四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题
1．（2024高二下·成都期末）下列导数运算错误的是( )
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意得：对于A：，则，故A正确。
对于B：，则，故B错误。
对于C：，则，故C正确。
对于D：，，故D正确。
故答案为：B
【分析】本题主要考查复合函数的求导运算，把上述选项运用求导公式计算即可得到结果。
2．（2024高二下·成都期末）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
则数列是首项为1，公差为3的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，
故.
故答案为：D.
【分析】先利用两数列的项的特征，可得由公共项构成的新数列为等差数列，再利用等差数列通项公式化简即可求解.
3．（2024高二下·成都期末）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（ ）（若，则，）
A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，
其中，
所以果实横径在的概率为：
.
故答案为：B．
【分析】根据正态分布三段区间的概率值和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出这批沙糖桔的优质品率．
4．（2024高二下·成都期末）函数单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，
所以单调递减区间为.
故答案为：A.
【分析】先求导，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数单调递减区间.
5．（2024高二下·成都期末）如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.
A．10 B．20 C．60 D．120
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设左车辆汽车依次为，右车辆汽车依次为，
则通过顺序的种数等价于将安排在5个顺序中的某两个位置（保持前后顺序不变），
安排在其余3个位置（保持前后顺序不变），即，
所以，合流结束时汽车通过顺序共有.
故答案为：A.
【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，再由分步乘法计数原理得出合流结束时汽车通过顺序共有的种数.
6．（2024高二下·成都期末） 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故答案为：A.
【分析】先将进行化简，化为结构相同的数，再构造函数，求导函数，根据导函数的正负，可求出函数的单调性，根据单调性可推出：，据此可比较出的大小.
7．（2024高二下·成都期末）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：设的中点为C，∵，，如图所示：
则，
∵C为的中点，∴，
设向量与的夹角为，
∴，
又，∴的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取的中点C，利用垂径定理与数量积的运算表示出后，再利用三角函数值域即可求解.
8．（2024高二下·成都期末）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
由，
得，
令，
令，
则在上恒成立，
则函数在上单调递增，
所以，
则，由，
得，
所以，
当且仅当时，取“=”，此时，
由与图象可知，
使，此时.
所以，则有最大值为4.
故答案为：B.
【分析】根据题意分离参数得，
令，
令，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则
，当且仅当时，取“=”，此时，由与图象可知，使，此时，再结合不等式恒成立问题求解方法得出a的取值范围，从而得出a的最大值.
9．（2024高二下·成都期末）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列，满足，所以，
解得，故A错误，B正确；
因为，所以，，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意，利用等比数列的性质以及等比数列的通项公式、求和公式计算即可.
10．（2024高二下·成都期末）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A：因为，
令，得或；
令，得，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以时取得极值，故A正确；
对于B：因为，，，
所以函数只在上有一个零点，
则函数只有一个零点，故B正确；
对于C：令，该函数的定义域为，
则，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D：令，可得，
又因为，
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线方程为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用导数判断函数的单调性，再结合函数极值点的概念、零点的存在性定理，则可判断出选项A和选项B；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换，则可判断选项C；根据导数的几何意义判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·成都期末）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹的线段为
C．三棱锥的体积为定值
D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
可知正方体的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
B、分别取，的中点，，连接，，，，如图所示：
由正方体的性质可得，
且平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，
且，，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段，长度为，故B不正确；
C、由选项B可知，点的轨迹为线段，因为平面，
则点到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
D、设平面与平面交于，在上，如图所示：
因为截面平面，平面平面，所以，
同理可证，所以截面为平行四边形，所以点为的中点，
在四棱锥中，侧棱最长，且，
设棱锥的高为，
因为，所以四边形为菱形，
所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，
则，，
所以，解得，
综上，可知长度的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球即可判断A；分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹即可判断B；利用选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值即可判断C；设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高即可判定D.
12．（2024高二下·成都期末）在的展开式中，项的系数为 .
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项为，，
令，解得，
所以，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和二项式定理求出展开式的通项，再利用展开式的通项和赋值法，从而得出项的系数.
13．（2024高二下·成都期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 .
【答案】2
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示：
可得，
又，
在中，由余弦定理，
得，所以，
根据直线OP为渐近线可得，所以，
离心率.
故答案为：2.
【分析】由题意可得到，且，在中，利用余弦定理可得，即可得到，再利用，即可求解.
14．（2024高二下·成都期末）某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为 ．
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：记答题的两位同学答对的题数分别为，，
则，
当时，是3的倍数，
故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为，
两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为．
记第n次由甲组答题的概率为，
则由乙组答题的概率为，，
则，
则，
又因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
令，
则．
故答案为：.
【分析】先利用古典概率公式求出每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第次由甲组答题的概率为，由全概率公式得到与的递推公式，再根据数列递推公式求出数列的通项公式，令，从而得出第7次由甲组答题的概率.
