辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题（PDF版、含答案）

东北育才高中 2024-2025 学年度下学期第二次月考
高二年级数学科试题
答题时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.“ a b”是“ ln a lnb”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知集合 A x | 1 x 3 ，B x | x m ，若 B CRA，则实数m的取值范围为
（ ）
A.m 1 B.m 1 C.m 3 D.m 1
3.曲线 y e1 x x2 在 x=1处的切线方程为（ ）
A. y 3 x B. y 2x C. y x 1 D. y 3x 1
4.等比数列{an}的前 10项的积为310 ，且 a3a4 1，则数列{an}的公比为（ ）
A. 3 B.3 C. 3 D. 3
5.抛掷两个骰子，观察掷得的点数，记事件M 为“两个骰子的点数不相同”，事件 N 为“点
数之和大于 8”，则在事件M 发生的条件下，事件N 发生的概率是（ ）
5 5 1 4
A. B. C. D.
6 9 3 15
6.设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，点 (n,Sn )（ n N *）在函数 f (x) Ax2 Bx C
（ A,B,C R）的图像上，则（ ）
A.C 0 1 B.若 A 0，则 n0 N
*
，使 Sn最大
C.若 A 0，则 n0 N
* *
，使 Sn最大 D.若 A 0，则 n0 N ，使 Sn最大
3
7.已知 a log9 3 3 ，b 0.25 ， c sin ，则 a，b， c的大小关系是（ ）4
A. c b a B. c8.小王到某公司面试，一共要回答 4道题，每道题答对得 2分，答错倒扣1分，设他每道题
答对的概率均为 p（0 p 1），且每道题答对与否相互独立，记小王答完 4道题的总得分
为 X ，则当 E(X ) D(X )取得最大值时， p （ ）
1 1 2 3
A. 4 B. C. D.3 3 4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
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9.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，
发现用模型 y cekx拟合比较合适.令 z ln y，得到 z 1.3x a，经计算发现 x, z满足下表：
天数 x（天） 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
则（ ）
A. c e0.2 B.c e 0.2 C. k 1.3 D. k 1.3
10.函数 f (x) aex ln x的图像可以是（ ）
A. B. C.
D.
11.已知数列 an 满足： a1 3，3nan (n 1)an 1，则下列说法正确的是（ ）
3n
A. an n
B. an 是单调递减数列
n 3
C.若对任意 n N*，都有 ( 1) an an 1，则 22
1 3
D.若Tn为数列 a
的前 n项和，则Tn
n 4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.函数 f (x) 1 x3 x2 的极大值为 .
3
ln x, x 0,
13.已知函数 f (x) 2 若直线 y kx与曲线 y f (x)有三个不同的交点，
x 2x, x 0,
则实数 k的取值范围是 .
14.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状
完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 k 1次从与第 k次取出的球颜色相同的箱子
1
内取出一球，然后再放回去．记第 n次取出的球是红球的概率为 Pn，若有 Pn 1 Pn B，4
则常数 B ，且
Pn （用含有正整数 n的式子表示）.
第 2页 共 4 页
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知公差大于1的等差数列 an 中， a2 3，且 a1 1， a3 1， a6 3成等比数列.
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
1 1 1
（Ⅱ）设数列 的前 n项和为 Sa a n
，求证： Sn ．
n n 1 3 2
16．（本小题满分 15 分）
跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力.
