云南省昭通市水富市一中云天联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题
1．（2024高二下·水富期末）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故答案为：D.
【分析】利用复数乘除运算法则化简，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定点所在的象限．
2．（2024高二下·水富期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，即，故.
故答案为：D.
【分析】根据两向量垂直数量积为0 的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出x的值.
3．（2024高二下·水富期末）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，
则，
，
所以在处切线的方程为，
则，
令，得；
令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线在处的切线方程，再结合赋值法得出切线与两坐标轴的交点，从而由三角形的面积公式得出切线与坐标轴围成的面积.
4．（2024高二下·水富期末） 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．288 B．144 C．96 D．25
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：
由题意，即，解得.
于是.
故答案为：B.
【分析】本题考查等差数列的前n项和公式.利用等差数列的前项公式可列出方程组，解方程组可求出，再利用等差数列的前项公式可求出.
5．（2024高二下·水富期末）抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线，焦点，准线方程为，
所以抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，
则，
其最小值为焦点到直线的距离，
则抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，则其最小值为焦点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式，从而得出抛物线上的点到其准线的距离.
6．（2024高二下·水富期末）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设的公比为q，
依题意，得：，
解方程，得或（舍去），
所以.
故答案为：C.
【分析】利用等差中项的公式和等比数列的通项公式，从而得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出等比数列的通项公式.
7．（2024高二下·水富期末）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量满足且，则
B．已知随机变量～，若，则
C．若事件相互独立，则
D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
【答案】D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：因为且，
所以，故A正确；
对于B：因为随机变量～，
则，
解得，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，
则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，
所以组数据的相关性更强，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据方差的性质判断出选项A；根据二项分布的期望和方差公式，则判断出选项B；根据相互独立事件乘法求概率公式和条件概率公式，则判断出选项C；根据相关系数的概念判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
8．（2024高二下·水富期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，先得出短半轴长的值，再根据正弦定理得出a的值，再利用椭圆的离心率的公式得出的值.
9．（2024高二下·水富期末）如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由图可知，所以，故A错误；
对于B，因为，图象过点，
所以，
所以，即，
所以，
因为，
所以点为函数的一个对称中心，故B正确；
对于C，因为，由，
解得，
所以为函数的一个单调递增区间，
所以，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移得，
又因为为奇函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据正弦型函数图象直接求出其最小正周期，则可判断选项A；利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再代入点结合五点对应法，从而求出的值，再代入法验证判断出选项B；根据正弦函数的单调性结合换元法，从而判断出函数在区间上的单调性，则可判断选项C；根据伸缩变换和平移变换，从而求出变换后的解析式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·水富期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4个不同的根
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：令是偶函数，
则，
所以，
所以关于对称，故A正确；
对于B：因为，
所以，
所以，
则函数的周期，故B正确；
对于C：因为，，
所以，故C错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又因为，
可知关于点对称，
则可作出上的图象，
又因为的周期，
则作出的图象与的图象，如图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】利用是偶函数可得，关于对称，再利用函数是奇函数，则函数是双对称函数，从而证出函数是周期函数，这样可以由的图象，再根据关于对称，从而作出上的函数的图象，再根据关于点对称， 作出上的函数的图象，这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用函数周期为4进行不断的延伸，最后利用数形结合分析解决，从而逐项判断找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·水富期末）如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积为
D．以点为球心，为半径的球面与平面的交线长
【答案】A,C,D
【知识点】三点共线；平面内两点间距离公式的应用；解三角形的实际应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，在中，，
P是直线上的一个动点，
所以的最小值为高，最小值为，故A正确.
对于B，将沿翻折，使与矩形在同一个平面内，如图，
当三点共线时，取到最小值，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，所以的最小值为，故B不正确.
对于C，易知三棱锥为正四面体，且棱长为，如图，
作平面于，
则为的中心，
由正弦定理可得，
则，
所以，
所以三棱锥的体积为：，故C正确.
对于D，设点到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，解得；
以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，
其周长为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用三角形的高可判断选项A；利用展开图形判断出选项B；利用三棱锥的体积公式判断出选项C；利用球的截面圆的半径判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·水富期末）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 .
【答案】10
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为二项式的各项系数和为32，所以，解得，
展开式的通项为，当，即时，
项的系数为.
故答案为：10.
【分析】先根据各项系数和为32求得n，再写出展开式的通项，令即可求得项的系数.
