广西重点高中联考2023-2024学年高二下学期五月联合调研测试数学试题
1．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，
需满足，解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意和椭圆焦点的位置，从而列出含有参数的不等式组，进而解不等式组得出实数k的取值范围.
2．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
设与的夹角为，则，
所以，即与的夹角为.
故答案为：C.
【分析】对两边同时平方可求出的值，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入，即可得出与的夹角.
3．（2024高二下·广西壮族自治区月考）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，是两条不同的异面直线，，，，则
D．若，，则与所成的角和与所成的角互余
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，因为，，则，
又因为，则，所以不正确，故A不正确；
对于B，因为，，，则或，故B不正确；
对于C，若，是两条不同的异面直线，，，，则，故C正确；
对于D，当时，与所成的角没有关系，
当时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，
因此与所成的角和与所成的角不一定互余，故D不正确.
故答案为：C．
【分析】利用空间点、线、面的位置关系，点、线、面垂直平行的性质，从而逐项判断，即可找出真命题的选项．
4．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又因为，得，
解得：或，
又因为为递增的等比数列，则，
则.
故答案为：D.
【分析】根据等差中项的性质得到，结合和等比数列的基本量，从而求得和公比的值，再由等比数列的求和公式，即可得到的值.
5．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R，
，即函数是偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】利用奇偶性和单调性的定义判断出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性脱去法则，解不等式得出不等式的解集.
6．（2024高二下·广西壮族自治区月考）某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，
则，
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和条件概率公式、全概率公式，从而列式计算得出该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率.
7．（2024高二下·广西壮族自治区月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得，所以，
则的面积为，
边上的高.
故答案为：D.
【分析】设，利用三角形的面积关系式得，结合二倍角的正弦公式求出的值，则计算出的值，再利用余弦定理求出的值，最后利用三角形的面积公式和等面积法，即可得BC边上的高AH的长.
8．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令，由，得，
因为点在y轴上，则，
由双曲线定义得，
由，得，
即，则，
则，，
令双曲线的半焦距为c，在中，
由余弦定理得，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，利用双曲线定义和图形的对称性可得，再利用余弦定理建立等式，从而求出双曲线的离心率.
9．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（ ）
A．众数为12 B．平均数为14
C．中位数为14.5 D．第25百分位数为12
【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，16出现的次数最多，则众数应为16，故A错误；
对于B，因为平均数为，故B正确；
对于C，因为中间两个数为13和16，则中位数为：，故C正确；
对于D，因为，所以第25百分位数是从小到大排列后第三个数字，即为12，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义和计算公式，从而逐项判断，进而找出正确的选项.
10．（2024高二下·广西壮族自治区月考）将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是（ ）
A．当时，关于对称
B．关于对称
C．当时，在上单调递增
D．若在上有3个零点，则的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，，
当时，，是函数的最大值，
所以关于对称，故选项A正确；
对于B，当时，得，
又因为不一定等于0，故选项B错误；
对于C，当时，则，得，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对于D，由，得，
由于在上有3个零点，
所以，所以，故选项D错误.
故答案为：AC．
【分析】首先得到，再代入验证，即可判断选项A和选项B；利用整体法得到，即可判断选项C；求出，得到相关不等式，即可判断选项D，进而找出关于的说法一定正确的选项.
11．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知定义域为的函数，满足，且，，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：定义域为的函数，满足，
对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，
又因为，则，
令，则，即，
令，则，
令，则，
因此，则函数是上的偶函数，故B错误；
对于C，令，则，
又因为，，，
则，故C正确；
对于D，由，得，
则函数的一个周期为8，
令，则，则，
因为函数是偶函数，故，
由函数的一个周期为8，则，
因为，
因此
所以，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，对抽象等式中的自变量进行赋值、求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用函数的周期性求函数值，从而逐项判断，进而找出正确的选项.
12．（2024高二下·广西壮族自治区月考）文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为 （用数字作答）．
【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法，
然后对教师节目进行插空有种排法，
所以满足题意的排法种数为种.
故答案为：144.
【分析】先将学生的节目全排列，再对教师节目进行插空法，则根据分步乘法计数原理得出不同排法种数.
