广西北海市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
1．（2024高二下·北海期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由，
则，解得，
所以，
又因为，
所以
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的运算法则，从而得出集合A在集合U中的补集.
2．（2024高二下·北海期末）设某质点的位移xm与时间ts的关系是 ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（ ）
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由，得，
当时，
所以质点在第2 s时的瞬时速度等于3 m/s.
故答案为：B.
【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，从而求出导函数，再结合导函数值和瞬时速度的关系，从而得出质点在第2 s时的瞬时速度.
3．（2024高二下·北海期末）数列的前n项和为，且，则等于（ ）
A．120 B．122 C．124 D．126
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：依题意，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和等比数列前n项和公式，从而计算得出的值.
4．（2024高二下·北海期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．（2024高二下·北海期末）若函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
则
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以.
故答案为： A.
【分析】利用已知条件和奇函数的性质，从而得出函数的值，进而得出的值.
6．（2024高二下·北海期末）若正数x，y满足则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题设及，可得.
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】
根据已知条件及基本不等式即可求解.
7．（2024高二下·北海期末）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为为等比数列，，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以，
，令，即，
由题意得，是方程的两个相异正根，
则，，符合题意，
故答案为：D．
【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可．
8．（2024高二下·北海期末）若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
所以
设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知条件化简函数式得出，再利用约天后，河水的污染指数下降到初始值的，从而可得方程，再将两边取对数得出，最后利用已知的对数值计算得到从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的需要的天数.
9．（2024高二下·北海期末）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则“”的充要条件是“”
D．若，则“”是“”的充要条件
【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，当时，
当时，
所以两者既不充分也不必要，故A错误；
对于B，当时，可取，但，
当时，，故B正确；
对于C，当时，，则，
反之，当时，若，则，
所以两者不是充要条件，故C错误；
对于D，因为且，故D正确.
故答案为：BD .
【分析】根据已知条件和特殊值法，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·北海期末）已知等差数列{a }的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则k 的值可能为6
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B和选项C：当时，可知公差，
所以，故B正确；
则，
令，解得，
所以是数列中的项，故C错误；
对于选项D，当时，可知公差，
则，
所以，所以若是数列中的项，
则k 的值可能为6，故D正确.
故答案为 ：ABD.
【分析】根据等差数列通项公式运算判断出选项A；利用已知条件分析可知等差数列的公差的值，再结合等差数列通项公式和数列和数列的关系，从而判断出选项B和选项C；利用已知条件可知等差数列的公差的值，再结合数列和数列的关系和等差数列通项公式，从而得出k的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·北海期末）已知函数，则( )
A．的定义域为
B．的图像在处的切线斜率为
C．
D．有两个零点，，且
【答案】B,C,D
【知识点】复合函数的单调性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由可得，的定义域为，故A错误。
对于B，因为，所以，即，所以的图像在处的切线斜率为，故B正确。
对于C，，所以，故C正确。
对于D，因为，所以在上单调递增。
因为，所以在(0，1)上有且仅有一个零点，
同理在上有且仅有一个定点，即有两个零点，，
由得， ，
又因为，所以，
设，则是在上的零点，而是在上的唯一零点，
所以，即，故D正确。
故答案为：BCD
【分析】本题主要考查函数求导的运用以及利用导数研究曲线上某点切线方程和函数的零点的问题，对于本题应先判断函数的定义域，接着对此函数进行求导，求出在某点的斜率，最后利用函数单调性，进行零点的取值判断即可。
12．（2024高二下·北海期末）命题的否定是 .
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意可知，命题 p的否定是：.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和全称命题的否定为特称命题，从而写出命题p的否定.
13．（2024高二下·北海期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，
得，
因为在区间上单调递增，
所以，
则，
又因为，
则，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求导，再分析可知，再参变分离结合指数型函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
14．（2024高二下·北海期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由题意知且，
则，解得，
则，
所以.
易知当时，；当时，，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和等比数列前n项和公式得出，的值，则当时，有最小值，从而计算得出的最小值.
15．（2024高二下·北海期末）已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：因为切点为，
所以，解得.
由，
得，
因为直线与曲线C相切于点，
所以，解得，
所以，
由，得，
所以函数的解析式为：.
（2）解：由（1）知，，
所以，，
可得，
令，则，
解得（舍），，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极小值，极小值为，
又因为，
所以当时，的最大值为，最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和切点在直线和曲线上，再结合导数的几何意义得出a，b的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据（1）的结论，从而求出函数的解析式，再利用导数求函数的最值的方法，从而得出函数在区间上的最大值和最小值.
（1）因为切点为，
所以，解得.
