广西钦州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
1．（2024高二下·钦州期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（ ）
A．可能存在负相关 B．可能存在正相关
C．一定存在正相关 D．一定存在负相关
【答案】A
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，
所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关.
故答案为：A．
【分析】根据散点图和相关关系的定义，从而判断出变量x与y之间的线性相关性．
2．（2024高二下·钦州期末）在等比数列中，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
则．
故答案为：C.
【分析】由已知条件和等比数列的性质，从而得出等比数列第三项的值.
3．（2024高二下·钦州期末）已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为：D.
【分析】利用二项分布的方差公式，从而计算得出随机变量X的方差.
4．（2024高二下·钦州期末）已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，
则．
注意到在上单调递增，在上单调递减.
则，
所以，
则a的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由可得，结合函数单调性得出，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，从而得出a的最小值.
5．（2024高二下·钦州期末）甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（ ）
A．10种 B．5种 C．12种 D．6种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先选出2节相邻的车厢有5种方法，
再将甲、乙两人排列有种方法，
所以，两人乘坐的车厢相邻的方案共有种．
故答案为：A.
【分析】先选出2节相邻的车厢，有5种方法，再将两人排列有种方法，再利用分步乘法计数原理，从而得出两人乘坐的车厢相邻的方案共有的种数.
6．（2024高二下·钦州期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“选出类试题”为事件，
“选出类试题”为事件，
“甲答对题目”为事件，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和条件概率公式以及全概率公式，从而计算得出从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率.
7．（2024高二下·钦州期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，
由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
由题意得
则
解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得，再利用等差中项定义，从而判断出羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，再结合等差数列的通项公式，从而列出关于首项和公差的方程组，进而解方程组得出首项和公差的值，则得出羊的主人应赔偿的粟的斗数.
8．（2024高二下·钦州期末）已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，
则，
所以单调递减，
由，
得，
所以．
故答案为：B.
【分析】利用导数的四则运算，构造函数，则，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性得出不等式的解集.
9．（2024高二下·钦州期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从正态分布，
所以正态分布的对称轴为 ，
根据对称性可知：，得，故A正确、B错误；
则，故C错误、D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二下·钦州期末）已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意得的导函数有两个变号零点，
由，
得恒成立，单调递增，无极值点，故A错误；
由，
得，
令，得，
因为是导函数的变号零点，
所以有2个极值点，故B正确；
由，得，
令，得，
因为，
所以有两个异号零点，
所以函数有2个极值点，故C正确；
由，得，
令，得，是唯一的变号零点，
所以函数只有1个极值点，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】由题意，将函数有2个极值点转化为判断导函数有2个变号零点，从而逐项判断找出函数的解析式.
11．（2024高二下·钦州期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
得或（舍），此时为常数列，故A正确；
对于B，因为，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
对于C，若，，
所以，故C错误；
对于D，若，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
则数列单调递减，
所以，
当时，；
当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据常数列的定义结合已知条件，则判断出选项A；根据等比数列的定义判断为常数，则判断出选项B；根据等比数列的公比，从而求出数列的首项，再利用等比数列的前项和公式判断出选项C；结合数列的通项公式和函数的单调性的定义，从而判断出数列的单调性，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·钦州期末）某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为，则在第2秒时该电路的电流为 A．
【答案】15
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：由题意得，
则，
所以，第2秒时该电路的电流为15A．
故答案为：15.
【分析】根据导数定义与瞬时变化率的关系，从而得出在第2秒时该电路的电流.
13．（2024高二下·钦州期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 ．
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，
第3次摸到黑球的概率为．
故答案为：.
【分析】根据已知条件和条件概率公式，再结合样本空间，从而得出在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率.
14．（2024高二下·钦州期末）若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：当，时，
在上单调递减，在上单调递增，
则不是单射函数；
当，时，
在上单调递增，在上单调递减，
则不是单射函数；
当，或，时，
，
则不是单射函数；
当，时，不是单射函数；
当，时，是单射函数；
当，时，是单射函数，
则是单射函数的概率为．
故答案为：.
【分析】对于分类讨论，再结合对勾函数的单调性和古典概率公式，从而得出函数是单射函数的概率．
15．（2024高二下·钦州期末）已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
解得，
因为，
可得，解得，
所以.
（2）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，可得，
从而求出，的值，再结合等差数列的通项公式，从而得到数列的通项公式.
（2）由（1）结合数列的通项公式，从而得出，再利用裂项相消法，从而求出数列的前项和.
