四川省泸州市2023-2024学年高二下学期7月期末统一考试数学试题
1．（2024高二下·泸州期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·泸州期末）已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ）
1 2 3 4 5
10 11 13 15
A．11 B．12 C．12.5 D．13
3．（2024高二下·泸州期末）设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．，标准差 B．，标准差
C．，标准差 D．，标准差
4．（2024高二下·泸州期末）已知空间向量，若共面，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024高二下·泸州期末）的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C．10 D．80
6．（2024高二下·泸州期末）数列的前n项和满足，若，则的值是（ ）
A． B． C．6 D．7
7．（2024高二下·泸州期末）已知是双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2024高二下·泸州期末）若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·泸州期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A． B．
C．的最小值为6 D．的最小值为12
10．（2024高二下·泸州期末）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若，则
11．（2024高二下·泸州期末）如图，在棱长为的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成角为定值
C．点P的轨迹的周长为
D．三棱锥体积的最大值为
12．（2024高二下·泸州期末）某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有 种.
13．（2024高二下·泸州期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是
14．（2024高二下·泸州期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为
15．（2024高二下·泸州期末）在数列中，
（1）求证数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·泸州期末）乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2x2列联表．乒乓球运动总计
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生 40 100
女生 20
总计 120 200
（1）先完成列联表，依据的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？
（2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加乒乓球动动集训，再从这6人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
附：
其中.
17．（2024高二下·泸州期末）设，···， 都在椭圆C：上，且构成一个公差为的等差数列（其中O是坐标原点），记及
（1）若，求点的坐标（写出一个即可）：
（2）当公差d变化时，求的最小值.
18．（2024高二下·泸州期末）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点D满足，平面平面，
（1）求证；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为
（i）求平面与平面的距离；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2024高二下·泸州期末）设函数，
（1）求证：当时，函数没有零点；
（2）若曲线在点处的切线，也是曲线的切线，求a的值；
（3）对任意，关于x的不等式恒成立，求正数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
直线可转化为，
故.
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】先把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解．
2．【答案】A
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：，
因为经验回归方程经过样本中心，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】先求出样本中心点（3，），待入方程即可求解.
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量ξ服从正态分布，，
所以，，，
又，
所以.
故答案为：B
【分析】利用正态分布的对称性及原则分析判断即可求解.
4．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为不共线，共面，
所以存在一对有序实数，使，
所以，
所以，解得.
故答案为：A
【分析】利用空间向量共面定理设，列出方程组即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：已知，则展开式为，
令15-3k=6 解得k=3，则x项的系数为.
故答案为：D.
【分析】先变形可得，再利用展开式的通项公式，最后令15-3k=6即可求解．
6．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以，
因为，，所以，得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：B
【分析】先利用化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨过点作渐近线，即的垂线垂足为，
由点到直线的距离公式可得，
设的左焦点为为坐标原点，取的中点，连接如图所示：
因为，所以，所以，
则．又，
所以，
整理得，得，得．
故答案为：A
【分析】先利用点到直线的距离公式可得，再利用已知条件及双曲线的定义可得，再转化成即可求解.
8．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：已知，则，即，
故关于对称，又，
则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
故对，有，即，
即，即，解得或，
即不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】先对求导可得，即可得关于对称，再利用二次函数的单调性即可求解.