13．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ．
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，
依题意，，解得，
故圆锥的轴截面为正三角形，
因为正方体在该圆锥内可以任意转动，故棱长最大的正方体的外接球是圆锥的内切球，
如图，作出圆锥和内切球的轴截面图，设内切球的半径为，球的内接正方体的棱长为，
由三角形面积相等可得，，解得，
又因为，解得，即该正方体棱长的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，先求出圆锥的内切球半径，则棱长最大的正方体的外接球为圆锥的内切球，由此求得正方体棱长的最大值.
14．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设点，圆圆心，半径，
显然切点在以线段为直径的圆上，
此圆方程为，
整理得，与圆的方程相减得直线的方程，
则直线的方程为，即，
由，解得，即直线恒过定点，
连接交于，
由切线长定理得且是线段的中点，
，
显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点，
即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件求出切点弦所过的定点坐标，再利用数量积的运算法则，从而借助圆上的点到定点距离的最值特征，进而得出的最大值.
15．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知为正项数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）解：因为正项数列的前n项和为，，
当时，，
两式相减得，
显然，则，
当时，，即，
因为，则，
又因为，解得，即，
则，，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，则，
因此
，
因为，，即，
又因为数列单调递增，则，
所以.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知的递推公式结合变形，再利用等差数列定义，则根据等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中的结论，利用裂项相消法求和，再借助函数的单调性和有界性，从而证出不等式成立.
（1）正项数列的前n项和为，，当时，，
两式相减得，
显然，则，当时，，即，
又，则，而，解得，即，
从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
因此
，，，即，
又数列单调递增，，
所以.
16．（2024高二下·广西壮族自治区月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）解：依题意，列联表如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知可得，，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再计算卡方值并与临界值比较，从而认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）根据二项分布概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望的公式和方差公式，从而得出数学期望和方差.
（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
17．（2024高二下·广西壮族自治区月考）四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．
（1）证明：A、B、M、N四点共面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．
【答案】（1）证明：如图，延长交于点，
因为且，故，
连接，中，分别是的中点，
故的交点为的重心，设为点，则，
因为N为PD靠近D的三等分点，故点重合，
又因为点都在平面内，故A、B、M、N四点共面.
（2）解：如图，取中点，连接，
因为，则，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
故平面，
过点在平面内作，
分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，
故，
则，
设平面的法向量为，
则，故可取，
又因为，
设平面的法向量为，
则，故可取，
则，
因为二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值为.
（3）解：如图，
设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为，
依题意，得，
因为，
则，
又因为，
故，
则.
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）作辅助线，证明点为的重心，即可证明出A、B、M、N四点共面.
（2）利用已知条件建系，从而写出相关点的坐标，再求出两个平面的法向量，则利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值.
（3）利用割补法，先求和的值，相减得的值，再用减去得的值，从而得出平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．
（1）如图，延长交于点，
因且，故，
连接，中，分别是的中点，
故的交点为的重心，设为点，则，
又N为PD靠近D的三等分点，故点重合，
因点都在平面内，故A、B、M、N四点共面；
（2）如图，取中点，连接，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
过点在平面内作，分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因，故，
则，
设平面的法向量为，则，故可取；
又，
设平面的法向量为，则，故可取.
于是，，
因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为；
（3）如图，设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为，
依题，，
而，
则，
又，
故，
于是，.
18．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知函数，其中．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，，求导得，
则，又因为，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：（i）函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个变号零点，
令，求导得，
若，
则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，
若，则当时，；当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
要有两个变号零点，必有，解得，
此时，即函数在上有唯一零点，
令，求出得，
令，
求导得，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
所以，即，
则当时，，
取，函数在上有唯一零点，
所以，当时，函数存在两个极值点.
（ii）由（i）知，，，
两式相除得，
令，则，，所以，
即，因此，
令，求导得，
令，求导得，
函数在上递增，则，
即，函数在上单调递增，
又因为，
则当时，，
所以的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再求出切点坐标，则根据点斜式求出函数在处的切线方程.
（2）（i）求出函数的导函数，按，分类讨论出函数的单调性，再结合零点存在性定理求解得出实数a的取值范围.
（ii）由（i）可得，由零点的定义列式，令，用表示，再构造函数结合函数的单调性，从而求出的取值范围.
（1）当 时，，求导得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）（i）函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个变号零点，令，求导得，
若，则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，
若，则当时，，当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
要有两个变号零点，必有，解得，
此时，即函数在上有唯一零点，
令，求出得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，即，
因此当时，，取，
函数在上有唯一零点，
所以当时，函数存在两个极值点.
