四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期高考冲刺模拟（一） 数学试题（含答案）

树德中学2024-2025学年高三下学期高考冲刺模拟（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，若，则实数（ ）
A. B. 3 C. 6 D.
3. 已知复数满足，则的最小值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数若函数恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 已知分别是事件的对立事件，下列命题正确的有（ ）
A. 若互斥，则
B. 若，则
C. 若相互独立，则
D. 若互斥，则不相互独立
10．已知数列{an}中，a3＝，an－＝－3an，n∈N*，其前n项和为Sn，则（ ）
A．a1＝ B．an＝ C．an≥a7 D．S10＜0
11．已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是的一个顶点 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1＝0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为 ．
13．已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
14. 在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．
（1）求A； （2）若＝2，BC＝CD，求cosB．
16. (本小题满分15分)
在直三棱柱中，，为平面与平面的交线，为直线上一点．
（1）若，求的面积；
（2）若平面与平面夹角余弦值为，求．
17．(本小题满分15分)
已知函数f(x)＝x2－2alnx＋1，a∈R．
（1）当a＝－1时，设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l，求l与曲线y＝f(x)的公共点个数；
（2）当a＞0时，若x1，x2∈[1，e]，|f(x1)－f(x2)|＜e2＋1恒成立，求实数a的取值范围．
18. (本小题满分17分)
在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线过点，与交于，两点，
（i）若，求直线的方程：
（ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值．
19．(本小题满分17分)
不透明的口袋中装有编号分别为1，2，…，n(n≥2，n∈N*)的n个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回地任取r次，每次取1个球，记取出的r个球的最大编号为随机变量X，则称X服从参数为n，r的“BM”分布，记为X～BM(n，r)．
（1）若X～BM(2，2)，求P(X＝2)；
（2）若X～BM(4，m)，且E(X)≥，求m的最小值；
（3）若X～BM(n，n)，求证：n≥2且n∈N*，E(X)＞n－1．
高考冲刺模拟一答案
1. A 2. A 3. B 4. C 5．B 6．A 7．B
8．D 【详解】延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，
平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，
故台体体积为，剩余图形的体积为，
设正方体的棱长为4，则正方体体积为，
又，，故，
，，
台体的高为，
故台体的体积为，
故，所以.
9. ACD 10．ABD 11． ACD
【详解】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，
过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，
则，，故A正确；
由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，如图2，它与轴夹角的正切值，
解得或（舍），，
由A选项可知，，故C正确；
顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，
，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，
，故B不正确，D正确.
12． (3，0) 13．； 14.
【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴，
以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.
又
则.
过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则.
又注意到，则.设，则，
则.
注意到B，E，D三点共线，则，则.
又
则或，又由图可得，则.
则.
15．解：（1）在△ABC中， ＝＝．
由＝，得＝，
即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
（2）由＝2，得AD＝c．
因为BC＝CD，所以∠CDB＝∠B．在△ABC中，＝．①
在△ACD中，＝，即＝．②
①÷②，得sin(B＋)＝3sin(B－)，
即sinB＋cosB＝sinB－cosB，即2cosB＝sinB．
因为2cosB＝sinB＞0，sin2B＋cos2B＝1， 所以cosB＝．
16．（1）因为，所以为等边三角形，
所以
在直三棱柱中，，
又平面，平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
又，，所以．
（2）如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系．设，则．
