北京海淀2025年高三三模数学试题（含答案）

2025北京海淀高三三模
数 学
说明：
1、可根据学生实际选用或改编；
2、本练习题目目的是提醒学生4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不必全做；
3、时间仓促，个别题没给答案，另外所提供的答案仅供参考；
预祝同学们取得好成绩！
1、在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪（，）
2、在平面坐标系中，，是圆+=1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
（A） （B） （C） （D）
（14）如图，单位圆被点分为12等份，其中.
角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边经过点，
则= ______；若，则角的终边
与单位圆交于点________.（从中选择，
写出所有满足要求的点）．
（4）命题“，”的否定是
（A）， （B），
（C）， （D），
3、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4、函数的值域是__________
5．下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移至个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．（2023·北京西城·统考一模）已知为所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·北京朝阳·统考一模）设，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023·北京海淀·统考一模）在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2023·北京房山·统考一模）在中，，则__________；的值为__________.
5．不等式的解集为_________．
6．（2023·北京丰台·统考一模）若复数是纯虚数，则________．
1．（2023·北京朝阳·统考一模）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
2．（2023·北京石景山·统考一模）已知数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）B
A． B． C． D．
12．（2023·北京海淀·统考一模）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
（3）化简后等于
（A） （B） （C） （D）
（4）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知则的大小关系为 A
（A） （B） （C） （D）
（13）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则_______，_______．
（15）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于轴对称，则的一个取值为_______．
（16）已知函数，为偶函数，且当时，.记函数给出下列四个结论：
① 当时，在区间上单调递增；
② 当时，是偶函数；
③ 当时，有个零点；
④ 当时，对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是_______．
（4）若，且，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）在中，点满足. 若, 则
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知是两个复数，则“互为共轭复数”是“的差为纯虚数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）函数的部分图象如图所示，则
（A）
（B）
（C）
（D）
7．若，则
A． B． C． D．
12．若 ，则__________．
9. 已知直线a，b与平面a，b，g，下列说法正确的是
（A）若a∥a，a^b，则a^b （B）若a∥a，a∥b，则a∥b
（C）若a^g，b^g，则a∥b （D）若ab =a，b^a，b b，则a^b
20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， ABC=90 ，AA1=AB=1，平面ABB1A1^平面ABC.
（Ⅰ）求证：AB1^A1C；
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
当直线A1C与平面ABC所成角为30 时，
（ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACC1A1；
（ⅱ）求二面角B-A1C-A的正弦值.
条件①：AC1=A1C；条件②：A1B=.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（4）在△中，，则
（A） （B） （C） （D）
（7）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（10）已知，，若动点，与点，共面，且满足，，则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（13） 在 中，点，满足，．若，则 ．
（14） 在 中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
（1）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是________，________．(只需写出一组)
（18）如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）已知，，，，从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题：
条件 ①：；
条件 ②：；
条件 ③：．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求三棱锥的体积．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（4）袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球. 每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回. 则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知，，则的值为
（A） （B）
（C） （D）
（6）A，B，C三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有
（A）种 （B）种
（C）种 （D）种
（13）已知二项式的所有项的系数和为，则______；_____________．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：若在区间上存在唯一零点，则 (其中)．
4．已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药（）小时后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则 12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为
A.4小时 B.5小时
C. 6小时 D.7小时
（19）（本小题10分）
已知椭圆:（）的焦距为，长轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于轴的对称点为. 问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
（10）设点，，直线，于点，则的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（14）设双曲线的离心率为，则满足“直线与双曲线无公共点”的的一个值是 ____．
（10）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线记为，给出下列结论：
①是曲线上的点；
②曲线是中心对称图形；
③记，为曲线上任意一点，则面积的最大值为.
其中正确结论的个数为
（A） （B） （C） （D）
（18）（本小题14分）
某公司为了了解两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取400名用户，从地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式请用户对公司产品评分．该公司将收集的数据按照，，，分组，绘制成评分分布表如下：
地区 地区
40 30
120 20
160 40
80 10
合计 400 100
（Ⅰ）采取按组分层随机抽样的方法，从地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？
（Ⅱ）从（Ⅰ）中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；
（Ⅲ）若地区用户对该公司产品的评分的平均值为，地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由．
19.已知抛物线过点 .
（Ⅰ）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）过点 的直线与抛物线的另一个交点为，若的面积为2，其中为坐标原点，求点的坐标.
5．（2023·北京石景山·统考一模）已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
2.已知数列为无穷多项的等比数列，则“无最值”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知数列满足（），其中为常数，则“”是“是等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知是数列的前项和，则“”是“是公比为1的等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值；
（Ⅲ）求的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
5. 在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
（III）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）．
6. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区的小学学校联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的比赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（1）求这组数据的中位数；
（2）从选出的15名女生中随机抽取2人，记其中测试成绩在90分以上的人数为，求 的分布列和数学期望；
（3）为便于普及冬奥知识，现从每所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取个人作为冬奥宣传志愿者，要求每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上的概率大于0.99．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.（只需写出结论）
7. 已知函数．
（Ⅰ）证明：不论取何值，曲线均与一条定直线相切，并求出该切线方程；
（Ⅱ）若为函数的极小值点，求的取值范围；
（III）曲线是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由.
