10.3三角形的角平分线、中线和高线巩固强化练习（含解析）

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10.3三角形的角平分线、中线和高线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（ ）
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
4．如图，中，D是中点，是的中线，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．如图，点D、E在的边上，连接AD、BE交于点F．若，，，则图中两个阴影面积之差即等于（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．1
6．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
8．如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，，，下列说法正确的是（ ）
A．是的高 B．是的高
C．是的高 D．是的高
10．如图，已知，平分，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，中，于点D，于点E，则边上的高是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，的面积为40cm2，，，则四边形的面积等于（　　）
A．cm2 B．9cm2 C．cm2 D．8.5cm2
二、填空题
13．如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．

14．如图，，和分别是的高、角平分线和中线．对于下面的五个结论：①；②；③；④；⑤．其中错误的是 （只填序号）．
15．如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是 ．
16．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ．

17．如图所示，在中，中线，相交于点，连接，若的面积是，则的面积是 ．
三、解答题
18．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)的面积______；
(2)只用直尺画出的高；
(3)只用直尺过点C画．
19．如图，在中，为边上的中线．
(1)若的面积为4，则的面积为______；
(2)若，比的周长多2，则______．
20．如图，在中，是高，，是外角的平分线，平分交于点，若，求的度数．

21．如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，求证：．
22．如图，是的中线，的周长为，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴、轴上移动，是的平分线，是的平分线，是与的交点．在移动过程中，的大小是否发生变化？如果保持不变，请求出的度数；如果发生变化，请求出变化范围．

24．如图，画出的三条高．

《10.3三角形的角平分线、中线和高线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B A B B B B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】本题考查了三角形的高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断．
【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
根据三角形高线的定义，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线，且垂足在直线上，
所以正确画出边上的高的是D选项，
故选：D．
3．D
【分析】根据等面积法即可求解．
【详解】解：∵AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，
∴，
即 cm．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键．根据中线平分三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵D是中点，
∴，
故选：B．
5．B
【分析】利用，，求出，再利用求出，再根据，即可求出．
【详解】解：∵，．
∴．
∵．
∴，．
∵．
∴．
故选：B
【点睛】本题考查利用中线求三角形面积，解题的关键是找出．
6．A
【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份．
7．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．
根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵是的高线，
∴，即，
解得，
故选：B．
9．B
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：观察图像可知：是的高，
故A，C，D错误，B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的高，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．
10．B
【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
11．B
【分析】三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可求解．
【详解】解：AB边上的高是CE，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的高，由定义可知，三角形的高是线段，线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个是垂足．
12．A
【分析】连接，根据，可知，，，根据△ABC的面积等于即可得出 ，，，，根据面积列出方程解出的面积即可解答．
【详解】如图所示，连接 ，
，
，
，
，
的面积等于，
，，
，，
设，，
则，
∴ ，
解得 ，
∴四边形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形面积计算及二元一次方程组的应用，熟知当高相等时底边之比等于三角形面积之比是解答此题的关键．
13．
【分析】由是的中线可得的面积的面积，分别表达两个三角形的面积，代入数据即可得出结论．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，解题的关键是掌握三角形中线及其应用．
14．③
【分析】根据三角形中线，高线和角平分线的性质求解即可．
【详解】∵是的中线
∴，故①正确；
∵是的角平分线
∴，故②正确；
∵不是的中线
∴，故③错误；
∵是的高
∴，故④正确；
∵，，
∴，故④正确．
综上所述，中错误的是③．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为．也考查了三角形的面积．
15．5
【分析】本题考查三角形的面积、平行线之间的距离，连接，根据平行线之间的距离处处相等得到，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别求出和，再由计算的面积即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
故答案为：5．
16．
【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．
先根据中线的定义求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：是的中线，，
，
是的高，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查三角形的中线和三角形的面积，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积，从而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵是的中线，的面积是，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的面积是．
故答案为：．
18．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键．
（1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得；
（2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可；
（3）借助网格，结合平行线的判定画图即可．
【详解】（1）．
故答案为：．
（2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高．
（3）解：如图，取点D，连接，即为所求作．
19．(1)2
(2)6
【分析】本题考查了三角形中线的应用，掌握相关结论是解题关键．
（1）设边上的高为，根据、、即可求解；
（2）根据、即可求解
【详解】（1）解：∵为边上的中线．
∴
设边上的高为
∴
∵
∴
故答案为：2
（2）解：
∵为边上的中线．
∴
∴
∴
故答案为：6
20．
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据直角三角形的性质求出的度数，得到的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：是高，
，
，又，
，
，
是外角的平分线，
，
平分，
，
．
21．见解析
【分析】根据角平分线的性质与外角的性质表示即可．
【详解】解：的内角平分线与外角平分线交于点，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，外角性质的运用是解题关键．
22．2
【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键．
根据三角形的周长得到，由中点的定义得到，由此即可求解．
【详解】解：∵的周长为，，
∴，
又∵是的中线，
∴点是的中点，
∴，
∴．
23．不变，
【分析】由角平分线的定义可得，，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可得到答案．
【详解】解：在移动过程中，的大小保持不变．
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
在移动过程中，的大小保持不变，为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据三角形的高的定义，过三角形的一个顶点向对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高．
【详解】如图，线段，，分别是，，边上的高．

【点睛】本题考查三角形的高，正确理解并作出三角形的高是解题的关键．
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