15．（2024高二下·成都期末）设公差不为0的等差数列的首项为1，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为均成等比数列．所以，即．
解得，或（舍），
则．
（2）解：．且，所以，
则．
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项表达a2，a5，a14 ，同时它们成等比数列可得a2，a5，a14 之间的等量关系，求解方程即可求出公差，即可求出通项.
(2)将(1)式中的通项代入可得bn的通项，裂项即可求和，即可证明不等式.
16．（2024高二下·成都期末）如图，在底面是矩形的四棱锥中，，点在底面上的射影为点与在直线的两侧，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，
因为平面平面，
所以.
又，所以.
又，故，所以为等腰直角三角形.
而，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，两两垂直，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，
由，得，可得点坐标为，
同理得.
所以，
设为，
则，即
令，则，得平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合为等腰直角三角形，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系平面的法向量，面的一个法向量，法向量夹角的余弦公式即可求解.
（1）证明：连接，
因为平面平面，
所以.
又，所以.
又，故，所以为等腰直角三角形.
而，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）知，两两垂直，
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
由，得，可得点坐标为，
同理得.
所以，
设为平面的法向量，
则，即
令，则，得平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．（2024高二下·成都期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.
（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望.
【答案】（1）解：由题意可知：每组的频率依次为，
因为，解得.
（2）解：由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
可知可取0，1，2，则有：
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的期望为.
（3）解：因为高度在的频率为0.1，
用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1，
由题意可知：，所以.
【知识点】频率分布直方图；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意结合频率和为1列出方程式即可求解；
（2）利用分层抽样可知高度在和的株数分别为2和3，再利用超几何分布求分布列和期望；
（3）根据题意分析可知，利用二项分布的期望公式运算求解.
（1）由题意可知：每组的频率依次为，
因为，解得.
（2）由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
可知可取0，1，2，则有：
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的期望为.
（3）因为高度在的频率为0.1，
用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1，
由题意可知：，所以.
18．（2024高二下·成都期末）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程.
【答案】（1）解：令，由，得，则直线的斜率，
由直线过点，得直线的方程为，因此，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，
于是，即有，显然均不等于，
则，即直线的斜率满足，
由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，如图所示：
由，消去x并整理得，，显然，
设，则，
由，得，即，
则，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直线的方程为，即.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，求出即可求解.
（2）利用倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立可得，再利用根与系数关系结合斜率的坐标公式即可求解.
（1）令，由，得，则直线的斜率，
由直线过点，得直线的方程为，因此，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，
于是，即有，显然均不等于，
则，即直线的斜率满足，
由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x并整理得，，显然，
设，则，
由，得，即，
则，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直线的方程为，即.
19．（2024高二下·成都期末）已知函数.
（1）当时，试求函数图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
又因为，
所以函数图象在点处的切线方程为，
即.
（2）解：因为的定义域为，
所以，
令，得.
（i）当，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当，即时，
由，得，
①若，由，得或，
的单调递增区间是，，
由，得，
的单调递减区间是；
②若，则，函数在上单调递减，
在上单调递增；
③若，由，得，
则函数在上单调递减；
由，得，则函数在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，，
单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，
单调递减区间是.
（3）解：由（2）可知，函数有两个极值点，，则，
由，得，
则，，，
由，可得，，
，
令，
则，
因为，，，，
又因为，所以，
即时，单调递减，
又因为，所以，
不等式，恒成立，
若且，则，即，
设，在上单调递增，且，
由可得，且，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
因为，，，
所以且，
若，则不等式，不成立，
综上所述：或，且.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出当时函数的导数，结合导数的几何意义和代入法得出切线的斜率和切点，再由点斜式得出切线方程.
（2）先求出的导数，令得，对判别式讨论，令导数大于零得到函数的单调递增区间，令导数小于零得到函数的单调递减区间.
（3）函数有两个极值点，，由（2）可知，构造函数，利用导数得出的取值范围，分或或且m为整数几种情况讨论，再对不等式分离参数，分别求解得出满足要求的整数的取值范围.
（1）当时，，故.
故，又，
故函数图象在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，
所以，
令，得，
（i）当，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当，即时，由，得，
①若，由，得或，
的单调递增区间是，；
由，得，
的单调递减区间是；
②若，则，函数在上递减，在上递增；
③若，由，得，则函数在上递减；
由，得，则函数在上递增.
综上，当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（3）由（2）可知，函数有两个极值点，，则，
由，得，则，，，
由，可得，，
，
令，
则，
因为，，，，
又，所以，即时，单调递减，
又，所以，
不等式，恒成立，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
且，所以由可得，且，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
而，，，
所以且，
若，则不等式，不成立，
综上：或，且.