5.椭圆的右顶点为，离心率为。
（1）求椭圆的方程及短轴长；
（2）已知：过定点作直线交椭圆于两点，过作的平行线交直线于点，设中点为，直线与椭圆的另一点交点为，若四边形为平行四边形，求点坐标.
6.椭圆C：的左、右焦点分别为，点，
（1）过点与椭圆相切的直线为，求的方程；
（2）过且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，设直线与椭圆C的另一个交点为，连接，求证：平分
4. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：；
条件②；
条件③.
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长．
参考答案
说明：
1、可根据学生实际选用或改编；
2、本练习题目目的是提醒学生4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不必全做；
3、时间仓促，个别题没给答案，另外所提供的答案仅供参考；
预祝同学们取得好成绩！
1、（ C ）
2、答案：C
（14）答案：； ，
（4） A
3、（ C ）
4、答案：
5．（ C ）
6．（ B ）
3．无
4．无
2．无
5．无
5．无
6．无
1．D
【分析】A.代入周期的定义，即可判断；
B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；
C.代入对称性的公式，即可求解；
D.根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
2． B
12．答案：
（3）B
（4）D
（8） A
（13）答案：
（15）答案：（答案不唯一）
（16）答案：①③
（4）D
（5）B
（7）D
（9）C
7． D
12．
9. A
20.解：（Ⅰ）因为 ABC=90 ，所以，
因为平面ABB1A1^平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC 平面ABC，
所以BC^平面ABB1A1，
因为AB1 平面ABB1A1，
所以BC^AB1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以四边形ABB1A1是平行四边形，
因为AA1=AB，所以ABB1A1是菱形，
所以AB1^A1B，
因为A1B∩BC=B，A1B，BC 平面A1BC，
所以AB1^平面A1BC，
因为A1C 平面A1BC所以AB1^A1C. …………………………6分
（Ⅱ）选条件①：
（ⅰ）因为AC1=A1C，所以平行四边形ACC1A1为矩形，所以AA1^AC，
由（Ⅰ）知，AA1^BC，
因为AC∩BC=C，BC，AC 平面ABC，
所以AA1^平面ABC，
因为AA1 平面ACC1A1，所以平面ACC1A1^平面ABC. ………………………11分
（ⅱ）因为AA1^平面ABC， A1C∩平面ABC=C，
所以直线A1C与平面ABC所成的角为 A1CA，所以 A1CA=30 ，
因为AA1=AB=1，所以A1C=2，AC=，BC=，A1B=
作BD^AC于D，
因为平面ACC1A1^平面ABC，
平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD 平面ABC，
所以BD^平面ACC1A1，所以BD^A1C.
作DE^A1C于E，连接BE，
因为BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，
所以A1C^平面BDE，
因为BE 平面BDE，所以A1C^BE，
所以是二面角B-A1C-A的平面角.
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以二面角B-A1C-A的正弦值为. …………………………15分
条件②：A1B=，因为AA1=AB，所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1^AB，
由（Ⅰ）知，AA1^BC，
因为AB∩BC=B，BC，AB 平面ABC，
所以AA1^平面ABC，
以下同条件①.
（4）B
（7）A
（10）C
（13）答案：
（14）答案：（答案不唯一）
（1）无
（12）答案：， (答案不唯一)
（18）（Ⅰ）设M为AB的中点，连接ME，MF，
因为M为AB的中点，F为BC的中点，
所以，. 1分
因为，，为的中点，
所以，. 2分
所以为平行四边形，
所以. 3分
又因为平面，平面，
所以面. 5分
（Ⅱ）选择②③
（ⅰ）由，，，得，则.
6分
因为，，，
所以平面. 7分
所以. 8分
又因为，，
所以平面. 9分
又因为平面，
所以. 10分
（4）A
（5） C
（6）B
（13）5,40
（20）解：（Ⅰ）函数的定义域为.
当时，.
令，解得，或 (舍).
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增
因此，当时，有极小值，极小值为.
（Ⅱ）.
(1)当时，因为，所以.所以.所以在区间上单调递增.故，满足题意.
(2)当时，令，得.
所以在区间上单调递减. 所以,不符合题意.
综上可知，. …………………….……9分
（Ⅲ） 当时，由（Ⅱ）知，对任意，恒成立，所以在区间没有零点，不符合题意.
当时，因为在区间上单调递减，且，
所以在区间上无零点.
因为在区间上存在唯一零点，所以.
因为当时，，所以函数在上单调递增.
要证，只要证，即只要证.
，令，只要证.
令，.
令，当时，，
所以在区间上单调递增，则有.
