广西贵港市2023-2024年高二下学期期末教学质量监测数学试题
1．（2024高二下·贵港期末）若全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
所以．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，先利用交集的运算法则得出集合A和集合B的交集，再结合补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高二下·贵港期末）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为含的项为，
则所求的系数为．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和二项式定理求出二项展开式的通项公式，从而得出含的项的系数.
3．（2024高二下·贵港期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，得双曲线的渐近线方程为，
则．
故答案为：B.
【分析】利用双曲线的标准方程得出渐近线的斜率，再结合直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系式，再根据正切函数的单调性，从而得出的取值范围.
4．（2024高二下·贵港期末）已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意得，该正四棱柱的外接球的半径为，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为．
故答案为：D.
【分析】根据长方体外接球半径的等于长方体长方体体对角线的一半，再利用球的表面积公式计算得出该正四棱柱的外接球的表面积.
5．（2024高二下·贵港期末）若函数的定义域为，对任意，都有，则称为单射函数．若函数，则“”是“是单射函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，
所以不是单射函数，
当时，是单射函数，
所以“”是“是单射函数”的既不充分也不必要条件．
故答案为： D.
【分析】根据新定义的单射函数概念，再举反例结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．（2024高二下·贵港期末）把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意得，，
由，
得，
则，
所以的最小值为．
故答案为：C.
【分析】先根据余弦型函数的图象变换得到，再利用余弦型函数的对称中心和整体替换，从而得到的最小值.
7．（2024高二下·贵港期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，
由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
由题意得
则
解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得，再利用等差中项定义，从而判断出羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，再结合等差数列的通项公式，从而列出关于首项和公差的方程组，进而解方程组得出首项和公差的值，则得出羊的主人应赔偿的粟的斗数.
8．（2024高二下·贵港期末）已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，
则，
所以单调递减，
由，
得，
所以．
故答案为：B.
【分析】利用导数的四则运算，构造函数，则，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性得出不等式的解集.
9．（2024高二下·贵港期末）已知复数，则（ ）
A．的实部为
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得，
，
所以的实部为，虚部为，故A正确、B错误；
因为在复平面内对应的点位于第四象限，
故C正确、D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用复数的除法运算法则化简得出复数，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的定义以及复数的几何意义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二下·贵港期末）已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意得的导函数有两个异号零点，
由，
得恒成立，故A错误；
由，
得，
令，得，故B正确；
由，
得，
令，得，
因为，
所以有两个异号零点，故C正确；
由，得，
令，得，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件结合导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，进而得出函数可能的解析式.
11．（2024高二下·贵港期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
得或（舍），此时为常数列，故A正确；
对于B，因为，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
对于C，若，，
所以，故C错误；
对于D，若，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
则数列单调递减，
所以，
当时，；
当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据常数列的定义结合已知条件，则判断出选项A；根据等比数列的定义判断为常数，则判断出选项B；根据等比数列的公比，从而求出数列的首项，再利用等比数列的前项和公式判断出选项C；结合数列的通项公式和函数的单调性的定义，从而判断出数列的单调性，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·贵港期末）2018年至2023年某国财政收入增长速度分别为，则该组数据的分位数为 .
【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为该组数据从小到大依次为，
一共有6个数据，
因为，
所以该组数据的分位数为第四个数据.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和百分位数的求解方法，从而得出该组数据的分位数.
13．（2024高二下·贵港期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：依题意，如图：
由，，
得，
又因为，
由勾股定理得，
所以，
所以，
则．
故答案为：.
【分析】利用椭圆的定义和勾股定理，从而列出等式，再化简后得出a，c的关系式，从而变形得出椭圆的离心率.
14．（2024高二下·贵港期末）至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有 个．
【答案】42
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
在正五棱台中，仅经过5个顶点的平面有2个，
因为，
所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个，
类似于的平行线还有4组，
所以，仅经过4个顶点的平面有个，
则所求的平面共有个．
故答案为：42．
【分析】利用已知条件和五棱台的结构特征，再结合确定平面的方法，再根据组合数公式得出至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有的个数.
15．（2024高二下·贵港期末）已知锐角的内角的对边分别为，向量，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）解：由题意得，
由正弦定理得，
因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以．
（2）解：由，得，
因为，
所以，
由余弦定理得，
则．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合正弦定理和锐角三角形中角C的取值范围，从而得出角A的正弦值，再结合锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用已知条件和三角形的面积公式，从而得到关于b，c的方程，再结合，从而求出的值，再根据余弦定理得出的值.