2024年暑假期间，某高中以 2023年入学（以下称 2023级）的学生为试点，倡议学生每天
坚持不超过半小时的跳绳锻炼.开学后，对 2023级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，
并从中随机抽查了 100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），
得到如下数据：
人数 5 10 20 15 15 10 15 10
每周跳绳的累计时
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
间（单位：小时）
成绩区间
[90,100) [120,130) [140,150) [170,180) [170,180) [160,170) [180,190) [190,200)
（单位：个）
（Ⅰ）请完成下面列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学
生每周跳绳的累计时间有关”；
跳绳个数不少于 170个 跳绳个数不足 170个 合计
每周跳绳的累计时间不少于 2小时
每周跳绳的累计时间不足 2小时
合计
（Ⅱ）将测试成绩位于区间[170,190)之内评定为“良好”，位于区间[190,200)之内评定为“优
秀”.在被抽查的这 100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取 11人，再
从这 11人中随机抽取 3人，记这 3人中被评定为“优秀”的人数为 X ，求 X 的分布列和
数学期望 E(X )．
2 n(ad bc)2
附： ，其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( 2 k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
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17．（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) ax2 ax ln x，
（Ⅰ）若曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程为 y mx 2，求实数 a，m的值；
（Ⅱ）若对于任意 x 1， f (x) ax a恒成立，求实数 a的取值范围.
18.（本小题满分 17 分）
近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的
“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与
能效比均在大幅提升．
（Ⅰ）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包
1
括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为 P1 ，25
P 12 ，P
1
24 3
.
23
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率 P0；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过
筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记 A表示事件“某
芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，无需说明理由，请
直接写出 P(A | B)与P(A | B)的大小关系；
（Ⅱ）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标 服从正态分布 N (5.40,0.052)，现从中
随机抽取 M个，这 M个芯片中恰有 m个的质量指标 位于区间 (5.25,5.45)．若 m=24，将
使得 P(m 24)的最大的 M值 M0作为 M的估计值，试求 M0的值．
参考数据： P( ) 0.6827， P( 3 3 ) 0.9973．
19．（本小题满分 17 分）
设函数 y f (x)在区间D上的导函数为 f (x)，且 f (x)在D上存在导函数 f (x)（其中
f (x) [ f (x)] ）. 定义：若区间D上 f (x) 0恒成立，则称函数 f (x)在区间D上为
凹函数.
（Ⅰ）判断函数 f (x) x 1 在区间 (0, )上是否为凹函数？并说明理由；
x
a g(x) 1 2x 1 2（Ⅱ）是否存在实数 ，使得函数 ae x (ln x 3 ln a ) 在区间 (0, )上为
2 2 2
凹函数？若存在，求实数 a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）设 k Z 且 k 0，对于任意的 x 0, 1 ln x 1 k，不等式 成立，求 k的最
x x 1
大值．
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东北育才高中 2024-2025 学年度下学期第二次月考
高二年级数学科试题 （答案）
答题时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.“ a b”是“ ln a lnb”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当0 a b时，对数无意义；反之，由 ln a lnb，得 a b 0，则 a b成立. 故
“ a b”是“ ln a lnb”的必要不充分条件. 故选：B
2.已知集合 A x | 1 x 3 ，B x | x m ，若 B CRA，则实数m的取值范围为
（ ）
A.m 1 B.m 1 C.m 3 D.m 1
【答案】A
【详解】因为CRA x | x 1或x 3 ，若 B CRA，则m 1.故选：A.
3.曲线 y e1 x x2 在 x=1处的切线方程为（ ）
A. y 3 x B. y 2x C. y x 1 D. y 3x 1
【答案】C
【详解】对函数 y e1 x x2 求导得 y e1 x 2x ,故当 x=1时,斜率 k e1 1 2 1，又
切线过点 (1,2)，故切线方程为 y 2 (x 1)，即 y x 1. 故选：C.
4.等比数列{an}的前 10项的积为310 ，且 a3a4 1，则数列{an}的公比为（ ）
A. 3 B.3 C. 3 D. 3
【答案】A
【详解】 {a } q a a a2q5n 为等比数列，设其公比为 ，由 3 4 1 1，知 q 0，又
a a a 3101 2 10 , a a
2 9
1 10 a1 q 9， q
4 9，故 q 3故选：A.