（ii）由（i）知，，，两式相除得，
令，则，，于是，
即，因此，
令，求导得，
令，求导得，函数在上递增，
则，即，函数在上单调递增，
而，则当时，，
所以的取值范围是.
19．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知定点，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点P、A、B是曲线C上的点，且．
（i）若点P的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若，求面积的最小值．
【答案】（1）解：由题意得动点到点的距离与到直线的距离相等，
的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
的方程为：.
（2）解：（i）设直线轴，
则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，点，
则且，(或)，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
因为，
，
整理得，解得或(舍)，
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（ii）由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，
记线段的中点为点，
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，
则为等腰直角三角形.则的两腰所在直线的方程为，
联立解得或，
此时，；
②当时，，
即点，
因为，则，
设点，其中且，
，
由已知可得
，
所以，，
则，
因为直线的斜率为，
可得，.
所以，
当时，等式不成立，
所以且，
所以，，
则
，
所以，
故
，
综上所述，，因此，面积的最小值为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线定义，即可得到焦点坐标和准线方程，从而得到抛物线方程.
（2）（i）设直线的方程为，点，联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理，再根据，展开代入韦达定理式得到关系，即可得到顶点坐标.
（ii）记线段的中点为点，分和讨论，当时，从而求出，设点，利用等腰直线三角形的性质得到，代入韦达定理式得到的等式，再利用表示出三角形面积，则计算出其取值范围，即可得出面积的最小值.
（1）由题意得动点到点的距离与到直线的距离相等，
的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
的方程为：.
（2）（i）设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，点，
则且，(或)，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
而
整理得，解得或(舍).
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（ii）由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，
记线段的中点为点，
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，
则为等腰直角三角形.则的两腰所在直线的方程为，
联立解得或，
此时，；
②当时，，
即点，
因为，则，设点，其中且，
，
由已知可得
所以，，则.
直线的斜率为，可得，.
所以，当时，等式不成立.
所以且，.
所以，，则
所以，
故
综上所述，.因此，面积的最小值为.
1 / 1广西重点高中联考2023-2024学年高二下学期五月联合调研测试数学试题
1．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·广西壮族自治区月考）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，是两条不同的异面直线，，，，则
D．若，，则与所成的角和与所成的角互余
4．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·广西壮族自治区月考）某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广西壮族自治区月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（ ）
A．众数为12 B．平均数为14
C．中位数为14.5 D．第25百分位数为12
10．（2024高二下·广西壮族自治区月考）将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是（ ）
A．当时，关于对称
B．关于对称
C．当时，在上单调递增
D．若在上有3个零点，则的取值范围为
11．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知定义域为的函数，满足，且，，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
12．（2024高二下·广西壮族自治区月考）文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为 （用数字作答）．
13．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ．
14．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 ．
15．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知为正项数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：．
16．（2024高二下·广西壮族自治区月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．（2024高二下·广西壮族自治区月考）四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．
（1）证明：A、B、M、N四点共面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．
18．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知函数，其中．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，求的取值范围．
19．（2024高二下·广西壮族自治区月考）已知定点，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点P、A、B是曲线C上的点，且．
（i）若点P的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若，求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，
需满足，解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意和椭圆焦点的位置，从而列出含有参数的不等式组，进而解不等式组得出实数k的取值范围.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
设与的夹角为，则，
所以，即与的夹角为.
故答案为：C.
【分析】对两边同时平方可求出的值，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入，即可得出与的夹角.
3．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，因为，，则，
又因为，则，所以不正确，故A不正确；
对于B，因为，，，则或，故B不正确；
对于C，若，是两条不同的异面直线，，，，则，故C正确；
对于D，当时，与所成的角没有关系，
当时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，
因此与所成的角和与所成的角不一定互余，故D不正确.
故答案为：C．
【分析】利用空间点、线、面的位置关系，点、线、面垂直平行的性质，从而逐项判断，即可找出真命题的选项．
4．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又因为，得，
解得：或，
又因为为递增的等比数列，则，
则.
故答案为：D.
【分析】根据等差中项的性质得到，结合和等比数列的基本量，从而求得和公比的值，再由等比数列的求和公式，即可得到的值.
