在复平面内对应的点在第二象限
【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解： 复数满足， 则，解得或，
A、由或，可知为纯虚数，故A正确；
B、，故B正确；
C、或为纯虚数，实部为0，故C错误；
D、，则复数在复平面内对应的点为位于第二象限或第三象限，故D错误.
故答案为：AB．
【分析】先解方程求得或，再结合复数模公式，复数实部，虚部的区分，结合复数的几何意义求解即可．
10．（2024高二下·贵阳期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数的定义域为，对所有的，
都有，
令，则，
若，则，即，
则为常数，即，
AB、因为，所以，所以为奇函数，故A正确，B错误；
C、，当时，在上单调递增，故C正确；
D、是开口向上的二次函数，不可能恒成立，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】利用赋值法及化简即可判断AB；根据导函数的正负判断函数单调性即可判断CD.
11．（2024高二下·贵阳期末）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（ ）
A．的短轴长为4
B．上存在点，使得
C．上存在点，使得
D．与曲线重合
【答案】B,C,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、由题知，解得，则椭圆的C的短轴长为，故A错误；
BC、椭圆，易知，
设，则，
因为点在椭圆上，所以，即，
则，
因为，所以，所以，
则存在点使得，，故BC正确；
D、由的几何意义可知：
动点到定点的距离之和等于，
表示以为焦点，的椭圆，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意列式求得m，再求短轴长即可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围即可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义即可判断D.
12．（2024高二下·贵阳期末）已知向量.若三点共线，则 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量 ，则，
若三点共线，则，即，解得.
故答案为：.
【分析】先求出的坐标，再根据的坐标表示列式求解即可.
13．（2024高二下·贵阳期末）设是等差数列的前项和，且为常数，则 ．
【答案】2
【知识点】等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：等差数列的前项和，满足，
当时，，即，即，
当时，，两式相减得，
则，两式相减得．
因为数列为等差数列，所以数列的公差，则，解得．
故答案为：2.
【分析】利用的关系，结合等差数列的性质求解即可.
14．（2024高二下·贵阳期末）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为 ．
【答案】486
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：易知甲、乙、丙三个不同的社区的选法有种；
除甲、乙、丙外余下的4人，每人选择一个社区的方法有3种，则4人选择社区的方法种数为，
故所有不同的选择种数为.
故答案为：486.
【分析】先安排甲、乙、丙去三个不同的社区，再让余下4人选择所去社区，最后利用分步乘法计数原理列式计算即可.
15．（2024高二下·贵阳期末）在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）已知，求面积的最大值．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
即，即，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以；
（2）解：若，，由余弦定理，可得，
因为，所以，解得，
当且仅当时等号成立，
则的面积为，即面积的最大值为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由余弦定理结合重要不等式可得，最后通过三角形的面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理可得．
又，
所以，
所以，
即．
因为，所以，
所以，即，
又，
所以．
（2）由余弦定理可知，
即．
因为，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
则的面积为，
即面积的最大值为．
16．（2024高二下·贵阳期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）解：甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
则甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为；
（2）解：由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
由题意可知：随机变量X的可能取0，1，2，3，且随机变量X服从二项分布，，
，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出相应值的概率，列分布列，求期望即可.
（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望.
17．（2024高二下·贵阳期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取为的中点，连接，如图所示：
因为为棱的中点，所以，且．
又为棱的中点，所以，
因为且，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）解：取为的中点，为的中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，则，
平面的一个法向量为，
则，即平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）构造平行四边形证明线线平行，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法求夹角的余弦值即可.
（1）证明：取为的中点，连接．
因为为棱的中点，所以，且．
又为棱的中点，所以．
因为且，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）取为的中点，为的中点，连接．
因为为正三棱柱，所以两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．（2024高二下·贵阳期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
【答案】（1）解：不妨设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
因为焦点F到渐近线的距离为，所以，
又因为实轴长是虚轴长的倍，所以，则双曲线的标准方程为；
（2）解：由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
联立，消去y整理得，
由，得，
联立，解得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合双曲线渐近线求出，即可得双曲线的方程；
（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即可.