第 5页
5.抛掷两个骰子，观察掷得的点数，记事件M 为“两个骰子的点数不相同”，事件 N 为“点
数之和大于 8”，则在事件M 发生的条件下，事件N 发生的概率是（ ）
5 5 1 4
A. B. C. D.
6 9 3 15
【答案】D
【详解】事件M 包含的基本事件有 30个，则 P M 6 5 5 2 ，事件MN 包含的基本事6 6
8 2 P MN 4
件有 8个，则 P MN ，所以 P(N |M )
62 ．故选：D．9 P M 15
6.设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，点 (n,Sn )（ n N *）在函数 f (x) Ax2 Bx C
（ A,B,C R）的图像上，则（ ）
A.C 0 1 *B.若 A 0，则 n0 N ，使 Sn最大
*
C.若 A 0，则 n0 N ，使 Sn最大 D.若 A 0，则 n0 N
*
，使 Sn最大
【答案】D
【详解】因为等差数列 a n S na 1n 的前 项和 n 1 n(n 1)d
1
dn 2 1 (a1 d )n（ d 为2 2 2
* 1 2 1
公差），所以 n N ，点 (n,Sn )在函数 y dx (a1 d )x 的图像上，故在 f (x)中，2 2
A 1 d，B 1 a1 d ，C 0 C
0 00.所以 无意义，选项 A 错误；若 A 0，则 d 0，
2 2
Sn na
*
1，当 a1 0时，不存在 n0 N ，使 Sn最大，选项 B 错误；若 A 0，则 d 0，
Sn有最小值，无最大值，选项 C错误；若 A 0，则 d 0， Sn有最大值，选项 D 正确.故
选：D.
3
7.已知 a log 3 3 ，b 0.259 ， c sin ，则 a，b， c的大小关系是（ ）4
A. c b a B. c【答案】B
3
【详解】 a log 3 3 log 3 2 32 ，设 f (x) sin x x9 ， x [0, ]，则3 4 2
f (x) cos x 1 0，∴ f (x)在[0, ] 3 3 3上单调递减，∴ f ( ) sin f (0) 0 ∴
2 4 4 4
第 6页
3 3 c a 1 4 256
1 1
sin ，故 4，∵ ( 4 )4 ，而 ( ) 3.16 ，∴ ( 4 )
4 ( 4)4 4，∴ 4 ，
4 4 3 81 3 3
1

∴ 4 3 即 0.25
3
，故b a，∴ c4 4
8.小王到某公司面试，一共要回答 4道题，每道题答对得 2分，答错倒扣1分，设他每道题
答对的概率均为 p 0 p 1 ，且每道题答对与否相互独立，记小王答完 4道题的总得分为 X ，
则当 E X D X 取得最大值时， p （ ）
1 1 2 3
A. 4 B. C. D.3 3 4
【答案】C
【详解】设答对题的个数为Y，由已知可得Y B 4, p ，所以 E Y 4p，
D Y 4p 1 p ，因为每道题答对得 2分，答错倒扣1分，X 为小王答完 4道题的总得分，
所以 X 2Y 4 Y 3Y 4，所以 E X 3E Y 4 12p 4，
D X 9D Y 9 4p 1 p 36p 1 p ，所以
2 2
E X D X 36p 2 48p 4 36 p 2

12 ，又 0 p 1，所以当 p 时，
3 3
E X D X 取最大值，最大值为 12.故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，
发现用模型 y cekx拟合比较合适.令 z ln y，得到 z 1.3x a，经计算发现 x, z满足下表：
天数 x (天) 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
则（ ）
A. c e0.2 B.c e 0.2 C. k 1.3 D. k 1.3
【答案】BC
第 7页
x 2 3 4 5 6 4 z 1.5 4.5 5.5 6.5 7【详解】因为 ， 5，所以 z 1.3x a的中心
5 5
点为(4，5)，代入 z 1.3x a，可得 a 5 1.3 4 0.2，由 z ln y， y cekx，则
z ln cekx kx ln c，所以 k 1.3, ln c a 0.2，即 c e 0.2 .故选：BC.