5．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R，
，即函数是偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】利用奇偶性和单调性的定义判断出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性脱去法则，解不等式得出不等式的解集.
6．【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，
则，
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和条件概率公式、全概率公式，从而列式计算得出该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率.
7．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得，所以，
则的面积为，
边上的高.
故答案为：D.
【分析】设，利用三角形的面积关系式得，结合二倍角的正弦公式求出的值，则计算出的值，再利用余弦定理求出的值，最后利用三角形的面积公式和等面积法，即可得BC边上的高AH的长.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令，由，得，
因为点在y轴上，则，
由双曲线定义得，
由，得，
即，则，
则，，
令双曲线的半焦距为c，在中，
由余弦定理得，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，利用双曲线定义和图形的对称性可得，再利用余弦定理建立等式，从而求出双曲线的离心率.
9．【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，16出现的次数最多，则众数应为16，故A错误；
对于B，因为平均数为，故B正确；
对于C，因为中间两个数为13和16，则中位数为：，故C正确；
对于D，因为，所以第25百分位数是从小到大排列后第三个数字，即为12，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义和计算公式，从而逐项判断，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，，
当时，，是函数的最大值，
所以关于对称，故选项A正确；
对于B，当时，得，
又因为不一定等于0，故选项B错误；
对于C，当时，则，得，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对于D，由，得，
由于在上有3个零点，
所以，所以，故选项D错误.
故答案为：AC．
【分析】首先得到，再代入验证，即可判断选项A和选项B；利用整体法得到，即可判断选项C；求出，得到相关不等式，即可判断选项D，进而找出关于的说法一定正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：定义域为的函数，满足，
对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，
又因为，则，
令，则，即，
令，则，
令，则，
因此，则函数是上的偶函数，故B错误；
对于C，令，则，
又因为，，，
则，故C正确；
对于D，由，得，
则函数的一个周期为8，
令，则，则，
因为函数是偶函数，故，
由函数的一个周期为8，则，
因为，
因此
所以，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，对抽象等式中的自变量进行赋值、求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用函数的周期性求函数值，从而逐项判断，进而找出正确的选项.
12．【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法，
然后对教师节目进行插空有种排法，
所以满足题意的排法种数为种.
故答案为：144.
【分析】先将学生的节目全排列，再对教师节目进行插空法，则根据分步乘法计数原理得出不同排法种数.
13．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，
依题意，，解得，
故圆锥的轴截面为正三角形，
因为正方体在该圆锥内可以任意转动，故棱长最大的正方体的外接球是圆锥的内切球，
如图，作出圆锥和内切球的轴截面图，设内切球的半径为，球的内接正方体的棱长为，
由三角形面积相等可得，，解得，
又因为，解得，即该正方体棱长的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，先求出圆锥的内切球半径，则棱长最大的正方体的外接球为圆锥的内切球，由此求得正方体棱长的最大值.
14．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设点，圆圆心，半径，
显然切点在以线段为直径的圆上，
此圆方程为，
整理得，与圆的方程相减得直线的方程，
则直线的方程为，即，
由，解得，即直线恒过定点，
连接交于，
由切线长定理得且是线段的中点，
，
显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点，
即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件求出切点弦所过的定点坐标，再利用数量积的运算法则，从而借助圆上的点到定点距离的最值特征，进而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为正项数列的前n项和为，，
当时，，
两式相减得，
显然，则，
当时，，即，
因为，则，
又因为，解得，即，
则，，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，则，
因此
，
因为，，即，
又因为数列单调递增，则，
所以.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知的递推公式结合变形，再利用等差数列定义，则根据等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中的结论，利用裂项相消法求和，再借助函数的单调性和有界性，从而证出不等式成立.
（1）正项数列的前n项和为，，当时，，
两式相减得，
显然，则，当时，，即，
又，则，而，解得，即，
从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
因此
，，，即，
又数列单调递增，，
所以.
16．【答案】（1）解：依题意，列联表如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知可得，，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再计算卡方值并与临界值比较，从而认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）根据二项分布概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望的公式和方差公式，从而得出数学期望和方差.
（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
17．【答案】（1）证明：如图，延长交于点，
因为且，故，
连接，中，分别是的中点，
故的交点为的重心，设为点，则，
因为N为PD靠近D的三等分点，故点重合，
又因为点都在平面内，故A、B、M、N四点共面.