9．【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：AB、已知直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；
CD、当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．
故答案为：BD．
【分析】先利用直线过定点即可判断A，B；再利用抛物线的性质知直线垂直于轴时最小即可判断C，D．
10．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：A、若为互斥事件，则，故A错误；
B、由可得，
又为互斥事件，则，又，故B正确；
C、若相互独立，则，
所以，故C正确；
D、若，所以；
可得，
所以，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】利用互斥事件性质即可判断AB；再利用相互独立事件性质即可判断C；利用对立事件及条件概率公式即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，平面，所以平面，
平面，所以，同理可得，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
C、由A选项知平面，设平面，
即平面，平面，
因为，，
所以三棱锥为正三棱锥，因为平面，
则与正的中心，则，
所以，因为，
所以，因为，
即，
即，
，两边平方化简可得，
因为点到等边三角形的边的距离为，
所以点的轨迹是在内，且以为圆心、半径为的圆，
所以点P的轨迹的周长为，故C错误；
B、由选项C可知，点的轨迹是在内，如图所示：
且以为圆心、半径为的圆，，且，
平面，所以就是直线与平面所成角，
所以，因为，
所以直线与平面所成角为定值，故B正确；
D、因为点到直线的距离为，
点到直线的最大距离为，
故的面积的最大值为，
因为平面，则
三棱锥体积的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用线面垂直的判定定理、性质定理即可判断A；求出点的轨迹即可判断C；求出直线与平面所成角即可判断B；求出三棱锥体积的最大值即可判断D.
12．【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：现将名医生分为组有种，
再将其分配给个乡镇有种.
故答案为：36.
【分析】先将名医生分为组共有种，再将其分配给个乡镇即可求解.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导，
在上是减函数，
在上恒成立，又
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，当时，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意得在上恒成立，分离参数得在上恒成立，令，利用二次函数的性求出即可求解.
14．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由题意得，圆，圆心，半径，
设点，则，
故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，
则，，
则，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】先根据题意作出点的轨迹，再将问题转化为点到圆的距离问题，利用两点间的距离公式即可求解.
15．【答案】（1）证明：由，又，所以，
所以是公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知，数列的首项为，公比为2，
， ，
，
所以
两式相减，得，
所以．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）先将递推公式转化为，再利用等比数列的定义即可求解；
（2）由（1）得，即可得，再利用错位相减法即可求解.
（1）由，又，所以，
所以是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，数列的首项为，公比为2，
， ，
，
所以
两式相减，得，
所以．
16．【答案】（1）解：列联表：
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，则
，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
（2）解：喜欢乒乓球运动中，男生40人，女生80人，则男生人数与女生的人数之比为，
所以抽取的6人中，男生抽2人，女生抽4人，所以可能取1，2，3，
则，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先表中的数据完成列联表，再利用公式计算，再与临界值比较即可求解；
（2）由分层抽样可知抽取的6人中，男生有2人，女生有4人，则的所有可能取值为1，2，3，再分别求出相应的概率，即可求得X的分布列和数学期望．
（1）解：列联表：
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，则
，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
（2）喜欢乒乓球运动中，男生40人，女生80人，则男生人数与女生的人数之比为，
所以抽取的6人中，男生抽2人，女生抽4人，所以可能取1，2，3，
则，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
.
17．【答案】（1）解：由，解得：，
因为所以，因为为公差为的等差数列，
所以，所以，
可得，
由，可得，故点的坐标可以为.
（2）解：原点到二次曲线 上各点的最小距离为，最大距离为；
因为，故，且，
故，因为，故在上递增，
故的最小值为.
当椭圆C：，则，
所以的最小值为.
【知识点】数列与解析几何的综合
【解析】【分析】（1）先利用首项和前项和求得，再利用的坐标满足椭圆方程即可求解；
（2）根据原点到椭圆上一点距离的最小值，，再利用求和公式可得即可求解.
（1）由，解得：，
因为所以，因为为公差为的等差数列，
所以，所以，
可得，
由，可得，故点的坐标可以为.
（2）原点到二次曲线 上各点的最小距离为，最大距离为；
因为，故，且，
故，因为，故在上递增，
故的最小值为.
当椭圆C：，则，
所以的最小值为.
18．【答案】（1）解：为正三角形，为中点，如图所示：
，
又平面平面平面平面平面，
平面，又平面，
.
（2）解：（i），故．
如图过作于，
因为平面，又平面，所以，
又平面，则平面.
则，则.
由余弦定理得，
即，解得．
则平面与平面的距离.
（ii）由前面计算和证明可得，侧面为菱形，
为正三角形，则.