10.函数 f (x) aex ln x的图像可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
x
【详解】当 a 0是， f x lnx，故 A符合；当 a 0时， f x ae lnx在 0,
上单调递减，且 f 1 ae ln1<0，故 B符合；当a 0时，由 f x aex 1 为 0, 上
x
x 1 1
的单调递增函数，令 f x 0，则 ae 0，即 a x ，因为 y ex x，可得x e x
y ex x 1 0，所以 y exx在 0, 上的单调递增函数，所以 y ex x e0 0 0，
1
所以 a x 有唯一解 x0 0, ，当 0, x0 时，f x 0，当 x0 , 时，f x 0，e x
所以函数 f x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增，故 D正确.故选：ABD.
11.已知数列 an 满足： a1 3，3nan (n 1)an 1则下列说法正确的是（ ）
n
A. a 3n n
B. an 是单调递减数列
3
C.若对任意 n N* n，都有 ( 1) an an 1，则 22
1 3
D.若Tn为数列 的前 n项和，则T
a
n
n 4
【答案】ACD
a 3n
【详解】由3na n 1 a n 1n n 1，可得 a ，故n n 1
第 8页
an an 1 a2 3 n 1 3 n 2a a 3 2 3 1 3 3
n
n 1 ,a1 3也符合，an 1 an 2 a1 n n 1 3 2 n
n 3 a 3n 2n 1
故 a 3 ，a 3 n 1 1 1 a a an n 3
9，A正确；由于
3 an n 1 n 1
，故 n 1 n，因此 n
n n an 1 n 1
是单调递增数列，B错误；由 ( 1) an an 1可定 ( 1) 3 3 1 ，an n 1

n 1
当 n为偶数时，则 3(1 1 )min 恒成立，由于 f n 1
1
单调递增，故
n 1 n 1
3 1
1
2，当 n为奇数时，则 3(1
1 1
)min 恒成立，由于 f n 1 2 1 n 1 n 1
1 3 n 3
单调递增，故 3(1 ) ，故对任意 * ，都有 ( 1) a a ，则 2，
1 1 2 n N n n 1 2
故 C正确；利用错位相减法得T 3 2n 3 3n n ，D正确， 故选：ACD.4 4 3 4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12.函数 f (x) x3 x2 的极大值为 .
3
【答案】0
ln x, x 0,
13.已知函数 f (x) 2 若直线 y kx与曲线 y f (x)有三个不同的交点，
x 2x, x 0,
则实数 k的取值范围是 .
【答案】 2,0 1 e
1 ln x
【详解】设 y ln x与 y kx相切于点 (x0 , ln x0 )，则 k y |
0
x x 0 x x ，解得
x0 e，
0 0
k 1
y kx
此时 ，由 得 x22 (k 2)x 0，由 0可得 k 2，此时切点e y x 2x, x 0
为 (0,0)，作出函数 y kx与 y f x 1的图象如图，由图象可知，当 2< k 0或 k 时，
e
直线 y kx与 y f x 有三个不同的交点，
14.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状
完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 k 1次从与第 k次取出的球颜色相同的箱子
第 9页
1
内取出一球，然后再放回去．记第 n次取出的球是红球的概率为 Pn，若有 Pn 1 Pn B，4
则常数 B ，且 Pn （用含有正整数 n的式子表示）.
3 2 (2n 1) 1 1 1【答案】 ， （也可写作 ） （第一空 2 分，第二空 3 分）
8 2 22n 1 2
【详解】第 n次取出的球是红球的概率为 Pn，则取出的球为白球的概率为1 Pn ，对于第 n 1
5
次取出的球是红球有两种情况：①红球从红箱中取出，其概率为 Pn；②红球从白箱中取8
3 (1 P ) 5 3P P 3 (1 P ) 1 P 3 B P 1 3出，其概率为 n ，所以 n 1 n n n ，所以 . 由 n 1 Pn ，8 8 8 4 8 8 4 8
1 1 1 1 1
得 Pn 1 (Pn )，令 Pn an ，则 an 1 a a P
1 5 1 1
n ，且 1 1 ，则数列2 4 2 2 4 2 8 2 8
a 1 1 1 n 1n 为等比数列，且公比为 ，所以 an ( ) 2 (2n 1) P 2 (2n 1)
1
，则 n .故答案4 8 4 2
3 (2n 1) 1
为： ， 2 .