由，得，
因为直线与曲线C相切于点，
所以，解得，
所以，
由，得.
所以函数的解析式为：.
（2）由（1）知，，
所以，.
可得，
令，则，解得（舍），.
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取的极小值，极小值为，
又因为，
所以当时，的最大值为，最小值为.
16．（2024高二下·北海期末）在等比数列中，已知，.
（1）求公比及数列的通项公式；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
则，
解得或，
当时，；
当时，.
（2）解：由（1）知，当时，；
当时，.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到方程，从而解得的值，再利用等比数列的性质得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中结果和等比数列前项和公式，从而分类讨论得出的值.
（1）因为，，所以，即，解得或，
当时，，
当时，.
（2）由（1）知当时，，
当时，.
17．（2024高二下·北海期末）已知函数
（1）证明：的定义域与值域相同；
（2）若 恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）证明：由，得，
所以的定义域为，
则，
因为在上单调递增，
所以，
所以的值域为，
所以的定义域与值域相同.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，
所以，当时，，
设，
当时，即当时，取得最小值，且最小值为，
因为，
所以，
则m的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由得出函数的定义域，由函数在上单调递增，从而得出函数的值域，进而证出的定义域与值域相同.
（2）先求出当时的值，再利用二次函数求最值的方法，从而得出函数的最小值，再由可得实数m的取值范围.
（1）由，得，
所以的定义域为，
，
因为在上单调递增，
所以，所以的值域为，
所以的定义域与值域相同.
（2）由（1）知，在上单调递增，
所以当时，，
设，
当，即时，取得最小值，且最小值为，
因为，
所以，即m的取值范围为.
18．（2024高二下·北海期末）设数列为等差数列，前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：因为，
又因为，
所以，
所以．
（2）证明：因为
，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质和等差数列前n项求和公式，从而求出公差和首项，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）可得，再根据裂项相消法计算可得，则由放缩法证出不等式成立.
（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
19．（2024高二下·北海期末）已知，函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
单调递减；
单调递增，
则
（2）解：，
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
则，
令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再结合导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的单调区间.
（2）先求导得出，令再求导得出，再利用导数分类讨论判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，，
单调递减；单调递增；
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
1 / 1广西北海市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
1．（2024高二下·北海期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·北海期末）设某质点的位移xm与时间ts的关系是 ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（ ）
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
3．（2024高二下·北海期末）数列的前n项和为，且，则等于（ ）
A．120 B．122 C．124 D．126
4．（2024高二下·北海期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·北海期末）若函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．（2024高二下·北海期末）若正数x，y满足则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
7．（2024高二下·北海期末）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．9
8．（2024高二下·北海期末）若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
9．（2024高二下·北海期末）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则“”的充要条件是“”
D．若，则“”是“”的充要条件
10．（2024高二下·北海期末）已知等差数列{a }的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则k 的值可能为6
11．（2024高二下·北海期末）已知函数，则( )
A．的定义域为
B．的图像在处的切线斜率为
C．
D．有两个零点，，且
12．（2024高二下·北海期末）命题的否定是 .
13．（2024高二下·北海期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为
14．（2024高二下·北海期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 .
15．（2024高二下·北海期末）已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16．（2024高二下·北海期末）在等比数列中，已知，.
（1）求公比及数列的通项公式；
（2）求的值.
17．（2024高二下·北海期末）已知函数
（1）证明：的定义域与值域相同；
（2）若 恒成立，求m的取值范围.
18．（2024高二下·北海期末）设数列为等差数列，前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，证明：．
19．（2024高二下·北海期末）已知，函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由，
则，解得，
所以，
又因为，
所以
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的运算法则，从而得出集合A在集合U中的补集.
2．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由，得，
当时，
所以质点在第2 s时的瞬时速度等于3 m/s.
故答案为：B.
【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，从而求出导函数，再结合导函数值和瞬时速度的关系，从而得出质点在第2 s时的瞬时速度.
3．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：依题意，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和等比数列前n项和公式，从而计算得出的值.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
则
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以.
故答案为： A.
【分析】利用已知条件和奇函数的性质，从而得出函数的值，进而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题设及，可得.
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】
根据已知条件及基本不等式即可求解.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：因为为等比数列，，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以，
，令，即，
由题意得，是方程的两个相异正根，
则，，符合题意，
故答案为：D．
【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可．
8．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
所以
设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知条件化简函数式得出，再利用约天后，河水的污染指数下降到初始值的，从而可得方程，再将两边取对数得出，最后利用已知的对数值计算得到从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的需要的天数.