（1）设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
（2），
所以
16．（2024高二下·钦州期末）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：
数学成绩 语文成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 400 200 600
不优秀 200 200 400
合计 600 400 1000
（1）判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附：，其中．当时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
【答案】（1）解：根据列联表中的数据，
计算得到：，
因为，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）解：由题意得，选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为，
不优秀的学生人数为，
则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为．
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用已知条件结合公式计算出的值，再和比较大小，从而判断出有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）先确定5人中优秀和不优秀的人数，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率.
（1）根据列联表中的数据，计算得到．
因为，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为，
不优秀的学生人数为，
则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为．
17．（2024高二下·钦州期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32．
（1）求n；
（2）求第4项的系数；
（3）求的展开式的常数项．
【答案】（1）解：由题意得，
所有偶数项的二项式系数之和为，
则，
所以．
（2）解：由题意得，
第4项为，
所以，第4项的系数为．
（3）解：因为，
在的展开式中，
含的项为，
常数项为，
所以的展开式的常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数和的性质得出n的值.
（2）根据二项式定理得出二项展开式的通项，再结合赋值法得出第4项的系数.
（3）利用分配律结合展开式的通项特征，从而得出的展开式的常数项．
（1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为，
得，即．
（2）由题意得第4项为，
所以第4项的系数为．
（3），
在的展开式中，含的项为，
常数项为，
所以的展开式的常数项为
18．（2024高二下·钦州期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
【答案】（1）解：因为甲每次参加笔试未通过的概率均为，
每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，
但两次面试均未通过的概率为，
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）解：由题意得的可能取值为，
则
所以的分布列为：
2 3 4
则．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，再分类讨论结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出甲在一年内考试失败的概率.
（2）由已知条件得出随机变量可能的取值，从而计算出相应的概率，进而写出随机变量X的分布列，再结合数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
2 3 4
故．
19．（2024高二下·钦州期末）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，
得，
则切线方程为，
当时，，
所以，
得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，
即证，
设，
则．
令，
则，
所以在上单调递减，
因为，
所以存在唯一，使得，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以
设，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
因为
（两个不等式中的等号不能同时成立），
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出函数的图象在点处的切线方程，则利用切点是公共点结合直线的斜率，从而求出的值.
（2）利用已知条件，将问题转化为证明，再构造函数和，分别利用导数判断函数和的单调性，从而求出的最大值和的最小值，进而只需，即可证出不等式成立.
（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，得，
则切线方程为，
当时，，所以，得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，即证．
设，则．
令，则，
所以在上递减，
因为，
所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以．
因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以，
即．
1 / 1广西钦州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
1．（2024高二下·钦州期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（ ）
A．可能存在负相关 B．可能存在正相关
C．一定存在正相关 D．一定存在负相关
2．（2024高二下·钦州期末）在等比数列中，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2024高二下·钦州期末）已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·钦州期末）已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·钦州期末）甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（ ）
A．10种 B．5种 C．12种 D．6种
6．（2024高二下·钦州期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·钦州期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2024高二下·钦州期末）已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·钦州期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·钦州期末）已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·钦州期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
12．（2024高二下·钦州期末）某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为，则在第2秒时该电路的电流为 A．
13．（2024高二下·钦州期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 ．
14．（2024高二下·钦州期末）若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为 ．
15．（2024高二下·钦州期末）已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·钦州期末）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：
数学成绩 语文成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 400 200 600
不优秀 200 200 400
合计 600 400 1000
（1）判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附：，其中．当时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
17．（2024高二下·钦州期末）在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32．
（1）求n；
（2）求第4项的系数；
（3）求的展开式的常数项．
18．（2024高二下·钦州期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
19．（2024高二下·钦州期末）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，
所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关.
故答案为：A．
【分析】根据散点图和相关关系的定义，从而判断出变量x与y之间的线性相关性．
2．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
则．
故答案为：C.
【分析】由已知条件和等比数列的性质，从而得出等比数列第三项的值.
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为：D.
【分析】利用二项分布的方差公式，从而计算得出随机变量X的方差.
4．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，
则．
注意到在上单调递增，在上单调递减.
则，
所以，
则a的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由可得，结合函数单调性得出，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，从而得出a的最小值.
5．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先选出2节相邻的车厢有5种方法，
再将甲、乙两人排列有种方法，
所以，两人乘坐的车厢相邻的方案共有种．
故答案为：A.
【分析】先选出2节相邻的车厢，有5种方法，再将两人排列有种方法，再利用分步乘法计数原理，从而得出两人乘坐的车厢相邻的方案共有的种数.
6．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“选出类试题”为事件，
“选出类试题”为事件，
“甲答对题目”为事件，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和条件概率公式以及全概率公式，从而计算得出从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，
由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
由题意得
则
解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得，再利用等差中项定义，从而判断出羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，再结合等差数列的通项公式，从而列出关于首项和公差的方程组，进而解方程组得出首项和公差的值，则得出羊的主人应赔偿的粟的斗数.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，
则，
所以单调递减，
由，
得，
所以．
故答案为：B.