（2）解：如图，取中点，连接，
因为，则，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
故平面，
过点在平面内作，
分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，
故，
则，
设平面的法向量为，
则，故可取，
又因为，
设平面的法向量为，
则，故可取，
则，
因为二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值为.
（3）解：如图，
设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为，
依题意，得，
因为，
则，
又因为，
故，
则.
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）作辅助线，证明点为的重心，即可证明出A、B、M、N四点共面.
（2）利用已知条件建系，从而写出相关点的坐标，再求出两个平面的法向量，则利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值.
（3）利用割补法，先求和的值，相减得的值，再用减去得的值，从而得出平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．
（1）如图，延长交于点，
因且，故，
连接，中，分别是的中点，
故的交点为的重心，设为点，则，
又N为PD靠近D的三等分点，故点重合，
因点都在平面内，故A、B、M、N四点共面；
（2）如图，取中点，连接，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
过点在平面内作，分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因，故，
则，
设平面的法向量为，则，故可取；
又，
设平面的法向量为，则，故可取.
于是，，
因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为；
（3）如图，设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为，
依题，，
而，
则，
又，
故，
于是，.
18．【答案】（1）解：当 时，，求导得，
则，又因为，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：（i）函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个变号零点，
令，求导得，
若，
则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，
若，则当时，；当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
要有两个变号零点，必有，解得，
此时，即函数在上有唯一零点，
令，求出得，
令，
求导得，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
所以，即，
则当时，，
取，函数在上有唯一零点，
所以，当时，函数存在两个极值点.
（ii）由（i）知，，，
两式相除得，
令，则，，所以，
即，因此，
令，求导得，
令，求导得，
函数在上递增，则，
即，函数在上单调递增，
又因为，
则当时，，
所以的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再求出切点坐标，则根据点斜式求出函数在处的切线方程.
（2）（i）求出函数的导函数，按，分类讨论出函数的单调性，再结合零点存在性定理求解得出实数a的取值范围.
（ii）由（i）可得，由零点的定义列式，令，用表示，再构造函数结合函数的单调性，从而求出的取值范围.
（1）当 时，，求导得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）（i）函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个变号零点，令，求导得，
若，则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，
若，则当时，，当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
要有两个变号零点，必有，解得，
此时，即函数在上有唯一零点，
令，求出得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，即，
因此当时，，取，
函数在上有唯一零点，
所以当时，函数存在两个极值点.
（ii）由（i）知，，，两式相除得，
令，则，，于是，
即，因此，
令，求导得，
令，求导得，函数在上递增，
则，即，函数在上单调递增，
而，则当时，，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：由题意得动点到点的距离与到直线的距离相等，
的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
的方程为：.
（2）解：（i）设直线轴，
则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，点，
则且，(或)，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
因为，
，
整理得，解得或(舍)，
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（ii）由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，
记线段的中点为点，
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，
则为等腰直角三角形.则的两腰所在直线的方程为，
联立解得或，
此时，；
②当时，，
即点，
因为，则，
设点，其中且，
，
由已知可得
，
所以，，
则，
因为直线的斜率为，
可得，.
所以，
当时，等式不成立，
所以且，
所以，，
则
，
所以，
故
，
综上所述，，因此，面积的最小值为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线定义，即可得到焦点坐标和准线方程，从而得到抛物线方程.
（2）（i）设直线的方程为，点，联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理，再根据，展开代入韦达定理式得到关系，即可得到顶点坐标.
（ii）记线段的中点为点，分和讨论，当时，从而求出，设点，利用等腰直线三角形的性质得到，代入韦达定理式得到的等式，再利用表示出三角形面积，则计算出其取值范围，即可得出面积的最小值.
（1）由题意得动点到点的距离与到直线的距离相等，
的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
的方程为：.
（2）（i）设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，点，
则且，(或)，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
而
整理得，解得或(舍).
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（ii）由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，
记线段的中点为点，
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，
则为等腰直角三角形.则的两腰所在直线的方程为，
联立解得或，
此时，；
②当时，，
即点，
因为，则，设点，其中且，
，
由已知可得
所以，，则.
直线的斜率为，可得，.
所以，当时，等式不成立.
所以且，.
所以，，则
所以，
故
综上所述，.因此，面积的最小值为.
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