（1）由题意得，
由正弦定理得，
又，所以，则，即．
因为，所以．
（2）由，
得，结合，得．
由余弦定理得，
得．
16．（2024高二下·贵港期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
【答案】（1）解：因为抛物线C上一点到点F的距离为4，
由抛物线定义，
可得，
，
抛物线的方程为．
（2）解：设直线，，设，，，，
将直线方程代入抛物线方程，
整理得，
需满足，
，
所以，
解得，
当时，满足，
则符合题意，
所以，直线方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和抛物线的定义，从而得出p的值，进而得出抛物线C的方程.
（2）利用已知条件，设直线，，，，，，联立直线与抛物线方程，再利用焦半径公式和判别式法，从而得出满足要求的m的值，进而得出直线l的方程.
（1）C上一点到点F的距离为4，
由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．
（2）设直线，，设，，，，
将方程代入方程整理得，需满足，
，
故，解得，
当时，满足，故符合题意，
故直线方程为
17．（2024高二下·贵港期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，设与相交于点，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则为的中点，
连接，
因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：因为，
所以，
因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
取的中点，连接，
因为是等腰梯形，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则
令，则，
可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的结构特征和中点的性质得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出平面．
（2）利用等腰三角形三线合一和面面垂直的性质定理以及等腰梯形的结构特征，则得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，设与相交于点，因为，
，所以为平行四边形，即为的中点．
连接，因为为的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面．
取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，则，可得．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．（2024高二下·贵港期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
【答案】（1）解：因为甲每次参加笔试未通过的概率均为，
每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，
但两次面试均未通过的概率为，
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）解：由题意得的可能取值为，
则
所以的分布列为：
2 3 4
则．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，再分类讨论结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出甲在一年内考试失败的概率.
（2）由已知条件得出随机变量可能的取值，从而计算出相应的概率，进而写出随机变量X的分布列，再结合数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
2 3 4
故．
19．（2024高二下·贵港期末）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，
得，
则切线方程为，
当时，，
所以，
得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，
即证，
设，
则．
令，
则，
所以在上单调递减，
因为，
所以存在唯一，使得，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以
设，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
因为
（两个不等式中的等号不能同时成立），
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出函数的图象在点处的切线方程，则利用切点是公共点结合直线的斜率，从而求出的值.
（2）利用已知条件，将问题转化为证明，再构造函数和，分别利用导数判断函数和的单调性，从而求出的最大值和的最小值，进而只需，即可证出不等式成立.
（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，得，
则切线方程为，
当时，，所以，得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，即证．
设，则．
令，则，
所以在上递减，
因为，
所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以．
因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以，
即．
1 / 1广西贵港市2023-2024年高二下学期期末教学质量监测数学试题
1．（2024高二下·贵港期末）若全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·贵港期末）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·贵港期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·贵港期末）已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·贵港期末）若函数的定义域为，对任意，都有，则称为单射函数．若函数，则“”是“是单射函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二下·贵港期末）把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·贵港期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2024高二下·贵港期末）已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·贵港期末）已知复数，则（ ）
A．的实部为
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．（2024高二下·贵港期末）已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·贵港期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
12．（2024高二下·贵港期末）2018年至2023年某国财政收入增长速度分别为，则该组数据的分位数为 .
13．（2024高二下·贵港期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ．
14．（2024高二下·贵港期末）至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有 个．
15．（2024高二下·贵港期末）已知锐角的内角的对边分别为，向量，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
16．（2024高二下·贵港期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
17．（2024高二下·贵港期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2024高二下·贵港期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
19．（2024高二下·贵港期末）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
所以．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，先利用交集的运算法则得出集合A和集合B的交集，再结合补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为含的项为，
则所求的系数为．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和二项式定理求出二项展开式的通项公式，从而得出含的项的系数.
3．【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，得双曲线的渐近线方程为，
则．
故答案为：B.
【分析】利用双曲线的标准方程得出渐近线的斜率，再结合直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系式，再根据正切函数的单调性，从而得出的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意得，该正四棱柱的外接球的半径为，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为．
故答案为：D.
【分析】根据长方体外接球半径的等于长方体长方体体对角线的一半，再利用球的表面积公式计算得出该正四棱柱的外接球的表面积.
5．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，
所以不是单射函数，
当时，是单射函数，
所以“”是“是单射函数”的既不充分也不必要条件．
故答案为： D.
【分析】根据新定义的单射函数概念，再举反例结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意得，，
由，
得，
则，
所以的最小值为．
故答案为：C.
【分析】先根据余弦型函数的图象变换得到，再利用余弦型函数的对称中心和整体替换，从而得到的最小值.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，
由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
由题意得
则
解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得，再利用等差中项定义，从而判断出羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，再结合等差数列的通项公式，从而列出关于首项和公差的方程组，进而解方程组得出首项和公差的值，则得出羊的主人应赔偿的粟的斗数.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，
则，
所以单调递减，
由，
得，
所以．
故答案为：B.
【分析】利用导数的四则运算，构造函数，则，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性得出不等式的解集.