9．【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，当时，
当时，
所以两者既不充分也不必要，故A错误；
对于B，当时，可取，但，
当时，，故B正确；
对于C，当时，，则，
反之，当时，若，则，
所以两者不是充要条件，故C错误；
对于D，因为且，故D正确.
故答案为：BD .
【分析】根据已知条件和特殊值法，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B和选项C：当时，可知公差，
所以，故B正确；
则，
令，解得，
所以是数列中的项，故C错误；
对于选项D，当时，可知公差，
则，
所以，所以若是数列中的项，
则k 的值可能为6，故D正确.
故答案为 ：ABD.
【分析】根据等差数列通项公式运算判断出选项A；利用已知条件分析可知等差数列的公差的值，再结合等差数列通项公式和数列和数列的关系，从而判断出选项B和选项C；利用已知条件可知等差数列的公差的值，再结合数列和数列的关系和等差数列通项公式，从而得出k的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】复合函数的单调性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由可得，的定义域为，故A错误。
对于B，因为，所以，即，所以的图像在处的切线斜率为，故B正确。
对于C，，所以，故C正确。
对于D，因为，所以在上单调递增。
因为，所以在(0，1)上有且仅有一个零点，
同理在上有且仅有一个定点，即有两个零点，，
由得， ，
又因为，所以，
设，则是在上的零点，而是在上的唯一零点，
所以，即，故D正确。
故答案为：BCD
【分析】本题主要考查函数求导的运用以及利用导数研究曲线上某点切线方程和函数的零点的问题，对于本题应先判断函数的定义域，接着对此函数进行求导，求出在某点的斜率，最后利用函数单调性，进行零点的取值判断即可。
12．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意可知，命题 p的否定是：.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和全称命题的否定为特称命题，从而写出命题p的否定.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，
得，
因为在区间上单调递增，
所以，
则，
又因为，
则，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求导，再分析可知，再参变分离结合指数型函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由题意知且，
则，解得，
则，
所以.
易知当时，；当时，，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和等比数列前n项和公式得出，的值，则当时，有最小值，从而计算得出的最小值.
15．【答案】（1）解：因为切点为，
所以，解得.
由，
得，
因为直线与曲线C相切于点，
所以，解得，
所以，
由，得，
所以函数的解析式为：.
（2）解：由（1）知，，
所以，，
可得，
令，则，
解得（舍），，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极小值，极小值为，
又因为，
所以当时，的最大值为，最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和切点在直线和曲线上，再结合导数的几何意义得出a，b的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据（1）的结论，从而求出函数的解析式，再利用导数求函数的最值的方法，从而得出函数在区间上的最大值和最小值.
（1）因为切点为，
所以，解得.
由，得，
因为直线与曲线C相切于点，
所以，解得，
所以，
由，得.
所以函数的解析式为：.
（2）由（1）知，，
所以，.
可得，
令，则，解得（舍），.
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取的极小值，极小值为，
又因为，
所以当时，的最大值为，最小值为.
16．【答案】（1）解：因为，，
所以，
则，
解得或，
当时，；
当时，.
（2）解：由（1）知，当时，；
当时，.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到方程，从而解得的值，再利用等比数列的性质得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中结果和等比数列前项和公式，从而分类讨论得出的值.
（1）因为，，所以，即，解得或，
当时，，
当时，.
（2）由（1）知当时，，
当时，.
17．【答案】（1）证明：由，得，
所以的定义域为，
则，
因为在上单调递增，
所以，
所以的值域为，
所以的定义域与值域相同.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，
所以，当时，，
设，
当时，即当时，取得最小值，且最小值为，
因为，
所以，
则m的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由得出函数的定义域，由函数在上单调递增，从而得出函数的值域，进而证出的定义域与值域相同.
（2）先求出当时的值，再利用二次函数求最值的方法，从而得出函数的最小值，再由可得实数m的取值范围.
（1）由，得，
所以的定义域为，
，
因为在上单调递增，
所以，所以的值域为，
所以的定义域与值域相同.
（2）由（1）知，在上单调递增，
所以当时，，
设，
当，即时，取得最小值，且最小值为，
因为，
所以，即m的取值范围为.
18．【答案】（1）解：因为，
又因为，
所以，
所以．
（2）证明：因为
，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质和等差数列前n项求和公式，从而求出公差和首项，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）可得，再根据裂项相消法计算可得，则由放缩法证出不等式成立.
（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
19．【答案】（1）解：当时，，
单调递减；
单调递增，
则
（2）解：，
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
则，
令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再结合导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的单调区间.
（2）先求导得出，令再求导得出，再利用导数分类讨论判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，，
单调递减；单调递增；
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
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