数学：第25章解直角三角形复习教案（沪科版九年级上）

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第25章 解直角三角形复习
一.教学内容
第25章 解直角三角形复习
二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．
（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．
（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
2. 难点：
（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．
（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．
（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．

三. 知识梳理：
1. 锐角三角函数
（1）锐角三角函数的定义
我们规定：
sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．
锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．
（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度
对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．
①已知角求三角函数值；
②已知三角函数值求锐角．
2. 特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα cotα
30
45 1 1
60
由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
3. 锐角三角函数的性质
（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）
（2）tanα·cotα＝1或tanα＝；
（3）tanα＝，cotα＝．
（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．
4. 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．
解直角三角形的常见类型有：
我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
①已知两边，求另一边和两个锐角；
②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．
5. 解直角三角形的应用
（1）相关术语
铅垂线：重力线方向的直线．
水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．
仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．
俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．
坡角：坡面与水平面的夹角．
坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．
一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝＝tanα．
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
如图：
（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：
①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．
②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．
③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．
其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．
注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．

【典型例题】
例1. 已知tanα＝，求的值．
分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝用图形表示．
解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，
则AB＝＝＝5k．
∴sinα＝＝＝ cosα＝，
∴原式＝＝－7．

例2. 计算．
（1）sin45°－cos60°；
（2）cos245°+tan60°cos30°；
（3）；
（4）．
分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．
解：（1）sin45°－cos60°＝×－×＝；
（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2+×＝2．
（3）＝＝＝3－2；
（4）＝＝1－sin30 ＝1－＝．
点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4题要特别注意先化简再代入计算．

例3. 已知tanα＝，求的值．
分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有的式子，再利用tanα＝进行转化求解．
解：将式子的分子、分母都除以cosα，得
原式＝＝－7
规律总结：因为tanα＝所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．

例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．
分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，作底边上的高是解决问题常见办法．
解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．
∵△ABC的周长为14，底边BC＝6，∴腰长AB＝AC＝4．
又∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝3．
在直角三角形ABD中，∠ADB＝90°，
AD＝＝＝
cot∠B＝＝．
答：等腰三角形底角的余切值是．
点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．

例5. Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列条件解直角三角形．
（1）a＝4，c＝10； （2）b＝2，∠A＝40°； （3）c＝3，∠B＝58°．
分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．
解：（1）b＝＝＝2，
由sinA＝＝0.4，∠A≈23.6°，∠B＝90°－∠A＝90°－23.6°＝66.4°．
（2）∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，
由tanA＝，得a＝b·tanA＝2×tan40°≈2×0.8391≈1.678，
由cosA＝，得c＝≈2.611．
（3）∠A＝90°－∠B＝90°－58°＝32°，
由sinB＝，得b＝c·sinB＝3·sin58°≈3×0.848≈2.544，
由cosB＝，得a＝c·cosB＝3×cos58°≈3×0.5299≈1.590．
点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．

例6. 如图，一艘轮船从离A观察站的正北20海里处的B港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A地北偏西30°的C处，一个半小时后，又测得该船在A地的北偏西的D处，求此船的速度．
分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC的长，观察图形，DC＝DB－CB，而BD在Rt△ABD中可求，BC在Rt△ABC中可求．
解：在Rt△ABC中，BC＝AB×tan30°＝20×＝20（海里）．
在Rt△ABD中，BD＝AB×tan60°＝20×＝60（海里）．
所以DC＝DB－CB＝60－20＝40（海里）．
船的速度是：40÷1.5＝26（海里）．
答：船的速度是26海里．
点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A为中心的．

例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶A的仰角为30°，45°，已知CD＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）
分析：设塔高为x米，根据条件∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米，在直角三角形ABC中，根据∠C＝30°，即tanC＝可求．
解：设AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝x．
在Rt△ABC中，∠C＝30°，且BC＝CD+BD＝30+x，tanC＝
所以tan30°＝，即＝，x＝（15+15）（米）．
答：塔高AB为15+15米．

例8. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
分析：过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式x，x表示，利用AM+MB＝2列方程得，x+x＝2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．
解：作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，
∠MCB＝∠MBC＝45°，则MB＝CM＝x千米．
在Rt△AMC中，∠CAM＝30°，∠ACM＝60°
tan∠ACM＝
∴AM＝CM·tan60°＝x千米
∵AM+BM＝2千米
∴x+x＝2
∴x＝－1
≈1.732－1＝0.732
∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米
∴这条公路不会穿过公园．

例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD，其中坝顶AB＝3米，经测量背水坡AD＝20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i＝1：0.6，求迎水坡BC的坡角∠C和坝底宽CD．
分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决．
解：过A、B作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足是E、F，
根据题意有AE＝BF＝10，四边形ABFE是矩形，EF＝AB＝3．
在Rt△ADE中，DE＝＝＝10（米），
在Rt△BCF中，，CF＝0.6×BF＝0.6×10＝6（米）
所以CD＝CF+EF+DE＝10+3+6＝（9+10）（米）．
又在Rt△BCF中，cot∠C＝0.6，所以∠C≈59°．

例10. 如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝，AC＝．证明：
证明：过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：（三角形面积公式）

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（ ）．
A. 10tan50° B. 10cos50° C. 10sin50° D.
2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（ ）．
A. 3：2 B. 2：3 C. 9：4 D. 4：9
3. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（ ）．
A. asinθ B. acosθ C. atanθ D. acotθ
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（ ）．
A. sinA＝sinB B. tanA＝tanB
C. sinA＝cosB D. cosA＝cosB
5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）．
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
6. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）
7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）
8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，那么开挖点E离D的距离约为多少米 （精确到1m）
9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．
10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？


【试题答案】
1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．
2. B
3. C 点拨：根据图形找出对角关系．
4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．
5. D
6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，
∴cos∠AOF＝ ，
∴OF＝OA·cos∠AOF．
又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，
∴OF＝3·cos55°≈1.72m，
∴EF＝3+0.6－1.72≈1.9m．
∴AD＝EF＝1.9m．
7. 如图．
（1）在Rt△ABC中，
AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．
在Rt△ACD中，
AD＝ ≈6.554m，
∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．
即改善后的台阶会加长1.55m．
（2）在Rt△ABC中，
BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．
在Rt△ACD中，
CD＝ ≈5.558m，
∴BD＝CD－BC＝5.558－3.597≈1.96m．
即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．
8. 368m．
9. 过D作DE⊥AC于点E，
作DF⊥BC于点F，
则有DE∥FC，DF∥EC．
∵∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．
∵∠HBA＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．
又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，
∴△ADB是等腰三角形，
∴AD＝BD＝180m．
在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝，
∴DE＝180×sin30°＝180×＝90m，
∴FC＝90m．
在Rt△BDF中，
∠BDF＝∠HBD＝60°，
sin∠BDF＝sin60°＝ ，
∴BF＝180·sin60°＝180×＝90m，
∴BC＝BF+FC＝90+90＝90（+1）m．
故小山的高度为90（+1）m．
10. 根据题意有AF∥BC，
∴∠ACB＝∠GAF．
又∵∠ABC＝∠AFG＝90°，
∴△ABC∽△GFA，
∴，得BC＝3.2（m）．
CD＝（2+3）－3.2＝1.8（m）．

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