又平面，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
则
设平面的法向量为，
则，
设可求得平面法向量，
则，
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理可得平面，即可得，再利用得到即可得证；
（2）（i）找出直线与平面所成角，则知道，用同角三角函数关系式，得.再用余弦定理解得，再求点到面的距离即可解决；（ii）建立坐标系，再求出关键点的坐标，再求出平面的法向量与平面的法向量，再利用向量夹角的余弦值公式即可求解.
（1）如图所示，
为正三角形，为中点，，
又平面平面平面平面平面，
平面，又平面，
.
（2）（i），故．
如图过作于，
因为平面，又平面，所以，
又平面，则平面.
则，则.
由余弦定理得，
即，解得．
则平面与平面的距离.
（ii）由前面计算和证明可得，侧面为菱形，
为正三角形，则.
又平面，则如图所示可建立空间直角坐标系.
则，
则
设平面的法向量为，
则，
设可求得平面法向量，
则，
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：由题设，
当时，则，
所以在单调递增，，
故时，没有零点，得证.
（2）解：由（1）知，，曲线在点处的切线为 ，
由题设，则，
设与相切于点，则，
，则，
，则，
所以或
（3）解：，
令，，
存在，使在单调递增；
显然在恒成立，则.
当，，恒成立；
当，设，
所以单调递增，所以，
也成立，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用函数的单调性及零点存在定理即可求解；
（2）先求出切线，再利用直线和曲线相切于点求参即可求解；
（3）把恒成立不等式移项设新函数，再结合函数单调性求参即可求解.
（1）由题设，
当时，则，
所以在单调递增，，
故时，没有零点，得证.
（2）由（1）知，，曲线在点处的切线为 ，
由题设，则，
设与相切于点，则，
，则，
，则，
所以或
（3），
令，，
存在，使在单调递增；
显然在恒成立，则.
当，，恒成立；
当，设，
所以单调递增，所以，
也成立，
所以.
1 / 1四川省泸州市2023-2024学年高二下学期7月期末统一考试数学试题
1．（2024高二下·泸州期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
直线可转化为，
故.
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】先把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解．
2．（2024高二下·泸州期末）已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ）
1 2 3 4 5
10 11 13 15
A．11 B．12 C．12.5 D．13
【答案】A
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：，
因为经验回归方程经过样本中心，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】先求出样本中心点（3，），待入方程即可求解.
3．（2024高二下·泸州期末）设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．，标准差 B．，标准差
C．，标准差 D．，标准差
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量ξ服从正态分布，，
所以，，，
又，
所以.
故答案为：B
【分析】利用正态分布的对称性及原则分析判断即可求解.
4．（2024高二下·泸州期末）已知空间向量，若共面，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为不共线，共面，
所以存在一对有序实数，使，
所以，
所以，解得.
故答案为：A
【分析】利用空间向量共面定理设，列出方程组即可求解.
5．（2024高二下·泸州期末）的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C．10 D．80
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：已知，则展开式为，
令15-3k=6 解得k=3，则x项的系数为.
故答案为：D.
【分析】先变形可得，再利用展开式的通项公式，最后令15-3k=6即可求解．
6．（2024高二下·泸州期末）数列的前n项和满足，若，则的值是（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以，
因为，，所以，得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：B
【分析】先利用化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.
7．（2024高二下·泸州期末）已知是双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨过点作渐近线，即的垂线垂足为，
由点到直线的距离公式可得，
设的左焦点为为坐标原点，取的中点，连接如图所示：
因为，所以，所以，
则．又，
所以，
整理得，得，得．
故答案为：A
【分析】先利用点到直线的距离公式可得，再利用已知条件及双曲线的定义可得，再转化成即可求解.
8．（2024高二下·泸州期末）若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：已知，则，即，
故关于对称，又，
则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
故对，有，即，
即，即，解得或，
即不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】先对求导可得，即可得关于对称，再利用二次函数的单调性即可求解.