13．（2024高二下·水富期末）盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为 .
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，运用全概率公式进行求解，即可得到答案.
14．（2024高二下·水富期末）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设另一个焦点，连接，设
则
再根据双曲线的定义可知：
由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，
所以四边形是平行四边形，
又因为，所以，
由勾股定理得：，
化简得：，
由勾股定理得：，
代入，得：.
故答案为：.
【分析】利用双曲线的几何定义，设从而研究出各焦半径的长度，再利用两个勾股定理求出双曲线的离心率.
15．（2024高二下·水富期末）在中，所对的边分别为，且满足．
（1）求；
（2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：在中，，
可得，
因为，
可得，
又因为，，
可得为正三角形，
所以，的面积为.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件合正弦定理以及倍角公式，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用直角三角形的性质得出为正三角形，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（1）因为，所以由正弦定理得
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）在中，，可得，
又，可得，又，，可得为正三角形，
故面积为.
16．（2024高二下·水富期末）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.
【答案】（1）证明：底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，
又因为平面BDE，
平面平面BDE.
（2）解：平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面ABE的法向量为，
则，
解得，令，得，
故，
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令，得，
故，
设二面角为，
由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以锐二面角为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由已知条件合线面垂直得到线线垂直，从而证出直线平面PAC，进而证出平面平面BDE.
（2）利用已知条件合线面垂直的定义证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则写出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得到平面ABE和平面DBE的法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角所成二面角锐角的大小.
（1）底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，又平面BDE，
平面平面BDE.
（2）平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面ABE的法向量为，则，
解得，令得，故，
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令得，故，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，所以锐二面角为.
17．（2024高二下·水富期末）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如：表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程 （给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件
参考公式与数据：， ，，其中.
【答案】（1）解：由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，结合图象，
故选模型②.
（2）解：（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
则关于的回归方程.
（ⅱ）令，
可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和散点图，再结合一次函数和二次函数图象特征，从而分析判断出更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程.
（2）（i）令，根据题中数据和最小二乘法，从而求出关于的回归方程.
（ⅱ）令，代入回归方程，从而预测出12月份的销售量.
（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②.
（2）（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
即关于的回归方程；
（ⅱ）令，可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
18．（2024高二下·水富期末）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：当时，恒成立．
【答案】（1）解：因为定义域为，
所以
当时，，
则函数在上单调递减；
当时，时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当，且时，
则，
令，下证即可，
因为，
令，则，
显然在上单调递增，
则，
则在上递增，
所以，
则在上单调递增，
所以，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论得出导函数的符号，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间.
（2）先根据题中条件，将问题转化成证明当时，即可，令，结合，令，再利用导数判断函数h(x)的单调性，从而得出函数h(x)的值域，进而判断出函数的单调性，从而得出函数的值域，则证出当时，恒成立．
19．（2024高二下·水富期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
【答案】（1）解：设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切，所以.
因为动圆于圆外切，所以，
则，
由椭圆的定义可知，
曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程为，
则，
所以，
所以曲线的方程为.
（2）解：①当直线斜率存在时，
设直线：，
联立，
消去可得，
则，
化简得.
设，
则.
由题意知，因为，
所以，
所以，
所以，
则，
，
所以，
则.
因为，
所以，
则，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，
设直线：，且，
则点.
所以 解得，
所以直线的方程为，也过定点.
综上所述， 直线过定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由圆可知圆心为，半径为1，由圆得出圆心为，半径为3，设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，从而可得，再由椭圆的定义得出曲线的方程.
（2）①当直线斜率存在时，设直线：，，与椭圆方程联立可得，再根据结合两点求斜率公式，从而可得，再代入可得，从而得出直线所过的定点，同理，当直线斜率不存在时，设直线：，且，根据求出的值，从而可得直线所过的定点，综上可得直线过定点.
（1）设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切，所以.
因为动圆于圆外切，所以，
则，
由椭圆的定义可知，曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为，
则，故，
所以曲线的方程为.
（2）①当直线斜率存在时，设直线：，
联立，消去可得，
则，化简得.
设，则.
由题意知，因为，
所以，
所以，
所以，
即，
，
即，
即.
因为，所以，即，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，设直线：，且，
则点.
所以 ，解得，
所以直线的方程为，也过定点.
综上所述， 直线过定点.