8 2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知公差大于1的等差数列 an 中， a2 3，且 a1 1， a3 1， a6 3成等比数列.
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
1 n S 1 1（Ⅱ）设数列 的前 项和为 n，求证： Sn .
anan 1 3 2
解：（Ⅰ）设 an 的公差为 d （ d 1），
(a 1)2由 3 (a1 1)(a6 3) ， a2 3，
(a 2得 2 d 1) (a2 d 1)(a2 4d 3) 即 (2 d)
2 (4 d) 4d ，
2
解得 d 2或 d ，∵ d 1，∴
5
d 2， ……………………………4分
∴
an a2 (n 2)d 2n 1 ……………………………
6分
第 10页
1 1 1 ( 1 1（Ⅱ） )anan 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
，

∴
S 1n (1
1 1 1
1 1 1 ) (1 1 ) ， ……………………………
2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1
9 分
1 1
∵ n N * ，∴ 2n 1 3，∴0 ，
2n 1 3
2 1 1 1 1 1 1∴ 1， (1 ) ，
3 2n 1 3 2 2n 1 2
∴
1 S 1 n ． ……………………………133 2
分
16．（本小题满分 15 分）
跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力.
2024年暑假期间，某高中以 2023年入学（以下称 2023级）的学生为试点，倡议学生每天
坚持不超过半小时的跳绳锻炼.开学后，对 2023级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，
并从中随机抽查了 100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），
得到如下数据：
人数 5 10 20 15 15 10 15 10
每周跳绳的
累计时间（单 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
位：小时）
成绩区间 [90,100) [120,130) [140,150) [170,180) [170,180) [160,170) [180,190) [190,200)
（单位：个）
（Ⅰ）请完成下面列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学
生每周跳绳的累计时间有关”；
跳绳个数不少于 170个 跳绳个数不足 170个 合计
每周跳绳的累计时间不少于 2小时
每周跳绳的累计时间不足 2小时
合计
（Ⅱ）将测试成绩位于区间[170,190)之内评定为“良好”，位于区间[190,200)之内评定为“优
秀”.在被抽查的这 100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取 11人，再
从这 11人中随机抽取 3人，记这 3人中被评定为“优秀”的人数为 X ，求 X 的分布列和
数学期望 E(X )．
第 11页
2 n(ad bc)2
附： ，其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( 2 k ) 0.100 0.050 0.010 0.0010
k 2.706 3.841 6.635 10.8280
解：（Ⅰ）依题意补全列联表如下：
跳绳个数不少于 170个 跳绳个数不足 170个 合计
每周跳绳的累计时间不少于 2小时 40 10 50
每周跳绳的累计时间不足 2小时 15 35 50
合计 55 45 100
…………
…………………2 分
因为
2 100 (40 35 15 10) 2 2500 25.253 10.828， ………………………
55 45 50 50 99
……5分
所以有 99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有
关”. …………6分
（Ⅱ）对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取 11人，其中被评定为“良好”的有 9
人，被评定为“优秀”的有 2人，则 X 的可能值为 0，1，
2. ……………………………8分
3
P(X 0) C 9 ，
C311
P(X 1) C
2C1 24 C1C2 3
9 23 P(X 2)
9 2
3 ， …………………………11 分C11 55 C11 55
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 28 24 3
55 55 55
…………
………………13 分
第 12页
X 的数学期望
E(X ) 0 28 1 24 3 6 2 . …………………………
55 55 55 11
15 分
17．（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) ax2 ax ln x，
（Ⅰ）若曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程为 y mx 2，求实数 a，m的值；
（Ⅱ）若对于任意 x 1， f (x) ax a恒成立，求实数 a的取值范围.