（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
19．（2024高二下·贵阳期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
【答案】（1）解：对任意，且，
即，解得，
因为，所以，即的取值范围为；
（2）证明：（ⅰ）设，则．
令，且，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，
令，则，
即．
故，
化简可得．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用给定定义结合分离参数法求解即可；
（2）（ⅰ）利用给定定义结合导数证明即可；
（ⅱ）利用给定定义结合裂项相消法证明即可.
（1）由题可知任意，且，
即，解得．
因为，所以，即的取值范围为．
（2）（ⅰ）证明：设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，，
令，则，
即．
故，
化简可得．
1 / 1贵州省贵阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
1．（2024高二下·贵阳期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·贵阳期末）某同学测得连续7天的最低气温（单位：℃）分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为（ ）
A．15 B．17 C．17.5 D．18
3．（2024高二下·贵阳期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·贵阳期末）设等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．63 C． D．31
5．（2024高二下·贵阳期末）已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·贵阳期末）在正方体中，为的中点，为的中点，则下列直线与不垂直的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·贵阳期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
8．（2024高二下·贵阳期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·贵阳期末）复数满足，则（ ）
A．为纯虚数
B．
C．的实部不存在
D．复数在复平面内对应的点在第二象限
10．（2024高二下·贵阳期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减
11．（2024高二下·贵阳期末）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（ ）
A．的短轴长为4
B．上存在点，使得
C．上存在点，使得
D．与曲线重合
12．（2024高二下·贵阳期末）已知向量.若三点共线，则 .
13．（2024高二下·贵阳期末）设是等差数列的前项和，且为常数，则 ．
14．（2024高二下·贵阳期末）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为 ．
15．（2024高二下·贵阳期末）在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）已知，求面积的最大值．
16．（2024高二下·贵阳期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
17．（2024高二下·贵阳期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2024高二下·贵阳期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
19．（2024高二下·贵阳期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：依题意得，，
则.
故答案为：C.
【分析】先利用一元一次不等式求解方法得出集合A，再根据交集的运算法则得出集合.
2．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将连续7天的最低气温数据从小到大排列为：，
，则该组数据的第70百分位数为18.
故答案为：D.
【分析】根据第70百分位数的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，
又因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
4．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，
再由，可得，解得，则．
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，由题意结合等比数列的性质求得，再由，解得，利用等比数列的前项和公式代入求值即可.
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：直线和 是函数图象的对称轴 ，则在和处取的最值；
A、，，
符合题意，故A正确；
B、，不符合题意，故B错误；
C、，不符合题意，故C错误；
D、，不符合题意，故D错误.
故答案为：A.
【分析】由题意可得当或时，取得最值，代入检验即可.
6．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、在正方体中，，，
则，故A错误；
B、易知，，则，故B错误；
C、在正方体中，，，则，故C错误；
D、在平面内的一条直线，若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直，
取中点F，连接，，如图所示：
易知，则FE为在内的射影，
因为与FE不垂直，所以与不垂直，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据正方体的特征，结合线面垂直即可判断ABC；利用三垂直定理即可判断D.
7．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设切点为Q，已知，则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.
故答案为：A.
【分析】先由圆的切线的性质可求得=5，再利用两点间的距离公式并结合抛物线方程计算可得即可求解.
8．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，得；
由，得，
设直线与曲线切于点，
与曲线切于点，
则，
又因为，
由方程①②解得，
所以直线过点，斜率为1，
则直线的方程为．
故答案为：B.
【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据斜率相等建立方程①，利用两点坐标求斜率公式结合斜率相等建立方程②，则解方程组得出切点横坐标，从而得出切点坐标和直线的斜率，进而得出直线的方程.