1 / 1云南省昭通市水富市一中云天联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题
1．（2024高二下·水富期末）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二下·水富期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024高二下·水富期末）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·水富期末） 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．288 B．144 C．96 D．25
5．（2024高二下·水富期末）抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A． B． C．4 D．5
6．（2024高二下·水富期末）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·水富期末）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量满足且，则
B．已知随机变量～，若，则
C．若事件相互独立，则
D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
8．（2024高二下·水富期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·水富期末）如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称
10．（2024高二下·水富期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4个不同的根
11．（2024高二下·水富期末）如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积为
D．以点为球心，为半径的球面与平面的交线长
12．（2024高二下·水富期末）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 .
13．（2024高二下·水富期末）盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为 .
14．（2024高二下·水富期末）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．
15．（2024高二下·水富期末）在中，所对的边分别为，且满足．
（1）求；
（2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积．
16．（2024高二下·水富期末）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.
17．（2024高二下·水富期末）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如：表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程 （给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件
参考公式与数据：， ，，其中.
18．（2024高二下·水富期末）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：当时，恒成立．
19．（2024高二下·水富期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故答案为：D.
【分析】利用复数乘除运算法则化简，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定点所在的象限．
2．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，即，故.
故答案为：D.
【分析】根据两向量垂直数量积为0 的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出x的值.
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，
则，
，
所以在处切线的方程为，
则，
令，得；
令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线在处的切线方程，再结合赋值法得出切线与两坐标轴的交点，从而由三角形的面积公式得出切线与坐标轴围成的面积.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：
由题意，即，解得.
于是.
故答案为：B.
【分析】本题考查等差数列的前n项和公式.利用等差数列的前项公式可列出方程组，解方程组可求出，再利用等差数列的前项公式可求出.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线，焦点，准线方程为，
所以抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，
则，
其最小值为焦点到直线的距离，
则抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，则其最小值为焦点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式，从而得出抛物线上的点到其准线的距离.
6．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设的公比为q，
依题意，得：，
解方程，得或（舍去），
所以.
故答案为：C.
【分析】利用等差中项的公式和等比数列的通项公式，从而得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出等比数列的通项公式.
7．【答案】D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：因为且，
所以，故A正确；
对于B：因为随机变量～，
则，
解得，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，
则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，
所以组数据的相关性更强，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据方差的性质判断出选项A；根据二项分布的期望和方差公式，则判断出选项B；根据相互独立事件乘法求概率公式和条件概率公式，则判断出选项C；根据相关系数的概念判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，先得出短半轴长的值，再根据正弦定理得出a的值，再利用椭圆的离心率的公式得出的值.
9．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由图可知，所以，故A错误；
对于B，因为，图象过点，
所以，
所以，即，
所以，
因为，
所以点为函数的一个对称中心，故B正确；
对于C，因为，由，
解得，
所以为函数的一个单调递增区间，
所以，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移得，
又因为为奇函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据正弦型函数图象直接求出其最小正周期，则可判断选项A；利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再代入点结合五点对应法，从而求出的值，再代入法验证判断出选项B；根据正弦函数的单调性结合换元法，从而判断出函数在区间上的单调性，则可判断选项C；根据伸缩变换和平移变换，从而求出变换后的解析式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：令是偶函数，
则，
所以，
所以关于对称，故A正确；
对于B：因为，
所以，
所以，
则函数的周期，故B正确；
对于C：因为，，
所以，故C错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又因为，
可知关于点对称，
则可作出上的图象，
又因为的周期，
则作出的图象与的图象，如图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】利用是偶函数可得，关于对称，再利用函数是奇函数，则函数是双对称函数，从而证出函数是周期函数，这样可以由的图象，再根据关于对称，从而作出上的函数的图象，再根据关于点对称， 作出上的函数的图象，这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用函数周期为4进行不断的延伸，最后利用数形结合分析解决，从而逐项判断找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】三点共线；平面内两点间距离公式的应用；解三角形的实际应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，在中，，
P是直线上的一个动点，
所以的最小值为高，最小值为，故A正确.
对于B，将沿翻折，使与矩形在同一个平面内，如图，
当三点共线时，取到最小值，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，所以的最小值为，故B不正确.
对于C，易知三棱锥为正四面体，且棱长为，如图，
作平面于，
则为的中心，
由正弦定理可得，
则，
所以，
所以三棱锥的体积为：，故C正确.