解：（Ⅰ）因为 f (x) 2ax
1
a ，所以 f (1) a 1， f (1) 0，
x
所以曲线 f (x)在 x 1处的切线方程为 y 0 (a 1)(x 1)，即 y (a 1)x (1 a) ，
………………
…………3分
m a 1
所以 ，得 a 1，
2 1 a
m 2， …………………………5 分
（Ⅱ）令 F (x) f (x) ax a ，依题意， F (x) ax2 a ln x 0对 x 1恒成立，
F (x) 2ax 1 2ax
2 1
因为 ， x 1
x x
1°当 a 0时， F (x) 0，此时 F (x)在 [1, )上单调递减，
所以 x 1时， F (x) F (1) 0，不符题意，舍
去． …………………………8分
2a(x 1 )(x 1 )
2°当 a 0时， F (x) 2a 2a ， x 1
x
1 1 1 1
①当 1，即 0 a 时，由 F (x) 0，得1 x ，所以 F (x)在[1, )上单调
2a 2 2a 2a
递减，故 x (1, 1 )时， F (x) F (1) 0，不符题意，舍
2a
去． …………………………11 分
1 1
②当 0 1，即 a 时， F (x) 0，所以 F (x)在[1, )上单调递增，
2a 2
所以 x 1 1时， F (x) F (1) 0，符合题意，所以 a ．
2
第 13页
综上，
a 1 . …………………
2
………15 分
18.（本小题满分 17 分）
近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的
“心
脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效
比均
在大幅提升．
（Ⅰ）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包
1
括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为 P1 ，25
P 1 P 12 ， .24 3 23
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率 P0；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过
筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记 A表示事件“某
芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，无需说明理由，请
直接写出 P(A | B)与P(A | B)的大小关系；
2
（Ⅱ）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标 服从正态分布 N (5.40,0.05 )，现从中
随机抽取 M个，这 M个芯片中恰有 m个的质量指标 位于区间 (5.25,5.45)．若 m=24，将
使得 P(m 24)的最大的 M值 M0作为 M的估计值，试求 M0的值．
参考数据： P( ) 0.6827， P( 3 3 ) 0.9973．
解 ：（ Ⅰ ） ① 进 入 第 四 道 工 序 前 ， 该 款 芯 片 的 次 品 率 为
P 1 1 1 30 1 (1 P1)(1 P2 )(1 P3 ) 1 (1 )(1 )(1 ) 25 24 23 25
… … …
…………………5 分
②
第 14页
P(A | B) P(A | B) ………………………
…7 分
（证明： P(A | B) P(A | B) P(AB) P(AB) P(AB)P(B) P(AB)P(B)
P(B) P(B) P(B)P(B)
P(AB)[1 P(B)] [P(A) P(AB)]P(B) P(AB) P(A)P(B)

P(B)P(B) P(B)P(B)
P(B | A) P(B)，∴ P(A)P(B | A) P(A)P(B)，
∴ P(AB) P(A)P(B)，
∴ P(A | B) P(A | B) ）
（Ⅱ） P(5.25 5.45) P(5.40 3 0.05 5.40 0.05) P( 3 )
P( ) P( 3 3 ) 0.6827 0.9973
0.84
2 2
…………9分
依题意，m B(M ,0.84)， P(m 24) C 24 24 M 24M 0.84 0.16 ，
设 f (x) C 24 0.8424 0.16 x 24x ，
f (x) f (x 1) C 24 0.8424 0.16 x 24 C 24 0.8424x x 1 0.16
x 23
由 得f (x) f (x 1) C 24 0.8424 x
，
24 24 24 x 25
x 0.16 Cx 1 0.84 0.16
193 x 200解得 ，又 x N ，所以 x 28，
7 7
所 以 M 的 估 计 值 M 0 为
28 . ………………………………………………………………17 分
19．（本小题满分 17 分）
设函数 y f (x)在区间D上的导函数为 f (x)，且 f (x)在D上存在导函数 f (x)（其中
f (x) [ f (x)] ）. 定义：若区间D上 f (x) 0恒成立，则称函数 f (x)在区间D上为凹
函数.