9．【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解： 复数满足， 则，解得或，
A、由或，可知为纯虚数，故A正确；
B、，故B正确；
C、或为纯虚数，实部为0，故C错误；
D、，则复数在复平面内对应的点为位于第二象限或第三象限，故D错误.
故答案为：AB．
【分析】先解方程求得或，再结合复数模公式，复数实部，虚部的区分，结合复数的几何意义求解即可．
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数的定义域为，对所有的，
都有，
令，则，
若，则，即，
则为常数，即，
AB、因为，所以，所以为奇函数，故A正确，B错误；
C、，当时，在上单调递增，故C正确；
D、是开口向上的二次函数，不可能恒成立，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】利用赋值法及化简即可判断AB；根据导函数的正负判断函数单调性即可判断CD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、由题知，解得，则椭圆的C的短轴长为，故A错误；
BC、椭圆，易知，
设，则，
因为点在椭圆上，所以，即，
则，
因为，所以，所以，
则存在点使得，，故BC正确；
D、由的几何意义可知：
动点到定点的距离之和等于，
表示以为焦点，的椭圆，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意列式求得m，再求短轴长即可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围即可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量 ，则，
若三点共线，则，即，解得.
故答案为：.
【分析】先求出的坐标，再根据的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】2
【知识点】等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：等差数列的前项和，满足，
当时，，即，即，
当时，，两式相减得，
则，两式相减得．
因为数列为等差数列，所以数列的公差，则，解得．
故答案为：2.
【分析】利用的关系，结合等差数列的性质求解即可.
14．【答案】486
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：易知甲、乙、丙三个不同的社区的选法有种；
除甲、乙、丙外余下的4人，每人选择一个社区的方法有3种，则4人选择社区的方法种数为，
故所有不同的选择种数为.
故答案为：486.
【分析】先安排甲、乙、丙去三个不同的社区，再让余下4人选择所去社区，最后利用分步乘法计数原理列式计算即可.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
即，即，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以；
（2）解：若，，由余弦定理，可得，
因为，所以，解得，
当且仅当时等号成立，
则的面积为，即面积的最大值为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由余弦定理结合重要不等式可得，最后通过三角形的面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理可得．
又，
所以，
所以，
即．
因为，所以，
所以，即，
又，
所以．
（2）由余弦定理可知，
即．
因为，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
则的面积为，
即面积的最大值为．
16．【答案】（1）解：甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
则甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为；
（2）解：由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
由题意可知：随机变量X的可能取0，1，2，3，且随机变量X服从二项分布，，
，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出相应值的概率，列分布列，求期望即可.
（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望.
17．【答案】（1）证明：取为的中点，连接，如图所示：
因为为棱的中点，所以，且．
又为棱的中点，所以，
因为且，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）解：取为的中点，为的中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，则，
平面的一个法向量为，
则，即平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）构造平行四边形证明线线平行，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法求夹角的余弦值即可.
（1）证明：取为的中点，连接．
因为为棱的中点，所以，且．
又为棱的中点，所以．
因为且，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）取为的中点，为的中点，连接．
因为为正三棱柱，所以两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：不妨设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
因为焦点F到渐近线的距离为，所以，
又因为实轴长是虚轴长的倍，所以，则双曲线的标准方程为；
（2）解：由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
联立，消去y整理得，
由，得，
联立，解得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合双曲线渐近线求出，即可得双曲线的方程；
（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即可.
（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
19．【答案】（1）解：对任意，且，
即，解得，
因为，所以，即的取值范围为；
（2）证明：（ⅰ）设，则．
令，且，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，
令，则，
即．
故，
化简可得．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用给定定义结合分离参数法求解即可；
（2）（ⅰ）利用给定定义结合导数证明即可；
（ⅱ）利用给定定义结合裂项相消法证明即可.
（1）由题可知任意，且，
即，解得．
因为，所以，即的取值范围为．
（2）（ⅰ）证明：设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，，
令，则，
即．
故，
化简可得．
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