对于D，设点到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，解得；
以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，
其周长为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用三角形的高可判断选项A；利用展开图形判断出选项B；利用三棱锥的体积公式判断出选项C；利用球的截面圆的半径判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】10
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为二项式的各项系数和为32，所以，解得，
展开式的通项为，当，即时，
项的系数为.
故答案为：10.
【分析】先根据各项系数和为32求得n，再写出展开式的通项，令即可求得项的系数.
13．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，运用全概率公式进行求解，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设另一个焦点，连接，设
则
再根据双曲线的定义可知：
由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，
所以四边形是平行四边形，
又因为，所以，
由勾股定理得：，
化简得：，
由勾股定理得：，
代入，得：.
故答案为：.
【分析】利用双曲线的几何定义，设从而研究出各焦半径的长度，再利用两个勾股定理求出双曲线的离心率.
15．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：在中，，
可得，
因为，
可得，
又因为，，
可得为正三角形，
所以，的面积为.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件合正弦定理以及倍角公式，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用直角三角形的性质得出为正三角形，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（1）因为，所以由正弦定理得
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）在中，，可得，
又，可得，又，，可得为正三角形，
故面积为.
16．【答案】（1）证明：底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，
又因为平面BDE，
平面平面BDE.
（2）解：平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面ABE的法向量为，
则，
解得，令，得，
故，
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令，得，
故，
设二面角为，
由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以锐二面角为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由已知条件合线面垂直得到线线垂直，从而证出直线平面PAC，进而证出平面平面BDE.
（2）利用已知条件合线面垂直的定义证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则写出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得到平面ABE和平面DBE的法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角所成二面角锐角的大小.
（1）底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，又平面BDE，
平面平面BDE.
（2）平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面ABE的法向量为，则，
解得，令得，故，
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令得，故，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，所以锐二面角为.
17．【答案】（1）解：由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，结合图象，
故选模型②.
（2）解：（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
则关于的回归方程.
（ⅱ）令，
可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和散点图，再结合一次函数和二次函数图象特征，从而分析判断出更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程.
（2）（i）令，根据题中数据和最小二乘法，从而求出关于的回归方程.
（ⅱ）令，代入回归方程，从而预测出12月份的销售量.
（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②.
（2）（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
即关于的回归方程；
（ⅱ）令，可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
18．【答案】（1）解：因为定义域为，
所以
当时，，
则函数在上单调递减；
当时，时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当，且时，
则，
令，下证即可，
因为，
令，则，
显然在上单调递增，
则，
则在上递增，
所以，
则在上单调递增，
所以，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论得出导函数的符号，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间.
（2）先根据题中条件，将问题转化成证明当时，即可，令，结合，令，再利用导数判断函数h(x)的单调性，从而得出函数h(x)的值域，进而判断出函数的单调性，从而得出函数的值域，则证出当时，恒成立．
19．【答案】（1）解：设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切，所以.
因为动圆于圆外切，所以，
则，
由椭圆的定义可知，
曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程为，
则，
所以，
所以曲线的方程为.
（2）解：①当直线斜率存在时，
设直线：，
联立，
消去可得，
则，
化简得.
设，
则.
由题意知，因为，
所以，
所以，
所以，
则，
，
所以，
则.
因为，
所以，
则，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，
设直线：，且，
则点.
所以 解得，
所以直线的方程为，也过定点.
综上所述， 直线过定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由圆可知圆心为，半径为1，由圆得出圆心为，半径为3，设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，从而可得，再由椭圆的定义得出曲线的方程.
（2）①当直线斜率存在时，设直线：，，与椭圆方程联立可得，再根据结合两点求斜率公式，从而可得，再代入可得，从而得出直线所过的定点，同理，当直线斜率不存在时，设直线：，且，根据求出的值，从而可得直线所过的定点，综上可得直线过定点.
（1）设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切，所以.
因为动圆于圆外切，所以，
则，
由椭圆的定义可知，曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为，
则，故，
所以曲线的方程为.
（2）①当直线斜率存在时，设直线：，
联立，消去可得，
则，化简得.
设，则.
由题意知，因为，
所以，
所以，
所以，
即，
，
即，
即.
因为，所以，即，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，设直线：，且，
则点.
所以 ，解得，
所以直线的方程为，也过定点.
综上所述， 直线过定点.
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