1 / 1四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题
1．（2024高二下·成都期末）下列导数运算错误的是( )
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
2．（2024高二下·成都期末）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·成都期末）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（ ）（若，则，）
A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545
4．（2024高二下·成都期末）函数单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·成都期末）如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.
A．10 B．20 C．60 D．120
6．（2024高二下·成都期末） 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·成都期末）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．
8．（2024高二下·成都期末）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
9．（2024高二下·成都期末）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·成都期末）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．（2024高二下·成都期末）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹的线段为
C．三棱锥的体积为定值
D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
12．（2024高二下·成都期末）在的展开式中，项的系数为 .
13．（2024高二下·成都期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 .
14．（2024高二下·成都期末）某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为 ．
15．（2024高二下·成都期末）设公差不为0的等差数列的首项为1，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：
16．（2024高二下·成都期末）如图，在底面是矩形的四棱锥中，，点在底面上的射影为点与在直线的两侧，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2024高二下·成都期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.
（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望.
18．（2024高二下·成都期末）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程.
19．（2024高二下·成都期末）已知函数.
（1）当时，试求函数图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意得：对于A：，则，故A正确。
对于B：，则，故B错误。
对于C：，则，故C正确。
对于D：，，故D正确。
故答案为：B
【分析】本题主要考查复合函数的求导运算，把上述选项运用求导公式计算即可得到结果。
2．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
则数列是首项为1，公差为3的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，
故.
故答案为：D.
【分析】先利用两数列的项的特征，可得由公共项构成的新数列为等差数列，再利用等差数列通项公式化简即可求解.
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，
其中，
所以果实横径在的概率为：
.
故答案为：B．
【分析】根据正态分布三段区间的概率值和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出这批沙糖桔的优质品率．
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，
所以单调递减区间为.
故答案为：A.
【分析】先求导，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数单调递减区间.
5．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设左车辆汽车依次为，右车辆汽车依次为，
则通过顺序的种数等价于将安排在5个顺序中的某两个位置（保持前后顺序不变），
安排在其余3个位置（保持前后顺序不变），即，
所以，合流结束时汽车通过顺序共有.
故答案为：A.
【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，再由分步乘法计数原理得出合流结束时汽车通过顺序共有的种数.
6．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故答案为：A.
【分析】先将进行化简，化为结构相同的数，再构造函数，求导函数，根据导函数的正负，可求出函数的单调性，根据单调性可推出：，据此可比较出的大小.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：设的中点为C，∵，，如图所示：
则，
∵C为的中点，∴，
设向量与的夹角为，
∴，
又，∴的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取的中点C，利用垂径定理与数量积的运算表示出后，再利用三角函数值域即可求解.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
由，
得，
令，
令，
则在上恒成立，
则函数在上单调递增，
所以，
则，由，
得，
所以，
当且仅当时，取“=”，此时，
由与图象可知，
使，此时.
所以，则有最大值为4.
故答案为：B.
【分析】根据题意分离参数得，
令，
令，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则
，当且仅当时，取“=”，此时，由与图象可知，使，此时，再结合不等式恒成立问题求解方法得出a的取值范围，从而得出a的最大值.
9．【答案】B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列，满足，所以，
解得，故A错误，B正确；
因为，所以，，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意，利用等比数列的性质以及等比数列的通项公式、求和公式计算即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A：因为，
令，得或；
令，得，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以时取得极值，故A正确；
对于B：因为，，，
所以函数只在上有一个零点，
则函数只有一个零点，故B正确；
对于C：令，该函数的定义域为，
则，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D：令，可得，
又因为，
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线方程为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用导数判断函数的单调性，再结合函数极值点的概念、零点的存在性定理，则可判断出选项A和选项B；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换，则可判断选项C；根据导数的几何意义判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
可知正方体的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
B、分别取，的中点，，连接，，，，如图所示：
由正方体的性质可得，
且平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，
且，，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段，长度为，故B不正确；
C、由选项B可知，点的轨迹为线段，因为平面，
则点到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
D、设平面与平面交于，在上，如图所示：
因为截面平面，平面平面，所以，
同理可证，所以截面为平行四边形，所以点为的中点，
在四棱锥中，侧棱最长，且，
设棱锥的高为，
因为，所以四边形为菱形，
所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，
则，，
所以，解得，
综上，可知长度的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球即可判断A；分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹即可判断B；利用选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值即可判断C；设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高即可判定D.
12．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项为，，
令，解得，
所以，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和二项式定理求出展开式的通项，再利用展开式的通项和赋值法，从而得出项的系数.
13．【答案】2
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示：
可得，
又，
在中，由余弦定理，
得，所以，
根据直线OP为渐近线可得，所以，
离心率.
故答案为：2.
【分析】由题意可得到，且，在中，利用余弦定理可得，即可得到，再利用，即可求解.