所以．
设平面的一个法向量为，
则，即，取，所以．
因为是平面法向量，
所以．
解得，所以．
17．解：（1）当a＝－1时，f(x)＝x2＋2lnx＋1，则f'(x)＝2x＋，所以f'(1)＝4．
又f(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为y＝4x－2，
联立方程可得x2＋2lnx－4x＋3＝0．
令g(x)＝x2＋2lnx－4x＋3，x＞0，则g'(x)＝2x＋－4≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又因为g(1)＝0，所以g(x)＝0有且仅有1解，
所以直线l与曲线y＝f(x)公共点个数为1．
（2）x1，x2∈[1，e]，|f(x1)－f(x2)|＜e2＋1恒成立，
等价于f(x)max－f(x)min＜e2＋1．
由f(x)＝x2－2alnx＋1，得 f'(x)＝2x－＝，a＞0，x＞0，
当x∈(0，)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，)上单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上单调递增．
①当≤1，即0＜a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(e)＝e2－2a＋1，
此时e2－2a＋1－2＝e2－2a－1＜e2＋1，所以0＜a≤1满足条件．
②当≥e，即a≥e2时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(e)＝e2－2a＋1，
此时2－e2＋2a－1＝2a－e2＋1≥e2＋1，不合题意．
③当1＜＜e，即1＜a＜e2时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，e)上单调递增，
所以f(x)min＝f()＝a－alna＋1，f(x)max＝max{ f(1)，f(e)}，
所以2－(a－alna＋1)＜e2＋1，且(e2－2a＋1)－(a－alna＋1)＜e2＋1，
即alna－a－e2＜0，且alna－3a－1＜0，
令m(a)＝alna－a－e2，当1＜a＜e2时，m'(a)＝lna＞0，
所以m(a)在(1，e2)上单调递增，所以m(a)＜m(e2)＝0，
令t(a)＝alna－3a－1，当1＜a＜e2时，t'(a)＝lna－2＜0，
所以t(a)在(1，e2)上单调递减，所以t(a)＜t(1)＝－4＜0，
所以当1＜a＜e2时，满足题意．
综上，a的取值范围为0＜a＜e2．
18. 【详解】（1）设，则有，
当时，化简得；
当时，化简得，
所以，曲线如图所示：
（2）（i）如图所示，不妨设点在圆上，则，，所以点在椭圆上．
设，
解得，所以，所以，
所以直线方程为．
（ii）由题意知，故点也在圆上，又为直径，所以．
设，，联立椭圆方程，得
，
则，
因为，，，
则
所以，
即，
所以，所以，
解得，即的最小值为.
19．解：（1）由X~BM(2，2)，得P(X＝2)＝()1()1＋()2＝，
（2）由X~BM(4，m)，X＝1，2，3，4，
得P(X＝k)＝P(X≤k)－P(X≤k－1)＝，k＝1，2，3，4．
则E(X)＝[1m＋2(2m－1m)＋3(3m－2m)＋4(4m－3m)]
＝[4×4m－(1m＋2m＋3m)]
＝4－[()m＋()m＋()m]．
令E(X)≥，得()m＋()m＋()m≤4－＝．
又f(m)＝()m＋()m＋()m在m∈N*上单调递减，
且f(1)＝＞，f(2)＝＞，f(3)＝≤，
故m的最小值为3．
（3）由X~BM(n，n)，X＝1，2，…，n (n≥2)，得
P(X＝k)＝P(X≤k)－P(X≤k－1)＝，k＝1，2，…，n，
所以E(X)＝kP(X＝k)＝{1×1n＋2(2n－1n)＋3(3n－2n)＋…＋n[nn－(n－1)n]}
＝{nn＋1－[1n＋2 n＋…＋(n－1)n]}
＝n－[()n＋()n＋…＋()n]．
方法1：先证x∈R，ex≥x＋1．
设g(x)＝ex－x－1，x∈R，则g'(x)＝ex－1．令g'(x)＝0，得x＝0，列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
g'(x) － 0 ＋
g(x) ↘ 极小值 ↗
所以g(x)≥g(0)＝0， 故x∈R，ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．
令x＝(n∈N*，k＝1，2，…，n－1)，则0＜1＜e，
故(1)n＜(e)n＝e－k (k＝1，2，…，n－1)，
即()n＜e－k (k＝1，2，…，n－1)．
所以()n＋()n＋…＋()n＜e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－2＋e－1
＝[1－()n－1]＝[1－()n－1]＜，
所以－[()n＋()n＋…＋()n]＞－,
所以E(X)＞n－＞n－1，故n≥2且n∈N*，E(X)＞n－1．
方法2要证n≥2且n∈N*，E(X)＞n－1，即证()n＋()n＋…＋()n＜1，
即证1n＋2n＋…＋(n－1)n＜nn．
①当n＝2时，左边＝1＜4＝右边，成立；
②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时命题成立，即1k＋2k＋…＋(k－1)k＜kk．
则当n＝k＋1时，1k＋1＋2k＋1＋…＋kk＋1＝1×1k＋2×2k＋…＋k×kk
＜k(1k＋2k＋…＋kk)＜k(kk＋kk)＝2·kk＋1，
只要证2kk＋1＜(k＋1)k＋1，即证2＜(1＋)k＋1，k≥2且k∈N*．
因为(1＋)k＋1＝()r＝1＋＋()r＞2＋＞2，
所以k≥2且k∈N*，2＜(1＋)k＋1．
故当n＝k＋1时，1k＋1＋2k＋1＋…＋kk＋1＜(k＋1)k＋1，命题也成立．
综合①②，n≥2且n∈N*，1n＋2n＋…＋(n－1)n＜nn，
故E(X)＞n－1得证．