9．（2024高二下·泸州期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A． B．
C．的最小值为6 D．的最小值为12
【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：AB、已知直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；
CD、当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．
故答案为：BD．
【分析】先利用直线过定点即可判断A，B；再利用抛物线的性质知直线垂直于轴时最小即可判断C，D．
10．（2024高二下·泸州期末）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：A、若为互斥事件，则，故A错误；
B、由可得，
又为互斥事件，则，又，故B正确；
C、若相互独立，则，
所以，故C正确；
D、若，所以；
可得，
所以，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】利用互斥事件性质即可判断AB；再利用相互独立事件性质即可判断C；利用对立事件及条件概率公式即可判断D.
11．（2024高二下·泸州期末）如图，在棱长为的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成角为定值
C．点P的轨迹的周长为
D．三棱锥体积的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，平面，所以平面，
平面，所以，同理可得，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
C、由A选项知平面，设平面，
即平面，平面，
因为，，
所以三棱锥为正三棱锥，因为平面，
则与正的中心，则，
所以，因为，
所以，因为，
即，
即，
，两边平方化简可得，
因为点到等边三角形的边的距离为，
所以点的轨迹是在内，且以为圆心、半径为的圆，
所以点P的轨迹的周长为，故C错误；
B、由选项C可知，点的轨迹是在内，如图所示：
且以为圆心、半径为的圆，，且，
平面，所以就是直线与平面所成角，
所以，因为，
所以直线与平面所成角为定值，故B正确；
D、因为点到直线的距离为，
点到直线的最大距离为，
故的面积的最大值为，
因为平面，则
三棱锥体积的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用线面垂直的判定定理、性质定理即可判断A；求出点的轨迹即可判断C；求出直线与平面所成角即可判断B；求出三棱锥体积的最大值即可判断D.
12．（2024高二下·泸州期末）某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有 种.
【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：现将名医生分为组有种，
再将其分配给个乡镇有种.
故答案为：36.
【分析】先将名医生分为组共有种，再将其分配给个乡镇即可求解.
13．（2024高二下·泸州期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导，
在上是减函数，
在上恒成立，又
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，当时，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意得在上恒成立，分离参数得在上恒成立，令，利用二次函数的性求出即可求解.
14．（2024高二下·泸州期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为
【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由题意得，圆，圆心，半径，
设点，则，
故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，
则，，
则，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】先根据题意作出点的轨迹，再将问题转化为点到圆的距离问题，利用两点间的距离公式即可求解.
15．（2024高二下·泸州期末）在数列中，
（1）求证数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明：由，又，所以，
所以是公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知，数列的首项为，公比为2，
， ，
，
所以
两式相减，得，
所以．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）先将递推公式转化为，再利用等比数列的定义即可求解；
（2）由（1）得，即可得，再利用错位相减法即可求解.
（1）由，又，所以，
所以是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，数列的首项为，公比为2，
， ，
，
所以
两式相减，得，
所以．
16．（2024高二下·泸州期末）乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2x2列联表．乒乓球运动总计
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生 40 100
女生 20
总计 120 200
（1）先完成列联表，依据的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？
（2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加乒乓球动动集训，再从这6人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
附：
其中.
【答案】（1）解：列联表：
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，则
，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
（2）解：喜欢乒乓球运动中，男生40人，女生80人，则男生人数与女生的人数之比为，
所以抽取的6人中，男生抽2人，女生抽4人，所以可能取1，2，3，
则，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先表中的数据完成列联表，再利用公式计算，再与临界值比较即可求解；
（2）由分层抽样可知抽取的6人中，男生有2人，女生有4人，则的所有可能取值为1，2，3，再分别求出相应的概率，即可求得X的分布列和数学期望．
（1）解：列联表：
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，则
，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
（2）喜欢乒乓球运动中，男生40人，女生80人，则男生人数与女生的人数之比为，
所以抽取的6人中，男生抽2人，女生抽4人，所以可能取1，2，3，
则，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
.