（Ⅰ）判断函数 f (x) x 1 在区间 (0, )上是否为凹函数？并说明理由；
x
第 15页
a g(x) 1 ae2x 1 x2（Ⅱ）是否存在实数 ，使得函数 (ln x ln a 3 ) 在区间 (0, )上为
2 2 2
凹函数？若存在，求实数 a的取值范围；若不存在，请说明理由．
1 ln x 1 k
（Ⅲ）设 k Z 且 k 0，对于任意的 x 0, ，不等式 成立，求 k的最
x x 1
大值．
解：（Ⅰ）∵ f (x) x 1 ，∴ f (x) 1 2 2 ， f (x) x x x3
∵ x 0时， f (x) 0，
f (x) x 1∴函数 在区间 (0, )上是凹函
x
数. …………………………3 分
g(x) 1 ae2x 1 x2(ln x ln a 3（Ⅱ）∵ ) ，
2 2 2
∴ g (x) ae2x x(ln x ln a 3) 1 x ， g (x) 2ae2x ln x ln a ，
2 2
若 g(x)在区间 (0, )上为凹函数，
则 g (x) 2ae2x ln x ln a 0在 (0, )上恒成立，
2ae2x ln x ln a ln x 2x 1 x∴ ，即 2e ln 在 (0, )上恒成立，
a a a
x
∴ 2xe2x x
ln
ln x ln x e a 在 (0, )上恒成立，
a a a
ln x x当 0时，显然成立，下面讨论 ln 0的情况，
a a
令 h(x) xe x （ x 0），则 h (x) (x 1)e x ，
∵ x 0时， h (x) 0，∴ h(x)在 (0, )上为增函数，
x
由 2xe2x
ln x x x
ln x e a ，得 gh(2x) h(ln )，∴ 2x ln 2x，即 e ，
a a a a
x
即 x 0时， a 恒成立，
e2x
设 (x) x 1 2x 2x （ x 0），则 (x) e e2x
，
1
当0 x
1
时， (x) 0，所以 (x)在 (0, )上单调递增，
2 2
当 x
1
时， (x) 0 1，所以 (x)在 ( , )上单调递减，
2 2
1
所以 x ( ) 1 1，则 a ，
2 2e 2e
第 16页
故存在实数 a，使得 g(x)在区间 (0, )上为凹函数，a的取值范围为
( 1 , ) . ……………10 分
2e
（Ⅲ）∵ x 0, 1 ln x 1 k x 1 1 ln x 1 ，∴ k ，
x x 1 x
x 1 1 ln x 1 x ln x 1 1令 F x ， 则 F x ，
x x2
令G x x ln x 1 1 1 x，则G x 1 ，
x 1 x 1
当 x 0, 时，G x 0，G x 在区间 0, 上单调递增，
又∵G 2 1 ln3 0，G 3 2 ln 4 0，
∴存在 x0 2,3 ，使G x0 x0 ln x0 1 1 0，
∴当 x 0, x0 时，G x 0， F x 0， F x 在区间 0, x0 上单调递减，
当 x x0 , 时，G x 0， F x 0， F x 在区间 x0 , 上单调递增，
x 1 1 lnx x 0, F x F x 0 0
1
∴当 时， 的最小值为 0 ，x0
x 1 1 x 1 由G x x 0 0 ln x0 1 1 0 ln x 1 x 1 F x 0 0，有 0 0 ，∴ 0 x0 1，x0
x 2,3 F x 3,4 x 1 1 ln x 1 ∵ 0 ，∴ 0 ，又∵ k F x 恒成立，∴ k F x0 ，
x
∵ k Z 且 k 0，∴ k的最大值为
3 . …………………………………………17 分
第 17页