8.2幂的乘方与积的乘方巩固强化练习（含解析）

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8.2幂的乘方与积的乘方
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，，则的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．计算，结果是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（　　）
A．16 B．25 C．32 D．64
8．若，则的值为（ ）
A．6 B．27 C．3 D．9
9．若，则m，n的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，m，n为正整数，则 ．
14．如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 ；
（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 ．
15．若，则m、n的值分别为
16．计算：＝ ．
17．判断下列计算是否正确，并在横线上打“√”或“×”：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，．
(1)根据上述规定，填空：__________；
(2)在研究这种运算时，发现一个特征：，并作出了如下的证明：
设，则，即．
所以，即，
所以．
试解决下列问题：
①计算：；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：．
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
21．在比较和的大小时，我们可以这样来处理：
．
，即．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)请比较下列两组数的大小：
①和；②和．
(2)（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的____________，从而比较大小，试用类似的方法，比较的大小．
22．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
23．比较大小：，，．
24．已知272=a6=9b,求2a2+2ab的值.
《8.2幂的乘方与积的乘方》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C A D C D B C
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方，同底数幂的运算，即可计算得出选项．
【详解】解：（1），原计算错误，不符合题意；
（2），原计算错误，不符合题意；
（3），原计算正确，符合题意；
（4）若，，则，原计算正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方，同底数幂的运算，解题的关键是能熟记法则的内容．
2．A
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键．
4．C
【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、a3和a2不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、原式计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原式计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．
5．A
【分析】首先根据幂的乘方运算的逆用可得，，，，再根据指数相等时，底数越大，幂就越大，据此即可解答．
【详解】解：，，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆用，有理数大小的比较，熟练掌握和运用幂的乘方运算的逆用是解决本题的关键．
6．D
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．根据幂的乘方的运算法则即可求解．
【详解】解：．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可．熟练掌握法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
则，
故选：C．
8．D
【分析】由，再把代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是幂的乘方的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
9．B
【分析】逆用幂的运算法则化为同指数的幂进行比较可得．
【详解】解：，
又，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算法则，能灵活运用法则是解题关键．
10．C
【分析】根据合并同类项法则判定A；根据同底数幂乘法运算法则计算并判定B；根据积的乘方的运算法则计算并判定C；根据幂的乘方法则计算并判定D．
【详解】解：A、a与不属于同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同类项，幂的乘方和积的乘方，理解运算法则是解答关键．
11．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴．
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C.不是同类项，不能合并，原式计算错误；
D.，计算正确；
故选：D．
13．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵2m=a，32n=b=25n，m，n为正整数，
∴25m+10n=(2m)5×(25n)2=a5b2，
故答案是：a5b2．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．
14． a+b=c 80
【分析】（1）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（2）根据定义解答即可．
【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c
∴，
∵12×5=60，
∴，
∴，
∴a+b=c；
故答案为：a+b=c.
（2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r
∴
∵（m，16）+（m，5）=（m，t），
∴p+q=r
∴，
∴，即16×5=t
∴t=80．
故答案为：80．
【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
15．3，5
【分析】对已知运用积的乘方及幂的乘方后，利用同底数同指数得到关于m与n的方程，求出m与n即可．
【详解】解：∵，
，
，，
，
故答案为：3，5．
【点睛】本题考查了幂的运算性质：积的乘方与幂的乘方运算性质，底数相同指数相同的两个幂一定相等．
16．
【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法法则进行运算即可．
【详解】原式==，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键．
17． × √ × ×
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，涉及幂的乘方，积的乘方和同底数幂乘法等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）利用幂的乘方运算法则计算即可；
（2）利用积的乘方运算法则计算即可；
（3）利用幂的乘方运算法则计算，再根据合并同类项法则判断即可；
（4）利用同底数幂乘法运算法则计算，再根据合并同类项法则判断即可．
【详解】解：（1）），故原式计算错误，
故答案为：；
（2），故原式计算正确，
故答案为：；
（3），故原式计算错误；
故答案为：；
（4），故原式计算错误；
故答案为：．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先计算乘方再计算乘法，再计算加法即可；
（2）先计算同底数幂乘法，再合并同类项即可；
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
（4）先计算同底数幂乘法，再计算加法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19．(1)4
(2)①0②见解析
【分析】（1）根据题意可得，进而求解．
（2）①由推理过程可得；，再相减结果得0即可；②设，则再根据同底数幂的乘法法则求解．
【详解】（1）∵，
∴4，
故答案为：4；
（2）①，
由推理过程得，
即
同理可得，
∴
②设，则
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可
（2）计算各项的幂的乘方即可
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解决问题的关键．
21．(1)① ； ②
(2)指数 ，
【分析】（1）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为指数相同的形式比较大小即可得到答案；
（2）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为底数相同的形式比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，
又∵，
∴，即；
②∵，，
又∵，
∴，即；
（2）解：（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的指数，从而比较大小；
又∵，
∴，即．
【点睛】本题考查幂的大小比较，读懂题中材料，灵活运用幂的乘方运算及其逆运算按材料中的方法求解是解决问题的关键．
22．(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再合并同类项即可．
（2）式子适当变形后，再按照同底数幂的乘法计算即可．
（3）逆运用同底数幂的乘法，再计算乘法，然后按照偶次幂的符号法则即可得出答案．
（4）先利用积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
（4）解：
=
=
=
【点睛】本题考查幂的相关运算．主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
23．
【分析】本题考查幂的乘方的逆应用，根据将指数化相同比较底数即可得到答案；
【详解】解：，，，
∵，
∴．
24．36或0.
【分析】先把已知条件转化成以3为底数的幂，求出a、b的值，再代入代数式计算即可．
【详解】由272=a6,得36=a6,
∴a=±3;
由272=9b,得36=32b,
∴2b=6,解得b=3.
当a=3,b=3时,2a2+2ab=2×32+2×3×3=36;
当a=-3,b=3时,
2a2+2ab=2×(-3)2+2×(-3)×3=18-18=0.
所以2a2+2ab的值为36或0.
【点睛】根据幂的乘方的性质把已知条件转化为以3为底数的幂求出a、b的值是解题的关键；需要注意，a=-3容易被同学们漏掉而导致求解不完全．
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