【分析】利用导数的四则运算，构造函数，则，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性得出不等式的解集.
9．【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从正态分布，
所以正态分布的对称轴为 ，
根据对称性可知：，得，故A正确、B错误；
则，故C错误、D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意得的导函数有两个变号零点，
由，
得恒成立，单调递增，无极值点，故A错误；
由，
得，
令，得，
因为是导函数的变号零点，
所以有2个极值点，故B正确；
由，得，
令，得，
因为，
所以有两个异号零点，
所以函数有2个极值点，故C正确；
由，得，
令，得，是唯一的变号零点，
所以函数只有1个极值点，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】由题意，将函数有2个极值点转化为判断导函数有2个变号零点，从而逐项判断找出函数的解析式.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
得或（舍），此时为常数列，故A正确；
对于B，因为，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
对于C，若，，
所以，故C错误；
对于D，若，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
则数列单调递减，
所以，
当时，；
当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据常数列的定义结合已知条件，则判断出选项A；根据等比数列的定义判断为常数，则判断出选项B；根据等比数列的公比，从而求出数列的首项，再利用等比数列的前项和公式判断出选项C；结合数列的通项公式和函数的单调性的定义，从而判断出数列的单调性，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】15
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：由题意得，
则，
所以，第2秒时该电路的电流为15A．
故答案为：15.
【分析】根据导数定义与瞬时变化率的关系，从而得出在第2秒时该电路的电流.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，
第3次摸到黑球的概率为．
故答案为：.
【分析】根据已知条件和条件概率公式，再结合样本空间，从而得出在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：当，时，
在上单调递减，在上单调递增，
则不是单射函数；
当，时，
在上单调递增，在上单调递减，
则不是单射函数；
当，或，时，
，
则不是单射函数；
当，时，不是单射函数；
当，时，是单射函数；
当，时，是单射函数，
则是单射函数的概率为．
故答案为：.
【分析】对于分类讨论，再结合对勾函数的单调性和古典概率公式，从而得出函数是单射函数的概率．
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
解得，
因为，
可得，解得，
所以.
（2）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，可得，
从而求出，的值，再结合等差数列的通项公式，从而得到数列的通项公式.
（2）由（1）结合数列的通项公式，从而得出，再利用裂项相消法，从而求出数列的前项和.
（1）设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
（2），
所以
16．【答案】（1）解：根据列联表中的数据，
计算得到：，
因为，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）解：由题意得，选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为，
不优秀的学生人数为，
则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为．
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用已知条件结合公式计算出的值，再和比较大小，从而判断出有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）先确定5人中优秀和不优秀的人数，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率.
（1）根据列联表中的数据，计算得到．
因为，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
（2）由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为，
不优秀的学生人数为，
则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为．
17．【答案】（1）解：由题意得，
所有偶数项的二项式系数之和为，
则，
所以．
（2）解：由题意得，
第4项为，
所以，第4项的系数为．
（3）解：因为，
在的展开式中，
含的项为，
常数项为，
所以的展开式的常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式系数和的性质得出n的值.
（2）根据二项式定理得出二项展开式的通项，再结合赋值法得出第4项的系数.
（3）利用分配律结合展开式的通项特征，从而得出的展开式的常数项．
（1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为，
得，即．
（2）由题意得第4项为，
所以第4项的系数为．
（3），
在的展开式中，含的项为，
常数项为，
所以的展开式的常数项为
18．【答案】（1）解：因为甲每次参加笔试未通过的概率均为，
每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，
但两次面试均未通过的概率为，
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）解：由题意得的可能取值为，
则
所以的分布列为：
2 3 4
则．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，再分类讨论结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出甲在一年内考试失败的概率.
（2）由已知条件得出随机变量可能的取值，从而计算出相应的概率，进而写出随机变量X的分布列，再结合数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
2 3 4
故．
19．【答案】（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，
得，
则切线方程为，
当时，，
所以，
得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，
即证，
设，
则．
令，
则，
所以在上单调递减，
因为，
所以存在唯一，使得，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以
设，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
因为
（两个不等式中的等号不能同时成立），
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出函数的图象在点处的切线方程，则利用切点是公共点结合直线的斜率，从而求出的值.
（2）利用已知条件，将问题转化为证明，再构造函数和，分别利用导数判断函数和的单调性，从而求出的最大值和的最小值，进而只需，即可证出不等式成立.
（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，得，
则切线方程为，
当时，，所以，得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，即证．
设，则．
令，则，
所以在上递减，
因为，
所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以．
因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以，
即．
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