17．（2024高二下·泸州期末）设，···， 都在椭圆C：上，且构成一个公差为的等差数列（其中O是坐标原点），记及
（1）若，求点的坐标（写出一个即可）：
（2）当公差d变化时，求的最小值.
【答案】（1）解：由，解得：，
因为所以，因为为公差为的等差数列，
所以，所以，
可得，
由，可得，故点的坐标可以为.
（2）解：原点到二次曲线 上各点的最小距离为，最大距离为；
因为，故，且，
故，因为，故在上递增，
故的最小值为.
当椭圆C：，则，
所以的最小值为.
【知识点】数列与解析几何的综合
【解析】【分析】（1）先利用首项和前项和求得，再利用的坐标满足椭圆方程即可求解；
（2）根据原点到椭圆上一点距离的最小值，，再利用求和公式可得即可求解.
（1）由，解得：，
因为所以，因为为公差为的等差数列，
所以，所以，
可得，
由，可得，故点的坐标可以为.
（2）原点到二次曲线 上各点的最小距离为，最大距离为；
因为，故，且，
故，因为，故在上递增，
故的最小值为.
当椭圆C：，则，
所以的最小值为.
18．（2024高二下·泸州期末）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点D满足，平面平面，
（1）求证；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为
（i）求平面与平面的距离；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）解：为正三角形，为中点，如图所示：
，
又平面平面平面平面平面，
平面，又平面，
.
（2）解：（i），故．
如图过作于，
因为平面，又平面，所以，
又平面，则平面.
则，则.
由余弦定理得，
即，解得．
则平面与平面的距离.
（ii）由前面计算和证明可得，侧面为菱形，
为正三角形，则.
又平面，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
则
设平面的法向量为，
则，
设可求得平面法向量，
则，
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理可得平面，即可得，再利用得到即可得证；
（2）（i）找出直线与平面所成角，则知道，用同角三角函数关系式，得.再用余弦定理解得，再求点到面的距离即可解决；（ii）建立坐标系，再求出关键点的坐标，再求出平面的法向量与平面的法向量，再利用向量夹角的余弦值公式即可求解.
（1）如图所示，
为正三角形，为中点，，
又平面平面平面平面平面，
平面，又平面，
.
（2）（i），故．
如图过作于，
因为平面，又平面，所以，
又平面，则平面.
则，则.
由余弦定理得，
即，解得．
则平面与平面的距离.
（ii）由前面计算和证明可得，侧面为菱形，
为正三角形，则.
又平面，则如图所示可建立空间直角坐标系.
则，
则
设平面的法向量为，
则，
设可求得平面法向量，
则，
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
19．（2024高二下·泸州期末）设函数，
（1）求证：当时，函数没有零点；
（2）若曲线在点处的切线，也是曲线的切线，求a的值；
（3）对任意，关于x的不等式恒成立，求正数k的取值范围.
【答案】（1）证明：由题设，
当时，则，
所以在单调递增，，
故时，没有零点，得证.
（2）解：由（1）知，，曲线在点处的切线为 ，
由题设，则，
设与相切于点，则，
，则，
，则，
所以或
（3）解：，
令，，
存在，使在单调递增；
显然在恒成立，则.
当，，恒成立；
当，设，
所以单调递增，所以，
也成立，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用函数的单调性及零点存在定理即可求解；
（2）先求出切线，再利用直线和曲线相切于点求参即可求解；
（3）把恒成立不等式移项设新函数，再结合函数单调性求参即可求解.
（1）由题设，
当时，则，
所以在单调递增，，
故时，没有零点，得证.
（2）由（1）知，，曲线在点处的切线为 ，
由题设，则，
设与相切于点，则，
，则，
，则，
所以或
（3），
令，，
存在，使在单调递增；
显然在恒成立，则.
当，，恒成立；
当，设，
所以单调递增，所以，
也成立，
所以.
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