14．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：记答题的两位同学答对的题数分别为，，
则，
当时，是3的倍数，
故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为，
两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为．
记第n次由甲组答题的概率为，
则由乙组答题的概率为，，
则，
则，
又因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
令，
则．
故答案为：.
【分析】先利用古典概率公式求出每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第次由甲组答题的概率为，由全概率公式得到与的递推公式，再根据数列递推公式求出数列的通项公式，令，从而得出第7次由甲组答题的概率.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为均成等比数列．所以，即．
解得，或（舍），
则．
（2）解：．且，所以，
则．
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项表达a2，a5，a14 ，同时它们成等比数列可得a2，a5，a14 之间的等量关系，求解方程即可求出公差，即可求出通项.
(2)将(1)式中的通项代入可得bn的通项，裂项即可求和，即可证明不等式.
16．【答案】（1）证明：连接，
因为平面平面，
所以.
又，所以.
又，故，所以为等腰直角三角形.
而，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，两两垂直，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，
由，得，可得点坐标为，
同理得.
所以，
设为，
则，即
令，则，得平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合为等腰直角三角形，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系平面的法向量，面的一个法向量，法向量夹角的余弦公式即可求解.
（1）证明：连接，
因为平面平面，
所以.
又，所以.
又，故，所以为等腰直角三角形.
而，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）知，两两垂直，
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
由，得，可得点坐标为，
同理得.
所以，
设为平面的法向量，
则，即
令，则，得平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：由题意可知：每组的频率依次为，
因为，解得.
（2）解：由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
可知可取0，1，2，则有：
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的期望为.
（3）解：因为高度在的频率为0.1，
用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1，
由题意可知：，所以.
【知识点】频率分布直方图；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意结合频率和为1列出方程式即可求解；
（2）利用分层抽样可知高度在和的株数分别为2和3，再利用超几何分布求分布列和期望；
（3）根据题意分析可知，利用二项分布的期望公式运算求解.
（1）由题意可知：每组的频率依次为，
因为，解得.
（2）由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
可知可取0，1，2，则有：
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的期望为.
（3）因为高度在的频率为0.1，
用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1，
由题意可知：，所以.
18．【答案】（1）解：令，由，得，则直线的斜率，
由直线过点，得直线的方程为，因此，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，
于是，即有，显然均不等于，
则，即直线的斜率满足，
由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，如图所示：
由，消去x并整理得，，显然，
设，则，
由，得，即，
则，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直线的方程为，即.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，求出即可求解.
（2）利用倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立可得，再利用根与系数关系结合斜率的坐标公式即可求解.
（1）令，由，得，则直线的斜率，
由直线过点，得直线的方程为，因此，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，
于是，即有，显然均不等于，
则，即直线的斜率满足，
由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x并整理得，，显然，
设，则，
由，得，即，
则，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直线的方程为，即.
19．【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
又因为，
所以函数图象在点处的切线方程为，
即.
（2）解：因为的定义域为，
所以，
令，得.
（i）当，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当，即时，
由，得，
①若，由，得或，
的单调递增区间是，，
由，得，
的单调递减区间是；
②若，则，函数在上单调递减，
在上单调递增；
③若，由，得，
则函数在上单调递减；
由，得，则函数在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，，
单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，
单调递减区间是.
（3）解：由（2）可知，函数有两个极值点，，则，
由，得，
则，，，
由，可得，，
，
令，
则，
因为，，，，
又因为，所以，
即时，单调递减，
又因为，所以，
不等式，恒成立，
若且，则，即，
设，在上单调递增，且，
由可得，且，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
因为，，，
所以且，
若，则不等式，不成立，
综上所述：或，且.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出当时函数的导数，结合导数的几何意义和代入法得出切线的斜率和切点，再由点斜式得出切线方程.
（2）先求出的导数，令得，对判别式讨论，令导数大于零得到函数的单调递增区间，令导数小于零得到函数的单调递减区间.
（3）函数有两个极值点，，由（2）可知，构造函数，利用导数得出的取值范围，分或或且m为整数几种情况讨论，再对不等式分离参数，分别求解得出满足要求的整数的取值范围.
（1）当时，，故.
故，又，
故函数图象在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，
所以，
令，得，
（i）当，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当，即时，由，得，
①若，由，得或，
的单调递增区间是，；
由，得，
的单调递减区间是；
②若，则，函数在上递减，在上递增；
③若，由，得，则函数在上递减；
由，得，则函数在上递增.
综上，当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（3）由（2）可知，函数有两个极值点，，则，
由，得，则，，，
由，可得，，
，
令，
则，
因为，，，，
又，所以，即时，单调递减，
又，所以，
不等式，恒成立，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
且，所以由可得，且，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
而，，，
所以且，
若，则不等式，不成立，
综上：或，且.
1 / 1