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意得，
，
所以的实部为，虚部为，故A正确、B错误；
因为在复平面内对应的点位于第四象限，
故C正确、D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用复数的除法运算法则化简得出复数，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的定义以及复数的几何意义，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意得的导函数有两个异号零点，
由，
得恒成立，故A错误；
由，
得，
令，得，故B正确；
由，
得，
令，得，
因为，
所以有两个异号零点，故C正确；
由，得，
令，得，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件结合导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，进而得出函数可能的解析式.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
得或（舍），此时为常数列，故A正确；
对于B，因为，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
对于C，若，，
所以，故C错误；
对于D，若，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
则数列单调递减，
所以，
当时，；
当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据常数列的定义结合已知条件，则判断出选项A；根据等比数列的定义判断为常数，则判断出选项B；根据等比数列的公比，从而求出数列的首项，再利用等比数列的前项和公式判断出选项C；结合数列的通项公式和函数的单调性的定义，从而判断出数列的单调性，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为该组数据从小到大依次为，
一共有6个数据，
因为，
所以该组数据的分位数为第四个数据.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和百分位数的求解方法，从而得出该组数据的分位数.
13．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：依题意，如图：
由，，
得，
又因为，
由勾股定理得，
所以，
所以，
则．
故答案为：.
【分析】利用椭圆的定义和勾股定理，从而列出等式，再化简后得出a，c的关系式，从而变形得出椭圆的离心率.
14．【答案】42
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
在正五棱台中，仅经过5个顶点的平面有2个，
因为，
所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个，
类似于的平行线还有4组，
所以，仅经过4个顶点的平面有个，
则所求的平面共有个．
故答案为：42．
【分析】利用已知条件和五棱台的结构特征，再结合确定平面的方法，再根据组合数公式得出至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有的个数.
15．【答案】（1）解：由题意得，
由正弦定理得，
因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以．
（2）解：由，得，
因为，
所以，
由余弦定理得，
则．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合正弦定理和锐角三角形中角C的取值范围，从而得出角A的正弦值，再结合锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用已知条件和三角形的面积公式，从而得到关于b，c的方程，再结合，从而求出的值，再根据余弦定理得出的值.
（1）由题意得，
由正弦定理得，
又，所以，则，即．
因为，所以．
（2）由，
得，结合，得．
由余弦定理得，
得．
16．【答案】（1）解：因为抛物线C上一点到点F的距离为4，
由抛物线定义，
可得，
，
抛物线的方程为．
（2）解：设直线，，设，，，，
将直线方程代入抛物线方程，
整理得，
需满足，
，
所以，
解得，
当时，满足，
则符合题意，
所以，直线方程为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和抛物线的定义，从而得出p的值，进而得出抛物线C的方程.
（2）利用已知条件，设直线，，，，，，联立直线与抛物线方程，再利用焦半径公式和判别式法，从而得出满足要求的m的值，进而得出直线l的方程.
（1）C上一点到点F的距离为4，
由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．
（2）设直线，，设，，，，
将方程代入方程整理得，需满足，
，
故，解得，
当时，满足，故符合题意，
故直线方程为
17．【答案】（1）证明：连接，设与相交于点，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则为的中点，
连接，
因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：因为，
所以，
因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
取的中点，连接，
因为是等腰梯形，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则
令，则，
可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的结构特征和中点的性质得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出平面．
（2）利用等腰三角形三线合一和面面垂直的性质定理以及等腰梯形的结构特征，则得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，设与相交于点，因为，
，所以为平行四边形，即为的中点．
连接，因为为的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面．
取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，则，可得．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：因为甲每次参加笔试未通过的概率均为，
每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，
但两次面试均未通过的概率为，
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）解：由题意得的可能取值为，
则
所以的分布列为：
2 3 4
则．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，再分类讨论结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出甲在一年内考试失败的概率.
（2）由已知条件得出随机变量可能的取值，从而计算出相应的概率，进而写出随机变量X的分布列，再结合数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
2 3 4
故．
19．【答案】（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，
得，
则切线方程为，
当时，，
所以，
得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，
即证，
设，
则．
令，
则，
所以在上单调递减，
因为，
所以存在唯一，使得，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以
设，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
因为
（两个不等式中的等号不能同时成立），
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出函数的图象在点处的切线方程，则利用切点是公共点结合直线的斜率，从而求出的值.
（2）利用已知条件，将问题转化为证明，再构造函数和，分别利用导数判断函数和的单调性，从而求出的最大值和的最小值，进而只需，即可证出不等式成立.
（1）解：由题意得，
由切线的斜率为，得，
则切线方程为，
当时，，所以，得．
（2）证明：由（1）可知，
要证，即证．
设，则．
令，则，
所以在上递减，
因为，
所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以．
因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以，
即．
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