所以在区间上单调递增，则有，
于是得证. 故. …………………….……15分
（ⅱ）三棱锥的体积就是三棱锥的体积．
因为平面， 12分
所以三棱锥的体积是
. 14分
选择 ①③
在三棱柱中，因为是平行四边形，
所以.
以下同选择②③.
4．（ D ）
9． A
（19）解：（Ⅰ）因为 椭圆的焦距为，长轴长为，
所以 ，．
所以 ．
所以 椭圆的方程为． …………3分
（Ⅱ）存在定点，使得恒在直线上. 理由如下： …………4分
设直线，，，则．
所以 ，.
由得． …………6分
所以 ，，． …………8分
因为 ，，
所以
．
所以 ．
所以 点，，共线． …………10分
（10）B
（14）答案不唯一，如.（注：）
（10）B
（18）解：（Ⅰ）设从地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有名，则，所以． .…………4分
（Ⅱ）将从（Ⅰ）中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为的4名用户编号为1，2，3，4，评分为的2名用户编号为，，从6人中随机选取2名用户的样本空间
.
设事件 “这两名用户的评分恰有一名低于80分”，则
则，
所以这两名用户的评分恰有一名低于80分的概率为． .…………11分
（Ⅲ）结论1： ，用样本估计总体．
方法一：计算，
，
计算
所以．
方法二：依据两个地区调查后各组数据的频率对比，易知，
因为两个地区抽取的样本容量不同，
所以． .…………14分
结论2：无法判断与的大小关系.
理由一：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较. .…14分
理由二：因为抽取样本时在两个地区中的抽样的权重不知道，所以无法确定的值，所以无法比较. .…………14分
注意：只判断大小，不说明理由不给分。
19.解：（Ⅰ）因为抛物线经过点，
所以，即.
故抛物线的方程为，焦点坐标为. .…………5分
（Ⅱ）解法1：因为，，
所以点到直线的距离.
因为直线的方程为，设点坐标为，
所以点到直线的距离又可以表示为，
所以，解得或.
所以点的坐标为或.
5．解：（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得，
所以；直线：，代入椭圆方程得，所以，
所以；
当直线的斜率不存在时，同理可得；
当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，
则，消去得，
恒成立，所以，
所以
；
同理可得，将换成可得
所以，
综上所述，的取值范围是.
2.答案：C
3. 答案：C
4. 答案：B
4. 【参考答案】
选择条件①
（Ⅰ）证明：
因为，，且
又因为平面，平面
所以平面平面
又因为平面，所以平面
因为平面
平面平面
所以，即
（Ⅱ）解：
因为平面，平面
所以，. 又
如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为
则，即
不妨令，则，
所以
所以直线与平面夹角的正弦值
（Ⅲ）设，
则
又
由（Ⅰ）知，所以
所以，解得
所以
5.【参考答案】
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为人．
，
．
（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，
有患病者人，未患病者人．
设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．
则 ，
所以 ．
（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的．
当时，判断错误的概率为．
6. 【参考答案】
(1)将30个数字从小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78，78，78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98.则中位数是.
选出的15名女生中90分以上的有3人，则的取值范围为{0，1，2}.
故的分布列为
0 1 2
的数学期望.
的最小值为7.
根据图表中数据，30人中有15人的成绩在80分以上，由频率估计概率，随机抽取1人，该人成绩在80分以上的概率为.
设每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上为事件A.
则,则故的最小值为7.
7. 【参考答案】
解：(Ⅰ)
易得均与无关，
所以不论取何值，曲线都与定直线相切.
(Ⅱ)
设，则，
当时，即函数在上单调递增，且.
①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；
②当时，由函数的性质可知:
存在，当时，，
函数单调递减，与为函数的极小值点矛盾，不符；
③当时，由函数的性质可知:
存在，当时，，单调递减，
又因为当时，，单调递增，
所以为函数的极小值点，符合.
综上有.
（III）不存在，理由如下：
设，由(Ⅱ)可知函数在上单调递增，
假设曲线存在两个不同的点关于y轴对称，
设其坐标分别为，其中.
由得：，
与在上单调递增矛盾，
所以曲线不存在两个不同的点关于y轴对称.
5.解：（1）易得椭圆方程为，短轴长
（2）由已知，直线的斜率存在，设直线为 ，
由
得
令 可得
于是
直线方程为，令，得
于是，所以中点
于是直线方程为
由可解得，于是
此时可得，满足即这样的平行四边形有两个.
6.解答：（1）由已知，直线斜率存在，设，
联立，消得：
即：
令，得
所以的方程为： 或者.
（2）设，，则当时，，
此时：
所以：，平分
4. 【答案】解：（Ⅰ）由，得，
因为，所以.
（Ⅱ）显然，所以，所以条件②错误，所以①③正确.
（i）由③可得，所以，
由①可得，
所以，，
代入，解得，
由，解得.
（ii）由正弦定理，，所以，
解得.
在中，由正弦定，所以.
1. 【答案】，