湖南省长沙市长郡中学2025届高考数学押题试卷（含答案）

湖南省长郡中学2025年高考数学押题试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
6．我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ）
（参考数据：）
A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年
7．已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9
B．若，，且，则C，D相互独立
C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D．若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20
10． 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座. 小数想要观看这6部电影，则（ ）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
11．曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为. 若点在曲线上，，则（ ）
A．当在第一象限时，
B．当在第四象限时，
C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线与曲线恰有4个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，均为单位向量，且，则 ．
13．已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为 ．
14．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为. 已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上. 若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.
(1)证明：平面PAB；
(2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值.
17．（本小题满分15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
18．（本小题满分17分）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分17分）
二次函数的图象是抛物线，现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ； 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 .
(1)求二次函数的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数的焦点坐标和准线方程；
(3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由.
湖南省长郡中学2025年高考数学押题试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C B C C BD BD BC
12．
13．
14．
15．（本小题满分13分）
解：（1）依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，，
所以对任意的，，，即为定值，所以数列是公差为2的等差数列，
据，，得，，
所以，解得，故，所以
（2）由（1）可知，，
所以当，，
，又符合上式，所以所以，故
，因为，，所以
16．（本小题满分15分）
解：（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则，
且，从而四边形为平行四边形.
则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB；
（2）如图取AD中点为O，连接OP，OB.
因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，
则.因，，
则四边形为平行四边形，则，，结合，
则，，结合，则为等边三角形，
得.又，，则，故.
又，平面ADCB，则.
故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系.
则，
因E为PD的中点，则.
从而，，.
设平面PBC法向量为，则，
取，设直线CE与平面PBC的夹角为，
则，从而.
17．（本小题满分15分）
【解】（1）的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，
当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，所以，，
故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，
则，
故在有一个零点.
综上，的取值范围为.
18．（本小题满分17分）
解：（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，
，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
19．（本小题满分17分）
【解析】（1）二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
（2）二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，
准线方程为；
即二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
（3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到；
先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线；
设，又，则直线的方程为：，化简得：，
与直线联立得：，
代入得：，
即，
则直线的方程：，
化简得；
当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线；
故存在定点，使得三点共线．